第2章 第5节 幂函数与二次函数(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

**基本信息** 聚焦幂函数与二次函数核心性质，通过定义辨析、性质探究、综合应用构建“概念-性质-应用”逻辑链，提炼分类讨论、数形结合等解题方法，培养数学抽象与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂函数|6题（如9题）|定义法求参数、奇偶性与单调性判定、不等式转化|定义→指数特征→性质（奇偶/单调）→比较大小/参数求解| |二次函数|9题（如14题）|待定系数求解析式、对称轴分类讨论单调性、零点分布判定|定义→解析式→性质（对称/单调）→值域/零点/参数范围|

第5节　幂函数与二次函数 （时间：60分钟，满分：95分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.探究幂函数f（x）＝xα当α＝2，3，，－1时的性质，若该函数在定义域内为奇函数，且在（0，＋∞）上单调递增，则α＝（　　） A.2 B.3 C. D.－1 2.已知a＝，b＝，c＝1，则（　　） A.a＜b＜c B.b＜c＜a C.b＜a＜c D.c＜a＜b 3.若二次函数g（x）满足g（1）＝1，g（－1）＝5，且图象过原点，则g（x）的解析式为（　　） A.g（x）＝2x2－3x B.g（x）＝3x2－2x C.g（x）＝3x2＋2x D.g（x）＝－3x2－2x 4.已知函数f（x）＝ax2＋bx＋c，若a＞b＞c，且a＋b＋c＝0，则函数f（x）的图象可能是（　　） 5.已知m＞1，点（1－m，y1），（m，y2），（m＋1，y3）都在二次函数y＝x2－2x的图象上，则（　　） A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1 C.y1＝y3＜y2 D.y2＜y1＝y3 6.〔多选〕已知幂函数f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3，m∈N*，则下列结论正确的有（　　） A.m＝1 B.函数f（x）在定义域内单调递减 C.f（－2）＜f（3） D.函数f（x）的值域为（0，＋∞） 7.已知函数f（x）＝x2－2（a－1）x＋a，若对于区间[－1，2]上的任意两个不相等的实数x1，x2，都有f（x1）≠f（x2），则实数a的取值范围为　　　　. 8.（2026·广东东莞七校联考）已知A＝{α，β}⊆{－1，，2，3}，若函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象只有1个交点，则写出一个符合条件的集合A＝　　　　；若有两个交点，则满足条件的不同集合A有　　　　个. 9.（13分）已知幂函数f（x）＝（2k－1）（m∈N*）为偶函数，且在（0，＋∞）上单调递减. （1）求m和k的值； （2）求满足（2a＋1）－m＜（3－2a）－m的实数a的取值范围. 10.直线y＝1，y＝x，x＝1及幂函数y＝x－1的图象将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数y＝的图象在第一象限中经过（　　） A.③⑦　　B.③⑧　　C.④⑦　　D.①⑤ 11.函数f（x）＝x2－4x＋2在区间[a，b]上的值域为[－2，2]，则b－a的取值范围是（　　） A.[0，2] B.[2，4] C.[0，4] D.[4，＋∞） 12.〔多选〕（2025·山东青岛一模）已知函数f（x）＝x2－2x＋a有两个零点x1，x2，以下结论正确的是（　　） A.a＜1 B.若x1x2≠0，则＋＝ C.f（－1）＝f（3） D.函数y＝f（｜x｜）有四个零点 13.已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是　　　　. 14.（15分）（2026·福建福州模拟）已知二次函数f（x）＝ax2－x＋2a－1. （1）若f（x）在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围； （2）若a＞0，设函数f（x）在区间[1，2]上的最小值为g（a），求g（a）的表达式. 15.〔创新设问〕设函数f（x）＝，g（x）＝ax2＋bx（a，b∈R，a≠0），若y＝f（x）的图象与y＝g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（　　） A.当a＜0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＞0　　　　　 B.当a＜0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＜0 C.当a＞0时，x1＋x2＜0，y1＋y2＜0 D.当a＞0时，x1＋x2＞0，y1＋y2＞0 答案 第5节　幂函数与二次函数 1.B　2.A　3.B　4.D　5.D　 6.AD　由f（x）＝（2m2＋m－2）xm－3为幂函数可得2m2＋m－2＝1，解得m＝1或m＝－，又m∈N*，所以m＝1，所以f（x）＝x－2＝，故A正确；因为函数f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），关于原点对称，由f（－x）＝＝＝f（x），知函数f（x）为偶函数，由于－2＜0，故f（x）＝x－2在区间（0，＋∞）上单调递减，根据偶函数性质知f（x）＝x－2在区间（－∞，0）上单调递增，故B错误；f（－2）＝＝＞＝＝f（3），故C错误；因为f（x）的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），则x2＞0，所以f（x）＝的值域为（0，＋∞），故D正确. 7.（－∞，0]∪[3，＋∞） 8.{－1，}（答案不唯一）　4　解析：函数y＝x－1的图象与y＝，y＝x2，y＝x3的图象分别有1个，1个，2个交点；函数y＝的图象与y＝x2，y＝x3的图象都有2个交点；函数y＝x2的图象与y＝x3的图象有2个交点.若函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象只有1个交点，则A＝{－1，}或A＝{－1，2}.若函数f（x）＝xα与g（x）＝xβ的图象有2个交点，则A＝{－1，3}或{，2}或{，3}或{2，3}. 9.解：（1）由函数f（x）＝（2k－1）为幂函数，则2k－1＝1，解得k＝1. 由f（x）＝（m∈N*）在（0，＋∞）上单调递减，得m2－2m－3＜0，解得－1＜m＜3， 而m∈N*，故m＝1或2， 当m＝1时，f（x）＝x－4，定义域为{x｜x≠0}，且f（x）为偶函数，符合题意； 当m＝2时，f（x）＝x－3，定义域为{x｜x≠0}，函数为奇函数，不符合题意，故m＝1，k＝1. （2）由（1）得m＝1，则（2a＋1）－1＜（3－2a）－1， 即＜，故2a＋1＞3－2a＞0或0＞2a＋1＞3－2a或2a＋1＜0＜3－2a， 解得＜a＜或a∈⌀或a＜－. 故实数a的取值范围为（ －∞，－）∪（ ，）. 10.D　在第一象限内，直线x＝1的左侧，幂函数的指数越大图象越接近于x轴，∵－＞－1，∴在直线x＝1的左侧，y＝的图象位于y＝x－1图象的下方，直线y＝1的上方，故经过⑤；在第一象限内，直线x＝1的右侧，幂函数的指数越小图象越接近于x轴，∴在直线x＝1的右侧y＝的图象位于y＝x－1图象的上方，直线y＝1的下方，故经过①.故选D. 11.B　解方程x2－4x＋2＝2，得x＝0或x＝4，解方程x2－4x＋2＝－2，得x＝2，由于函数f（x）在区间[a，b]上的值域为[－2，2].若函数f（x）在区间[a，b]上单调，则[a，b]＝[0，2]或[a，b]＝[2，4]，此时b－a取得最小值2；若函数f（x）在区间[a，b]上不单调，且当b－a取最大值时，[a，b]＝[0，4]，所以b－a的最大值为4，所以b－a的取值范围是[2，4]. 12.ABC　二次函数对应二次方程根的判别式Δ＝（－2）2－4a＝4－4a＞0，a＜1，故A正确；由根与系数的关系得，x1＋x2＝2，x1x2＝a，＋＝＝，故B正确；因为f（x）的对称轴为x＝1，点（－1，f（－1）），（3，f（3））关于对称轴对称，故C正确；当a＝0时，y＝f（｜x｜）＝｜x｜2－2｜x｜＝｜x｜（｜x｜－2）＝0有三个零点，故D不正确. 13.（－3，0）　解析：关于x的方程ax2＋x＋2＝0对应的二次函数为f（x）＝ax2＋x＋2，若a＞0，则图象开口向上，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＜0，且f（1）＜0，即2＜0且a＋3＜0，则a∈⌀；若a＜0，则函数图象开口向下，ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，只需f（0）＞0，且f（1）＞0，即2＞0且a＋3＞0，则－3＜a＜0.综上可得a的取值范围是（－3，0）. 14.解：（1）由题意知a≠0. 当a＞0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝， 所以f（x）在区间[1，2]上单调递减需满足≥2， 又a＞0，所以0＜a≤； 当a＜0时，f（x）＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝＜0， 所以f（x）在区间[1，2]上单调递减恒成立. 综上，a的取值范围是（－∞，0）∪（ 0，］. （2）①当0＜≤1，即a≥时， f（x）在区间[1，2]上单调递增， 此时g（a）＝f（1）＝3a－2； ②当1＜＜2，即＜a＜时， f（x）在区间［1，］上单调递减，在区间［，2］上单调递增，此时g（a）＝f（ ）＝2a－－1； ③当≥2，即0＜a≤时， f（x）在区间[1，2]上单调递减， 此时g（a）＝f（2）＝6a－3. 综上所述，g（a）＝ 15.B　令f（x）＝g（x），可得＝ax＋b.设F（x）＝，G（x）＝ax＋b，根据题意，F（x）＝的图象与G（x）＝ax＋b的图象只有两个交点， 不妨设x1＜x2，结合图形可知，当a＞0时（如图1），G（x）＝ax＋b的图象与F（x）＝图象的左支相切，与右支有一个交点，根据对称性可得｜x1｜＞x2，即－x1＞x2＞0，此时x1＋x2＜0，y2＝＞＝－y1，∴y1＋y2＞0；同理可得，当a＜0时（如图2），x1＋x2＞0，y1＋y2＜0. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $