第2章 第4节 函数的对称性及应用(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

**基本信息** 聚焦函数对称性判定与应用，通过一题多解、性质综合推导，构建“概念-性质-应用”逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|1-4题|函数变换法（平移/对称）|从具体函数到复合函数对称性判定| |性质综合|5-8、10-12、15题|奇偶性-对称性-周期联动推导|对称性与单调性、周期性交叉应用| |证明应用|9、13-14题|对称中心充要条件证明|对称性质在最值、交点问题中的应用|

第4节　函数的对称性及应用 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.下列函数的图象中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A.y＝tan x B.y＝x－1 C.y＝x3 D.y＝ln｜x｜ 2.〔一题多解〕已知函数y＝f（x＋2）－3是奇函数，且f（4）＝2，则f（0）＝（　　） A.0 B.2 C.4 D.6 3.已知函数f（x）＝，则函数f（x）的图象的对称中心的坐标为（　　） A.（－1，－3） B.（－1，3） C.（－1，－2） D.（－1，2） 4.（2025·广东湛江一模）已知函数y＝f（1－x）的图象与函数y＝f（2＋x）的图象关于直线x＝m对称，则m＝（　　） A.3 B. C.－1 D.－ 5.已知函数f（x）对任意的x∈R都有f（x）＝f（2－x）成立，且当x≥1时，f（x）＝2x－1，则（　　） A.f（ ）＜f（ ）＜f（ ） B.f（ ）＜f（ ）＜f（ ） C.f（ ）＜f（ ）＜f（ ） D.f（ ）＜f（ ）＜f（ ） 6.〔多选〕（2026·江苏盐城模拟）已知非常数函数f（x）为R上的奇函数，g（x）＝f（x＋1）为偶函数，下列说法正确的有（　　） A.f（x）的图象关于直线x＝－1对称 B.g（2 025）＝0 C.g（x）的最小正周期为4 D.对任意x∈R都有f（2－x）＝f（x） 7.（2025·江苏南通一模）已知定义在R上的函数f（x）满足f（x）＋f（－x）＝4x2＋2，设g（x）＝f（x）－2x2，若g（x）的最大值和最小值分别为M和m，则M＋m＝　　　　. 8.设函数f（x）＝若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f（1－x）成立，则实数a的取值范围是　　　　. 9.（13分）（2026·河北沧州模拟）已知函数f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x. （1）判断并证明函数f（x）的对称性； （2）求f（x）的单调区间. 10.（2026·海南海口调研）已知函数f（x）的定义域为R，f（ x＋）为偶函数，f（2－x）＋f（x）＝0，f（ ）＝－，则f（ ）＝（　　） A. B. C.0 D.－ 11.（2026·四川雅安诊断）已知函数f（x）的定义域为（－∞，＋∞），∀x∈R，f（ ＋x）＝f（ －x）恒成立.当x2＞x1≥1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＞0，f（0）＝－f（2），则不等式f（x）（x2＋2x＋3）＞0的解集为（　　） A.（－∞，0）∪（2，＋∞） B.（0，2） C.（－∞，0）∪（1，2） D.（0，1）∪（2，＋∞） 12.〔多选〕（2025·浙江杭州调考）已知定义域为R的函数f（x）在（－1，0]上单调递增，f（1＋x）＝f（1－x），且图象关于点（2，0）对称，则（　　） A.f（0）＝f（－2） B.f（x）的周期T＝2 C.f（x）在（2，3）上单调递减 D.f（x）满足f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027） 13.已知函数y＝f（x）－1是奇函数，若曲线y＝1＋与曲线y＝f（x）共有6个交点，分别为（x1，y1），（x2，y2），…，（x6，y6），则（xi＋yi）＝　　　　. 14.（15分）对于定义在R上的函数f（x），可以证明“点A（m，n）是f（x）的图象的一个对称中心”的充要条件是“f（m－x）＋f（m＋x）＝2n，x∈R”. （1）求函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心； （2）函数f（x）＝ax3＋（b－2）x2（a≤0，b∈R）在R上是奇函数，求a，b满足的条件，并讨论在区间[－1，1]上是否存在常数a，使得f（x）≥－x2＋4x－2恒成立. 15.〔创新设问〕〔多选〕已知对于任意非零实数x，函数f（x）均满足f（x）＝f（ ），f（x）＝2－f（ ），下列结论正确的有（　　） A.f（1）＝1　　　　　　　　　　　　　　　　　　 B.f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称 C.f（2x）的图象关于直线x＝1轴对称 D.f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10 答案 第4节　函数的对称性及应用 1.B　2.C　3.C　4.D　5.B　 6.ABD　因为f（x）为R上的奇函数，且g（x）＝f（x＋1）为偶函数，所以f（x）关于点（0，0）中心对称，且关于直线x＝1对称，所以直线x＝－1也是对称轴，所以f（x）的图象关于直线x＝－1对称，所以f（x）＝f（2－x），A、D正确；由A分析知f（x）＝f（2－x）＝－f（－x），故f（2＋x）＝－f（x），所以f（4＋x）＝－f（2＋x）＝f（x），所以f（x）是一个周期为4的周期函数，则g（2 025）＝f（2 026）＝f（2）＝f（0）＝0，B正确；不能说明g（x）的最小正周期为4，C错误. 7.2 8.（1，＋∞）　解析：在同一直角坐标系中画出函数y＝x和y＝－x2＋2x的图象，如图所示.若存在x∈R，使得f（1＋x）＝f（1－x），则f（x）的图象上存在两个关于直线x＝1对称的点（两点均不在直线x＝1上），则a＞1. 9.解：（1）f（x）的图象关于直线x＝2对称.证明如下： 由｜x－2｜＞0，得x≠2，所以f（x）的定义域为（－∞，2）∪（2，＋∞）. 因为f（2－x）＝log2｜x｜＋（2－x）2－4（2－x）＝log2｜x｜＋x2－4， f（2＋x）＝log2｜x｜＋（2＋x）2－4（2＋x）＝log2｜x｜＋x2－4， 所以f（2＋x）＝f（2－x）， 所以f（x）的图象关于直线x＝2对称. （2）设y1＝log2｜x－2｜，y2＝x2－4x， 当x＞2时，y1＝log2｜x－2｜＝log2（x－2）单调递增，y2＝x2－4x也单调递增， 故f（x）＝log2｜x－2｜＋x2－4x在（2，＋∞）上单调递增. 又f（x）的图象关于直线x＝2对称， 故f（x）的单调递增区间为（2，＋∞），单调递减区间为（－∞，2）. 10.A　因为f（ x＋）为偶函数，所以f（x）的图象关于直线x＝对称，又f（2－x）＋f（x）＝0，所以f（x）的图象关于点（1，0）对称，故函数f（x）的周期为4×（ 1－）＝2，故f（ ）＝f（ ＋4）＝f（ ），故f（ ）＝－f（ ）＝－f（ ）＝，故f（ ）＝. 11.A　因为f（ ＋x）＝f（ －x），所以f（x）的图象关于直线x＝＝1对称，所以f（0）＝f（2），又因为f（0）＝－f（2），所以f（0）＝f（2）＝0.因为当x2＞x1≥1时，[f（x2）－f（x1）]·（x2－x1）＞0，所以f（x）在[1，＋∞）上单调递增，所以f（x）在（－∞，1）上单调递减.因为x2＋2x＋3＝（x＋1）2＋2＞0，所以f（x）（x2＋2x＋3）＞0等价于f（x）＞0.当x≥1时，f（x）＞0＝f（2），结合单调性可知x＞2；当x＜1时，f（x）＞0＝f（0），结合单调性可知x＜0.故f（x）（x2＋2x＋3）＞0的解集为（－∞，0）∪（2，＋∞）. 12.AC　由f（1＋x）＝f（1－x），可得f（x）图象的对称轴方程为x＝1，所以f（0）＝f（2），又由函数f（x）的图象关于点（2，0）对称，可得f（x）的周期为4，所以f（－2）＝f（2），所以f（0）＝f（－2），故A正确.因为f（x）在（－1，0]上单调递增，且周期为4，所以f（x）在（3，4]上单调递增，又f（x）的图象关于点（2，0）对称，所以f（x）在[0，1）上单调递增，因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（x）在（1，2]上单调递减，则函数f（x）在（2，3）上单调递减，故f（x）的最小正周期为4，故B错误，C正确.根据f（x）的周期为4，可得f（2 025）＝f（1），f（2 026）＝f（2），f（2 027）＝f（3），因为f（x）的图象关于直线x＝1对称，所以f（2）＝f（0）且f（3）＝f（－1），即f（2 025）＝f（1），f（2 026）＝f（0），f（2 027）＝f（－1），又函数f（x）在[0，1）上单调递增，在（－1，0]上单调递增，确定的单调区间内均不包含x＝±1，若f（－1）＝f（1）＝0，则f（2 025）＞f（2 026）＞f（2 027）不成立，故D错误. 13.6　解析：∵y＝f（x）－1为奇函数，∴y＝f（x）的图象关于点（0，1）对称.又y＝1＋的图象关于点（0，1）对称，∴x1＋x2＋…＋x6＝0，y1＋y2＋…＋y6＝3×2＝6，∴（xi＋yi）＝（x1＋x2＋…＋x6）＋（y1＋y2＋…＋y6）＝6. 14.解：（1）设A（m，n）为函数f（x）＝x3＋3x2的图象的一个对称中心， 则f（m－x）＋f（m＋x）＝2n对于x∈R恒成立， 即（m－x）3＋3（m－x）2＋（m＋x）3＋3（m＋x）2＝2n对x∈R恒成立，所以（6m＋6）x2＋（2m3＋6m2－2n）＝0. 由解得 故函数f（x）的图象的一个对称中心为点（－1，2）. （2）由f（x）是奇函数，知b＝2. 不存在常数a（a≤0）使f（x）≥－x2＋4x－2对任意的x∈[－1，1]恒成立，理由如下： 依题意，此时f（x）＝ax3，令g（x）＝－x2＋4x－2，x∈[－1，1]，所以g（x）∈[－7，1]. 若a＝0，f（x）＝0，不符合题意； 若a＜0，f（x）＝ax3在区间[－1，1]上单调递减， f（x）min＝a，若存在a使f（x）≥－x2＋4x－2对任意的x∈[－1，1]恒成立，则a≥1，与a＜0矛盾，不符合题意. 综上可知，符合条件的a不存在. 15.ABD　A对，对于f（x）＝2－f（ ），令x＝1，得f（1）＝2－f（1），所以f（1）＝1.B对，由f（x）＝2－f（ ）可得，f（x）＋f（ ）＝2，则f（2x）＋f（2－x）＝2，所以f（2x）的图象关于点（0，1）中心对称.C错，由f（x）＝f（ ）可得f（2x）＝f（21－x），所以f（2x）的图象关于直线x＝轴对称.D对，令g（x）＝f（2x），则g（x）的图象关于点（0，1）中心对称，且关于直线x＝轴对称， 由f（1）＝1可得，g（0）＝1，结合g（x）图象的对称性可得g（1）＝g（2）＝g（3）＝…＝g（10）＝1，如图，所以f（2）＋f（22）＋f（23）＋…＋f（210）＝10.故选A、B、D. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $