第2章 第1节 函数的概念及其表示(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

**基本信息** 聚焦函数概念核心要素，以题载法构建“概念辨析-定义域-解析式-应用”逻辑链条，提炼待定系数法等实用技巧，培养数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|1（第1题）|同一函数判断法|从函数定义出发，通过定义域与对应关系一致性辨析| |定义域求解|2（第4、7题）|复合函数定义域法|由内向外逐层分析，结合不等式组求解| |解析式求法|1（第9题）|待定系数法、换元法、方程组法|基于函数类型设解析式，通过方程思想求解| |分段函数应用|3（第2、5、14题）|分类讨论法|按分段条件拆分问题，结合函数性质综合求解| |创新定义函数|2（第13、15题）|新定义转化法|将抽象定义转化为具体数学表达，培养数学语言应用能力|

第1节　函数的概念及其表示 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2026·安徽宿州多校联考）下列四个函数中，与y＝2x表示同一个函数的是（　　） A.y＝2｜x｜ B.y＝ C.y＝ D.y＝ 2.（2025·广东茂名一模）已知函数f（x）＝则f（－1）＋f（1）＝（　　） A. B.3 C. D. 3.如图，四棱柱ABCD-A'B'C'D'是一个无水游泳池，是由一个长方体切掉一个三棱柱得到的.现在向游泳池内注水，如果进水速度是均匀的（单位时间内注入的水量不变），水面与AB的交点为M，则AM的高度h随时间t变化的图象可能是（　　） 4.（2026·河南新乡名校模拟）已知函数f（x）＝＋，则函数f（x2）的定义域是（　　） A.（－∞，1）∪（1，2] B.[－2，－1）∪（－1，1）∪（1，2] C.[－，1）∪（1，] D.[－，－1）∪（－1，1）∪（1，] 5.（2025·江西上饶一模）设f（x）＝若f（m）＝f（m＋1），则m＝（　　） A. B. C. D. 6.〔多选〕已知函数f（＋1）＝x＋2，则（　　） A.f（x）＝x2－1（x∈R） B.f（x）的最小值为－1 C.f（2x－3）的定义域为[2，＋∞） D.f（ ）的值域为[0，＋∞） 7.若函数y＝f（2x）的定义域为[－2，4]，则y＝f（x）－f（－x）的定义域为　　　　. 8.已知函数f（x），g（x）分别由下表给出： x 1 2 3 f（x） 2 3 1 x 1 2 3 g（x） 3 2 1 则f（g（1））的值为　　　　；满足f（g（x））＞g（f（x））的x的值是　　　　. 9.（13分）求下列函数的解析式： （1）已知f（x）是一次函数，且满足f（f（x））＝25x＋12； （2）已知f（x）满足f（2x－1）＝x2＋3x－1（0＜x＜2）； （3）已知f（x）满足2f（x）＋f（ ）＝3x. 10.已知定义域为R的函数f（x）满足f（a＋b）＝f（a）·f（b）（a，b∈R），且f（x）＞0，若f（1）＝，则f（－2）＝（　　） A.2 B.4 C. D. 11.（2026·山东潍坊模拟）存在函数f（x）满足：对任意x∈R都有（　　） A.f（｜x｜）＝x3 B.f（sin x）＝x2 C.f（x2＋2x）＝｜x｜ D.f（｜x｜）＝x2＋1 12.〔多选〕已知函数y＝f（x）的图象由如图所示的两段线段组成，则（　　） A.f（f（3））＝1 B.不等式f（x）≤1的解集为［2，］ C.函数f（x）在区间[2，3]上的最大值为2 D.f（x）的解析式可表示为f（x）＝x－3＋2｜x－3｜（x∈[0，4]） 13.定义max{a，b}＝设函数f（x）＝x＋1，g（x）＝（x＋1）2，记函数F（x）＝max{f（x），g（x）}，且函数F（x）在区间[m，n]内的值域为[0，1]，则n－m的最大值为　　　　. 14.（15分）（1）已知函数f（x）＝若f（f（a））＝2，求a的值； （2）已知函数f（x）＝若a[f（a）－f（－a）]＞0，求实数a的取值范围； （3）已知函数f（x）＝若af（a－1）≥0，求实数a的取值范围. 15.〔创新定义〕〔多选〕函数D（x）＝称为狄利克雷函数，对于狄利克雷函数，下列结论正确的是（　　） A.D（D（2））＝D（D（））　　　　　　　　　 B.D（x）的值域与函数f（x）＝的值域相同 C.D（x）≠D（－x） D.对任意实数x，都有D（x＋1）＝D（x） 答案 第1节　函数的概念及其表示 1.D　2.C　3.A　4.D　5.C　 6.CD　依题意，f（＋1）＝（）2＋2＝（＋1）2－1，则f（x）＝x2－1，x≥1，A错误；当x≥1时，f（x）≥0，当且仅当x＝1时取等号，B错误；在f（2x－3）中，2x－3≥1，解得x≥2，因此f（2x－3）的定义域为[2，＋∞），C正确；f（ ）＝－1，0＜x≤1，于是∈[1，＋∞），因此f（ ）的值域为[0，＋∞），D正确. 7.[－4，4]　8.1　2 9.解：（1）设f（x）＝kx＋b（k≠0）， 所以f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝25x＋12， 可得解得或 所以f（x）＝5x＋2或f（x）＝－5x－3. （2）令2x－1＝t，－1＜t＜3，则x＝，∴f（t）＝（ ）2＋3×－1＝＋2t＋，∴f（x）＝＋2x＋（－1＜x＜3）. （3）（方程组法）　由2f（x）＋f（ ）＝3x， ① 将x用替换，得2f（ ）＋f（x）＝， ② 由①②解得f（x）＝2x－（x≠0）. 10.B　令a＝b＝0，则有f（0）＝[f（0）]2.又∵f（x）＞0，∴f（0）＝1.令a＝－1，b＝1，则有f（0）＝f（－1＋1）＝f（－1）·f（1），∴f（－1）＝＝＝2.再令a＝b＝－1，则有f（－2）＝[f（－1）]2＝4. 11.D　对于A，当x＝1时，f（｜1｜）＝f（1）＝1；当x＝－1时，f（｜－1｜）＝f（1）＝－1，不符合函数定义，故A错误；对于B，令x＝0，则f（sin x）＝f（0）＝0；令x＝π，则f（sin π）＝f（0）＝π2，不符合函数定义，故B错误；对于C，令x＝0，则f（0）＝0；令x＝－2，则f（（－2）2＋2×（－2））＝f（0）＝2，不符合函数定义，故C错误；对于D，f（｜x｜）＝x2＋1＝｜x｜2＋1，x∈R，｜x｜≥0，则存在x≥0时，f（x）＝x2＋1，符合函数定义，即存在函数f（x）＝x2＋1（x≥0）满足：对任意x∈R都有f（｜x｜）＝x2＋1，故D正确.故选D. 12.BD　根据题意，由图象可得，在区间[0，3]上，函数图象为线段，经过点（0，3）和（3，0），则其方程为f（x）＝3－x（0≤x≤3），在区间[3，4]上，函数图象为线段，经过点（3，0）和（4，3），设f（x）＝kx＋b，x∈[3，4]，则解得所以其方程为f（x）＝3x－9（3≤x≤4），综合可得f（x）＝对于A，f（3）＝0，则f（f（3））＝f（0）＝3，故A错误；对于B，若f（x）≤1，则有或解得2≤x≤3或3＜x≤，即不等式的解集为［2，］，故B正确；对于C，在区间[2，3]上，f（x）＝3－x单调递减，其最大值为f（2）＝1，故C错误；对于D，f（x）＝x－3＋2｜x－3｜（x∈[0，4]）＝故D正确.故选B、D. 13.2　解析：令f（x）≥g（x），即x＋1≥（x＋1）2，解得－1≤x≤0；令f（x）＜g（x），即x＋1＜（x＋1）2，解得x＜－1或x＞0，所以F（x）＝max{f（x），g（x）}＝F（x）的图象如图所示，又F（0）＝F（－2）＝1，F（－1）＝0，要使函数F（x）在区间[m，n]内的值域为[0，1]，当n＝0时，－2≤m≤－1；当m＝－2时，－1≤n≤0，则当n＝0，m＝－2时，n－m取得最大值2. 14.解：（1）令f（a）＝t，则f（t）＝2，可得t＝0或t＝1， 当t＝0时，即f（a）＝0，显然a≤0， 因此a＋2＝0⇒a＝－2； 当t＝1时，即f（a）＝1，显然a≤0， 因此a＋2＝1⇒a＝－1， 综上所述，a＝－2或－1. （2）由题意知，a≠0，当a＞0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为a2＋a－3a＞0，解得a＞2； 当a＜0时，不等式a[f（a）－f（－a）]＞0可化为－a2－2a＜0，解得a＜－2. 综上所述，实数a的取值范围为（－∞，－2）∪（2，＋∞）. （3）令t＝a－1，则a＝t＋1，原不等式转化为（t＋1）·f（t）≥0， ①当t＝－1或0时显然成立； ②由解得t≤－2； ③由解得－1＜t＜0或t≥2. 综上，t∈（－∞，－2]∪[－1，0]∪[2，＋∞），则实数a的取值范围为（－∞，－1]∪[0，1]∪[3，＋∞）. 15.ABD　对于A，根据狄利克雷函数的定义可知D（D（2））＝D（1）＝1，D（D（））＝D（0）＝1，所以A正确；对于B，易知D（x）的值域为{0，1}，函数f（x）＝的定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），当x∈（－∞，0）时，f（x）＝＝0；当x∈（0，＋∞）时，f（x）＝＝1，即函数f（x）＝的值域为{0，1}，所以B正确；对于C，若x∈Q，则－x∈Q，则D（x）＝D（－x）＝1，若x∈∁RQ，则－x∈∁RQ，则D（x）＝D（－x）＝0，综上可得D（x）＝D（－x），所以C错误；对于D，当x∈Q时，x＋1∈Q，此时D（x＋1）＝D（x）＝1；当x∈∁RQ时，x＋1∈∁RQ，此时D（x＋1）＝D（x）＝0，所以D正确. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $