第2章 微专题 抽象函数求解模型化(学用讲义)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

该高中数学高考复习学案聚焦抽象函数与幂函数、二次函数核心考点，以模型化思想整合基本初等函数模型与抽象函数性质，构建“模型识别-性质应用-问题解决”的递进式知识网络，通过一题多解对比（常规解法与模型解法）和任务驱动设计，引导学生自主推导函数规律，形成系统化认知框架。 亮点在于诊断性自测与个性化提升设计，开篇设置模型匹配诊断题，例题标注“一题多解”培养数学思维（逻辑推理），强化训练含多选、开放题（如第5题构造函数）发展数学语言（模型观念）。每个模块配反思总结表，学生记录模型应用误区，教师可通过学情数据精准指导，助力学生自主诊断提升，实现因材施教。

多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+款辅专家 微专题 抽象函数求解模型化 所谓抽象函数，是指没有明确给出函数表达式，只给出它具有的某些特征或性质，并用一种符 号表示的函数.抽象函数是由特殊的、具体的函数抽象而得到的，我们所遇到的抽象函数都是以中学 阶段所学的基本初等函数为背景抽象而得到的，解决此类问题，若能从研究抽象函数的“模型”入 手，根据题设中抽象函数的性质，通过类比猜想出它可能为某种基本初等函数，变抽象为具体，变 陌生为熟知，会起到事半功倍的效果 常见的抽象函数对应的基本初等函数模型如下： 基本初等函数模型 抽象函数性质 一次函数f(x)=+b(k≠0) f(x±y)=f(x)±f(y)干b 二次函数f(x)=ax2+bx十c(a f(x+y)=f(x)+f(y)+2axy-c ≠0) 幂函数f(x)=xn f)=ff)或f亭)=哥 指数函数f(x)=ar(a>0且a fx+)=f)f)或fx-)= ≠1) 对数函数f(x)=logx(a>0且f(xy)=f(x)+f(y)或f(音)=∫(x)-f(y)或f(xm) a≠1) =mf (x) 余弦函数f(x)=Acos x(Aow≠f(x)+f(y)=f(警)·f(字)或f(x+y)+f(x- 0) y)=af(x)·f(y) 正切函数f(x)=tanx f )+f (y】 f(x+y)=1f(x(y) 已一次函数模型 侧1〔一题多解](2026·重庆学业质量调研)已知定义在R上的函数f(x)满足：∫(：十)=f (:)+f(x2),且当x>0时，f(x)<0.则关于x的不等式f(x2)+f(2x)≥0的解集为 () A.[-2,0] B.[0,2] C.(-∞，-2]U[0,+∞) D.(-∞，0]U[2,+∞) 1/10 独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.Zxxk.om● 您身边的互联网+款辅专家 听课记录 日二次函数模型 例2〔一题多解]定义在R上的函数∫(x)满足f(x十y)=∫(x)+f(y)十2，∫(1)=2，则f (-3)=( ) A.2 B.3 C.6 D.9 听课记录… 。-。-w--。。--。。。。--。--。 目幂函数模型 圆3〔一题多解]已知函数∫(x)对任意实数x,y都有f(y)=∫(x)f(y)，且f(27)=9,当 0≤x<1时，f(x)∈[0,1).若a≥0且f(a十1)≤5，则a的取值范围为 听课记录 四指数函数模型 圆4〔一题多解]已知函数f(x)对于一切实数x,y满足f(0)≠0，f(x十y)=f(x)f(y), 且当x<0时，f(x)>1.则当x>0时，f(x)的取值范围为 听课记录 国对数函数模型 圆5〔一题多解]已知函数f(x)是定义域为(0，十∞)的增函数，满足f(4)=1,∫(xy)=f (x)+f(y),若f(x)+f(x一3)≤1，则x的取值范围为 听课记录 因余弦函数模型 2/10 ·独家授权侵权必究 学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 例6〔一题多解](2022·新高考Ⅱ卷8题)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)+∫(x一 22 )=fx)f),f1)=1,则)=() A.-3 B.-2 C.0 D.1 听课记录 ◇强化训练m 1.已知函数f(x)的定义域为（一∞，0）U(0,十o),且f(x)=(y+1)f(y十1)，则 A.f(x)≥0 B.f(1)=1 C.f(x)是偶函数D.f(x)没有极值点 2.〔一题多解]已知对于每一对正实数x,y,函数f(x)满足：f(x)十f(y)=f(x十y)一y 1,若f(1)=1,则满足f(n)=n(n∈N*)的n的个数是() A.1 B.2C.3 D.4 3.(2026·河南焦作质检)已知函数f(x)的定义域为R,且对任意1，x2∈R都有f(1十2)= 100f(x1)f(x2),则下列结论一定正确的是() A.f(x)是偶函数 B.f(x)是周期函数 C.存在常数k,对任意x∈R,都有f(x+1)=f(x) D.对任意m∈R,存在xo∈R,使得f(xo)=m 4.〔一题多解]〔多选](2026·江西南昌模拟)己知函数f(x)对任意的x,y∈R,都有f(x十 y)+f(x-y)=2f(x)f(y),且f(0)≠0，f(2)=-1,则() A.f(0)=1 B.f(x)是奇函数 100 C.f(x)的周期为4 D.之n2f(n)=5100,n∈N* =1 5.已知函数f(x)满足：①对廿m,n>0,f(m)+f(n)=f(mn);②f(青)=-1.请写出一个 符合上述条件的函数f(x)=」 3/10 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 6.〔一题多解]已知函数f(x)对任意x,y∈R,满足条件f(x)+f(y)=2十f(x十y),且当 x>0时，f(x)>2,f(3)=5,则不等式f(a2-2a-2)<3的解集为 答案 微专题抽象函数求解模型化 【例1】A法一（常规解法）由题意得f孔（一x)十x2]=f(x一）+∫(x2),即f(x)一f(2)= f(x1一x2),不妨令>2，则1一x2>0,所以f(x1一x2)<0,即f(x)一f(x2)<0,f(x)≤f(x2), 故f(x)在R上是减函数.在f(:十x)=∫(x)+f(x)中，令：=2=0，则f(0)=f(0)+f(0), 得f(0)=0.令x1=x,=一x,则f(x一x)=f(x)+f(-x),所以f(x)十f(-x)=0,故f(x)是 奇函数.由f(x2)+f(2x)≥0，得f(x2)≥-f（2x),即f(x2)≥f(-2x),所以x2≤-2x,解得-2≤x ≤0，即x∈[-2,0].故选A. 法二（模型解法)因为f(x1十2)=f(x1)+f(x2),所以可令f(x)=,又当x>0时，f(x)<0, 所以k<0,所以f(x2)+f(2x)≥0可转化为ac2+2≥0，即x2+2x≤0，解得-2≤x≤0，即x∈[-2， 0].故选A. 【例2】C法一（常规解法）f(-3)=f(-1)+f(-2)+4=3f(-1)+6,f(0)=∫(0)+f (0)+0,所以f(0)=0,又f(0)=f(1-1)=∫(1)+f(-1)-2=f(-1)，所以f(-3)=6. 法二（模型解法）由f(x十y)=f(x)+f(y)+2y,设函数f(x)=x2+bx,又由f(1)=2,得b=1, 所以f(x)=x2+x,f（-3)=6. 【例3】[0,2】解析：法-（常规解法）设0≤<2，∴0≤<1，f()=f(·)=f() f(2),0≤x<1时，f(x)∈[0,1)，∴0≤f(爵)<1，f()<f(),故f(x)在[0，+ ∞)上单调递增.f(27)=f(3×9)=f(3)×f(9)=f(3)×f(3)×f(3)=f(3)]3=9,f(3) =5,f(a十1)≤5，f(a十1)≤f(3),又a≥0，a十1≤3，即a≤2，故a的取值范围为[0， 2]. 法二（模型解法）由f()=∫(x)fy)，可设函数f(x)=x,由f(27)=9,得n=号，即f(x)= x,满足当0≤x<1时，f(x)∈[0,1).由f(a十1)≤，得(a十1)≤5，即(a+1)≤3，即a +1≤3，得a≤2，又a≥0，故a的取值范围为[0,2]. 【例4】(0,1)解析：法一（常规解法）对于一切x,y∈R,(x十y)=f(x)f(y)且f(0)≠ 0,令x=y=0,则f(0)=1,设x>0,则-x<0,f(-x)>1,又f(0)=f(x-x)=f(x)f(-x) =1,f(-x)=>1,.0≤f(x)<1. 4/10 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 法二（模型解法）由f(x十y)=f(x)f(y),可设函数f(x)=a(a>0,且a≠1)，由当x<0时，f (x)>1,结合指数函数的图象特征知0<a<1,故当x>0时，f(x)的取值范围为(0,1). 【例5】(3,4]解析：法一（常规解法） f(x)+f(x-3)=∫(x(x一3))≤1=f(4),又f(x)是定义域为(0，十∞)的增函数，. (xx-3)≤4， x-3>0, →3<x≤4，x的取值范围为(3,4] (x>0 法二（模型解法)由f(y)=f(x)+f(y),可设函数f(x)=logx(a>0,且a≠1).由f(4)=1,得 a=4,则f(x)=log4x,由f(x)+f(x-3)≤1，得1og4x+log4(x一3)≤1，即log4[x(x-3)]≤1，故 [xx-3)≤4， x-3>0, 解得3<x≤4，故x的取值范围为(3,4]. x>0, 【例6】A法一（常规解法）因为f(1)=1,所以在f(x+y)+f(x-y)=f(x)fy)中，令y=1, 得f(x+1)+f(x-1)=f(x)·f(1),所以f(x+1)+f(x-1)=f(x)①，所以f(x+2)+f (x)=f(x+1)②.由①②相加，得f(x+2)+f(x-1)=0,故f(x+3)+f(x)=0,所以f(x+3) =一f(x),所以f(x十6)=-f(x十3)=f(x)，所以函数f(x)的一个周期为6.在f(x十y)+f(x y)=f(x)f(y)中，令x=1,y=0,得f(1)+f(1)=f(1)f(0),所以f(0)=2.令x=1,y=1,得 f(2)+f(0)=f(1)·f(1),所以f(2)=-1.由f(x+3)=-f(x),得f(3)=-f(0)=-2,f (4)=-f(1)=-1,f(5)=-f(2)=1,f(6)=-f(3)=2,所以f(1)+f(2)+..+f(6)= 1一1一2一1十1+2=0，根据函数的周期性知， 盟rw=r心打@+打e灯=112-1= 一3，故选A. 法二（模型解法）由f(x十y)+f(x-y)=f(x)f(y)，可设函数f(x)=2 cos wx,由f(1)=1,得 2c0sω=1，取w=号十2m,n∈乙，令n=0,得w=号，则f(x)=2cos号满足题意，可得∫(x)的周期T= D/2十o0由于23x6+4所以231D/2 (4)=1-1-2-1=-3.故选A. 强化训练 1.D 2.A法一（常规解法）令y=1,则f(x十1)=f(x)+x+2,即f(x十1)一f(x)=x+2,所以f(x) f(x-1)=x+1,f(x-1)-f(x-2)=x,,f(2)-f(1)=3,累加得f()一f(1)=44,则 2 f(x)=s3-1,所以f(n)=3-1,又f(n)=n,解得n=一2或n=1,又n∈N,所以n=1. 2 2 故选A. 5/10 ·独家授权侵权必究。 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+款辅专家 法二（模型解法）由f(x)+f(y)=f(x十y)-y-1,可设函数f(x)=x2+bx一1，由f(1)=1,得 b=,故f(x)=x2+2x-1,由f(n)=m,即3n2+号n-1=,解得n=-2或n=1,又n∈N,所以n =1.故选A. 3.C令f(x)=10r-2,因为f(x1十x2)=101+8?2,100f(x1)f(x2)=100×101x?4=101x:2,所以f (x)=10r-2满足f(:1十x2)=100f(1)f(x2).对于A,因为f(x)=10r-2不是偶函数，故A错误；对 于B,因为f(x)=10-2不是周期函数，故B错误；对于C,令1=x,2=1,则f(x十1)=100f(x)f (1),令k=100f(1),所以存在常数k,对任意x∈R,都有f(x十1)=(x),故C正确；对于D,因 为f(x)=10-2>0,故m<0时，不存在x∈R,使得f(xo)=m,故D错误. 4.ACD法-（赋值法）由f(x十y)+f(x-y)=2f(x)f(y)，令x=y=0,则2f(0)=2f(0)]2, 又f(0)≠0，所以f(0)=1,故A正确；令x=0,则f(y)+f(-y)=2f(0)f(y)=2f(y),所以f (-y)=f(y),所以f(x)是偶函数，故B错误；令x=y=1,则f(2)+f(0)=2f(1)]2=0,所以f (1)=0,令y=1,则f(x+1)+f(x-1)=2f(x)f(1)=0,所以f(x+1)=-f(x-1),即f(x+ 2)=一f(x)，所以f(x十4)=一f(x十2)=f(x),所以f(x)的周期为4，故C正确；由f(x十2)= 100 -f(x)，得f(3)=-f(1)=0,f(4)=-(2)=1,所以Σnf(n)=-22+42-62+82--982+ 1002=(2+4)(-2+4)+(6+8)(-6+8)+..+(98+100)(-98+100)=2×(2+4+6+..+ 98十100)=2X2+1000=5100,故D正确.故选A、C、D. 法二（模型解法）由f(x十y)十f(x一y)=2f(x)f(y),可设f(x)=COS x,由法一得，f(0)=1. 又因为f(2)=-1,知f(x)=cosx满足题意，所以f(x)=cos号x是以4为周期的偶函数，故A、C正 100 100 确，B错误；对于D, mfmW）=三i0s号=-2+-6+82--982+102=2+4)（-2+4)+ (6+8)(-6+8)+.+(98+100)(-98+100)=2×(2+4+6+.…+98+100)=2x2+10050=5 2 100,故D正确，故选A、C、D. 5.log2x(答案不唯一) 6.{a|一1<a<3}解析：法一（常规解法） 设1<x2,则x2一x1>0,当x>0时，f(x)>2,f(x2一x1)>2,则f(x2)=f(x2一)十1]=f (x2-x1)+f(x)-2>2+f(1)-2=f(x)，即f(x2)>f(x1),f(x)为增函数.f(3)=f(2十 1)=f(2)+f(1)-2=[f(1)+f(1)-2]+f(1)-2=3f(1)-4,又f(3)=5,f(1)=3.∴f (a2-2a-2)<f(1),∴.a2-2a-2<1,即a2-2a-3<0,解得不等式的解集为{a|-1<a<3}. 法二（模型解法）由f(x)+f(y)=2+f(x+y),即f(x十y)=f(x)+f(y)一2，可设函数f(x)= ax十2(k≠0)，由f(3)=5,得3十2=5，k=1,即f(x)=x十2，满足当x>0时，f(x)>2,则不等式 6/10 ·独家授权侵权必究 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 f(a2-2a-2)<3可化为a2-2a-2+2<3,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3,故不等式的解集为{a|- 1<a<3}. 第5节幂函数与二次函数 【夯实必备知识】 知识梳理 1.(1)y=xa(3)②(1,1)(0,0)③(1,1)④奇函数偶函数 2.(1)2+bx+c（2)(h,k)(3)零点 3.（-贵，+∞)(-贵，+∞)一号 诊断自测 1.(1)×(2)√(3)×(4)√ 2.A3.A4.D5.f(x)=x2-4x 【研透核心考点】 考点1 1.D2.CD3.D 4.(-∞，-1)U(号，是) 考点2 【例1】解：法一（利用二次函数的一般式）设f(x)=a2+bx十c(a≠0). 14a+2b+c=-1, 【a=-4, a-b+c=-1, 由题意得 4gb=8, 解得 b=4, 八4a c=7. 故所求二次函数解析式为f(x)=一4x2+4x十7. 法二（利用二次函数的顶点式）设f(x)=a(x一m)2十n(a≠0). f(2)=f(-1), “二次函数图象的对称轴为x=斗=， 2 m=奇，又根据题意函数有最大值8，n=8, fx)=a(x-)2+8 f(2)=-1,·a(2-)2+8=-1,解得a=-4, f()=-4(x-)2+8=-42++7. 法三（利用二次函数的零点式)由已知f(x)十1=0的两根为1=2，x2=一1， 故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0)， 7/10 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8，即4a2a=8. 4 解得a=-4或a=0（舍去)， 故所求函数解析式为f(x)=一4x2+4x十7. 训练1(1)B（2)x2-4x+3 解析：(1)（一般式）设f(x)=ax2+bx十c(a≠0)，则P(x)=2ax十b,由f(x)=x2+f(x)一1 (a=1, 1a=1, 可得ax2+bx+c=x2+2ax+(b-1),所 b=2a,解得b=2,国此fx)=2+2x+1.故选B. c=b-1, (c=1, (2)(零点式)因为f(2一x)=f(2十x)对x∈R恒成立，所以f(x)的对称轴为x=2.又因为f(x)的 图象在x轴上截得的线段长为2，所以f(x)=0的两根为1和3.设f(x)=a(x一1)(x-3)(a≠0).又 因为f(x)的图象经过点(4,3)，所以3a=3,a=1.所以所求二次函数的解析式为f(x)=(x一1) (x-3),即f(x)=x2-4x+3. 考点3 【例2】(1)C(2)AD 解析：(1)因为f(x)的对称轴为x=一竞，f(0)=a>0,所以f(x)的大致图象如图所示，由f(m) <0,得-1<m<0,所以m+1>0,所以f(m十1)>f(0)>0. (2)因为图象与x轴交于两点，所以b2-4ac>0,即b2>4a0,A正确；对称轴为x=-1,即-贵=-1， 2a一b=0,B错误；结合图象，当x=一1时，y>0,即a-b十c>0,C错误；由对称轴为x=一1知，b= 2a.根据抛物线开口向下，知a<0,所以5a<2a,即5a<b,D正确. 【例3】解：f(x)的对称轴为x=壹， ①当号≥2，即t≥4时，f(x)在[-1,2]上单调递减，所以f(x)mm=f(2)=3-2i; ②当-1<<2，即-2<1K4时，f(x)m=f()=-1-号： ③当号≤-1，即≤-2时，f(x)在[-1,2]上单调递增，所以f(x)mm=f(-1)=t |t,t≤-2， 综上，g(t)= -1-号，-2<t<4, 3-2t,t24. 训练2(1)D(2)C(3)B 8/10 ·独家授权侵权必究· 多学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 解析：(1)A中，a<0,b<0,c<0,不符合题意；B中，a<0,b>0,c>0,不符合题意；C中，a>0, b>0,c<0,不符合题意；D中，a>0,b<0,c<0,符合题意，故选D. (2)由f(2十x)=f(2一x)可知，函数f(x)图象的对称轴为直线x=2,又函数f(x)在[0,2]上单调递 增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4. (3) 25 4 设f(x)=x2-3x一4=(x一昌)2-要，x∈R,所以f(x)的图象是开口向上的抛物线，其对称轴方程为x =,如图所示，所以f()=一空，易知f(-1)寸(4)=0，由图可知，要使函数y=x2-3x一4的定 义域是-1，m,值域为[-平，0]，则m的取值范围是[号，4]. 衔接教材 【例】解：令f(x)=x2+(m-3)x十m. （f(2)=3m-2<0, (1)若方程2+(m-3)x十m=0的一个根小于2，一个根大于4，则f4)=5m+4<0, 解得m<一， 故m的取值范围为（一，一）· 4=(m-32-4m>0, (2)由题意得 3-m>0, 解得0<m<1. m>0, 故m的取值范围为(0,1). (3)若方程x2+(m一3)x十m=0的一个根在(-2,0)内，另一个根在(0,4)内， 1f(-2)=-m+10>0, 则f0)=m<0, (f(4)=5m+4>0, 解得-<m<0。 故m的取值范围为（一号，0）· (4)若方程x2+(m一3)x十m=0的两个根都在(0,2)内， 1f(2)=3m-2>0, f(0)=m>0, 则 0<-<2, (4=(m-3P-4m>0, 解得号<m<1. 9/10 独家授权侵权必究· 多学科网书城四 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com● 您身边的互联网+教辅专家 故m的取值范围为（号，1）· 10/10 ·独家授权侵权必究