第1章 第6节 一元二次不等式及其解法(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

**基本信息** 聚焦一元二次不等式解法，通过分层题型系统构建“基础解法-含参讨论-综合应用”逻辑链，渗透分类讨论与函数思想，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础解法|1-5、7题|分式/绝对值不等式转化、因式分解法|从整式到分式/绝对值不等式，体现化归思想| |含参不等式|6、9题|参数分类讨论（a=0,a>0,a<0）|依据参数影响解集形式分层突破| |综合应用|10-15题|函数建模、恒成立问题转化、实际应用|联结不等式与函数、方程，强化应用意识|

第6节　一元二次不等式及其解法 （时间：60分钟，满分：91分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.（2025·全国Ⅱ卷4题）不等式≥2的解集是（　　） A.{x｜－2≤x≤1} B.{x｜x≤－2} C.{x｜－2≤x＜1} D.{x｜x＞1} 2.（2026·福建泉州月考）设x∈R，使得不等式x2－2x－8＜0成立的一个充分不必要条件是（　　） A.－2＜x＜4 B.x＞－2 C.2≤x≤3 D.x＜4 3.不等式｜x｜（1－2x）＞0的解集为（　　） A.（－∞，0）∪（ 0，） B.（ －∞，） C.（ ，＋∞） D.（ 0，） 4.不等式（x2－2x－3）（x2＋4x＋4）＜0的解集是（　　） A.{x｜x＜－1或x＞3} B.{x｜－1＜x＜2或2＜x＜3} C.{x｜－1＜x＜3} D.{x｜－2＜x＜3} 5.若关于x的不等式x2－2ax－8a2＜0（a＞0）的解集为{x｜x1＜x＜x2}，且x2－x1＝15，则a的值为（　　） A. B.1 C.2 D. 6.〔多选〕解关于x的不等式ax2＋（2－4a）x－8＞0，则下列说法中正确的是（　　） A.当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＞4} B.当a＜0时，不等式的解集为{x｜x＞4或x＜－} C.当a＜0时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4} D.当a＝－时，不等式的解集为⌀ 7.不等式1≤｜2x－1｜＜2的解集为　　　　. 8.若不等式（a2－4）x2＋（a＋2）x－1≥0的解集是空集，则实数a的取值范围为　　　　. 9.（10分）若a＜3，求关于x的不等式ax2－3x＋2＞ax－1的解集. 10.当0≤p≤4时，不等式x2＋px＞4x＋p－3恒成立，则x的取值范围是（　　） A.[－1，3]　　　　　　 B.（－∞，－1] C.[3，＋∞） D.（－∞，－1）∪（3，＋∞） 11.（2026·江西南昌模拟）为配制一种药液，进行了两次稀释，先在体积为V的桶中盛满纯药液，第一次将桶中药液倒出5升后用水补满，搅拌均匀，第二次倒出3升后用水补满，若在第二次稀释后桶中药液含量不超过容积的75％，则V的取值范围为（　　） A.（5，10] B.（5，15] C.（5，20] D.（5，30] 12.若关于x的不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0的解集中恰有4个整数，则实数m的取值范围为（　　） A.（6，7] B.[－3，－2） C.[－3，－2）∪（6，7] D.[－3，7] 13.若函数f（x）＝ax2＋20x＋14（a＞0）对任意实数t，在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，则实数a的最小值为　　　　. 14.（15分）设函数f（x）＝ax2＋bx＋3，关于x的一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－3，1）. （1）求不等式x2＋ax＋b＞0的解集； （2）若∀x∈[－1，3]，f（x）≥mx2，求实数m的取值范围. 15.〔创新设问〕已知函数f（x）＝x｜x－a｜－2a2.若当x＞2时，f（x）＞0，则实数a的取值范围是（　　） A.（－∞，1] B.[－2，1] C.[－1，2] D.[－1，＋∞） 答案 第6节　一元二次不等式及其解法 1.C　2.C　3.A　4.C　5.D　 6.AD　当a＝0时，不等式为2x－8＞0，解得x＞4，故选项A正确；由ax2＋（2－4a）x－8＞0可得（ax＋2）·（x－4）＞0，当即a＜－时，不等式的解集为{x｜－＜x＜4}；当即－＜a＜0时，不等式的解集为{x｜4＜x＜－}；当a＝－时，－＝4，此时不等式的解集为⌀，故选项B、C不正确，选项D正确.故选A、D. 7.（ －，0］∪［1，）　8.［－2，） 9.解：ax2－3x＋2＞ax－1⇒ax2－（a＋3）x＋3＞0⇒（ax－3）（x－1）＞0， 当a＝0时，不等式化为x－1＜0，不等式的解集为{x｜x＜1}； 当a＜0时，不等式化为（ x－）（x－1）＜0，不等式的解集为{x｜＜x＜1}； 当0＜a＜3时，＞1，不等式化为（ x－）（x－1）＞0，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞}. 综上，当a＜0时，不等式的解集为{x｜＜x＜1}；当a＝0时，不等式的解集为{x｜x＜1}； 当0＜a＜3时，不等式的解集为{x｜x＜1或x＞}. 10.D　不等式x2＋px＞4x＋p－3可化为（x－1）p＋x2－4x＋3＞0，令f（p）＝（x－1）p＋x2－4x＋3（0≤p≤4）， 则 ∴x＜－1或x＞3. 11.D　第一次稀释后，药液浓度为，第二次稀释后，药液浓度为＝，依题意有≤75%，即V2－32V＋60≤0，解得2≤V≤30，又V－5＞0，即V＞5，所以5＜V≤30.故选D. 12.C　不等式x2－（m＋2）x＋2m＜0即（x－2）（x－m）＜0.当m＞2时，不等式解集为（2，m），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是3，4，5，6，故6＜m≤7，当m＝2时，不等式解集为⌀，此时不符合题意；当m＜2时，不等式解集为（m，2），此时要使解集中恰有4个整数，这4个整数只能是－2，－1，0，1，故－3≤m＜－2.故实数m的取值范围为[－3，－2）∪（6，7].故选C. 13.8　解析： 因为a＞0，所以二次函数f（x）＝ax2＋20x＋14的图象开口向上.在闭区间[t－1，t＋1]上总存在两实数x1，x2，使得｜f（x1）－f（x2）｜≥8成立，只需t＝－时，f（t＋1）－f（t）≥8，即a（t＋1）2＋20（t＋1）＋14－（at2＋20t＋14）≥8，整理得2at＋a＋20≥8，将t＝－代入解得a≥8.所以a的最小值为8. 14.解：（1）因为一元二次不等式f（x）＞0的解集为（－3，1）， 所以－3和1是方程ax2＋bx＋3＝0的两个实根，则解得 因此所求不等式即为x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2，故所求不等式的解集为{x｜x＜－1或x＞2}. （2）f（x）≥mx2可化为（m＋1）x2≤－2x＋3，当x＝0时显然成立； 当x≠0时，不等式可化为m＋1≤－＋3（ ）2对∀x∈[－1，0）∪（0，3]恒成立， 令t＝∈（－∞，－1]∪［，＋∞），则m＋1≤－2t＋3t2， 当t＝，即x＝3时，（－2t＋3t2）min＝－， 所以m＋1≤－，即m≤－. 故实数m的取值范围为（ －∞，－］. 15.B　f（x）＝x｜x－a｜－2a2＝若a＞2，当2＜x＜a时，f（x）＝－x2＋ax－2a2，此时关于x的方程－x2＋ax－2a2＝0的Δ＝a2－4×2a2＝－7a2＜0，所以f（x）＜0，不符合题意；若0＜a≤2，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2＝（x－2a）（x＋a）＞0，解得x＞2a，则2a≤2，即0＜a≤1；若a＝0，当x＞2时，f（x）＝x2＞0恒成立，符合题意；若a＜0，当x＞2时，由f（x）＝x2－ax－2a2＝（x－2a）·（x＋a）＞0，解得x＞－a，则－a≤2，即－2≤a＜0.综上，－2≤a≤1，故a的取值范围是[－2，1]. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $