第1章 第4节 基本不等式(课时跟踪检测)-【优学精研】2027年高考数学一轮总复习学用Word

**基本信息** 以“一正二定三相等”为核心，通过基础应用、条件最值、实际建模及综合拓展四级递进，系统提炼配凑、代换、换元等方法，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-5题|定义辨析、直接求最值|从不等式成立条件到基本形式应用，构建概念认知| |条件最值|6-9题|常数代换、配凑法|结合方程变形（如2x+8y=xy→8/x+2/y=1），强化“定和定积”转化| |实际应用|4、14题|建模分析、函数求最值|联系运输成本等实际场景，培养应用意识| |综合拓展|8、13题|换元法、导数法|一题多解（代数换元/导数），提升思维灵活性|

第4节　基本不等式 （时间：60分钟，满分：96分） [备注：单选、填空题5分，多选题6分] 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x≥2y B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y 2.若a，b都是正数，则的最小值为（　　） A.5 B.7 C.9 D.13 3.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝2，则xy（　　） A.有最大值为1 B.有最小值为1 C.有最大值为 D.有最小值为 4.要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是（　　） A.80元 B.120元 C.160元 D.240元 5.已知a，b为正数，4a2＋b2＝7，则a的最大值为（　　） A. B. C.2 D.2 6.〔多选〕已知a＞0，b＞0，则下列命题正确的是（　　） A.若ab≤1，则＋≥2 B.若a＋b＝4，则＋的最小值为4 C.若a2＋b2＝4，则ab的最大值为2 D.函数y＝a＋的最小值为1 7.函数f（x）＝的最小值为　　　　. 8.〔一题多解〕已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是　　　　. 9.（13分）已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，求： （1）xy的最小值； （2）x＋y的最小值. 10.（2026·江苏连云港模拟）设a＞0，b＞－1，且a＋b＝1，则＋的最小值为（　　） A.1　　　　B.2　　　　 C.4　　　　D.8 11.已知x＞2，且x－y－2＝0，则＋＋的最小值是（　　） A.2 B.3 C.4 D.9 12.〔一题多解〕〔多选〕已知ab＝且a，b∈（0，1），则（　　） A.a2＋b2≥ B.b＋a＞ C.＋≥4 D.a2＋b≥ 13.〔一题多解〕已知实数x，y满足xy＞0，则＋的最大值为　　　　. 14.（15分）甲、乙两地相距1 000 km，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过80 km/h，已知货车每小时的运输成本（单位：元）由可变成本和固定成本组成，可变成本是速度平方的，固定成本为a元. （1）将全程运输成本y（单位：元）表示为速度v（单位：km/h）的函数，并指出这个函数的定义域； （2）为了使全程运输成本最低，货车应以多大的速度行驶？ 15.〔创新设问〕〔多选〕若a，b，c∈R，且ab＋bc＋ca＝1，则下列不等式成立的是（　　） A.a＋b＋c≤　　　　 B.（a＋b＋c）2≥3 C.＋＋≥2 D.a2＋b2＋c2≥1 答案 第4节　基本不等式 1.B　2.C　3.C　4.C　5.D　 6.ABC　因为0＜ab≤1，所以≥1，所以＋≥2≥2，当且仅当a＝b＝1时，等号成立，故A正确；若a＋b＝4，则＋＝（a＋b）（ ＋）＝（ ＋＋10）≥（ 2＋10）＝4，当且仅当a＝1，b＝3时，等号成立，故B正确；若a2＋b2＝4，则ab≤＝2，当且仅当a＝b＝时，等号成立，故C正确；由于a＞0，所以y＝a＋＝a＋1＋－1≥1，当且仅当a＋1＝，即a＝－2或a＝0时等号成立，这与已知条件矛盾，故D错误.故选A、B、C. 7.2 8.　解析：法一　∵5x2y2＋y4＝1，∴y≠0且x2＝，∴x2＋y2＝＋y2＝＋≥2＝，当且仅当＝，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值为. 法二　由5x2y2＋y4＝1，可得y2（5x2＋y2）＝1，即4y2（5x2＋y2）＝4，又4＝4y2（5x2＋y2）≤［］2＝（x2＋y2）2，∴（x2＋y2）2≥，即x2＋y2≥，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝，y2＝时取等号，∴x2＋y2的最小值是. 9.解：（1）由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得＋＝1. 则1＝＋≥2 ＝，得xy≥64， 当且仅当即x＝16且y＝4时，等号成立， 所以xy的最小值为64. （2）由x＞0，y＞0，2x＋8y－xy＝0，得＋＝1， 则x＋y＝（x＋y） ＝10＋＋≥10＋2 ＝18. 当且仅当即x＝12且y＝6时，等号成立， 所以x＋y的最小值为18. 10.B　因为a＞0，b＞－1，则b＋1＞0，因为a＋b＝1，则a＋（b＋1）＝2，所以＋＝[a＋（b＋1）]（ ＋）＝（ 2＋＋）≥（ 2＋2）＝2，当且仅当即a＝1，b＝0时，等号成立，因此＋的最小值为2. 11.D　由题意得x＝y＋2＞2，所以y＞0，又因为＋＋＝（ ＋）2，＋＝＋＝＋＋1≥2＋1＝3（当且仅当y＝2时取等号），所以＋的最小值为3，所以＋＋的最小值是9. 12.ACD　a2＋b2≥2ab＝，当且仅当a＝b＝时，等号成立，A正确；由ab＝，得b＝，所以b＋a＝＋≥2＝，当且仅当＝，即a＝，b＝时等号成立，B错误；法一　＋＝＝4（a＋b）≥8＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立.法二　＋≥2＝4，当且仅当a＝b＝时，等号成立，C正确；由ab＝，得b＝，所以a2＋b＝a2＋，令f（a）＝a2＋.因为ab＝且a，b∈（0，1），所以＜a＜1，则f'（a）＝2a－＝，令f'（a）＝0，得a＝，当＜a＜时，f'（a）＜0；当＜a＜1时，f'（a）＞0，所以函数f（a）在（ ，）上单调递减，在（ ，1）上单调递增，所以f（a）在（ ，1）上存在最小值，且最小值为f（ ）＝，所以a2＋b≥，D正确.综上，选A、C、D. 13.4－2　解析：法一（整体换元，化繁为简） 设⇒⇒km＝2－2k－2m＋2mk（0＜k＜1，0＜m＜1），所以k＝，则原式＝k＋m＝＋m＝4＋＋m－2＝4－［＋（2－m）］≤4－2，当且仅当＝2－m，即m＝2－时，等号成立. 法二（局部换元，化难为易）　设⇒（s，t同号），原式＝＋＝4－（ ＋）≤4－2，当且仅当＝，即t＝s时，等号成立. 法三（化归函数，导数求解）　令a＝（a＞0），原式＝＋＝＋＝＋，令F（a）＝＋（a＞0），则F'（a）＝－＋，令F'（a）＝0，则a＝（舍负），所以F（a）在（ 0，）上单调递增，在（ ，＋∞）上单调递减，所以F（a）max＝4－2，即原式最大值为4－2. 14.解：（1）由题意得可变成本为v2元，固定成本为a元，所用时间为 h， 所以y＝（ v2＋a）＝1 000（ v＋），定义域为（0，80]. （2）y＝1 000（ v＋）≥1 000×2＝1 000（元），当v＝时，得v＝2，因为0＜v≤80， 所以当0＜a≤1 600时，货车以v＝2 km/h的速度行驶，全程运输成本最低； 当a≥1 600时，函数y＝1 000（ v＋）在（0，80]上单调递减，故货车以80 km/h的速度行驶，全程运输成本最低. 15.BD　由基本不等式可得a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，∴2（a2＋b2＋c2）≥2（ab＋bc＋ca）＝2，∴a2＋b2＋c2≥1，当且仅当a＝b＝c＝±时，等号成立.∴（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2（ab＋bc＋ca）≥3，∴a＋b＋c≤－或a＋b＋c≥.若a＝b＝c＝－，则＋＋＝－3＜2.因此A、C错误，B、D正确. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $