暑假作业12 空间直线、平面的垂直（巩固培优,5知识8题型巩固提升+能力培优+创新拓展）高一数学人教A版

**基本信息** 空间直线、平面垂直专项训练，以垂直关系转化为核心，系统整合判定定理与空间角、距离求法，通过分层题型实现从概念到应用的逻辑递进。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |垂直关系判定|15题（含折叠/翻折模型）|线线→线面→面面垂直转化，三垂线定理应用|定义→性质与判定定理→垂直关系转化链| |空间角计算|10题（含正方体/棱锥模型）|线面角用垂线法/等体积法，二面角用定义法/垂面法|空间角定义→几何法构造→解三角形计算| |空间距离求解|8题（含等体积法应用）|线面/面面距离转化为点面距离，中点转化法|距离定义→转化思想→等体积法计算|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业12 空间直线、平面的垂直 【知识点1 直线与平面垂直】 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的 直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作 . (2)性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线 ⇒a∥b 判定定理 如果一条直线与一个平面内的 垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 注意：“任何一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直. 【知识点2 直线和平面所成的角】 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. (2)范围：. 【知识点3 二面角与面面垂直】 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是 ，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作： . (3)性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的 ，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 判定定理 如果一个平面过另一个平面的 ，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 注意：三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 常用结论： (1)过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 【知识点4 线面角与二面角的平面角的求法】 1.线面角的求法 (1)垂线法求线面角(也称直接法) ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O； ②连接斜足与垂足得斜线AB在平面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB化归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者解直角三角形). (2)公式法求线面角(也称等体积法) 用等体积法，求出斜线 在面外的一点P到面的距离，利用直角三角形的正弦公式进行求解. 公式为：sin θ＝，其中θ是斜线与平面的夹角，h是垂线段的长，l是斜线段的长. 2.二面角的求法 （1）定义法：棱上一点，两面内各作棱的垂线，直接构造平面角； （2）三垂线法：过一面内一点向棱作垂线，再向另一面作垂线，连线构造平面角（最常用）； （3）垂面法：作棱的垂面，垂面与两面的交线夹角即为二面角。 常用结论： (1)三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 【知识点5 三种空间距离的几何法求解】 空间中的距离 定义 求解思路 点面 1. 过一点作 垂直 于已知平面的直线，则该点与 垂足 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度 叫做这个点到该平面的距离。 1. 定义法 利用定义，确定所求距离是哪一条线段，进而通过解三角形进行求解 2. 转化思想 （1） 常用：等体积法 （2） 线面距离、面面距离转化为点面距离 （3） 利用中点转化：如果条件中具有中点条件，一个点到平面的距离，可借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离 线面 2. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。 面面 3. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。 【题型1 线面垂直判定与证明】 1．（2026·高一下·上海）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 2．（2026·高一下·江西）如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 3．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 4．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【题型2 线线垂直判定与证明】 1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 4．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）是矩形平面外一点，分别是的中点，    (1)求证：平面， (2)若SD⊥平面，求证：⊥. 5．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）如图，三棱柱中，，，.    (1)证明：； (2)若，，求三棱锥的体积. 【题型3 面面垂直的判定与证明】 1．（25-26高一下·天津蓟州·期中）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 2．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 4．（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 【题型4 面面垂直的性质定理及应用】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四面体中，已知，，那么顶点在平面内的射影必在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部 2．（2026·北京丰台·一模）如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 3．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是四边形所在平面外的一点，为的中点，四边形是且边长为的菱形，为正三角形，且平面平面．求证： (1)平面； (2)． 4．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. 【题型5 直线与平面所成的角】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 2．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026高一下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥中，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【题型6 二面角的计算】 1．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·陕西·期中）如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（   ） A． B． C．4 D． 3．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【题型7 点到平面的距离】 1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在长方体中，，，则点到平面的距离等于（    ） A． B． C．1 D． 3．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 4．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【题型8 线到平面、平面到平面的距离】 1．（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 4．（25-26高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 1．（25-26高二下·湖南郴州·期中）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m，则m⊥ C．若m⊥，mn，n，则⊥ D．若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（   ） ①平面；②；③平面；④与相交 A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高一下·福建厦门·期中）在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 4．（25-26高一下·湖北·期末）在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 5．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·甘肃张掖·期末）如图，平面平面，四边形为矩形，且，，的面积为3.若点E是线段AD上一点，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D．1 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）（多选题）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选题）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 11．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________. 12．（25-26高一下·黑龙江·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 13．（2026·北京·三模）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 14．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 1．（2026·高一下·河北沧州·）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 2．（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 3．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）（多选题）如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 4．（25-26高一下·山东淄博·期中）（多选题）如图，将棱长为2的正方体挖去一部分，得到几何体，，交于点，则下列说法正确的是（    ） A．几何体的体积为 B．，是异面直线 C． D．点到平面的距离为 5．（25-26高一下·广东广州·期中）如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边三角形． (1)证明：平面面；(2)若，求直线和所成角的余弦值； (3)点在棱上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 6．（25-26高一下·天津·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，，， (1)求证：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业12 空间直线、平面的垂直 【知识点1 直线与平面垂直】 (1)直线和平面垂直的定义 如果直线l与平面α内的任何一条直线都垂直，那么称直线l与平面α垂直，记作l⊥α. (2)性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 判定定理 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 注意：“任何一条直线”与“所有直线”是同义的，但与“无数条直线”不同，定义的实质是直线与平面内的所有直线都垂直. 【知识点2 直线和平面所成的角】 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是. (2)范围：. 【知识点3 二面角与面面垂直】 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角． (2)平面与平面垂直的定义 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直.平面α与β垂直，记作：α⊥β. (3)性质定理与判定定理 文字语言 图形表示 符号表示 性质定理 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α 判定定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 ⇒α⊥β 注意：三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 常用结论： (1)过一点有且只有一条直线与一个平面垂直，过一点有且只有一个平面与一条直线垂直. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面. 【知识点4 线面角与二面角的平面角的求法】 1.线面角的求法 (1)垂线法求线面角(也称直接法) ①先确定斜线与平面，找到线面的交点B为斜足；找线在面外的一点A，过点A向平面α做垂线，确定垂足O； ②连接斜足与垂足得斜线AB在平面α上的投影；投影BO与斜线AB之间的夹角为线面角； ③把投影BO与斜线AB化归到一个三角形中进行求解(可能利用余弦定理或者解直角三角形). (2)公式法求线面角(也称等体积法) 用等体积法，求出斜线PA在面外的一点P到面的距离，利用直角三角形的正弦公式进行求解. 公式为：sin θ＝，其中θ是斜线与平面的夹角，h是垂线段的长，l是斜线段的长. 2.二面角的求法 （1）定义法：棱上一点，两面内各作棱的垂线，直接构造平面角； （2）三垂线法：过一面内一点向棱作垂线，再向另一面作垂线，连线构造平面角（最常用）； （3）垂面法：作棱的垂面，垂面与两面的交线夹角即为二面角。 常用结论： (1)三垂线定理 若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直. (2)三垂线定理的逆定理 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直. 【知识点5 三种空间距离的几何法求解】 空间中的距离 定义 求解思路 点面 1. 过一点作 垂直 于已知平面的直线，则该点与 垂足 间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的 长度 叫做这个点到该平面的距离。 1. 定义法 利用定义，确定所求距离是哪一条线段，进而通过解三角形进行求解 2. 转化思想 （1） 常用：等体积法 （2） 线面距离、面面距离转化为点面距离 （3） 利用中点转化：如果条件中具有中点条件，一个点到平面的距离，可借助中点（等分点），转化为另一点到平面的距离 线面 2. 一条直线与一个平面平行时，这条直线上 任意一点 到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离。 面面 3. 如果两个平面平行，那么其中一个平面内的 任意一点 到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。 【题型1 线面垂直判定与证明】 1．（2026·高一下·上海）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，下列条件中，一定得到直线的是（    ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【详解】A：直线可能平行于平面、在平面内或垂直平面，无法确定. B：平行平面，与垂直的直线可在面内，无法确定. C：若一条直线垂直于一个平面，则与这条垂线平行的直线垂直该平面，成立. D：缺少相交的条件，若，可平行于平面或在平面内，不能推出. 2．（2026·高一下·江西）如图，在正方形中，，分别是，的中点，是的中点，现在沿，及把这个正方形折成一个四面体，使，，三点重合，重合后的点记为，则在四面体中必有（    ） A．所在平面 B．所在平面 C．所在平面 D．所在平面 【答案】A 【详解】对于A，在正方形中，，，所以在四面体中，，， 又平面，，所以平面，故选项A正确；对于B，若平面，结合选项A，则，显然矛盾，故选项B错误；对于C，因为面，面，所以， 又，平面，，所以平面，假设平面，则平面平面，显然矛盾，故选项C错误；对于D，因为面，面，所以， 若平面，平面，则，平面，故，显然矛盾，故D错误. 3．（25-26高一下·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是PD的中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； 【答案】(1) 证明：连接交于点，连接；因为底面是矩形，故为中点；又因为M是PD的中点，故；因为平面，平面，故平面； (2)证明：因为平面，平面，故；因为底面是矩形，故； 因为，且平面；故平面，因为平面，故； 又因为，且M是PD的中点，故；因为，且平面， 故平面． 4．（25-26高一下·安徽亳州·阶段检测）如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面． 【答案】(1)如图，连接，交于点，连接．    在长方体中，四边形是矩形，因为对角线与交于点，所以为的中点，又点是棱的中点，所以 ，又平面 平面，所以平面． (2)连接．在长方体中，四边形是矩形，所以 ， 因为点分别是棱的中点，，所以 ，所以四边形是正方形，．在长方体中，平面，又平面，所以． 因为 平面，所以平面． 【题型2 线线垂直判定与证明】 1．（25-26高一下·吉林长春·期中）如图，平面，为正方形，下列结论不正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为平面，平面，所以，，，故D正确；因为为正方形，所以，因为平面，所以平面， 因为平面，所以，故A正确；因为，，平面，所以平面，因为平面，所以，故B正确； 假设，则由平面，得平面， 因为平面，所以，显然不成立，故假设不成立，故C错误. 2．（2026·上海浦东新·三模）如图，在正方体中，点是线段上的动点（含端点），则下列说法中正确的是（   ） A．直线与直线始终异面 B．直线与直线始终垂直 C．存在点使得直线与平面垂直 D．直线与平面始终平行 【答案】D 【详解】对于A：当点M与点D重合时，直线即为BD，而BD与直线相交，故A错误； 对于B：当点M与点重合时，是等边三角形，则直线与直线成，故B错误； 对于C：如图所示： 连接，因为，且，所以平面，又平面，所以，同理，又，则平面， 若平面，则，而，故C错误； 对于D：易知，又平面，平面，所以平面, 同理平面，又，所以平面平面， 又平面，所以平面，故D正确； 3．（24-25高一下·湖北武汉·期中）如图，在四边形ABCD中，△ABD是等边三角形，是以BD为斜边的等腰直角三角形，将△ABD沿对角线BD翻折到，在翻折的过程中    (1)求证：BD⊥PC； (2)若DP⊥BC，求证：PC⊥平面BCD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）取的中点，在等腰中，，为的中点， ∴，在等边中，，又，平面， ∴平面，又平面，∴ （2）∵在中，，又，又，平面 ∴平面，又平面，∴ 又由（1）知（已证），，平面， ∴平面 4．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）是矩形平面外一点，分别是的中点，    (1)求证：平面， (2)若SD⊥平面，求证：⊥. 【答案】(1)如图，连接，因为矩形中，为的中点，故与相交于点，且为的中点，是的中点，故，因为平面，平面，所以平面；    (2)因为SD⊥平面，平面，所以⊥，四边形为矩形，故⊥， 因为，平面，所以⊥平面，因为平面，所以⊥. 5．（25-26高一下·福建漳州·阶段检测）如图，三棱柱中，，，.    (1)证明：； (2)若，，求三棱锥的体积. 【答案】(1)取的中点，连接，因为，所以⊥，又，，所以为等边三角形，故⊥，又，平面，所以⊥平面， 又平面，所以；    (2)1 【详解】（2）因为，故，即为等边三角形，故， 由（1）知，为边长为2的等边三角形，故，又，故，所以， 又⊥，且都在平面内，所以⊥平面，故即为三棱锥的高， 其中，三棱锥的体积为. 【题型3 面面垂直的判定与证明】 1．（25-26高一下·天津蓟州·期中）设表示不同的直线，表示不同的平面，下列命题中正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，且，则 D．若，则 【答案】C 【详解】对于A，若，，则与可能会相交或平行，故A错误； 对于B，若，则可能会平行、相交或异面，故B错误； 对于C，若，且，根据线面垂直的性质可知，故C正确； 对于D，若，则与可能会相交或平行，故D错误. 2．（2026·四川眉山·二模）在三棱锥中，若平面，，则平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有（    ） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 【答案】C 【详解】因为平面，平面，平面平面；因为平面，平面，平面平面；因为平面，平面，所以，又，平面，所以平面， 平面，平面平面； 所以平面、平面、平面、平面中相互垂直的共有3对. 3．（25-26高一下·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是矩形，，，平面，且M是的中点． (1)求证：平面 (2)求证：平面； (3)求证：平面平面． 【答案】(1)连接交于，连接， 四边形是矩形，是的中点， 又M是的中点，，又平面，平面，平面. (2)平面，平面，，又四边形是矩形，， ，，平面，平面，平面，， 又是的中点，，，，，平面，平面. (3)由（2）知：平面，平面，平面平面. 4．（25-26高一下·重庆·期中）在四棱锥中，底面是直角梯形，，，底面，，，点在直线上. (1)求证：平面平面； (2)在直线上找一点，使得平面，并求的长. 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）四边形是直角梯形，， 又平面平面，，且平面平面， 又平面平面平面； （2）连接交于，过作交于，连接，. 由平面平面，得平面可得， 又，直角中，，所以. 【题型4 面面垂直的性质定理及应用】 1．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在四面体中，已知，，那么顶点在平面内的射影必在（   ） A．直线上 B．直线上 C．直线上 D．内部 【答案】A 【详解】因为，，又，所以平面， 又平面，所以平面平面， 因此在平面内的射影必在平面与平面的交线上． 2．（2026·北京丰台·一模）如图，在三棱锥中，和是边长为2的等边三角形，平面平面，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【详解】 设的中点为，因为是边长为2的等边三角形，故且，同理且，故为的平面角，而平面平面， 故，故. 3．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）如图所示，是四边形所在平面外的一点，为的中点，四边形是且边长为的菱形，为正三角形，且平面平面．求证： (1)平面； (2)． 【答案】(1)如图，连接，，∵四边形是菱形且， 是正三角形，为的中点，．又平面平面，且平面平面，平面，平面． (2)由（1）可知，为正三角形，为的中点，，又，，平面，平面，又平面，． 4．（25-26高一下·陕西·期中）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面平面，，，，分别为，的中点.    (1)证明：平面. (2)证明：. 【答案】(1)取的中点，连接，由是的中点，得，， 由是矩形边的中点，得，则， 四边形为平行四边形，，而平面，平面， 所以平面. (2)过作于点，连接，由平面平面，平面平面，平面，得平面，又平面，则，由，，得为的中点，且，则，， ，于是，而平面， 因此平面，又平面，所以. 【题型5 直线与平面所成的角】 1．（2026·山西忻州·模拟预测）已知正四棱锥的底面边长为2，高为，点M为棱的中点，则直线与底面所成角的正切值为（     ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】连接交于点，连接，由正四棱锥的性质可知，，取的中点，连接，是中点，是中点，，底面，故底面， 是在底面的射影，是直线与底面所成角，    则，，，. 底面，底面，，即是直角三角形，． 2．（25-26高一下·辽宁葫芦岛·期中）在长方体中，，，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】找出直线在平面上的射影，从而确定线面角，再通过计算相关线段的长度来求线面角的正弦值. 【详解】在长方体中，平面，则直线与平面所成的角为，且， 因为，，所以，则． 3．（2026高一下·浙江·学业考试）如图，在三棱锥中，，是等边三角形． (1)求证：； (2)若为直角三角形，求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明：如图所示，取中点，连和，因为是等边三角形，则，且，为公共边，所以，所以，且中点，所以， 又因为是等边三角形，所以，因为且平面，所以面，又因为面，所以． (2)． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，设，因为为直角三角形，可得， 又因为是等边三角形，所以，且， 在中，由余弦定理得， 即，可得， 即，解得，所以，所以， 同理可得：，所以， 因为，且平面，所以面， 所以即为直线与平面所成角， 即直线与平面所成角的大小为． 4．（25-26高一下·广东广州·期中）如图，四棱锥中，平面，底面是正方形，，为中点． (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求直线与平面所成角的大小． 【答案】(1)证明：连接，交于点，连接，因为四边形是正方形，所以为中点， 又为中点，所以，因为平面，平面，所以平面． (2)证明：因为四边形是正方形，所以，又平面，平面，所以，，因为平面，所以平面，又平面，所以，在中，因为为中点，则，因为平面， 所以平面． (3) 【详解】（3）因为平面，平面，所以，又四边形是正方形，所以，因为平面，所以平面，连接， 则直线与平面所成角的平面角为，又平面，所以，在正方形中，，因为平面，平面，所以， 因为，所以，在中，，， 所以直线与平面所成角为． 【题型6 二面角的计算】 1．（25-26高一下·广东珠海·阶段检测）已知一个正四棱锥的侧棱与底面所成角的正切值为，则该四棱锥侧面与底面的二面角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正四棱锥为，底面为正方形，侧面为等腰三角形，记为底面中心， 则底面，底面，故，则为侧棱与底面所成角， ，设，则底边长， 侧棱长，取中点，连接，由为等腰三角形可得，故即为该四棱锥侧面与底面的二面角的平面角， ，又底面，底面， ，是直角三角形，． 2．（25-26高一下·陕西·期中）如图，二面角的大小为，，，，，，，且，，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】B 【详解】过，分别作，的平行线，使之交于点，因为，所以，而，二面角的大小为，则，而，，，又平面，所以平面，由，可得平面，又平面，则，则. 3．（25-26高一下·河北沧州·阶段检测）如图，四棱锥的底面为菱形，平面，，. (1)证明：平面平面； (2)求二面角的正切值. 【答案】(1)证明：因为四边形为菱形，所以，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，因为平面，所以平面平面. (2)2 【详解】（1）略； （2）解：如图，设与交于点，连接， 由（1）知平面，因为平面，平面，所以，，因此是二面角的平面角，因为，四边形为菱形，，所以为等边三角形，则，所以，所以，在中，， 即二面角的正切值为2. 4．（25-26高一下·浙江金华·阶段检测）三棱锥中，，，，面面，（坐标法不给分） (1)证明：； (2)若，求二面角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）作于点，∵平面平面，平面平面，平面， 平面，又平面，所以，，为中点．，．，，． （2），，为三棱锥的高，， 作于点，作于点，连． 平面，平面，．，又，平面， 平面，平面，所以．，平面，， 平面，又平面，所以，故为二面角的平面角． ，，． 【题型7 点到平面的距离】 1．（25-26高一下·重庆·阶段检测）如图，在四面体OABC中，，，，，，，为BC的中点，则点到平面OMA的距离为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设点到平面OMA的距离为.，，，平面； 平面，，即是直角三角形；，，，； 为的中点，..，，，平面；为的中点，平面，点到平面的距离为；，，，.，，即，解得.即点到平面OMA的距离为. 2．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）在长方体中，，，则点到平面的距离等于（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【详解】，，则， ，设点到平面的距离为，则，解得. 3．（25-26高二下·广东揭阳·阶段检测）如图，在正三棱柱中，点D是BC的中点，． (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)连接，交点O，连接，则O是的中点， 因为D是的中点，所以，又平面，平面，所以平面. (2)因为为等边三角形，且D是的中点，所以，由正三棱柱的性质知，平面，而平面，所以，又 平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (3)【详解】（1）略（2）略 （3）由（2）知平面，所以点A到平面的距离为， 而 2， 4，                        设点B到平面的距离为d，且， 所以，即 ，解得， 所以到平面的距离为． 4．（25-26高一下·吉林延边·期中）已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形． (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小； (3)求点到平面的距离. 【答案】(1)证明：因为点在底面上的射影是与的交点，所以平面，因为平面，所以，又因为四边形为菱形，所以， 因为，且平面，所以平面． (2)(3) 【详解】（1）略（2）解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为， 又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且， 因为是等边三角形，所以，在直角中，可得， 因为，所以. （3）解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形，所以，且，所以，因为，所以，设点到平面的距离为，由，可得，即，解得，所以点到平面的距离为． 【题型8 线到平面、平面到平面的距离】 1．（24-25高三上·河北·期末）已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 根据题意，如图， 因为，，则，，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面，因为底面为边长为2的正方形，则，平面，平面，所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离，即点N到直线的距离，又，，， 在中，，则， 所以点N到直线的距离为.故选：A． 2．（25-26高一下·贵州贵阳·期末）正方体的棱长为，则平面到平面的距离为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】连接，正方体中，平面，平面，则，正方形中，有，平面，，所以平面， 平面，则有，同理有，平面，， 所以平面，同理有平面，正方体棱长为，则，，设点到平面的距离为，由，    有，解得，即点到平面的距离为2，同理点到平面的距离为2，，则平面到平面的距离为. 故选：B. 3．（25-26高一下·吉林·期末）如图，在直三棱柱中，，，，M为的中点． (1)证明：平面； (2)求直线到平面的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）在直三棱柱中，连接，交于点N，连接，如图： 则N为的中点，而M为的中点，则，又平面，平面， 所以平面． （2）连接，由，得，又平面，平面， 则，又平面，因此平面， 又平面，则，又，则是等腰直角三角形， ，，， ，设点A到平面的距离为d， 由，得，解得， 由平面，得直线到平面的距离即为点A到平面的距离， 所以直线到平面的距离为． 4．（25-26高一下·广东揭阳·期末）如图在直三棱柱中，，，，E是上的一点，且，D、F、G分别是、、的中点，与相交于． (1)求证：平面； (2)求平面与平面的距离． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）证明：由直三棱柱的性质得平面平面，又，平面平面，平面，平面，又平面，，， 在和中，，，即，又，平面平面． （2）解：由题意知，在中，，又，， 平面，平面，平面，、分别为、的中点， ，又，，平面，平面，平面， 平面，平面，，平面平面．平面，平面平面，平面，为平行平面与之间的距离，， 即平面与之间的距离为． 1．（25-26高二下·湖南郴州·期中）设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若⊥，m，则m⊥ C．若m⊥，mn，n，则⊥ D．若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 【答案】C 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误； 若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确； ＝m，n，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线， 故不一定垂直于，故D错误． 2．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在正三棱柱中，点分别是的中点，下列结论正确的个数是（   ） ①平面；②；③平面；④与相交 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】对于①，取的中点D，连接，在中，由P为的中点，得，且，在直三棱柱中，，由Q为棱的中点，得，且，则，四边形为平行四边形，因此，又平面，平面，则平面，①正确，对于②，为的中点，若，则，连接，为的中点，则，又平面，则平面，平面， 于是，设，则，， ，与矛盾，因此不成立，②错误； 对于③，在直三棱柱中，平面，又平面，则， 由，D为中点，得，由①知，则，， 又，平面，因此平面，③正确； 对于④，由为的中点，四边形为矩形，得点为的中点，又为的中点， 则，又分别为的中点，则， 即，因此四边形为平行四边形，与相交，④正确. 3．（25-26高一下·福建厦门·期中）在三棱锥中，平面平面，平面平面，，，则下列错误的是（ ） A． B．点到平面的距离为 C．平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】在平面内取一点，作，，垂足分别为，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以 同理：平面， 因为平面所以平面，故C选项正确；又平面，所以，故A选项正确；对于B，取中点，连接，因为，所以，因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，即点到平面的距离为的长度，因为，所以，故B选项正确；对于D，因为平面，平面，所以， 所以为二面角的平面角，因为，，所以， 所以平面平面不成立，故错误. 4．（25-26高一下·湖北·期末）在边长为2的正方形中，E是AB的中点，点F是BC的中点，将分别沿折起，使A，B，C三点重合于点，则到平面的距离为（　　） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【详解】依题意，在三棱锥中，两两垂直，在中，， ，，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，所以点到平面EFD的距离为.答案：B 5．（24-25高一下·福建福州·期末）如图，直三棱柱，，平面平面，直三棱柱的体积为，则与平面所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】过点作，垂足为， 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 又平面，所以，在直三棱柱中，平面， 因为平面，所以，因为平面， 所以平面，而平面，则为直线与平面所成的角，且， 因为，且直三棱柱的体积为，所以，解得，而，则，即，则与平面所成的角为.故选：C. 6．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）某圆台的轴截面是一个上底为，下底为，腰长为的等腰梯形，为圆台下底面圆周上一点，且，则二面角的余弦值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】已知轴截面等腰梯形中，上底，下底，腰长为，因此圆台的高（即等腰梯形的高）为下底圆的直径，故下底圆半径，因为在下底圆周上，是直径，所以，，在中，， 过作下底面的垂线，垂足为（在轴截面上，故在直径上），得，且下底面，过作，垂足为，连接，则就是二面角的平面角， 因为的面积，其中（为下底圆心），是到的距离，又，所以，解得， 在中，， 因此二面角的余弦值. 7．（24-25高二下·甘肃张掖·期末）如图，平面平面，四边形为矩形，且，，的面积为3.若点E是线段AD上一点，则三棱锥体积的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】D 【详解】如图，过点P作，交直线BC于点F， 又因为平面平面ABCD，平面平面，平面PBC， 所以平面ABCD，因为△PBC的面积为3，，所以，即， 解得，所以三棱锥的体积， 当且仅当点E在点D时取等号，三棱锥体积的最大值为1.故选：D. 8．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知正方体棱长为2，点满足，点在正方体的表面上运动，且，则的轨迹长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据线面垂直的判定定理结合条件可得点的轨迹，进而求得轨迹的长度． 【详解】设，分别是，的中点，连接，，， 则，即四点共面， 在正方体中，得是的中点， 显然，，， 所以，故， 所以， 即，所以， 又平面，平面，所以， 又，且平面，平面， 所以平面， 因为点在正方体的表面上运动，且，所以点的轨迹是矩形， 由题可得，， 所以点的轨迹长度为． 9．（25-26高一下·安徽合肥·阶段检测）（多选题）如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将折起到，且在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】因为在平面BCD上的射影O恰好在CD上，所以平面BCD．又平面BCD，所以．因为四边形ABCD是矩形，所以，又，CD，平面，所以平面．因为，平面，所以，．显然，由折叠而成，所以由知，故B，C，D正确；假设，因为平面BCD，平面BCD，所以．又，，平面，则得平面．因为平面，所以，显然不成立.所以假设不成立，故A错误． 10．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）（多选题）如图，正方体的棱长为4，动点P，Q分别在线段，上，则下列命题正确的是（    ）    A．异面直线和所成的角为 B．直线与平面所成的角等于 C．点C到平面的距离为 D．线段长度的最小值为 【答案】ACD 【详解】因为，故异面直线和所成角即为与所成角， 而为等边三角形，故，故A正确；    因为面，面，故，又，由，面，故面，而面，故直线与平面所成的角，故B错误； 而到平面的距离为，故C正确； 过作于，再过作于，面面，面面，面，故面，而面，则，又，面，所以面，易知即为异面直线，上两点的距离，令，则，， 所以， 当时，，故D正确. 11．（25-26高一下·广西百色·期中）如图，正方体的棱长为4，点为棱的中点，点为线段上的一个动点，设直线与平面所成角为，则的最大值为________. 【答案】 【详解】取线段的中点，易知平面，则直线与平面所成角， 则，在等腰直角三角形中，当时，最短， 此时，故的最大值为. 12．（25-26高一下·黑龙江·期中）在三棱锥中，是边长为3的等边三角形，，则点到平面的距离为__________. 【答案】 【详解】是边长为3的等边三角形，所以， 取的中点，则， 又平面，所以平面，在中，由余弦定理得，所以，过点作直线的垂线，垂足为，则，又平面，所以，又平面， 所以平面，即点到平面的距离为. 13．（2026·北京·三模）如图，在三棱柱中，平面，D，E分别为，的中点，． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值； (3)求点到平面的距离． 【答案】(1)已知，为中点，可得，又平面，平面，故， 分别为中点，三棱柱中，故，又，平面，平面. (2)(3)【详解】（1）略 （2）由(1)可得平面，平面，故，过作于，连接，因为，平面，所以平面，又平面，故， 故即为二面角的平面角，是中点，，则，； 且，，故， ，得，因为平面，又平面，故， 在中：，故，即二面角的余弦值为. （3）三棱锥的体积等价于三棱锥的体积，即：， 由平面，得：， 计算的面积：，，， 为等腰三角形，底边上的高， 因此：， 设点到平面的距离为，由得：， 解得，即点到平面的距离为. 14．（25-26高一下·天津滨海新区·期中）如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，为线段的中点.    (1)若为线段上的动点，证明：平面； (2)若为的中点，是上靠近的四等分点， （i）求和平面夹角的正弦值； （ii）求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析(2)（i）；（ii） 【详解】（1）证明：因为底面，且底面所以， 因为为正方形，所以，因为，又平面，所以平面， 因为平面，所以.由为线段的中点，可知， 因为且平面，所以平面． （2）取的中点，连接．    因为为中点，为中点，所以是的中位线，故，且． 又底面，所以底面，因此是在底面内的射影，即为直线与平面所成的角．由题意，是的四等分点，，故． 又是中点，，故．在中，． 在中，．因此，． （ii）利用等体积法，设点到平面的距离为． 由(1)知平面，故平面，即点到平面的距离为． 在等腰中，，，，故． 因此，．由(1)知平面，故，即为直角三角形． 又，，故． 由，得：，，解得． 1．（2026·高一下·河北沧州·）《九章算术》中将底面是长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有“阳马”如图所示，侧棱底面，且，点在棱上运动．则下列说法正确的是（   ） A．存在点，使得 B．不存在点，使得平面PAD C．对于任意点，成立 D．对于任意点，平面平面成立 【答案】D 【详解】若，又平面，平面，所以平面，这与平面矛盾，所以不存在点，使得，故A错误；当移动到点时，可得，平面，平面，所以平面，故存在点，使得平面，故B错误； 若对于任意点，，又四边形为长方形，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，又侧棱底面，底面，所以，又，底面，所以底面， 又底面，所以，又， 这与在同一平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直矛盾， 所以对于任意点，不成立，故C错误；由正方形，可得，又侧棱底面，底面，所以，又，底面，所以底面， 又平面，所以平面平面，故D正确. 2．（25-26高一下·山东淄博·期中）如图，在四边形中，，，，，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列说法正确的是（     ） ①平面平面；②；③平面平面；④锐二面角的余弦值为 A．①② B．①③ C．②③ D．③④ 【答案】D 【详解】对于①，因为，所以.因为，所以，又，所以，即.因为平面平面，平面平面，，所以平面.若平面平面，由于平面平面，过点作，则平面，这与过一点有且只有一条直线与已知平面垂直矛盾，所以①错误； 对于②，由于，若，因为，平面， 所以平面，又平面，所以，这与矛盾，所以②错误； 对于③，因为平面，平面，所以. 又因为是等腰三角形，，所以. 因为平面，所以平面平面，所以③ 正确； 对于④，由③可知平面，则为二面角的平面角， 设，则，由， 得，得，所以④正确. 3．（25-26高一下·山东菏泽·阶段检测）（多选题）如图，是圆的直径，，垂直于圆所在的平面，为圆周上不与点，重合的点，于，于，则下列结论正确的是（     ） A．平面平面 B．平面 C．平面 D．平面平面 【答案】ABC 【详解】选项A：因为垂直于圆所在的平面，所以平面，因为平面，所以平面平面，故选项A正确；选项B：因为平面，平面，所以， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点，所以，即， 因为，平面，所以平面，故选项B正确；选项C：因为平面，平面，所以，因为于点，，平面，所以平面，因为平面，所以，因为于点，，平面，所以平面，故选项C正确；选项D：平面平面，平面，于点，假设平面平面，则必有平面，因为平面，则必有，因为平面，平面，则有，因为平面，则必有，因为垂直于圆所在的平面，，所以，因为于点， 所以为的中点，由，则为的中点，又于点，则， 因为是圆的直径，且为圆周上不与点，重合的点，，推出矛盾. 故假设错误， 选项D错误. 4．（25-26高一下·山东淄博·期中）（多选题）如图，将棱长为2的正方体挖去一部分，得到几何体，，交于点，则下列说法正确的是（    ） A．几何体的体积为 B．，是异面直线 C． D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【详解】由题意可知原正方体棱长为，故平面，平面， 因此，且；底面是边长为的正方形，对角线，二者交于点， 故是正方形的中心，.A：将几何体拆分为两个三棱锥、的组合：，，同理， 几何体总容积，故A正确.B：平面，平面，平面且，所以是异面直线，故B正确.C：平面，平面，，则在中，同理可得，且，所以，故C错误.D：设点到平面的距离为.，是边长为的等边三角形，. 由等体积法可得，，，代入得，解得，故D正确. 5．（25-26高一下·广东广州·期中）如图1，在三棱锥中，平面平面，，为的中点．是边长为2的等边三角形． (1)证明：平面面； (2)若，求直线和所成角的余弦值； (3)点在棱上，如图2，，三棱锥的体积为4，求二面角平面角的正切值． 【答案】(1)因为，为的中点，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面面． (2)(3) 【详解】（1）略．（2）如下图，分别取的中点M、N，连接， 因为O为中点，所以且，所以异面直线和所成角（或为邻补角）即为，因为是边长为2的等边三角形，所以，由（1）知，平面，因为平面，所以，由，得，得．在直角三角形中，则，在中， 所以直线和所成角的余弦值为． （3）如下图，过点E作交于N．过点N作交于点M，连接， 因为且，所以，因为平面平面，平面平面平面，所以平面，因为平面，所以，， 在中，因为，所以，而，则，因为平面，所以平面，因为平面，所以，所以为二面角的平面角，因为，因为，所以，又因为，所以，得，因为，所以，因为，所以，所以． 所以二面角平面角的正切值为． 6．（25-26高一下·天津·期末）如图，在四棱锥中，为等边三角形，底面为平行四边形，平面平面，，，，， (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)线段上是否存在一点，使得二面角的平面角的余弦值为．若存在，求出值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：取棱的中点，连接， 因为为等边三角形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，，平面，所以平面. (2)(3)存在， 【详解】（1）略（2）连接，由（1）中平面，所以为直线与平面所成的角. 因为为等边三角形，，且为的中点，所以，又，在中，，所以直线与平面所成角的正弦值为. （3）取中点，连接，，在中，，因为平面，又平面，所以，在中，，所以，所以， 又点为中点，所以，同理，所以为二面角的平面角， 设，在中，，在中，，在中，，，， 由余弦定理可得，即， 化简得到，解得或（舍去）， 即线段上存在一点，使得二面角平面角的余弦值为，此时． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $