暑假作业13 空间直线、平面垂直（8大巩固提升练+4大能力培优练+2大创新提型练）-【暑假分层作业】2025年高一数学暑假培优练（人教A版2019)

限时练习：80min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 空间直线、平面垂直 【知识点1 直线与平面垂直】 1．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 【知识点2 平面与平面垂直】 1．二面角 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角α的范围：. 2．两平面垂直 (1)定义：当两平面所成的二面角为直二面角时，称这两个平面垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α [常见结论] (1)两个重要结论 ①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． ②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (2)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． (3)三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：与垂直关系有关的命题真假的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 对于与垂直关系有关的命题，常利用线线、线面、面面垂直间的关系判断其真假，有时也举反例说明命题为假. 1．已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A．若、，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】对于A选项，若，则存在直线，使得， 所以若，因为，所以，所以，故A选项正确. 对于B选项，若，，则，故B选项正确. 对于C选项，若，时，则，或，故C选项错误. 对于D选项，因为，则过的面与交线l满足， 又，则，又，所以，故D选项正确. 故选：C. 2．已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则（   ） A．由，，，得与平行或者异面 B．由，，，得或 C．由，，得 D．由，，，，得 【答案】ABC 【分析】根据面面平行推出、无公共点，可判断A选项；根据线面位置关系可判断B选项；根据线面位置关系和线面平行的性质可判断C选项；利用面面、线面位置关系可判断D选项. 【解析】对于A选项，由，，可知，直线、无公共点，故与平行或者异面，A对； 对于B选项， 由，可得，因为，所以或，B对； 对于C选项，因为，过作平面，使得，则， 因为，，则，故，C对； 对于D选项，因为，，，则或，故， 若，则、平行、相交或异面，D错. 故选：ABC. 【题型二:线面垂直的判定（重点）】 ⭐【知识讲解】 证明直线与平面垂直的方法有以下六种. 1.定义法 若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面. 2.判定定理法 利用判定定理是判定线面垂直的最主要方法，其关键在于寻找平面内与直线垂直的两条相交直线. 3.平行与垂直的相互转化法 (1)线线平行线面垂直: 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. (2)面面平行线面垂直: 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 4.面面垂直的性质法 两平面垂直具有以下性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.即“面面垂直线面垂直” 3.如图，平行四边形中， ， ， ， ， 分别为， 的中点，求证：平面. 【分析】由已知条件证明，又因为， ，可得平面. 【证明】连接，因为平面， 平面， 所以， 在平行四边形中， ， ， 所以， ， 从而有， 所以， 又因为， 所以平面， 又平面， 从而有， 又因为， ， 所以平面. 4.如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高. （1）证明：平面； （2）证明：平面. M 【答案】见解析 【分析】(1)要证平面,只需证明PH垂直于平面ABCD内两相交直线AB与AD;(2)由PD=AD知等腰三角形DPA底面PA上的中线DM与高重合，易证该中线与平面PAB垂直，故只需证EF//DM. 【证明】（1）因为平面， 所以. 因为为△中边上的高， 所以. 因为， 所以平面. （2）取中点，连结，. 因为是的中点，所以. 因为，所以， 所以四边形是平行四边形，所以. 因为， 所以. 因为平面，所以. 因为，所以平面， 所以平面. 【题型三:面面垂直的判定（重点）】 ⭐【知识讲解】 处理平面与平面垂直的判定问题的基本思想仍是“转化”，具体的转化策略有： 1.定义法 如果两个平面相交所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. 即将两平面垂直转化为证二面角的平面角的两条边垂直，这体现了面面垂直与线线垂直间的转化.. 2.判定定理法 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.可简述为“线面垂直，则面面垂直”. 判定定理法是证明两平面垂直的最常用方法,其证题的关键是找到其中一个平面的垂线. 3.平行与垂直的转化法 (1)若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直. (2)若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面. 上述两个结论可用来速解选择、填空题，但在解答题中不能直接使用. 5.如图所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60º，∠BSC=90º. 求证：平面ABCD⊥平面BSC. A B S C O 【答案】见解析 【解析】∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=60º ∴AB=AC，取BC中点O，连AO、SO，则AO⊥BC，SO⊥BC ∴∠AOS为二面角A-BC-S的平面角 设SA=SB=SC=，又∠BSC=90º ∴BC=，SO=，AO2=AC2-OC2=， ∴SA2=AO2+OS2，∴∠AOS=90º，∴平面ABCD⊥平面BSC 【方法技巧】当所给的图形较特殊（如面中图形为等腰三角形、直角三角形等），或者条件中有较多的数据时，可考虑用定义法证明. 6. 如图，四棱锥的底面是菱形，底面，分别是的中点，，， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定可得答案； （2）利用线面垂直的性质、判定，结合面面垂直的判定可得答案. 【解析】（1）四棱锥底面是菱形，连接，， 则是正三角形，由底面ABCD，平面， 得，由是的中点，得， 而平面，所以平面； （2）连接，由菱形，得，由是的中点， 得，则， 由底面，底面，得， 而平面，则平面， 又平面， 所以平面平面. 【题型四:线面垂直的性质定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 线面垂直的性质定理主要用来判定线线平行，该性质是由线面垂直关系到线线平行关系的转化，掌握性质的关键是要明确平面的垂线，应用时，只要找到这个平面的两条垂线即可. 7.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 【答案】见解析 【解析】如图所示，连接AC交BD于点O，连接MO， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点， 又M是PC的中点，∴AP∥MO. 又MO⊂平面BMD，AP⊄平面BMD， ∴AP∥平面BMD. ∵平面PAHG∩平面BMD＝GH， 且AP⊂平面PAHG， ∴AP∥GH. 8．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）首先证明，即可得到，再由，即可得证； （2）首先证明平面，即可得到，同理可证，即可得到平面，结合（1）的结论，即可得证． 【解析】（1）在正方体中，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为，，平面，平面． 所以平面． （2）因为平面，平面， 所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 同理可证， 又，平面，平面． 所以平面． 又平面，所以． 【技巧点拨】垂直于同一个平面的两条直线平行，利用这一性质证明线线平行主要体现了“线面垂直”到“线线平行”的转化思想. 【题型五:面面垂直的性质定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 两个平面垂直的性质定理主要用于解决线面垂直问题，即由面面垂直线面垂直. 运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直. 9．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF， 求证：EA⊥平面ABCD. 【答案】见解析 【分析】解答本题的关键是证明EA⊥AB，为此应该在平面四边形ABEF中，利用AF∥BE，AF⊥EF，等条件计算AB、AE、BE的长度，利用勾股定理逆定理证明. 【证明】设AF=EF=a，则BE=2a. 如图，过A作AM⊥BE于M， ∵AF∥BE,∴AM⊥AF. 又∵AF⊥EF ∴AM∥EF， ∴四边形AMEF是正方形. ∴AM=a，EM=MB=a, ∴AE2+AB2=EB2，∴AE⊥AB. 又∵平面ABCD⊥平面ABEF， 平面ABCD∩平面ABEF=AB, AE 平面ABEF,∴EA⊥平面ABCD. 【方法技巧】应用面面垂直的性质定理时，恰当利用平面几何知识，在其中一个平面内寻找交线的垂线是关键. 10.如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC. 求证：BC⊥AC. 【答案】见解析 【证明】如图，在平面PAC内作AD⊥PC交PC于点D， ∵平面PAC⊥平面PBC，AD⊂平面PAC，且AD⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC， ∴AD⊥平面PBC， 又∵BC⊂平面PBC，∴AD⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC， ∵AD∩PA＝A，∴BC⊥平面PAC， ∵AC⊂平面PAC，∴BC⊥AC. 【题型六：与垂直有关的补充条件题（高频】 ⭐【知识讲解】 这类问题一般根据题设条件先补充条件，再利用垂直的判定或性质定理验证所补充条件的正确性. 11．已知平面，和直线，给出以下条件：①；②；③；④.要想得到，则所需要的条件是 ．（填序号） 【答案】②④ 【解析】平面，和直线，给出条件：①；②；③；④， 由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由②④可推出． 即②④是的充分条件， 满足条件②④时，有． 12．已知是不重合的平面，l是直线，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．当满足条件 时，有；当满足条件 时，有．（填序号） 【答案】 ③⑤ ②⑤ 【分析】由面面平行的性质与线面垂直的判定求解即可 【解析】若，，则有； 若，，则有；故分别填：③⑤，②⑤ 【题型七:线面角的求解（高频）】 ⭐【知识讲解】 常用线面角的定义求线面角，其过程为： 一作：作出表示线面角的平面角； 二证：证明所作的角是线面角的平面角； 三求：将线面角对应的平面角放置于某个三角形中，通过解三角形求出该角的大小. 13．已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由体积和底面积，可求出顶点 到底面 的垂直高度 ，进而由直线与平面所成角的正弦值等于该直线与平面内某条直线(投影)形成的直角三角形中，计算即可求得结果. 【解析】 是边长为2的正三角形，其面积为： 因为三棱锥的体积为1 和底面积 ， 得：解得： 设直线 与平面 所成角为，所以 故选：C 14．如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为3，与底面所成角的正切值为，则该直四棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】根据题意，得到底面，得到为直线与平面所成的角，在直角，列出方程，即可求解. 【解析】在直四棱柱中，可得底面， 所以为直线与平面所成的角，所以， 设直四棱柱的侧棱长为， 因为底面四边形是边长为的正方形，可得， 在直角，可得，解得， 所以直四棱柱的侧棱长为. 故选：D. 15．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 【答案】 【分析】证明为的角平分线且为直线与平面所成的角，根据三余弦定理求出即可求解. 【详解】由得直线在平面上的投影为的角平分线且为直线与平面所成的角， 因为平面平面， 所以由三余弦定理得， 故直线与平面所成角为． 【题型八:二面角的求解（高频）】 ⭐【知识讲解】 二面角的大小是用二面角的平面角来度量的，求二面角的难点和关键是正确作出二面角的平面角，其过程是：一作，二证，三计算. 16．如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知条件找出二面角的平面角，然后根据等腰直角三角形求出平面角的大小，从而得到答案. 【解析】， 点在以为直径的圆的圆周上， 平面平面，, 又平面平面， 因为平面，所以, 是二面角的平面角， 又. 故选：C. 17.如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 .    【答案】 【分析】由线面垂直的判定定理可得，，所以是二面角的平面角，最后由余弦定理得到二面角的大小. 【解析】因为平面，平面，平面， 所以，，所以是二面角的平面角. 又，则，即二面角的大小是. 18．在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 . 【答案】/ 【分析】过点作于，连接，证明平面，则，从而可得即为平面与平面所成角得平面角，再解即可. 【解析】如图，过点作于，连接， 因为平面，平面， 所以， 又因为平面， 所以平面， 又平面，所以， 所以即为平面与平面所成角得平面角， ， 由， 得， 所以， 即平面与平面的夹角的正切值为.    【题型九:空间距离的求解（高频）】 ⭐【知识讲解】 (1)求点线距的实质是求出表示点到平面距离的线段的长度，故找到或作出表示距离的垂线段是解题的关键所在; (2)点线距有时也利用等体积法求解. (3)直线与平面的距离、平面与平面的距离往往转化为点到平面的距离求解. 19．在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，，，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作 平面 于点 ， 易得 ，设 ，利用勾股定理及余弦定理计算可得，进而利用等体积计算可得结果. 【解析】如图，作 平面 于点 ， 平面 ，则， 又因为， ，平面 ， 所以 平面 ， 因为平面 ， 所以， 因为为等边三角形，所以， 所以 . 连接 . 设 ，则， 因为 ， 所以 ，解得 . 在 中， ，所以 所以 . 由 ， 可得点 到平面 的距离为 . 故选：C 20．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点M，的中点N，连接，由已知，可得平面平面，平面，则直线到平面的距离为点N到平面的距离，则利用余弦定理求得，进而得，则直线到平面的距离为，可得答案. 【解析】 根据题意，如图， 因为，，则，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面， 因为底面为边长为2的正方形， 则，平面，平面， 所以平面， 则直线到平面的距离为点N到平面的距离， 即点N到直线的距离， 又， ，， 在中，， 则， 所以点N到直线的距离为. 故选：A． 21．如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 【答案】(1)；(2)；(3)；(4) 【解析】（1）由正方体性质可得，平面，平面， 所以，垂足为， 所以点到直线的距离为，又 所以点到直线的距离为；    （2）由正方体性质可得平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以点到平面的距离为， （3）由正方体性质可得，平面平面， 又平面，所以平面， 所以到平面的距离等于点到平面的距离， 又平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 故到平面的距离为， （4）由正方体性质可得平面平面， 所以平面到平面的距离等于点到平面的距离， 因为平面，垂足为， 所以点到平面的距离为，又， 所以平面到平面距离为. 【题型一：垂直关系的综合（重点）】 ⭐【知识讲解】 空间中的平行和垂直关系是立体几何中两类最重要的位置关系，解决这两类问题的通法就是转化，可以说转化是论证平行与垂直的“必杀技” 1. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 【答案】ABC 【解析】因为是正方体，所以平面平面， 平面，所以平面，A选项正确； 因为平面，平面，所以，B选项正确； 因为是正方形，所以， 因为平面，平面，所以， ，所以平面即为平面， 平面，所以平面，C选项正确； 因为平面，平面，所以平面平面，D选项错误. 故选：ABC. 2.如图所示，已知三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E. (1)求证：AP⊥平面BDE； (2)求证：平面BDE⊥平面BDF. 【答案】见解析 【证明】(1)∵PC⊥底面ABC，BD⊂平面ABC，∴PC⊥BD. 由AB＝BC，D为AC的中点，得BD⊥AC. 又PC∩AC＝C，∴BD⊥平面PAC，又PA⊂平面PAC， ∴BD⊥PA.由已知DE⊥PA，DE∩BD＝D，∴AP⊥平面BDE. (2)由BD⊥平面PAC，DE⊂平面PAC，得BD⊥DE. 由D、F分别为AC、PC的中点，得DF∥AP.又由已知得，DE⊥AP， ∴DE⊥DF，又BD∩DF＝D， ∴DE⊥平面BDF.又DE⊂平面BDE， ∴平面BDE⊥平面BDF. 【题型二：平行与垂直的综合（高频）】 ⭐【知识讲解】 空间中的平行和垂直关系是立体几何中两类最重要的位置关系，解决这两类问题的通法就是转化，可以说转化是论证平行与垂直的“必杀技” 3．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．//平面 B． C． D．//平面 【答案】BCD 【解析】设棱柱的高为，. A选项，根据棱柱性质，，而平面， 若//平面，无论怎样平移直线，都不会和平面只有一个交点， 而与平面只有一个交点，于是得到矛盾，故A选项错误； B选项，计算可得，，又为的中点，故（三线合一），故B选项正确； C选项，连接， 根据平行四边形性质，过，计算可得，， 又为的中点，故（三线合一）， 结合A选项，， 因为，平面， 所以平面，因为平面，所有， 因为棱柱的侧棱//，所以，故C选项正确； D选项，取中点，连接， 结合为的中点可知，为中位线， 故//，且，即//，且， 故四边形为平行四边形，故//， 由平面，平面，故//平面，故D选项正确. 故选：BCD 4.如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析 【分析】（1）由圆的性质以及中位线定理，可得线线垂直，根据线面垂直的性质以及判定，可得答案； （2）根据中位线定理可得线线平行，由线面平行与面面平行的判定，结合面面平行的性质，可得答案. 【解析】（1）由题意，平面，平面，所以， 由为圆锥底面的直径，C为圆O上异于A、B的一点，可知， 因为分别为的中点，所以，则， 又因为平面，，所以平面； （2）连接，因为D、F分别为、的中点，所以， 又平面，平面，所以平面， 同理可得平面，而平面， 所以平面平面，又平面， 所以平面. 【题型三:垂直关系的实际应用(高频)】 ⭐【知识讲解】 对于垂直关系的实际应用问题，要使问题得到解决，可根据已知条件先将其转化为数学问题，再利用垂直的性质或判定得到相关的垂直关系，借助垂直关系进一步证明或求解相关量的值. 5．上海市政府实施“景观工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”，计划将平顶房屋改为尖顶，并铺上彩色瓦片．现对某幢房屋有两种改造方案：方案中坡顶，如图1所示，为底面是等边三角形的直三棱柱，尖顶屋脊与房屋长度等长，有两个坡面需铺上瓦片．方案中坡顶，如图2所示，为图削去两端相同的两个三棱锥而得，尖顶屋脊比房屋长度短，有四个坡面需铺上瓦片．若房屋长，宽，屋脊高为，要使铺设的瓦片比较省，请你选择两种方案中的哪一个？ 【答案】答案见解析 【分析】要比较图1和图2两种尖顶铺设的瓦片量，只要比较图中与的大小即可．设，分别表示与，再由作差比较法可得. 【解析】要比较图1和图2两种尖顶铺设的瓦片量，只要比较图中与的大小即可． 取中点，由为等边三角形得，， 三棱柱为直三棱柱，则平面，平面， 所以，由，且平面，平面， 所以平面，并且为屋脊的高，故． 由，为中点，得， 且． 设，由题意知， 则， 从而， ， ． （1）若，则，故． ∴． （2）若，则． （3）若，则． ∴若长小于房屋宽度的一半，则图1尖顶铺设瓦片较省，即选方案； 若长等于房屋宽度的一半，则图1与图2相同，即两方案都可以； 若长大于房屋宽度的一半且小于房屋长的一半时，则图2尖顶铺设瓦片较省，即选方案． 【题型四：垂直关系与面、体积的综合】 ⭐【知识讲解】 这类问题的解决策略是——各个击破，即利用垂直的判定或性质研究垂直问题，利用几何体的面、体积公式解决其面、体积.其中几何体的高往往通过作垂线段或证明垂直关系得到. 6.如图，已知四棱锥的底面为菱形，. (1)求证：平面BDS； (2)若，求四棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析；(2)1 【分析】（1）由菱形与等腰三角形的性质，可得线线垂直，根据线面垂直判定，可得答案； （2）由菱形的性质与勾股定理，根据（1）可分割三棱锥的底与高，结合体积公式，可得答案. 【详解】（1）设AC与BD相交于点， 因为底面ABCD为菱形，所以，且为中点. 又因为，所以平面BDS， 所以平面BDS. （2）因为底面ABCD是菱形，，所以是等边三角形，则. 在中，，满足， 根据勾股定理逆定理可知，即. 由（1）知平面BDS，所以， . 则. 7.如图，在三棱锥ABCD中，已知平面平面，，O为BD的中点． (1)求证：； (2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为45°，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析；(2)① ；② 【分析】（1）先由为的中点可得，再由平面平面可得平面，进而求证即可； （2）由为等边三角形易得，且，过E作，垂足为G，过G作，垂足为I，连接，分析易得为二面角的平面角，可得，再结合图形关系求出，进而结合三棱锥的体积公式求解即可； 【解析】（1）证明：因为为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以． （2）①因为是边长为1的等边三角形， 所以，故． 因为O为的中点，所以，故， 所以，且． 过E作，垂足为G，过G作，垂足为I，连接． 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面，又平面，所以． 又平面， 所以平面，因为平面，所以， 所以为二面角的平面角，即． 在平面内，，所以， 所以，所以，所以． 在平面内，，所以，所以， 因为，所以． 在等腰直角三角形中，，又， 所以，三棱锥的体积． 【题型五：垂直关系与空间角的综合（难点）】 ⭐【知识讲解】 对于垂直关系与空间角综合的问题，作出空间角的平面角时往往需要构造垂直关系或作出垂线段，如果试题是解答题，必须利用垂直的判定或性质证明相应的垂直关系. 8．如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（   ） A．四面体的体积为 B．直线与直线所成角的大小为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为3 【答案】ACD 【分析】根据面面垂直的性质得到平面，再由锥体的体积公式判断A，由线面垂直的性质判断B，取的中点，连接、，得到平面，则为直线与平面所成角，即可判断C，利用等体积法判断D. 【解析】对于A：因为，平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 又等边的边长为，，， 所以， 所以，故A正确； 对于B：因为平面，平面，所以， 即直线与直线所成角的大小为，故B错误； 对于C：取的中点，连接、，则， 又平面平面，平面平面， 平面，所以平面， 所以为直线与平面所成角， 又，在中，， 所以，即直线与平面所成角的正弦值为，故C正确； 对于D：因为，， 设点到平面的距离为，则，解得， 即点到平面的距离为，故D正确. 故选：ACD 9．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）取的中点，连接，可求得，，利用勾股定理的逆定理可证，结合，可证结论成立； （2）利用（1）易证结论成立； （3）可证，进而可得为二面角的平面角，进而求解即可. 【解析】（1） 由底面是直角梯形，，，，， 结合勾股定理计算可得：， 取的中点，连接， ，，，四边形是正方形， 则，再由勾股定理可得：，又因为， 则由，所以， 又因为平面平面，所以， 又因为，且平面， 所以平面； （2）由（1）知平面平面，所以平面平面． （3）平面平面，又， 为二面角的平面角． 在中，， . 【题型六：垂直关系与空间距离的综合（难点）】 ⭐【知识讲解】 对于垂直关系与空间距离综合的问题，作出表示空间距离的垂线时往往需要构造垂直关系或作出垂线段，如果试题是解答题，必须利用垂直的判定或性质证明相应的垂直关系. 10．如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 【分析】（1）由线面垂直的性质得到，结合，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，即可证明平面，从而得证； （3）在平面内过点作交于点，即可证明平面，再求出，即可得解. 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 又，，平面， 所以平面； （2）因为平面，平面， 所以，又，，平面， 所以平面，又平面，所以； （3）在平面内过点作交于点， 因为，，，所以， 所以， 又平面，平面，所以， 又，平面，所以平面， 所以点到平面的距离为. 11.如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点P是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) 【分析】（1）连接交于，则可得，由线面平行的判定定理可得平面； （2）利用等积法可求线面距离； （3）由空间中垂直关系的转化可得的轨迹为，由线面角的定义可得即为线面角，故可得其最大值，故可得其正切的最大值. 【解析】（1）连接AC交BD于，连接，则， 因为，由四棱台的性质可得，且， 故四边形为平行四边形，故， 不包含于面面，故面. （2）面，直线到平面的距离等价于点到平面的距离， ， ，，，， 取DC中点，连，，可得，而平面， 故平面，由平面，故， ，得， ，，故， 故，故． （3） 连接，因为，由四棱台的性质可得， 故四边形为平行四边形，故，故平面， 而平面，故，又，， 平面，故平面， ，点在面内的动点，点面面， 面，为与面所成的平面角， ，DO最小为，则最大为． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（    ） A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直 C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直 【答案】B 【解析】显然，在荡秋千的过程中，秋千绳与墙面始终平行， 但与道路所成的角在变化，则秋千绳与道路的位置关系在发生变化， 而秋千板始终与墙面垂直，故也与道路始终垂直． 故选：B. 2．正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3（如图），则下列说法错误的是（    ）    A． B．直线BC与平面BEDF所成的角为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值 D．若点P为棱ED上的动点，则的最小值为 【答案】B 【分析】对于A选项，正八面体，证明平面，再判断，对于B，可知平面，找到直线与平面所成的角为，在三角形中计算角度；对于C，利用等体积变换计算三棱锥的体积；对于D，由题意分析和，将两个三角形翻折到同一平面内，可得取最小值. 【解析】对于A选项，正八面体，连接， 对称性可知，⊥平面，且相交于点，为的中点， 又，， 故四边形为菱形，四边形为菱形， 可知是平面内两条相交直线， 所以平面，又平面，故，故A正确 对于B，由A选项可知平面，故直线与平面所成的角为， 且由题意得，故， 故，B错误； 对于C，三棱锥的体积， 其中点到平面的距离为，设菱形的面积为， 则 若点为棱上的动点，则三棱锥的体积为定值，故C正确. 对于D，由题意得为等边三角形，边长为3，    在中，，为等腰直角三角形，    将沿直线ED翻折到平面EAD内，如图，易得, 则的最小值为为 ， D正确. 故选：B. 3．如图，已知四面体中，平面，． (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度． 【答案】(1)证明见解析；(2)10；(3). 【分析】（1）由线面垂直得到，结合得到线面垂直，进而证明出线线垂直. （2）根据线线垂直、线面垂直以及面面垂直分析求解即可. （3）将平面与平面沿展开成平面图形，则BD即为所求，从而利用余弦定理求出答案即可. 【解析】（1）由平面，平面BCD，得， 又，，平面ABC，因此平面， 而平面ABC，所以. （2）由（1）知：，， 且平面，平面ABC，则，且其余各棱均不垂直，得； 由平面，且平面，平面， 得平面平面，平面平面， 同理由平面得：平面平面，且其余各面均不垂直，得； 由平面，平面，且其余各线面均不垂直，得， 所以. （3）将平面与平面沿展开成如图2所示的平面图形，连接BD， 所以彩带的最小长度为图2平面图中的长， . 由（1）知， 在图1中，由平面，平面BCD，得， 又，则，因此在图2中，， 由余弦定理得， 所以彩带的最小长度为. 【题型二：与垂直有关的开放、探究性问题（高频）】 4．在直三棱柱中，，当底面满足条件 时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】如图所示，连接， 由，可得，因此，要证， 则只要证明平面，即只要证即可， 由直三棱柱可知，只要证即可． 因为，，故只要证即可． （或者能推出的条件，如等） 5．已知平面ABCD，则四边形ABCD满足 时，有．（试写出一个满足的条件） 【答案】四边形ABCD为菱形.（答案不唯一） 【解析】如图， 因为平面，平面， 所以， 当四边形为菱形时，， 又，平面， 所以平面，又平面， 所以. 故答案为：四边形为菱形.（答案不唯一） 6.如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)存在，. 【分析】（1）根据给定条件，连接，利用线面垂直的判定性质推理得证. （2）连接，作出异面直线所成的角，再利用余弦定理求解即得. （3）由（2）求得，再在上取点，利用线面平行的判定推理得解. 【解析】（1）连接，由菱形内角，得是正三角形， 由M为的中点，得，由，得， 而平面，则平面，又平面， 所以. （2）连接，则为正的重心，， 在上取点，使，则， ，于是是直线和所成角或其补角， 在中，， 由余弦定理得， 所以直线和所成角的余弦值为. （3）由（2）得，，在上取点，使， 则，，而平面平面，平面，因此平面， 所以线段上存在点N，使得平面，. 【题型三：新定义题（难点）】 7.阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，⋯，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） (1)若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； (3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，证明：． 【答案】(1)2；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）根据条件得到菱形为正方形，再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可； （2）结合立体几何知识，求得与平面的夹角为，求得，再根据在顶点处的离散曲率的定义计算即可； （3）根据四面体在点处的离散曲率为求得，再结合立体几何知识，证得平面，用等体积法求三棱锥的体积，求得，即可得证. 【解析】（1）若，则菱形为正方形，即． 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱，在顶点处的离散曲率为， 所以四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和为2． （2）∵为菱形，∴． 又直四棱柱， ∴平面，平面，∴． 又平面，，∴平面． 设，则即为与平面所成的角， 在中，，因为与平面的夹角的正弦值为， 所以，所以，则． 因为平面，平面，所以，， 所以直四棱柱在顶点处的离散曲率为． （3）证明：在四面体中，，，， 所以，， 所以四面体在点处的离散曲率为， 所以， 所以为等边三角形，所以． 又在中，，所以， 所以直四棱柱为正方体． 因为平面，平面，所以． 又，，平面， 所以平面． 又平面，所以． ∵平面，平面，∴． 又平面，，∴平面． 又平面，所以． 又，平面，所以平面． ∴是三棱锥的高，设正方体的棱长为， ∴，， ∴，∴， ∴，∴， ∴． 8．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 【答案】(1)证明见解析；(2)；(3)证明见解析 【分析】（1）设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接，然后由线面角定义可确定命题中所涉及，，，最后由三角函数定义可完成证明； （2）取中点为，连接，，，，通过证明平面平面，可得直线与底面所成角为，然后由三垂线定理可得答案； （3）设，，，，，．直线与底面所成角为，由对称性及三余弦定理可得.然后结合体积，表面积表达式，运用作差法配方后可证明结论. 【解析】（1）如图，不妨设在平面的射影为，则，过点作交直线于点，连接， 即为斜线与平面所成角， 即为斜线在平面的射影直线与平面内的直线所成角，即为斜线与平面内的直线所成角， ，，， 又，，，平面， 平面， 平面，， 根据几何关系可得，， ． （2）取中点为，连接，，，，易知， ，． 又，，，平面，平面， 平面， 平面平面， 直线在平面上的射影必在交线上， 直线与底面所成角为， ，， 由三余弦定理得，得， ， 即直线与底面所成角的正弦值为． （3）证明：设，，，，，，直线与底面所成角为，直线在底面投影与AB夹角为，在底面投影与AC夹角． 由平行六面体的对称性，不妨令，， 由三余弦定理， 则. 由题意得， ， ， ， 由，可得： 则 ， 当且仅当且时等号成立． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 限时练习：80min 完成时间： 月 日 天气： 作业13 空间直线、平面垂直 【知识点1 直线与平面垂直】 1．直线与平面垂直 (1)定义：直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直． (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直 ⇒l⊥α 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行 ⇒a∥b 2．直线和平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 【知识点2 平面与平面垂直】 1．二面角 (1)二面角的有关概念 ①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． ②二面角的平面角：过二面角棱上的任一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． ③二面角α的范围：. 2．两平面垂直 (1)定义：当两平面所成的二面角为直二面角时，称这两个平面垂直. (2)判定定理与性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直 ⇒α⊥β 性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 ⇒l⊥α [常见结论] (1)两个重要结论 ①若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面． ②若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)． (2)使用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，不要误解为“如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，就垂直于这个平面”． (3)三种垂直关系的转化 线线垂直线面垂直面面垂直 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 【题型一：与垂直关系有关的命题真假的判断（易错）】 ⭐【知识讲解】 对于与垂直关系有关的命题，常利用线线、线面、面面垂直间的关系判断其真假，有时也举反例说明命题为假. 1．已知是空间中两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法错误的是（    ） A．若、，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 2．已知、、为三条不同的直线，、为两个不同的平面，则（   ） A．由，，，得与平行或者异面 B．由，，，得或 C．由，，得 D．由，，，，得 【题型二:线面垂直的判定（重点）】 ⭐【知识讲解】 证明直线与平面垂直的方法有以下六种. 1.定义法 若一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，则这条直线垂直于这个平面. 2.判定定理法 利用判定定理是判定线面垂直的最主要方法，其关键在于寻找平面内与直线垂直的两条相交直线. 3.平行与垂直的相互转化法 (1)线线平行线面垂直: 如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面. (2)面面平行线面垂直: 如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面. 4.面面垂直的性质法 两平面垂直具有以下性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直.即“面面垂直线面垂直” 3.如图，平行四边形中， ， ， ， ， 分别为， 的中点，求证：平面. 4.如图所示，在四棱锥中，平面，，，是的中点，是上的点且，为△中边上的高. （1）证明：平面； （2）证明：平面. M 【题型三:面面垂直的判定（重点）】 ⭐【知识讲解】 处理平面与平面垂直的判定问题的基本思想仍是“转化”，具体的转化策略有： 1.定义法 如果两个平面相交所成的二面角为直二面角，那么这两个平面互相垂直. 即将两平面垂直转化为证二面角的平面角的两条边垂直，这体现了面面垂直与线线垂直间的转化.. 2.判定定理法 两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直.可简述为“线面垂直，则面面垂直”. 判定定理法是证明两平面垂直的最常用方法,其证题的关键是找到其中一个平面的垂线. 3.平行与垂直的转化法 (1)若一个平面与另一个平面的垂线平行，则这两个平面垂直. (2)若两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面，则另一个平面也垂直于第三个平面. 上述两个结论可用来速解选择、填空题，但在解答题中不能直接使用. 5.如图所示，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60º，∠BSC=90º. 求证：平面ABCD⊥平面BSC. A B S C O 6. 如图，四棱锥的底面是菱形，底面，分别是的中点，，， (1)求证：平面； (2)求证：平面平面； 【题型四:线面垂直的性质定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 线面垂直的性质定理主要用来判定线线平行，该性质是由线面垂直关系到线线平行关系的转化，掌握性质的关键是要明确平面的垂线，应用时，只要找到这个平面的两条垂线即可. 7.如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH. 8．如图所示，在正方体中，与，都垂直相交，垂足分别是点、点. (1)求证：平面； (2)求证：. 【题型五:面面垂直的性质定理的应用（重点）】 ⭐【知识讲解】 两个平面垂直的性质定理主要用于解决线面垂直问题，即由面面垂直线面垂直. 运用两个平面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平面内一点作交线的垂线，这样就把面面垂直转化为线面垂直或线线垂直. 9．如图，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF， 求证：EA⊥平面ABCD. 10.如图所示，在三棱锥P­ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC. 求证：BC⊥AC. 【题型六：与垂直有关的补充条件题（高频】 ⭐【知识讲解】 这类问题一般根据题设条件先补充条件，再利用垂直的判定或性质定理验证所补充条件的正确性. 11．已知平面，和直线，给出以下条件：①；②；③；④.要想得到，则所需要的条件是 ．（填序号） 12．已知是不重合的平面，l是直线，给出下列条件：①；②；③；④；⑤．当满足条件 时，有；当满足条件 时，有．（填序号） 【题型七:线面角的求解（高频）】 ⭐【知识讲解】 常用线面角的定义求线面角，其过程为： 一作：作出表示线面角的平面角； 二证：证明所作的角是线面角的平面角； 三求：将线面角对应的平面角放置于某个三角形中，通过解三角形求出该角的大小. 13．已知三棱锥的体积为1，是边长为2的正三角形，且，则直线PA与平面ABC所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D．1 14．如图，在直四棱柱中，底面为正方形且边长为3，与底面所成角的正切值为，则该直四棱柱的侧棱长为（   ） A． B． C．2 D． 15．已知四面体，若，，则直线与平面所成角为 ． 【题型八:二面角的求解（高频）】 ⭐【知识讲解】 二面角的大小是用二面角的平面角来度量的，求二面角的难点和关键是正确作出二面角的平面角，其过程是：一作，二证，三计算. 16．如图，点在以为直径的圆的圆周上，平面，则二面角的平面角为（    ） A． B． C． D． 17.如图，在三棱锥中，平面，若，，则二面角的大小为 .    18．在矩形中，平面，则平面与平面的夹角的正切值为 . 【题型九:空间距离的求解（高频）】 ⭐【知识讲解】 (1)求点线距的实质是求出表示点到平面距离的线段的长度，故找到或作出表示距离的垂线段是解题的关键所在; (2)点线距有时也利用等体积法求解. (3)直线与平面的距离、平面与平面的距离往往转化为点到平面的距离求解. 19．在三棱锥中，是边长为1的正三角形，，，，则点B到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 20．已知四棱锥中，底面为边长为2的正方形，，，则直线到平面的距离为（   ） A． B． C． D． 21．如图，已知正方体的棱长为，求：    (1)点到直线的距离； (2)点到平面的距离； (3)到平面的距离； (4)平面到平面的距离． 【题型一：垂直关系的综合（重点）】 ⭐【知识讲解】 空间中的平行和垂直关系是立体几何中两类最重要的位置关系，解决这两类问题的通法就是转化，可以说转化是论证平行与垂直的“必杀技” 1. 如图，在正方体中，点在线段上运动，则下列结论正确的是（   ） A．平面 B． C．平面 D．平面与平面不垂直 2.如图所示，已知三棱锥P­ABC中，PC⊥底面ABC，AB＝BC，D、F分别为AC、PC的中点，DE⊥AP于E. (1)求证：AP⊥平面BDE； (2)求证：平面BDE⊥平面BDF. 【题型二：平行与垂直的综合（高频）】 ⭐【知识讲解】 空间中的平行和垂直关系是立体几何中两类最重要的位置关系，解决这两类问题的通法就是转化，可以说转化是论证平行与垂直的“必杀技” 3．如图，在直三棱柱中，，为的中点，为棱的中点，则下列结论正确的是（ ） A．//平面 B． C． D．//平面 4.如图所示，AB为圆锥PO底面的直径，为圆上异于A、B的一点，、分别为AC、PA的中点，连接DO并延长交圆于点． (1)证明：平面PDE； (2)证明：平面PBC. 【题型三:垂直关系的实际应用(高频)】 ⭐【知识讲解】 对于垂直关系的实际应用问题，要使问题得到解决，可根据已知条件先将其转化为数学问题，再利用垂直的性质或判定得到相关的垂直关系，借助垂直关系进一步证明或求解相关量的值. 5．上海市政府实施“景观工程”，对现有平顶的民用多层住宅进行“平改坡”，计划将平顶房屋改为尖顶，并铺上彩色瓦片．现对某幢房屋有两种改造方案：方案中坡顶，如图1所示，为底面是等边三角形的直三棱柱，尖顶屋脊与房屋长度等长，有两个坡面需铺上瓦片．方案中坡顶，如图2所示，为图削去两端相同的两个三棱锥而得，尖顶屋脊比房屋长度短，有四个坡面需铺上瓦片．若房屋长，宽，屋脊高为，要使铺设的瓦片比较省，请你选择两种方案中的哪一个？ 【题型四：垂直关系与面、体积的综合】 ⭐【知识讲解】 这类问题的解决策略是——各个击破，即利用垂直的判定或性质研究垂直问题，利用几何体的面、体积公式解决其面、体积.其中几何体的高往往通过作垂线段或证明垂直关系得到. 6.如图，已知四棱锥的底面为菱形，. (1)求证：平面BDS； (2)若，求四棱锥的体积. 7.如图，在三棱锥ABCD中，已知平面平面，，O为BD的中点． (1)求证：； (2)若是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，，且二面角的大小为45°， ①求三棱锥的体积． ②求直线与平面所成角的正弦值． 【题型五：垂直关系与空间角的综合（难点）】 ⭐【知识讲解】 对于垂直关系与空间角综合的问题，作出空间角的平面角时往往需要构造垂直关系或作出垂线段，如果试题是解答题，必须利用垂直的判定或性质证明相应的垂直关系. 8．如图，四面体中，等边的边长为，，，平面平面，则下列选项正确的是（   ） A．四面体的体积为 B．直线与直线所成角的大小为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．点到平面的距离为3 9．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，，，，，平面，． (1)求证：平面； (2)求证：平面PAC平面PCD； (3)求二面角所成角的余弦值． . 【题型六：垂直关系与空间距离的综合（难点）】 ⭐【知识讲解】 对于垂直关系与空间距离综合的问题，作出表示空间距离的垂线时往往需要构造垂直关系或作出垂线段，如果试题是解答题，必须利用垂直的判定或性质证明相应的垂直关系. 10．如图， 已知是平面外一点，平面，. (1)证明：平面； (2)过点作垂直于，证明：； (3)若，，求点到平面的距离. 11.如图，在四棱台中，底面是正方形，平面，，，． (1)求证：平面； (2)求直线到平面的距离； (3)若点P是平面内的动点，且满足，设直线与平面所成角为，求的最大值． 【题型一：数学文化题（高频）】 1．苏轼是北宋著名的文学家、书法家、画家，在诗词文书画等方面都有很深的造诣．《蝶恋花春景》是苏轼一首描写春景的清新婉丽之作，表达了对春光流逝的叹息词的下阙写到：“墙里秋千墙外道．墙外行人，墙里佳人笑．笑渐不闻声渐悄，多情却被无情恼．”假如将墙看作一个平面，秋千绳、秋千板、墙外的道路看作直线，那么道路和墙面平行，当秋千静止时，秋千板与墙面垂直，秋千绳与墙面平行．在佳人荡秋千的过程中，下列说法中错误的是（    ） A．秋千绳与墙面始终平行 B．秋千绳与道路始终垂直 C．秋千板与墙面始终垂直 D．秋千板与道路始终垂直 2．正多面体也称柏拉图立体（被誉为最有规律的立体结构），是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形）.数学家已经证明世界上只存在五种柏拉图立体，即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是3（如图），则下列说法错误的是（    ）    A． B．直线BC与平面BEDF所成的角为 C．若点P为棱EB上的动点，则三棱锥F-ADP的体积为定值 D．若点P为棱ED上的动点，则的最小值为 3．如图，已知四面体中，平面，． (1)求证：； (2)若在此四面体中任取两条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取两个面作为一组和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为；任取一个面和不在此面上的一条棱作为一组（和视为同一组），则它们互相垂直的组数记为，试求的值； (3)《九章算术》中将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”．若此“鳖臑”中，，，有一根彩带经过平面与平面，且彩带的两个端点分别固定在点B和点D处，求彩带的最小长度． 【题型二：与垂直有关的开放、探究性问题（高频）】 4．在直三棱柱中，，当底面满足条件 时，有．（答案不唯一，请填上你认为正确的一种条件即可） 5．已知平面ABCD，则四边形ABCD满足 时，有．（试写出一个满足的条件） 6.如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值； (3)在线段上是否存在点N，使得平面？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由. 【题型三：新定义题（难点）】 7.阅读数学材料：“设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，⋯，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面．”已知在直四棱柱中，底面为菱形，．（角的运算均采用弧度制） (1)若，求四棱柱在各个顶点处的离散曲率的和； (2)若与平面的夹角的正弦值为，求四棱柱在顶点处的离散曲率； (3)截取四面体，若该四面体在点处的离散曲率为，与平面交于点，证明：． 8．三余弦定理：设A为平面内一点，过点A的斜线在平面上的正投影为直线．为平面内的一条直线，记斜线与直线的夹角（即直线与平面所成角）为，直线与直线的夹角为，直线与直线的夹角为，则．三余弦定理描述了线面角是斜线与平面内任意直线所成角的最小值，又称最小角定理． (1)证明三余弦定理； (2)如图，已知三棱柱，为正三角形，，求直线与底面所成角的正弦值； (3)已知平行六面体，记为平行六面体体积，为平行六面体表面积，为平行六面体棱长总和，求证：． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$