10.2.1 直方图 导学案 2025-2026学年人教版初中数学七年级下册

该初中数学导学案以“直方图”为核心，围绕组距、频数、频数分布表及直方图的概念理解、绘制步骤和数据分析设计学习目标，通过课前预习、知识点梳理、例题讲解、课堂练习、课后巩固的模块递进，构建“概念认知-技能掌握-应用拓展”的完整学习路径，体现知识建构的系统性。 亮点在于结合居民锻炼时长、学生睡眠时间等生活实例设计探究任务，学生通过计算极差、确定组距组数、绘制直方图等活动，培养抽象能力（数学眼光）、运算能力（数学思维）和数据意识（数学语言）。每模块设“注意”“温馨提示”指导关键步骤，为教师单元教学提供清晰流程，助力学生深度学习和能力发展。

10.2.1 直方图 导学案 2025-2026学年人教版初中数学七年级下册 【模块一：学习目标】 1. 理解组距、频数、频数分布表及频数分布直方图的概念，掌握绘制直方图的基本步骤。 2. 能够运用频数分布直方图描述数据的分布特征，并能从直方图中获取信息进行简单数据分析。 3. 体会用样本估计总体的统计思想，增强数据处理的规范意识与应用能力。 【模块二：课前预习】 1. 在10.1节中，我们学习了全面调查与抽样调查，并用扇形统计图、条形统计图等描述数据。如果要展示一组数据在各个连续区间内的分布个数，用哪一种统计图更合适？请回忆条形统计图中各长方形之间是否有缝隙。 2. 预习课本中直方图的内容，思考：把一组数据分成若干个小组后，每个小组两端点之间的距离被称为什么？落在每个小组内的数据个数又叫做什么？请试着用生活中的例子解释这两个概念。 3. 观察你身边常见的统计图，如身高体重分布图、考试成绩分段图等，它们与普通的柱状图有何不同？请记录一个实例，并用自己的话说说"无缝隙长方形"可能代表什么含义。 【模块三：知识点梳理】 一、频数分布的基本概念 1. 组距：将数据分成若干组时，每一组两个端点之间的距离称为组距。组距反映了分组的精细程度。 【注意】组距的选择直接影响直方图的形态。组距太小会导致组数过多，图形过于细碎；组距太大则会掩盖数据的细节变化。一般情况下，当数据个数在100以内时，组数通常控制在5至12组之间。 2. 频数：落在每个小组内的数据个数叫做该组的频数。所有小组的频数之和等于数据总个数。 3. 频数分布表：将各小组的范围及对应的频数列成表格，即为频数分布表。它能直观地呈现数据在各区间的聚集状态。 【温馨提示】制作频数分布表时，通常采用"上限不在内"的原则，如一组为150≤x＜160，则160属于下一组，以避免重复计数。 4. 频数分布直方图：以横轴表示各小组的范围，纵轴表示频数，用无缝隙的长方形直观描述频数分布情况的统计图，简称直方图。在等距分组中，长方形的高度直接表示频数。 二、绘制频数分布直方图的步骤 1. 计算最大值与最小值的差（极差），确定数据的变化范围。 2. 决定组距和组数。组数＝（最大值－最小值）÷组距，计算结果一般向上取整数。组距应结合数据特点和实际需要来确定，常取5、10等便于计算的数值。 3. 列频数分布表。采用划记法逐组统计频数，并核对总频数是否与数据总数一致。 4. 画频数分布直方图。建立平面直角坐标系，横轴标注各组边界，纵轴标注频数，以组距为宽、相应频数为高画出依次紧靠的长方形。 【注意】直方图与条形统计图容易混淆，它们的区别如下： 区别点 频数分布直方图 条形统计图 长方形间关系 各长方形之间无缝隙 各条形之间有间隔 横轴意义 表示连续的分组范围 表示相互独立的类别 长方形宽度 宽度代表组距，有实际意义 宽度无数量意义，可任意调节 适用数据 连续型数据 离散型分类数据 【温馨提示】绘制直方图时，纵轴必须从0开始，否则会扭曲各组之间的频数对比关系。同时应为直方图添加适当的标题，使统计图传达的信息完整清晰。 三、频数分布直方图的应用与识读 1. 反映频数分布：能直观看出哪个范围的数据个数最多，即频数最高的组。 2. 比较分布差异：通过长方形高度的对比，可判断数据分布的偏态与集中趋势。 3. 估计总体特征：根据样本的直方图形状，可以对总体的分布情况作出合理推断，为决策提供数据支撑。 【温馨提示】在读直方图时，应注意各组边界值的含义，不能将组中值直接误当作真实数据的取值。此外，如果采用不等距分组，需要用长方形面积来表示频数，但初中阶段主要学习等距分组的情况。 【模块四：例题讲解】 例1 某社区为了解居民每周的体育锻炼时长，随机调查了40名成年居民，时长（单位：小时）数据如下： 3.2 5.1 8.0 2.5 6.3 4.7 7.2 1.8 9.1 5.4 6.8 3.5 7.5 4.0 10.2 2.1 5.8 8.4 6.0 7.7 1.5 4.3 9.4 3.8 7.1 6.5 5.2 8.8 2.8 10.5 4.9 7.3 1.9 6.2 5.6 8.1 3.0 7.8 4.5 9.0 取组距为1.5小时，起始值为0小时，请列出频数分布表，并绘制频数分布直方图。 解答过程： （1）计算极差：最大值为10.5，最小值为1.5，极差＝10.5－1.5＝9.0。 （2）决定组数与组距：组距取1.5，组数＝9.0÷1.5＝6，正好为整数，分6组。 （3）确定分组范围：0≤x＜1.5，1.5≤x＜3.0，3.0≤x＜4.5，4.5≤x＜6.0，6.0≤x＜7.5，7.5≤x＜9.0，9.0≤x＜10.5，10.5≤x＜12.0。注意最后一组数据包含10.5，因此补足至12.0以保证每个数据均有组可落。 （4）频数分布表： 分组（小时） 频数 0≤x＜1.5 0 1.5≤x＜3.0 5 3.0≤x＜4.5 7 4.5≤x＜6.0 7 6.0≤x＜7.5 8 7.5≤x＜9.0 7 9.0≤x＜10.5 5 10.5≤x＜12.0 1 （5）绘制直方图： 图1 居民每周体育锻炼时长频数分布直方图 方法总结：绘制频数分布直方图的关键是先确定合适的组距，保证所有数据都落到对应组内，特别注意分界点的划分规则。划记统计时要细心，画图时横、纵坐标必须标注含义，各长方形紧密相连。 例2 某校调查八年级50名学生的每日睡眠时间（单位：小时），整理得到如下不完整的频数分布表，已知总频数为50，组距为1小时。 已知8~9的频数比7~8的频数多10。请求出a和b的值，并补充直方图中缺少的7~8组和9~10组的长方形。 解答过程： 由表，a+10=18，得a=8。代入a+b=26，得b=18。因此7~8组频数为8，9~10组频数为18。补全直方图时，在横轴7~8区间画高为8的长方形，在9~10区间画高为18的长方形。 图2 学生每日睡眠时间频数分布直方图 方法总结：对于不完整的频数分布表，通常利用"各组的频数之和等于样本总数"这一等量关系建立方程，再结合已知条件求出未知量。补图时需确保长方形高度准确对应频数。 【模块五：课堂练习】 基础巩固 1. 在一个样本中，数据总数为60，分成6组，前5组的频数之和为52，则第6组的频数为______。 2. 关于频数分布直方图，下列说法正确的是（ ） A. 直方图中各长方形之间必须留有空隙 B. 直方图的横轴只能表示组中值 C. 直方图能够清晰地显示各组频数的分布情况 D. 在直方图中，长方形的高表示组距 3. 某班共42名学生，数学测验成绩按分数段分组，80~90分这一组的频数为14，则这一组的频率是______；若组距为10，则相邻组为70~80和90~100，这两组的组距也是______。 4. 给出数据：152, 158, 167, 170, 165, 163, 155, 169, 172, 158, 160, 164, 167, 153, 168, 159, 162, 171, 156, 166。取组距为4，起始值为150，列出频数分布表。 能力提升 5. 某地30天的空气质量指数（AQI）数据整理成频数分布直方图：0~50有4天，50~100有12天，100~150有8天，150~200有5天，200~250有1天。空气质量为优或良的标准是AQI≤100，求这30天中空气质量达到优或良的天数及所占百分比。 6. 结合上题，若该地区全年约有365天，请根据样本估计全年AQI在100以下的大致天数。 7. 从一批产品中抽取50件测量长度，长度数据（单位：mm）分布如下，请设计合适的组距（如2 mm）列出频数分布表并完成直方图。你打算如何决定组数？写出你的思考过程。 【模块六：课后巩固及参考答案】 第一部分：课后巩固练习题 1. 某市为了了解初中生每天劳动时间，抽取了70名七年级学生，记录每天平均劳动时间（单位：分钟）。请以5分钟为组距，起始值为10分钟，列出频数分布表，并绘制频数分布直方图。 2. 某校调查八年级学生对课外读物的阅读量（单位：本/学期），得到不完整的频数分布直方图。横轴区间为0~3, 3~6, 6~9, 9~12, 12~15。已知0~3组有8人，12~15组有5人，3~6组的频数是6~9组的1.5倍，9~12组比12~15组多2人，总人数为60人。求3~6组与6~9组的频数，并补全直方图。 3. 依据第1题的数据，若教育部门规定每天劳动时间低于20分钟为劳动参与不足，请计算样本中劳动参与不足的人数和比例，并据此对全校七年级学生的情况作出初步推断。 第二部分：参考答案与详细解析 1. 解析： （1）数据中最小值为15，最大值为58，极差＝58－15＝43。 （2）组距定为5，组数＝43÷5＝8.6，向上取整为9组。 频数分布表： 分组（分钟） 频数 10≤x＜15 0 15≤x＜20 9 20≤x＜25 12 25≤x＜30 14 30≤x＜35 10 35≤x＜40 11 40≤x＜45 7 45≤x＜50 5 50≤x＜55 2 55≤x＜60 0 绘制直方图时，横轴标注各组，纵轴频数，画出相应高度的紧邻长方形。 2. 解析：9~12组为5+2=7人。设6~9组为x，则3~6组为1.5x。8+1.5x+x+7+5=60，2.5x=40，x=16，1.5x=24。3~6组频数24，6~9组频数16。补全直方图：在3~6区间画高24的长方形，在6~9区间画高16的长方形。 3. 解析：第1题中每天劳动时间低于20分钟即落在10≤x＜20范围，包含15~20组（频数9）和10~15组（频数0），共9人。样本总数为70，劳动参与不足的比例为9÷70≈12.9%。由此可以初步推断，该校七年级学生中每天劳动时间不足20分钟的比例大约为12.9%，说明仍有少部分学生劳动参与度有待加强，学校可进一步关注这部分学生的劳动习惯培养。 学科网（北京）股份有限公司 $