精品解析：江西吉安市永丰县第三中学、永丰县欧阳修学校、吉安长田学校2025-2026学年高一下学期第三次联考数学试卷

吉安市永丰三中、永丰欧阳修学校、吉安县长田学校 2025-2026学年高一下学期第三次联考数学试卷 考试范围：北师大版必修第二册第一、二、四、五章内容 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是复数的共轭复数，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 已知集合， ，则 （ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若，则 （ ） A. B. C. D. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 6. 在锐角中，角 所对的边分别为．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在平行四边形中，E为边 上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 8. 已知函数，且，已知 的值域为，若 在区间上恰有3个零点，则正实数的一个可能取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与共线，与共线，则与共线 C. 若，则 D. 若与都是单位向量，则 10. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 11. 、、 是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于的方程的根，则__________． 13. 若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 14. 在中，， 为的中点，过点 的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__． 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围． 16. 若的内角 的对边分别为，设，，且. （1）求角 的值； （2）若 ， ，求. 17. 已知函数 （1）求函数的最小正周期及其在区间上的最小值； （2）若，，求的值． 18. （1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心， 为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 19. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若函数在内恰有2023个零点，求与的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市永丰三中、永丰欧阳修学校、吉安县长田学校 2025-2026学年高一下学期第三次联考数学试卷 考试范围：北师大版必修第二册第一、二、四、五章内容 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知是复数的共轭复数，若 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为 ，即为 ， 可得 ，则 ， 所以 . 2. 已知集合， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为函数 在区间上是单调递增的，所以， 即，即； 又由 ，解得 ，即， 则得． 3. 已知，，若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】法1，因为，则 ， 解得，则，则 ， 所以 . 法2，因为，则由 ，解得， 设，，则 ； 由向量减法的几何意义，可得 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦的二倍角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】. 故选：B. 5. 如图，中，点D是线段BC的中点，E是线段AD的靠近A的三等分点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量线性运算先利用表示，再表示，再根据求结论. 【详解】因为是的中点，所以， 因为是的靠近的三等分点，所以， 所以． 6. 在锐角中，角所对的边分别为．若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据正弦定理边化角，再消去，可得，利用三角形是锐角三角形，可得，进而求出，对化简，可求出结果． 【详解】因为，由正弦定理可知， ， 又，所以 所以， 所以 即， 又是锐角，则， 则，，所以，即， 所以，解得， 所以. ，则，则， 故选：B. 7. 在平行四边形中，E为边上的动点，O为外接圆的圆心，，且，则的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意确定为直角三角形并求出线段的长，然后以为基底去计算的值即可. 【详解】由可知O为的中点，又因为O为外接圆的圆心， 所以为直角三角形，，所以， 又因为所以所以， 又因为E为边上的动点，所以 ， 因为，所以即 所以的最大值为6. 故选：C 8. 已知函数，且，已知 的值域为，若 在区间上恰有3个零点，则正实数的一个可能取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意分、两种情况，结合整体法处理正弦型函数零点问题求解即可． 【详解】解： 的值域为，， ①当时，，即， 又，， ， ，，， 又 在区间上恰有3个零点， ， 解得； ②当时，，即， 又，， ， ，，， 又 在区间上恰有3个零点， ， 解得； 综上，或． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题不正确的是（ ） A. 单位向量都相等 B. 若与共线，与共线，则与共线 C. 若，则 D. 若与都是单位向量，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】对A：单位向量的模都为1，但方向不确定，所以单位向量都相等是错误的.故A错误； 对B：若，，，则与共线，与共线，但与不一定共线，故B错误； 对C：因为，故C正确； 对D：若与都是单位向量，则，只有当时，才有，故D错误. 10. 已知都是复数，下列选项中正确的是（ ） A. 若，则或 B. 若，则 C. 若，则是实数 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的相关定义，以及复数的运算公式，即可求解. 【详解】若，则或，故A正确； 若， ，满足，但，故B错误； 若，则是实数，故C正确； 若，则，得或，所以，故D正确. 故选：ACD. 11. 、、是锐角三角形的内角，下列结论一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据条件，利用三角形的性质，得到间的关系，对A和B，利用诱导公式即可求解；对C，利用诱导公式及三角函数的性质，即可求解；对D，通过作差，利用余弦的差角公式，得到，再由三角函数的符号，即可求得出. 【详解】因为、、是锐角三角形的内角， 则，且， 对于A，因为，所以A正确， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，，则, 又 在区间上单调递增，所以，故C错误， 对于D，因为， 又，，则， 所以，即，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若是关于的方程的根，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】先化简，再将 代入方程，根据复数为零列式可求，即可得 【详解】化简． 因为 是方程的根， 将代入方程得． 展开， 则，即． 所以，解得 ， ， 则． 故答案为：4. 13. 若函数的部分图象如图所示，则关于的不等式的解集为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定的函数图象，结合“五点法”作图求出函数解析式，再根据正弦函数的图象解不等式即可. 【详解】由图象得，，即，而，则， ，又，则， 解得，函数的最小正周期，由图象知， 则，所以，， 由，得，则， 解得， 即关于的不等式的解集为. 14. 在中，，为的中点，过点的直线分别交直线、于不同的两点、．设，，复数，则取到的最小值为__． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用平面向量基本定理及M、E、N三点共线，判断出，对消去n后利用二次函数判断出的最小值. 【详解】 在中，因为， 所以. 又，，所以. 因为E为的中点，所以. 因为M、E、N三点共线，所以，即， 复数，所以， 令， 故当，取最小值. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，15题13分，16、17题各15分，18、19题各17分，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知复数，． （1）若z为纯虚数，求m的值； （2）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）按照复数的相关概念列方程组求解； （2）利用复数的几何意义列不等式组求解. 【小问1详解】 因为z是纯虚数，所以，解得 ； 【小问2详解】 在复平面内z对应的点为， 由题意可得，解得， 即m的取值范围是. 16. 若的内角的对边分别为，设，，且. （1）求角的值； （2）若 ， ，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由向量共线可得 ，结合正弦定理运算求解； （2）根据题意结合正弦定理可得 ，整理可得，利用正弦定理运算求解即可. 【小问1详解】 因为 ，且，则 ， 由正弦定理得 ， 且，则 ，可得 ，即 ， 又因为，所以. 【小问2详解】 由（1）知， 因为 ，由正弦定理得 ， 则， 整理可得 ，即， 且，可得， 由正弦定理得，所以. 17. 已知函数 （1）求函数的最小正周期及其在区间上的最小值； （2）若，，求的值． 【答案】（1）最小正周期，最小值为 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换化简后，根据正弦型三角函数的性质求周期及最值； （2）由同角三角函数的基本关系及角的变换，结合两角和的余弦公式求解. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期． 由知， 则当，即时，取得最小值为． 【小问2详解】 因为，所以． 又，所以，所以， 所以 ． 18. （1）已知向量满足，且与的夹角为．若与的夹角为钝角，求实数的取值范围； （2）如图，半圆的直径为圆心，为半圆上不同于的任意一点，若为半径上的动点，求的最小值． 【答案】（1） （2） . 【解析】 【分析】（1）与数量积小于零，排除反向共线情况即可； （2）利用平行四边形法则表示，转化成两向量的数量积求解，利用不等式求最值即可. 【详解】（1）由题意： ， 又， 由题意，解得， 又当时，即时，与共线， 所以与的夹角为钝角时，实数的取值范围为； （2）由题意：由为圆心，得 ，所以， 则， 由，， 所以， 即，当且仅当时，等号成立， 所以， 即的最小值为. 19. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）若，存在，对任意，有恒成立，求的最小值； （3）若函数在内恰有2023个零点，求与的值. 【答案】（1） （2） （3），，或， 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式和辅助角公式化简，结合三角函数增区间求法计算即可； （2）根据题意写出函数，结合平方关系进行换元，结合新元范围与二次函数的知识求解最值，得到，进而得到答案； （3）将原题意转化为，令，则，再分类讨论进行取舍即可得到答案. 【小问1详解】 令， 得 ∴函数的单调递增区间为 【小问2详解】 令， 则 可得，当即时，； 当即时， ∵存在，对任意，有恒成立， ∴为的最小值，为的最大值， ∴，， ∴， ∴. 【小问3详解】 令， 方程可化为， 令，则， 当时，，，此时函数在上有个零点， ∴，适合题意； 当时，在内有一解， 在或内有一取值，则此时函数在上有个零点，不适合题意； 当时，，此时函数在上有 个零点， ∴，适合题意； 当时， 或，或，则此时函数在上有 个零点，不适合题意； 当时，在和内各有一解，在和内各有一取值， 则此时函数在上有个零点，不适合题意； 当时，，，则此时函数在上有个零点，不适合题意. 综上所述，，，或，. 【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的综合应用问题.关键点在于换元法的运用，例如（2）中令，则，进而转化为二次函数；第（3）中方程可化为，令，则，通过换元进而由繁化简进行求解.本题考查转化与化归、分类与整合能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $