第六章 立体几何初步 单元检测卷-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

**基本信息** 《立体几何初步》基础检测卷，单元复习适用，通过四类题型梯度设计，覆盖空间几何体、点线面关系等核心知识，考查空间观念、推理能力与几何直观，适配高中数学单元巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|圆柱直观图、空间角、异面直线夹角等|基础巩固，如第4题长方体中异面直线夹角计算，考查几何直观| |多选题|3/18|面面平行判定、三棱柱中点线面关系等|能力提升，如第9题面面平行条件辨析，培养推理意识| |填空题|3/15|线面位置关系判断、直观图还原等|概念辨析，如第12题线面关系命题判断，强化空间观念| |解答题|5/77|截面证明、距离计算、二面角、存在性问题等|综合应用，如第19题四棱锥存在性探究，发展创新意识|

《立体几何初步》基础检测卷 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应（ ） A. 平行于轴，且长度为 B. 平行于轴，且长度为 C. 与轴的夹角为 ，且长度为 D. 与轴的夹角为 ，且长度为 2.若空间中两个角与的两边对应平行，则当 时，等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 3.如图，在四棱锥中，，是的中点，直线交平面于点 ，则下列结论正确的是（ ） A. ，，，四点不共面 B. ，，，四点共面 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 4.如图，在长方体中， ， ，那么异面直线与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 5.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为 ，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6.在空间四边形中，，分别为，上的点，且，，分别是，的中点，则（ ） A. 平面，且四边形是平行四边形 B. 平面，且四边形是平行四边形 C. 平面，且四边形是梯形 D. 平面，且四边形是梯形 7.已知一个圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8．如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是等腰三角形，是的中点，则异面直线与的夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知 ， 是不同的两个平面，则下列条件可以得到 的是（ ） A. 平面 内的任何一条直线，都有 B. 平面 内有无数条直线与平面 平行 C. 平面 内任意一条直线与平面 内的任意一条直线都没有公共点 D. 平面 内有两条相交直线都在平面 外 10.在三棱柱中，，，分别为线段，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线平面 C. 直线与异面 D. 直线与平面相交 11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ） A. B. 该圆台轴截面的面积为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.以下说法（其中，表示直线， 表示平面）中正确的个数为______. ①若， ，则 ； ②若 ， ，则； ③若， ，则 ； ④若 ， ，则. 13.在如图所示的直观图中，四边形为菱形，且边长为，则其原图形的形状为____，面积为______. 14.在正方体中，，，分别是棱，，的中点，点在上，且.有以下四个说法： 平面； 平面； ，，三点共线； 平面平面. 其中说法正确的是__（填序号）. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.如图所示，四边形所在平面为三棱锥的一个截面，且四边形为平行四边形. （1） 求证：平面； （2） 若，，求四边形周长的取值范围. 16.如图所示，在正方体中，，，，分别是，，，的中点.求证： （1） ； （2） 平面； （3） 平面平面. 17.如图，在三棱锥中，，，为的中点. （1） 证明： 平面； （2） 若点在棱上，且，求点到平面的距离. 18.在四棱锥中， ， ，，， 平面，，分别为，的中点. （1） 求证：平面 平面； （2） 若，求二面角的大小. 19.如图，在四棱锥中， 平面，底面是直角梯形，，，且，点是线段上一点，且. （1） 求证：平面 平面； （2） 若，在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求；若不存在，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 《立体几何初步》基础检测卷解析 1、 单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.若把一个高为的圆柱的底面画在平面上，则圆柱的高应（ ） A. 平行于轴，且长度为 B. 平行于轴，且长度为 C. 与轴的夹角为 ，且长度为 D. 与轴的夹角为 ，且长度为 答案：A 解析：平行于轴的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致，故选A. 2.．若空间中两个角与的两边对应平行，则当 时，等于（ ） A. B. 或 C. D. 或 答案：D 解析：空间中两个角A与B的两边对应平行， 这两个角相等或互补， ， 或 . 3.如图，在四棱锥中，，是的中点，直线交平面于点 ，则下列结论正确的是（ ） A. ，，，四点不共面 B. ，，，四点共面 C. ，，三点共线 D. ，，三点共线 答案：D 解析：连接（图略），直线与直线交于点，所以平面与平面交于点，所以平面和平面必相交于直线，直线在平面内，点，故点 平面，故，，，四点共面，所以A中结论错误. 若点D与点，，共面，则直线在平面内，与题目矛盾，故B中结论错误. 连接（图略），因为，分别为，的中点，所以，又，，故C中结论错误. 平面 平面，平面 平面，因为平面即为平面， 所以，，三点共线，故D中结论正确.故选D. 4.如图，在长方体中， ， ，那么异面直线与夹角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 答案：C 解析：设，则，，所以，， 连接，（图略），因为，所以异面直线与的夹角为或其补角， 又，， 所以.故选C. 5.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为 ，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 答案： C 解析： 设球的半径为，则截面圆的半径为， 截面圆的面积为 ， ， 球的表面积 . 6.在空间四边形中，，分别为，上的点，且，，分别是，的中点，则（ ） A. 平面，且四边形是平行四边形 B. 平面，且四边形是平行四边形 C. 平面，且四边形是梯形 D. 平面，且四边形是梯形 答案： C 解析： 如图， 由题意得，，，，且， 所以，且，所以四边形为梯形，故A，B不正确；因为， 平面， 平面，所以平面，故C正确；若平面，则，显然不平行于，所以不平行于平面，故D不正确. 7.已知一个圆锥的底面半径为，当圆锥的体积为时，该圆锥的母线与底面夹角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 答案： A 解析：如图，根据圆锥的性质得 底面圆， 所以即为母线与底面的夹角， 设圆锥的高为，则圆锥的体积 ，所以， 所以母线的长， 则圆锥的母线与底面夹角的正弦值为 .故选A. 8．如图，圆锥的轴截面是等边三角形，是等腰三角形，是的中点，则异面直线与的夹角的大小是（ ） A. B. C. D. 答案： B 解析：设等边的边长为，取的中点，连接，，，则 平面， 因为D是的中点，所以，， 所以（或其补角）即为异面直线与的夹角， 因为 平面， 平面， 所以， 又为等腰三角形，且为的中点，所以，， 因为，， 平面， 所以 平面，又 平面，所以， 在中，，所以 .故选B. 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知 ， 是不同的两个平面，则下列条件可以得到 的是（ ） A. 平面 内的任何一条直线，都有 B. 平面 内有无数条直线与平面 平行 C. 平面 内任意一条直线与平面 内的任意一条直线都没有公共点 D. 平面 内有两条相交直线都在平面 外 答案： AC 解析： 对于B，平面 与平面 也可能相交，故B错误； 对于D，在平面 外的两条相交直线，可以与平面 平行，也可以与平面 相交，故D错误.故选. 10.在三棱柱中，，，分别为线段，，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 平面平面 B. 直线平面 C. 直线与异面 D. 直线与平面相交 答案：AC 解析：对于A，因为在三棱柱中，、、分别为线段、、的中点，所以，， 因为，，所以平面平面，所以A中说法正确； 对于B，因为，分别是线段，的中点，所以，，所以与相交，所以直线与平面相交，所以B中说法错误； 显然C中说法正确； 对于D，易知， 平面， 平面， 所以直线平面，所以D中说法错误. 故选. 11.某班级到一工厂参加社会实践劳动，加工出如图所示的圆台，在轴截面中，，且，下列说法正确的有（ ） A. B. 该圆台轴截面的面积为 C. 该圆台的体积为 D. 沿着该圆台表面，从点到中点的最短距离为 答案：BCD 解析：对于A，由已知及题图知且，故，A中说法错误；对于B，圆台的高，所以圆台轴截面的面积，B中说法正确； 对于C，圆台的体积，C中说法正确； 对于D，将圆台一半侧面展开，如图，为的中点，易得，又，所以在中，，即从点C到中点的最短距离为，D中说法正确. 故选. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12.以下说法（其中，表示直线， 表示平面）中正确的个数为______. ①若， ，则 ； ②若 ， ，则； ③若， ，则 ； ④若 ， ，则. 答案：0 13.在如图所示的直观图中，四边形为菱形，且边长为，则其原图形的形状为____，面积为______. 答案：矩形； 8 解析：根据直观图的做法，在做直观图时，原来与轴平行的与轴平行，且长度不变，原来与轴平行的与轴平行，长度变为原来的一半，且新的坐标轴之间的夹角是 （或），所以四边形是边长分别为，的矩形，其面积为. 14.在正方体中，，，分别是棱，，的中点，点在上，且.有以下四个说法： 平面； 平面； ，，三点共线； 平面平面. 其中说法正确的是__（填序号）. 答案：②③ 解析：①易知，连接，，， 易得，交于点，即 平面，所以平面的说法是错误的； ②由①知，在平面上，因为在正方体中，，，分别是棱，，的中点，所以易得，所以，因为，所以，因为 平面， 平面，所以平面的说法是正确的； ③由①知，，三点共线的说法是正确的； ④由①知 平面，又 平面， 所以平面平面的说法是错误的. 故说法正确的是②③. 四、解答题：（本题共5小题，共77分．其中15题13分，16、17题每题15分，18、19每题17分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.如图所示，四边形所在平面为三棱锥的一个截面，且四边形为平行四边形. （1） 求证：平面； （2） 若，，求四边形周长的取值范围. 解析： （1） 证明： 四边形为平行四边形，. 平面， 平面，平面， 平面，平面 平面，， 平面， 平面，平面. （2） 同（1）可证，设，，，，，，，又，，，，且， 四边形的周长为，.故四边形周长的取值范围是. 16.如图所示，在正方体中，，，，分别是，，，的中点.求证： （1） ； （2） 平面； （3） 平面平面. 解析： （1） 证明 取的中点，连接、，如图， 为的中点， 在正方形中，， 且， 又，且， ，， 四边形是平行四边形， . 又，. （2） 取的中点，连接，， 则，. 又，， ，， 四边形是平行四边形，， 又 平面， 平面， 平面. （3） 由（1）知，又，， 平面，， 平面，且，， 平面平面. 17.如图，在三棱锥中，，，为的中点. （1） 证明： 平面； （2） 若点在棱上，且，求点到平面的距离. 解析： （1） 证明:因为，为的中点，所以，且.如图，连接，因为，所以为等腰直角三角形，且，.由知，.又，， 平面，所以 平面. （2） 作，垂足为，如图，由（1）知 平面，又 平面，所以，又，， 平面，所以 平面，故线段的长为点到平面的距离.因为，， ，所以 18.在四棱锥中， ， ，，， 平面，，分别为，的中点. （1） 求证：平面 平面； （2） 若，求二面角的大小. 解析： （1） 证明：在中， ， ，，所以，在中，， ，则，可得，又 ，所以 ，所以，由 平面， 平面，得，又，， 平面，所以 平面，由，分别为，的中点，得，所以 平面，因为 平面，所以平面 平面. （2） 取的中点，连接，因为为的中点，所以，由 平面，得 平面，因为 平面，所以，取的中点，连接，，则，由（1）知，所以，因为，， 平面，所以 平面，又 平面，所以，故为二面角的平面角，因为，所以，由（1）知，，则，所以，故 ，由图知，二面角的大小为 . 19.如图，在四棱锥中， 平面，底面是直角梯形，，，且，点是线段上一点，且. （1） 求证：平面 平面； （2） 若，在线段上是否存在一点，使得点到平面的距离为？若存在，求；若不存在，请说明理由. 解析 （1） 证明：因为，，所以，所以.因为，所以 ，所以 ，所以.因为 平面， 平面，所以.又，， 平面，所以 平面.又 平面，所以平面 平面. （2） 假设在线段上存在点，使得点到平面的距离为.由，，得.易知，，.设点到平面的距离为，因为，所以，解得.由相似可得，解得.故在线段上存在点，使得点到平面的距离为，此时. 学科网（北京）股份有限公司 $