2026年中考数学真题完全解读（云南卷）

该初中数学中考复习讲义覆盖云南省中考数与式、函数、图形的性质等核心模块，按“考点细目-模块占比-复习策略”系统架构，通过真题解读、方法归纳、分层训练突破运算、推理等难点，体现复习教学的系统性与针对性。 亮点在于“地域情境建模”与“几何推理链”设计，如第25题蓝莓产业方案选择训练模型观念，第27题圆综合题培养推理能力，配合“错题归因卡”和限时训练，提升学生运算能力与应用意识，助力教师精准把控复习节奏。

2026年云南省中考数学真题完全解读 试卷总评·考情分析·复习策略·真题解读 试题分析 2026年云南省中考数学试卷坚持“基础性、综合性、应用性、创新性”的命题导向，全卷满分100分，考试时间120分钟，由15道单选题（30分）、4道填空题（8分）和8道解答题（62分）组成。试卷在保持题型结构稳定的同时，进一步凸显了云南地方特色和学科育人价值。从模块分布看，数与式模块占比最高（约28分），函数模块（约19分）、图形的性质模块（约18分）、图形的变化与综合实践模块（约15分）和统计与概率模块（约10分）相互配合，共同覆盖初中数学核心领域。试卷难度梯度明显，选择题1-10题和填空题16-18题侧重基础运算与概念理解，选择题11-15题和解答题20-24题强化推理与应用能力，解答题25-27题以方案选择、二次函数综合和圆综合压轴，对学生的模型观念、推理能力和综合应用能力提出较高要求。情境方面，第25题以云南蓝莓产业保鲜盒贴纸印制费用为素材考查方案选择，第18题以“繁花伴书香·阅读伴成长”书市活动为背景考查概率，第13题以环保材料制作圆锥形灯罩考查圆锥侧面积，充分体现了数学与地方产业、传统文化和现实生活的深度融合。 试题亮点 云南蓝莓产业与书市文化入题，真实情境凸显地方育人导向：第25题以云南某地天然蓝莓优质产区为背景，通过比较甲、乙两家印制公司印制蓝莓保鲜盒专用介绍贴纸的费用，考查一次函数、方程与不等式的综合应用，引导学生用数学方法解决地方产业中的成本优化问题；第18题以“繁花伴书香·阅读伴成长”书市活动为背景，通过四类赠书抽取考查简单随机事件的概率。两题一产业一文化，构成云南卷鲜明的地域标识。 几何推理与图形变换深度融合，圆和特殊四边形仍是核心载体：第9题以圆周角定理检测基本推理；第11题通过对顶三角形面积比考查相似与比例；第16题以矩形对角线性质考查特殊四边形；第20题以三角形全等判定完成基础证明；第24题在平行四边形中融合菱形判定、角平分线和平行线性质；第27题以圆、直径、切线、中位线和相似三角形综合压轴。六题由浅入深，共同凸显几何模块的承托作用和推理能力的层级考查。 函数与代数应用题贴近生产生活，模型观念考查常态化：第17题以反比例函数图象经过已知点求参数；第23题以购买生日花束为背景列分式方程求解单价；第25题以蓝莓贴纸印制费用比较考查一次函数与不等式应用；第26题以两条抛物线交点问题考查二次函数与方程、不等式关系。四题从反比例函数到分式方程、一次函数再到二次函数，完整呈现代数应用能力梯度。 命题趋势 云南卷将持续依托地方产业与文化资源创设情境，地域标识题位置趋于稳定：第25题以蓝莓产业成本优化考查函数与不等式应用、第18题以书市赠书考查概率，两题分别位于解答题中后段和填空题位置。未来备考应关注云南的蓝莓、普洱茶、花卉、旅游等特色产业，以及民族文化和阅读文化等素材，训练学生从真实情境中抽象数学模型的能力。 几何综合题继续向“多知识点交叉、多方法融合”方向发展，圆与特殊四边形仍是核心载体：第24题平行四边形与菱形判定综合、第27题圆的切线、直径、中位线和相似综合，两题均要求学生在复杂图形中识别全等、相似、特殊四边形和圆的性质。预计今后解答题后两题仍将保持“圆+相似三角形”或“二次函数+几何”的综合结构。 函数与方程应用题将继续贴近生产生活，方案选择与最值问题比重稳中有升：第23题分式方程应用、第25题方案选择、第26题抛物线交点比较大小，三题均要求学生建立函数或方程模型并分类讨论。未来备考应强化“设变量—建关系—列方程/不等式—分类比较—回归实际”的建模流程，提升文字语言、图形语言、符号语言之间的转化能力。 统计与概率保持“一小一大”的稳定格局，数据分析能力考查趋向综合：第6题以演讲比赛评分求中位数、第19题以书市赠书求概率、第21题以学生活动调查条形统计图考查统计量和用样本估计总体。预计该模块将继续以真实调查数据或地方活动素材为载体，要求学生既能计算统计量，又能解释统计结果的实际意义。 考点细目表 题号 题型 分值 具体考点 关键能力 1 单选 2 数与式→科学记数法→用科学记数法表示较大数 运算能力 2 单选 2 图形的性质→直线与角→平角的定义与角度计算 几何直观 3 单选 2 函数→平面直角坐标系→各象限内点的坐标特征 直观想象 4 单选 2 数与式→整式的运算→同底数幂的乘除、合并同类项、积的乘方 运算能力 5 单选 2 图形的性质→图形的对称性→轴对称图形的识别 几何直观 6 单选 2 统计与概率→统计量→中位数的概念与计算 数据分析 7 单选 2 图形的性质→投影与视图→简单几何体的俯视图 空间观念 8 单选 2 数与式→规律探究→代数式的规律探究 推理能力 9 单选 2 图形的性质→圆→圆周角定理 推理能力 10 单选 2 数与式→二次根式→二次根式有意义的条件 运算能力 11 单选 2 图形的性质→相似三角形→相似三角形面积比与相似比的关系 推理能力 12 单选 2 数与式→因式分解→平方差公式分解因式 运算能力 13 单选 2 图形的性质→圆→圆锥的侧面积 运算能力 14 单选 2 方程与不等式→二元一次方程组→解二元一次方程组 运算能力 15 单选 2 图形的性质→解直角三角形→锐角三角函数与勾股定理 运算能力 16 填空 2 图形的性质→矩形→矩形的性质（对角线相等且互相平分） 推理能力 17 填空 2 函数→反比例函数→反比例函数解析式中参数的确定 运算能力 18 填空 2 统计与概率→概率→简单随机事件的概率计算 数据观念 19 填空 2 数与式→有理数的运算→正负数的意义与有理数减法 运算能力 20 解答 6 图形的性质→全等三角形→全等三角形的判定（SAS） 推理能力 21 解答 6 统计与概率→统计图表→条形统计图、用样本估计总体 数据分析 22 解答 7 数与式→实数的运算→实数混合运算（绝对值、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂、二次根式） 运算能力 23 解答 7 方程与不等式→分式方程→分式方程的实际应用 模型观念 24 解答 8 图形的性质→平行四边形与菱形→平行四边形判定、菱形判定、平行线性质、角平分线 推理能力 25 解答 8 函数→一次函数综合→一次函数与方程、不等式的综合应用（方案选择） 应用意识 26 解答 8 函数→二次函数综合→二次函数与一元二次方程、不等式的关系 综合应用 27 解答 12 图形的性质→圆综合→圆的切线、直径、中位线、相似三角形、面积关系 综合应用 考点模块占比分析 数与式模块（约28%，28分）：重点考查科学记数法、幂的运算、因式分解、二次根式、规律探究、实数混合运算、有理数运算等基础运算，对应第1、4、8、10、12、19、22题。该模块以运算能力为核心，强调算理理解与算法程序的统一。 函数模块（约19%，19分）：重点考查平面直角坐标系、反比例函数、一次函数方案选择、二次函数与方程不等式关系，对应第3、17、25、26题。第25题以蓝莓贴纸印制费用比较和第26题以抛物线交点比较大小，体现函数与方程、不等式的深度融合。 图形的性质模块（约18%，18分）：重点考查直线与角、轴对称图形、三视图、圆周角定理、相似三角形面积比、圆锥侧面积、矩形性质、全等三角形、平行四边形与菱形、解直角三角形、圆综合等，对应第2、5、7、9、11、13、15、16、20、24、27题。几何模块题量最大、覆盖面最广，是云南卷的核心承载模块。 图形的变化与综合实践模块（约15%，15分）：重点考查相似三角形面积比、平行四边形与菱形判定、圆的切线与相似综合等，对应第11、24、27题。该模块强调图形变换、综合推理和问题解决能力的协调发展。 统计与概率模块（约10%，10分）：重点考查中位数、条形统计图、用样本估计总体和简单随机事件的概率计算，对应第6、18、21题。第21题以学生活动调查为背景，综合考查统计图表分析和用样本估计总体。 核心复习策略 1. 夯实基础运算，落实算理算法双过关 （1）针对科学记数法、幂的运算、因式分解、二次根式、分式方程、不等式等高频基础题，每日限时训练10道，重点纠正符号错误、指数运算失误、分解不彻底等问题。 （2）建立“错题归因卡”，将第4题幂运算混淆、第12题因式分解方法选择、第23题分式方程漏检验等典型失误归类为“程序性错误”或“概念性错误”，每周复盘一次。 2. 强化几何推理，构建图形分析思维链 （1）以第9、11、16、20、24题为模板，训练“读图—标注已知—寻找全等/相似/特殊图形—写出推理链”四步法，确保每一步都有定理或定义支撑。 （2）对第24题平行四边形与菱形综合、第27题圆综合等中高档几何题，先独立完成再对照标准答案提炼辅助线添加动机，总结“见直径想直角、见切线连半径、见平行四边形想对角线”等常用策略。 3. 提升函数与建模能力，关注真实情境转化 （1）围绕第17题反比例函数、第23题分式方程应用、第25题方案选择、第26题二次函数综合，建立“情境抽象—变量识别—关系表达—求解验证”的建模流程，强化文字语言、图形语言、符号语言之间的转化。 （2）对第25题方案选择和第26题抛物线交点问题，养成画图、分类、分段讨论的习惯，通过列表分析不同情况下变量取值范围，避免“想当然”导致范围错误。 避坑提醒：云南卷最易踩的雷 ×轻视基础运算导致失分：科学记数法、幂的运算、因式分解、二次根式、分式方程等基础题看似简单，但符号、指数、分母、解集方向最易出错。 ×几何证明跳步或依据不清：全等、相似、圆的性质等证明题必须写明判定依据，避免因“显然成立”被扣分。 ×分类讨论不画图：第25题方案选择、第26题抛物线交点比较大小等题，若不分类讨论，极易漏解或选错。 ×应用题不回归实际意义：第21题统计估计、第23题花束价格、第25题贴纸数量等题要注意取整、单位和结论的实际合理性。 一、单选题 1．中国陆地领土面积约为，数据9600000用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：用科学记数法表示较大数 ►命题分析： （1）情境创设：以中国陆地领土面积约为9600000为背景，将国家地理数据转化为数学表达问题。 （2）问题设计：给出具体大数，要求学生用科学记数法表示，选项设置常见错误形式，考查对科学记数法形式a×10^n的理解。 （3）考查目标：考查学生用科学记数法表示大数的能力，以及数据观念，要求学生能从真实数据中抽象出数学表达。 答案与解析 【答案】A 【分析】科学记数法的标准形式为，要求 ，为整数，解题关键是正确确定 和的值． 【详解】解：∵科学记数法要求 ，原数是7位整数， ∴将变形为时，小数点向左移动了6位，可得，， ∴． 知识总结 ①科学记数法：把一个数表示成a×10^n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数。②确定n的方法：看原数变为a时小数点移动了多少位，n的绝对值等于移动位数；原数绝对值大于10时，n为正。③解题要点：先确定a，再数小数点移动位数。④拓展关联：科学记数法广泛应用于国土面积、人口、资源、天体距离等大数表示。 2．如图，点在直线上．若，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平角的定义与角度计算 ►命题分析： （1）情境创设：以点在直线上为背景，考查平角定义和角度计算。 （2）问题设计：给出平角的一部分角度，要求学生求另一部分角度，直接考查平角等于180°的概念。 （3）考查目标：考查学生对平角定义的理解和基本运算能力，属于基础层次的几何直观考查。 答案与解析 【答案】B 【详解】解：由题意，. 知识总结 ①平角：一条射线绕它的端点旋转，当始边和终边在同一条直线上、方向相反时，所构成的角叫平角，平角等于180°。②邻补角：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角互为邻补角，邻补角互补。③解题要点：看到“点在直线上”应想到平角或邻补角关系。④拓展关联：角度计算常与相交线、平行线、三角形内角和综合考查。 3．点所在的象限为（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 命题透视 ►核心考点：各象限内点的坐标特征 ►命题分析： （1）情境创设：以平面直角坐标系中点的位置为背景，考查象限内点的坐标特征。 （2）问题设计：给出点的坐标，要求学生判断该点所在的象限，直接考查各象限横纵坐标符号规律。 （3）考查目标：考查学生对平面直角坐标系中象限概念的理解和直观想象能力。 答案与解析 【答案】A 【分析】根据各象限点的横纵坐标符号特点第一象限；第二象限；第三象限；第四象限,即可判断． 【详解】解：点所在象限为第一象限． 知识总结 ①各象限坐标特征：第一象限（+,+），第二象限（-,+），第三象限（-,-），第四象限（+,-）。②坐标轴上的点：x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0，原点坐标为（0,0）。③解题要点：先判断横纵坐标的正负，再确定象限；注意坐标轴上的点不属于任何象限。④拓展关联：点的坐标特征常与函数图象、对称、平移结合考查。 4．下列计算正确的为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：同底数幂的乘除、合并同类项、积的乘方 ►命题分析： （1）情境创设：以四个代数运算选项为背景，考查幂的运算和合并同类项法则。 （2）问题设计：给出四个运算结果，要求学生判断哪个计算正确，选项涵盖同底数幂乘法、同底数幂除法、合并同类项、积的乘方等常见易错点。 （3）考查目标：考查学生对幂的运算法则和合并同类项法则的掌握，以及运算能力。 答案与解析 【答案】C 【详解】解：对于A选项，根据同底数幂乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∵，∴A错误； 对于B选项，根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∵，∴B错误； 对于C选项，合并同类项可得，∴C正确； 对于D选项，根据积的乘方法则：积的乘方等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘， ∵，∴D错误. 知识总结 ①同底数幂乘法：a^m·a^n=a^(m+n)。②同底数幂除法：a^m÷a^n=a^(m-n)（a≠0）。③合并同类项：字母和指数相同，系数相加。④积的乘方：(ab)^n=a^n·b^n。⑤解题要点：注意区分“指数相加”与“指数相乘”，避免将合并同类项误作同底数幂运算。 5．下列四个图形中，是轴对称图形的为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：轴对称图形的识别 ►命题分析： （1）情境创设：以四个图形为背景，考查轴对称图形的识别。 （2）问题设计：给出四个图形，要求学生判断哪个是轴对称图形，直接考查轴对称图形的定义。 （3）考查目标：考查学生对轴对称图形定义的理解和几何直观能力。 答案与解析 【答案】D 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．找不到这样一条直线，翻折后使直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．图形沿着一条直线翻折，直线两旁的部分能够完全重合，所以它是轴对称图形，故此选项符合题意． 知识总结 ①轴对称图形：沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合。②判断方法：尝试寻找可能的对称轴，逐一验证。③常见轴对称图形：线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、圆等。④解题要点：不要仅凭视觉印象，要依据定义严格判断。 6．某校开展了爱国主义演讲比赛，五位评委为某参赛选手打出的分数（单位：分）如下：9，7，9，8，9，这组数据的中位数为（     ） A．6 B．7 C．8 D．9 命题透视 ►核心考点：中位数的概念与计算 ►命题分析： （1）情境创设：以爱国主义演讲比赛评委打分为背景，考查中位数的计算。 （2）问题设计：给出五位评委的分数，要求学生求这组数据的中位数，需要先排序再找中间数。 （3）考查目标：考查学生对中位数概念的理解和数据分析能力，要求学生能正确排序并确定中位数。 答案与解析 【答案】D 【分析】解题思路是先将数据按从小到大顺序排列，再根据数据个数为奇数，取中间位置的数得到中位数． 【详解】解：将这组数据从小到大排列为． ∵这组数据共有个，是奇数，中位数为排序后最中间的数，即第个数， ∴这组数据的中位数为． 知识总结 ①中位数：将一组数据按从小到大（或从大到小）排列后，位于中间位置的数。②数据个数为奇数时，中位数是中间那个数；数据个数为偶数时，中位数是中间两个数的平均数。③解题要点：先排序，再定位；不要误将众数或平均数当作中位数。④拓展关联：中位数常与平均数、众数、方差一起考查统计量的综合应用。 7．下列四个几何体中，俯视图是正方形的为（     ） A．三棱锥 B．正方体 C．圆柱 D．球 命题透视 ►核心考点：简单几何体的俯视图 ►命题分析： （1）情境创设：以四个几何体为背景，考查俯视图的概念。 （2）问题设计：给出三棱锥、正方体、圆柱、球四个几何体，要求学生判断俯视图是正方形的几何体。 （3）考查目标：考查学生对三视图中俯视图概念的理解和空间观念。 答案与解析 【答案】B 【分析】分别找出立体图形从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：、三棱锥俯视图不是正方形，故此选项错误； B、正方体的俯视图是正方形，故此选项正确； C、圆柱的俯视图是圆，故此选项错误； D、球的俯视图是圆，故此选项错误． 知识总结 ①俯视图：从物体的正上方观察得到的平面图形。②常见几何体俯视图：正方体的俯视图是正方形，圆柱的俯视图是圆，球的俯视图是圆，三棱锥的俯视图是三角形。③解题要点：俯视图中被遮挡的轮廓线用虚线表示；注意区分俯视图、主视图、左视图。 8．按一定规律排列的代数式： ，，，，，…，第个代数式为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：代数式的规律探究 ►命题分析： （1）情境创设：以按规律排列的代数式为背景，考查从特殊到一般的归纳能力。 （2）问题设计：给出前几个代数式，要求学生归纳第n个代数式的表达式，需要分别分析系数和字母部分的变化规律。 （3）考查目标：考查学生的推理能力和模型观念，要求学生能观察、归纳并用代数式表达一般规律。 答案与解析 【答案】C 【分析】分别分析代数式的系数和字母部分的变化规律，归纳即可得到第个代数式． 【详解】解：观察给出的代数式依次分析： ∵第1个代数式：， 第2个代数式：， 第3个代数式：， 第4个代数式： ，... ， 依次类推，所有代数式的字母部分均为 ，第个代数式的系数为， ∴第个代数式为． 知识总结 ①规律探究方法：分别分析系数、字母、指数的变化规律，再综合写出第n项。②常见规律：等差数列（系数成等差）、等比数列（系数成等比）、幂次关系等。③解题要点：将代数式拆分为系数和字母部分分别研究；验证规律对前几个已知值是否成立。④拓展关联：代数式规律常与数列、函数结合，是综合与实践的重要载体。 9．如图，是的弦，点在上．若，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：圆周角定理 ►命题分析： （1）情境创设：以圆中弦和圆周上一点为背景，考查圆周角定理。 （2）问题设计：已知圆心角或弧的度数，求圆周角的度数，要求学生运用同弧所对圆周角等于圆心角的一半。 （3）考查目标：考查学生对圆周角定理的理解和推理能力，要求学生能在圆中识别同弧所对的圆心角和圆周角。 答案与解析 【答案】D 【分析】利用圆周角定理，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍求解． 【详解】解：． 知识总结 ①圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角等于圆心角的一半。②推论：直径所对的圆周角是直角；同弧或等弧所对的圆周角相等。③解题要点：遇到圆上一点求角度，常连接该点与圆心构造圆心角。④拓展关联：圆周角定理常与三角形内角和、等腰三角形性质综合考查。 10．若在实数范围内有意义，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：二次根式有意义的条件 ►命题分析： （1）情境创设：以含二次根式的代数式为背景，考查二次根式有意义的条件。 （2）问题设计：给出二次根式表达式，要求写出自变量取值范围，直接考查被开方数为非负数的条件。 （3）考查目标：考查学生对二次根式有意义的条件的理解和运算能力。 答案与解析 【答案】D 【分析】根据二次根式被开方数为非负数列不等式求解即可得到结果． 【详解】解：由题意得：，解得． 知识总结 ①二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，即√a中a≥0。②函数自变量取值范围：分式分母不为零，偶次根式被开方数非负，零指数幂和负整数指数幂底数不为零。③解题要点：当表达式含多种限制时，取各限制条件的公共部分。④拓展关联：自变量取值范围是函数概念的基础。 11．如图，，相交于点，，记的面积为，的面积为．若，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：相似三角形面积比与相似比的关系 ►命题分析： （1）情境创设：以两条线段相交形成的两个三角形为背景，考查相似三角形的判定与性质。 （2）问题设计：已知两个三角形相似和面积比，求对应线段的比，要求学生运用相似三角形面积比等于相似比的平方。 （3）考查目标：考查学生对相似三角形性质的理解和推理能力，要求学生能根据面积比反推相似比。 答案与解析 【答案】C 【详解】解： ， ， ， ， 故选：C． 知识总结 ①相似三角形性质：对应边成比例、对应角相等、周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方。②判定方法：AA、SAS、SSS。③解题要点：面积比与相似比的关系不要混淆，面积比等于相似比的平方。④拓展关联：相似三角形常与圆、特殊四边形、解直角三角形综合考查。 12．分解因式：（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：平方差公式分解因式 ►命题分析： （1）情境创设：以多项式分解因式为背景，考查因式分解的基本方法。 （2）问题设计：给出可用平方差公式分解的多项式，要求学生选择正确的分解结果。 （3）考查目标：考查学生因式分解的运算能力，要求学生掌握平方差公式的结构特征。 答案与解析 【答案】B 【分析】将原式变形为两个数的平方差的形式，套用平方差公式即可得到结果． 【详解】解：， ． 知识总结 ①平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)。②因式分解步骤：先提公因式，再看能否用公式，最后检查是否分解彻底。③解题要点：识别多项式是否符合平方差公式结构；注意符号变化。④拓展关联：因式分解是分式化简、解方程、求代数式值的重要工具。 13．某文创团队用环保材料制作圆锥形灯罩．若该圆锥的母线长，侧面展开图是圆心角为的扇形，则这个圆锥的侧面积为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：圆锥的侧面积 ►命题分析： （1）情境创设：以环保材料制作圆锥形灯罩为背景，考查圆锥侧面积公式。 （2）问题设计：已知圆锥母线长和侧面展开图圆心角，求圆锥侧面积，直接运用扇形面积公式。 （3）考查目标：考查学生对圆锥侧面积公式的理解和运算能力，要求学生能将圆锥侧面展开为扇形并计算面积。 答案与解析 【答案】A 【分析】圆锥侧面展开图为扇形，圆锥母线长等于展开扇形的半径，直接利用扇形面积公式即可求出圆锥侧面积. 【详解】解：∵圆锥的母线长为，侧面展开图是圆心角为的扇形， ∴展开扇形的半径，圆心角， ∵圆锥侧面积等于其侧面展开扇形的面积， ∴. 知识总结 ①圆锥侧面积公式：S=πrl（r为底面半径，l为母线长），或S=(nπl^2)/360（n为侧面展开扇形圆心角度数）。②圆锥与扇形关系：圆锥母线长等于展开扇形的半径，圆锥底面周长等于展开扇形的弧长。③解题要点：已知圆心角和母线长时，直接用扇形面积公式计算更简便。④拓展关联：圆锥侧面积常与弧长、圆心角、底面半径综合考查。 14．方程组的解为（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：解二元一次方程组 ►命题分析： （1）情境创设：以二元一次方程组为背景，考查方程组的解法。 （2）问题设计：给出一个二元一次方程组，要求学生选择正确的解，可用加减消元法或代入消元法求解。 （3）考查目标：考查学生解二元一次方程组的运算能力，要求学生能根据方程特点选择合适解法。 答案与解析 【答案】A 【分析】观察方程组发现y的系数互为相反数，可采用加减消元法消去y，先求出x的值，再代入求y即可． 【详解】解： ∵①②，得， 解得， 将代入①，得， 解得 ∴原方程组的解为． 知识总结 ①解二元一次方程组方法：代入消元法、加减消元法。②加减消元法：当某个未知数系数相等或互为相反数时，两式相减或相加消去该未知数。③解题要点：消元前先观察系数特征，选择简便方法；求出一个未知数后代入求另一个。④拓展关联：二元一次方程组常与实际问题、一次函数综合考查。 15．在中，．若，，则（     ） A． B． C． D． 命题透视 ►核心考点：锐角三角函数与勾股定理 ►命题分析： （1）情境创设：以直角三角形为背景，考查锐角三角函数和勾股定理。 （2）问题设计：在直角三角形中，已知一个锐角的正切值和一条直角边，求另一条直角边或斜边，需要先利用正切定义求边，再用勾股定理。 （3）考查目标：考查学生对锐角三角函数定义和勾股定理的掌握，以及运算能力。 答案与解析 【答案】C 【分析】先根据正切定义求出直角边的长度，再利用勾股定理计算的长度即可． 【详解】解： 中，，，， ， 由勾股定理得， 故选：C． 知识总结 ①锐角三角函数：sinA=对边/斜边，cosA=邻边/斜边，tanA=对边/邻边。②勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。③解题要点：先根据三角函数值求出未知边，再用勾股定理求第三边；注意边角对应关系。④拓展关联：解直角三角形常与仰角俯角、坡度坡角、方位角等实际问题结合。 二、填空题 16．在矩形中，若，则________． 命题透视 ►核心考点：矩形的性质（对角线相等且互相平分） ►命题分析： （1）情境创设：以矩形对角线为背景，考查矩形的性质。 （2）问题设计：在矩形中，已知一条对角线被交点分成的两段关系，求另一条对角线长度，需要运用矩形对角线相等且互相平分的性质。 （3）考查目标：考查学生对矩形性质的理解和推理能力。 答案与解析 【答案】 【详解】解：∵四边形是矩形，为矩形的两条对角线， ∴， ∵， ∴. 知识总结 ①矩形性质：对边平行且相等，四个角都是直角，对角线相等且互相平分。②对角线关系：矩形的两条对角线长度相等，且交点平分两条对角线。③解题要点：看到矩形应联想到对角线相等且互相平分，将未知对角线转化为已知线段。④拓展关联：矩形常与菱形、正方形性质对比考查。 17．若函数的图象经过点，则________． 命题透视 ►核心考点：反比例函数解析式中参数的确定 ►命题分析： （1）情境创设：以反比例函数图象经过已知点为背景，考查反比例函数解析式的确定。 （2）问题设计：已知反比例函数图象经过某点，要求学生求出比例系数k的值，直接代入点的坐标即可。 （3）考查目标：考查学生对反比例函数解析式的理解和运算能力。 答案与解析 【答案】 【分析】函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将点代入反比例函数解析式，即可求出的值． 【详解】解：函数的图象经过点， 将，代入得：． 知识总结 ①反比例函数解析式：y=k/x（k≠0）或y=kx^(-1)。②求k的方法：将已知点坐标代入解析式，解出k。③解题要点：注意k的符号与点所在象限的关系；反比例函数图象上任意一点横纵坐标乘积等于k。④拓展关联：反比例函数常与一次函数、几何图形面积综合考查。 18．中国是历史上最早认识和使用负数的国家．某地某天最高气温为零上6摄氏度，最低气温为零下2摄氏度，则该地这天最高气温比最低气温高________摄氏度． 命题透视 ►核心考点：简单随机事件的概率计算 ►命题分析： （1）情境创设：以“繁花伴书香·阅读伴成长”书市活动赠书抽取为背景，考查概率计算。 （2）问题设计：从文学类、科技类、劳技类、艺术类四类赠书中随机抽取一种，求抽到劳技类赠书的概率。 （3）考查目标：考查学生对概率意义的理解和计算能力，以及数据观念。 答案与解析 【答案】 【分析】先根据正负数的意义表示出最高气温和最低气温，再利用有理数的减法法则计算最高气温与最低气温的差值即可． 【详解】解：规定零上温度为正，则该地这天最高气温为，最低气温为． ∴该地这天最高气温比最低气温高． 知识总结 ①概率公式：P(A)=事件A发生的可能结果数/所有可能结果数。②解题要点：明确总结果数和所求事件的结果数，确保每种结果等可能。③易错提醒：混淆“放回”与“不放回”抽取，导致总结果数计算错误。④拓展关联：概率常与统计图表、游戏公平性、决策问题结合考查。 19．某市举办主题为“繁花伴书香·阅读伴成长”的书市活动，主办方为参与者准备了四种类型的赠书，分别为文学类、科技类、劳技类、艺术类，每种类型的赠书都有相等的机会被参与者抽到．若参与者甲在主办方准备的上述四种类型的赠书中，随机抽一种类型的赠书，则参与者甲抽到劳技类赠书的概率为________． 命题透视 ►核心考点：正负数的意义与有理数减法 ►命题分析： （1）情境创设：以中国历史上最早认识和使用负数为背景，考查正负数的意义和有理数减法。 （2）问题设计：已知最高气温和最低气温，求最高气温比最低气温高多少摄氏度，需要用正数、负数表示温度并作差。 （3）考查目标：考查学生对正负数意义的理解和有理数运算能力，体现数学文化育人价值。 答案与解析 【答案】/0.25 【分析】先确定所有等可能的结果总数，再确定抽到劳技类赠书的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，随机抽取一种赠书，共有种等可能的结果，其中抽到劳技类赠书的结果有种， ∴参与者甲抽到劳技类赠书的概率为． 知识总结 ①正负数表示相反意义的量：零上温度记为正，零下温度记为负。②有理数减法：a-b=a+(-b)，减去一个数等于加上这个数的相反数。③解题要点：先正确用正负数表示温度，再作差；注意温差为非负数。④拓展关联：负数的历史是中国数学文化的重要组成部分。 三、解答题 20．如图，，，点是线段的中点．求证：． 命题透视 ►核心考点：全等三角形的判定（SAS） ►命题分析： （1）情境创设：以线段中点和已知边角关系为背景，考查全等三角形的判定。 （2）问题设计：已知点C是线段AB的中点，AD∥BE，AD=BE，求证两个三角形全等，可直接运用SAS判定。 （3）考查目标：考查学生的推理能力和对全等三角形判定方法的掌握。 答案与解析 【答案】证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用判定方法“”证明即可． 【详解】略 知识总结 ①全等三角形判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL。②SAS判定：两边及其夹角对应相等的两个三角形全等。③解题要点：由中点得到一组边相等，由平行得到一组角相等，结合已知边相等构造SAS条件。④拓展关联：全等三角形是证明线段相等、角相等的基础工具。 21．某校准备组织全校学生参加唱歌、舞蹈、书法、绘画、诵读活动．学校从全校学生中随机抽取了名学生（该校每名学生都有相等的机会被抽到），就学生自己最想参加的活动进行调查（规定参与调查的学生每人在这五项活动中选一项而且只能选一项），根据调查结果绘制出下面的统计图： 请根据以上信息，解决下列问题： (1)求的值； (2)若该校有学生人，请估计该校学生最想参加唱歌活动的人数． 命题透视 ►核心考点：条形统计图、用样本估计总体 ►命题分析： （1）情境创设：以学校组织学生参加唱歌、舞蹈、书法、绘画、诵读活动的调查为背景，考查统计图表分析。 （2）问题设计：给出不完整的条形统计图，要求求样本容量和用样本估计总体中想参加唱歌活动的人数。 （3）考查目标：考查学生的数据分析能力和数据观念，要求学生能读取统计图表并解释实际意义。 答案与解析 【答案】(1) (2)人 【分析】根据条形统计图解答即可； 利用样本估计总体的方法解答即可． 【详解】（1）解：由条形统计图可得， ； （2）解： （人）， 答：估计该校学生最想参加唱歌活动的人数为人． 知识总结 ①条形统计图：用长方形的高度表示各类数据的数量。②样本容量：样本中个体的总数，等于各组频数之和。③用样本估计总体：总体中某部分数量≈总体容量×样本中该部分频率。④解题要点：注意从图表中提取关键数据，建立方程求解未知量。 22．计算：． 命题透视 ►核心考点：实数混合运算 ►命题分析： （1）情境创设：以纯数学运算为情境，考查实数的混合运算能力。 （2）问题设计：给出一个包含绝对值、特殊角三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和二次根式的算式，要求学生计算结果。 （3）考查目标：考查学生的运算能力，要求学生熟练掌握各类实数运算规则。 答案与解析 【答案】 【分析】分别计算绝对值、特殊角的三角函数值、负整数指数幂、零指数幂和二次根式的性质，再进行加减运算即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 知识总结 ①特殊角三角函数值：熟记30°、45°、60°角的正弦、余弦、正切值。②零指数幂：a^0=1（a≠0）。③负整数指数幂：a^(-n)=1/a^n（a≠0）。④二次根式性质：(√a)^2=a（a≥0）。⑤解题要点：按运算顺序逐步计算；注意符号和指数。 23．某同学计划在母亲生日当天购买一束鲜花送给她，花店推出，两种生日系列花束．已知种花束每束的价格比种花束每束的价格少8元，用480元购买种花束的数量与用560元购买种花束的数量相同．求每束种花束的价格． 命题透视 ►核心考点：分式方程的实际应用 ►命题分析： （1）情境创设：以购买生日花束为背景，考查分式方程的实际应用。 （2）问题设计：已知A种花束比B种花束每束少8元，且用480元购买A种的数量与用560元购买B种的数量相同，求A种花束单价。 （3）考查目标：考查学生的模型观念和应用意识，要求学生能从实际问题中抽象出分式方程模型并求解。 答案与解析 【答案】 每束A种花束的价格为48元 【分析】设出A种花束的单价，根据A、B单价的关系表示出B的单价，再利用“480元购买A种花束的数量与560元购买B种花束的数量相等”这一等量关系，列出分式方程，求解检验后得到结果. 【详解】解：设每束A种花束的价格为元，则每束B种花束的价格为元； 根据题意，得， 解得； 经检验是原分式方程的解，且符合题意； 答：每束A种花束的价格为48元． 知识总结 ①列分式方程解应用题步骤：审题找等量关系→设未知数→列方程→解方程→检验→作答。②等量关系：数量=总价/单价，根据两种花束数量相等列方程。③解题要点：解分式方程必须检验，既要检验是否是增根，也要检验是否符合实际意义。④拓展关联：分式方程广泛应用于工程、行程、采购等实际问题。 24．如图，在四边形中，，相交于点，，，平分． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的度数． 命题透视 ►核心考点：平行四边形判定、菱形判定、平行线性质、角平分线 ►命题分析： （1）情境创设：以四边形中对角线相交且满足特定条件为背景，考查平行四边形和菱形的判定。 （2）问题设计：第（1）问证明四边形是菱形；第（2）问求某个角的度数，涉及平行四边形判定、菱形判定、角平分线和平行线性质。 （3）考查目标：考查学生的推理能力和对特殊四边形判定方法的掌握，要求学生能在复杂图形中灵活运用多个定理。 答案与解析 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； (2) 【分析】（1）根据，得到，进而得到四边形是平行四边形，根据平行线的性质，角平分线的定义，推出，进而得到，即可得证； （2）根据角的数量关系，和差关系求出的度数，再根据菱形的性质，即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴． 知识总结 ①平行四边形判定：两组对边分别平行；两组对边分别相等；一组对边平行且相等；对角线互相平分。②菱形判定：一组邻边相等的平行四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形；四边相等的四边形是菱形。③解题要点：先证平行四边形，再证邻边相等或对角线垂直。④拓展关联：特殊四边形常与全等、相似、圆综合考查。 25．问题提出 云南某地是天然的蓝莓优质产区，昼夜温差大，日照时间长，紫外线照射强，霜冻期短．这里出产的蓝莓果粒大，果味香，果肉甜脆．近期，某蓝莓销售公司搭上了快递专线，工人们需要将分装好的蓝莓装进特制的蓝莓保鲜盒内，保鲜盒外粘贴专用介绍贴纸． 该公司印制专用介绍贴纸，需要考虑如何使印制费用最低． 问题解决 在保证相同质量的情况下，甲、乙两家印制公司都按公司优惠价格收取印制费用．具体收费方案为： 甲印制公司的收费方案是：收1350元制版费，每张专用介绍贴纸再收0.2元印制费； 乙印制公司的收费方案是：不收制版费，每张专用介绍贴纸收0.35元印制费． 根据以上信息，印制这种专用介绍贴纸，应该选择甲印制公司，还是乙印制公司？ 命题透视 ►核心考点：一次函数与方程、不等式的综合应用（方案选择） ►命题分析： （1）情境创设：以云南蓝莓保鲜盒专用介绍贴纸印制费用比较为背景，考查一次函数、方程与不等式的综合应用。 （2）问题设计：甲公司收制版费1350元，每张0.2元；乙公司无制版费，每张0.35元。要求学生分情况讨论选择哪家公司更合算。 （3）考查目标：考查学生的应用意识、模型观念和分类讨论能力，要求学生能建立函数模型并比较不同方案。 答案与解析 【答案】 当印制贴纸数量小于9000张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000张时，选择甲、乙两家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000张时，选择甲印制公司 【分析】设印制张专用介绍贴纸，根据收费方案，列出代数式，分3种情况，列出方程或不等式进行求解即可. 【详解】解：设印制张专用介绍贴纸， 由题意，甲印制公司所需费用为元，乙印制公司所需费用为元， 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 综上：当印制贴纸数量小于9000张时，选择乙印制公司；当印制贴纸数量等于9000张时，选择甲、乙两家印制公司费用相同；当印制贴纸数量大于9000张时，选择甲印制公司. 知识总结 ①方案选择问题：分别建立各方案的费用函数，通过列方程求临界点，再分情况用不等式比较。②一次函数模型：y=kx+b，其中k为单件费用，b为固定费用。③解题要点：找出费用相等时的数量作为分界点，再分“小于”“等于”“大于”三种情况讨论。④拓展关联：方案选择问题常与电话套餐、租车、购票等生活情境结合。 26．已知，．某二次函数表示的图象为抛物线，抛物线经过，两点．函数表示的图象为抛物线．轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上． (1)求抛物线与轴的公共点的坐标； (2)比较与的大小． 命题透视 ►核心考点：二次函数与一元二次方程、不等式的关系 ►命题分析： （1）情境创设：以两条抛物线在x轴上有公共点为情境，考查二次函数与方程、不等式的关系。 （2）问题设计：第（1）问求抛物线与x轴的公共点坐标；第（2）问比较两条抛物线的大小，需要分情况讨论。 （3）考查目标：考查学生的综合应用能力和推理能力，要求学生能利用二次函数图象与方程、不等式的关系求解。 答案与解析 【答案】(1) ， (2) 当时，；当时， 【分析】（1）令，求出值即可得出结果； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，当时，解得， ∴抛物线与轴的公共点的坐标为，； （2）解：由（1）知：抛物线与轴的公共点的坐标为，； ∵抛物线经过，两点，轴上有这样的点，它既在抛物线上，又在抛物线上， ∴或， ①当时，整理得，解得， 将代入得： ∵， ∴，即. ② 当时，整理得， 解得， ∴，两边除以得， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即； 综上：当时，；当时，. 知识总结 ①抛物线与x轴交点：令y=0，解一元二次方程。②函数值比较：在同一x值处，函数值大的图象在上方；可通过解不等式确定大小关系。③解题要点：第（2）问注意两条抛物线的交点位置，分区间讨论；注意二次项系数对开口方向的影响。④拓展关联：二次函数综合常与面积、最值、存在性问题结合。 27．如图，是的外接圆，是的直径．点在的延长线上，且．点在的延长线上．线段的中点与点、点在同一条直线上．线段与相交于点，与线段相交于点．于点，线段与线段相交于点，连接．记的面积为，的面积为． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求线段的长； (3)观察，探究，发现与证明： 以下三个结论：，，，你认为哪个正确？请证明你认为正确的那个结论． 命题透视 ►核心考点：圆的切线、直径、中位线、相似三角形、面积关系 ►命题分析： （1）情境创设：以圆的综合图形为背景，设置三问递进考查圆的多种性质和相关几何推理。 （2）问题设计：第（1）问证明直线是圆的切线；第（2）问求线段长度；第（3）问探究两个三角形面积关系并证明，涉及中位线、相似三角形和面积关系。 （3）考查目标：考查学生的推理能力、运算能力和综合应用能力，是整卷的几何压轴题，对学生的代数运算、几何推理和数形结合能力要求最高。 答案与解析 【答案】(1)证明：如图1，连接， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴直线是的切线； (2) (3)，证明如下： 如图2，连接， ∵O为的中点，点是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴，即． 【分析】（1）连接，根据题意证得，得，再由是的直径，，证得即可证得结论； （2）首先证得，然后，证得，得，再由（1）知，设，则，由，得，再由，得，最后代入x值可求得的长； （3）连接，首先证得是的中位线，得，进而得，然后由得，证得，再由得，得，进而得，最后由可证得结论． 【详解】（1）略 （2）解：∵O为的中点，， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 又∵点是线段的中点，， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 由（1）知， 设，则， ∵，即， ∴， ∵，即，解得， ∴； （3）略 知识总结 ①切线判定：经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线。②直径所对圆周角为直角。③三角形中位线：平行于第三边且等于第三边的一半。④相似三角形性质：对应边成比例、面积比等于相似比的平方。⑤解题要点：遇到切线常连接半径得垂直；遇到直径常构造直角三角形；复杂图形中注意寻找全等或相似关系。 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $