第9讲 动态平衡 临界极值问题 专项训练 -2027届高考物理一轮复习（全练）

**基本信息** 以五大方法为核心构建动态平衡问题解题体系，从解析到临界层层递进，典例覆盖生活与工程情境，强化科学思维与相互作用观念 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解析法|5题|列平衡方程求函数关系|从静态平衡到动态变量分析| |图解法|5题|矢量三角形动态趋势判断|力的方向变化与大小关系推导| |相似三角形法|5题|几何相似对应力三角形|物理模型与几何关系结合| |辅助圆法|5题|利用圆的几何性质简化计算|特定约束条件下的平衡技巧| |临界极值问题|5题|极值条件与临界状态分析|动态过程中的边界问题处理|

第9讲 动态平衡 临界极值问题 考点一遍过 考点1 解析法 1 考点2 图解法 5 考点3 相似三角形法 10 考点4 辅助圆法 14 考点5 平衡中的临界、极值问题 19 考点1 解析法 1．（25-26高一上·广东·期末）（多选）仿古建筑中某种瓦片的截面如图甲所示，其顶角为，若将质量为的该种瓦片对称放在一段房脊上，现工人师傅将房脊的一端缓慢抬高至瓦片刚要滑动，如图乙所示，此时房脊底部与水平面的夹角为。重力加速度大小为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．受到5个力的作用 B．对的作用力方向与竖直方向的夹角为 C．对的摩擦力的合力大小为 D．与之间的动摩擦因数 【答案】AD 【详解】A．对进行受力分析可知，受到重力、对的两个弹力及对的两个静摩擦力的作用，即受到五个力的作用，故A正确； B．处于平衡状态，根据平衡条件可知，对的作用力与的重力平衡，即对的作用力与的重力大小相等，方向竖直向上，故B错误； C．将的重力沿房脊上表面与垂直于房脊上表面分解，则沿房脊上表面的分力大小为，对的静摩擦力的合力大小等于沿房脊上表面的分力，即，故C错误； D．将的重力沿房脊上表面与垂直于房脊上表面分解，垂直于房脊上表面的分力大小为，的两侧面对的弹力大小相等且夹角为，则的每个侧面对的弹力大小均为，由C选项得 可得与之间的动摩擦因数为，故D正确。 故选AD。 2．（25-26高一上·重庆·期末）如图，质量分别为、的物体A与B之间用跨过光滑轻滑轮的轻绳相连，用轻绳C将滑轮悬挂在天花板上，系统处于静止状态。已知连接B物体的轻绳与水平方向成角，取。求： (1)轻绳C张力的大小； (2)物体B与地面间动摩擦因数的最小值。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）对物体A进行受力分析，物体A受到重力和轻绳的竖直向上的拉力处于平衡状态，根据平衡条件可得轻绳的张力为 滑轮两端绳子拉力大小相等，夹角为，根据平行四边形定则可知二者的合力大小为 轻绳C张力与之等大反向，可知轻绳C张力的大小为 （2）对物体B进行受力分析，如下图所示 对物体B列平衡方程有，竖直方向 水平方向 又因为 代入上式整理可得物体B与地面间动摩擦因数的最小值为 3．（2026·山西晋城·一模）如图所示，一相框用一定长度的轻绳拴接后挂在墙上的点，静止时点两侧的轻绳与竖直方向的夹角均为，调节轻绳的长度，点两侧的轻绳与竖直方向的夹角也随之改变，相框的重力为。下列说法正确的是（　　） A．轻绳越长，轻绳的拉力越大 B．α越大，轻绳的拉力越小 C．轻绳拉力大小为2G时， D．轻绳拉力大小为3G时， 【答案】D 【详解】AB．相框受重力、两侧轻绳的拉力，由力的平衡条件可得 轻绳越长，越小，轻绳的拉力越小，AB错误； C．根据，轻绳拉力大小为时，，C错误； D．根据，轻绳拉力大小为时，，D正确。 故选D。 4．（24-25高一上·重庆渝中·期末）（多选）明代徐光启《农政全书》记载了戽斗[hùdou]是一种小型的人力提水灌田农具，如图所示，两人双手执绳牵斗取水，忽略绳子质量，戽斗平衡时，则（　　） A．绳子越短，绳子对人的作用力越大 B．绳子越长，绳子对人的作用力越大 C．绳子越短，绳子对戽斗的作用力越大 D．绳子越长，绳子对戽斗的作用力不变 【答案】AD 【详解】AB．对戽斗进行受力分析如图所示 设绳子与竖直方向夹角为，则由平衡关系可知 由题可知两人间距离不变，绳长越短，越大，绳子的拉力越大，故绳子对人的作用力就越大，则反之越小，故A正确，B错误； CD．由戽斗的受力可知，处于平衡状态的戽斗，绳子对戽斗的作用力与重力等大反向，故绳子对戽斗的作用力大小不随绳子的长短而改变，故C错误，D正确。 故选AD。 5．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示，一块铁板AB下吸附了一块小磁铁，现将铁板在竖直面内绕A点向上逆时针缓慢转过一个小角度，磁铁始终未滑动，转动过程中，若磁铁对铁板的磁力方向始终垂直AB，大小保持不变，关于磁铁的受力，下列说法正确的是（　　） A．受到铁板的弹力减小 B．受到铁板的摩擦力减小 C．受到铁板的作用力增大 D．受到的吸引力与重力的合力增大 【答案】D 【详解】AB．画出磁铁的受力分析图，由图可得 ，倾角增大，则弹力增大，摩擦力也增大，故A、B错误； C．磁铁受到铁板的作用力与重力等大反向，大小不变，故C错误； D．磁铁受到的吸引力和重力大小不变，增大，两个力的夹角减小，合力增大，故D正确。 故选D。 考点2 图解法 6．（2026·山东滨州·一模）在一地铁站的施工工地，需要利用绳索将一重物沿一竖直面内的轨道从水平地面上的A点缓慢运送到底部C点处，已知AB部分是半径为R，圆心角为60°的圆弧轨道，A点是圆弧轨道的最高点，BC部分为倾斜直轨道，两轨道在B点相切，轨道和定滑轮均视为光滑。定滑轮位于A点正上方2R高度处。在运送过程中，人牵引绳子的位置不动，重物可视为质点。则（　　） A．A到B过程中，轨道对重物的支持力不断增大 B．A到B过程中，绳子对重物的拉力先增大后减小 C．B到C过程中，地面对人的静摩擦力逐渐增大 D．B到C过程中，轨道对重物的支持力不断增大 【答案】D 【详解】AB．设重物的质量为，重力加速度为，重物A到B过程中，对其受力分析，如图所示 根据平衡条件，可知与的合力 由图可知由支持力N、拉力T与合力组成的三角形与相似，设绳长为，则有 可得， 可知随着重物从A向B滑动，支持力N不变；但由于绳长L增大，故绳子对重物的拉力增大，故AB错误； CD．设重物从B到C过程中，对其受力分析，如图所示    设轻绳对人的拉力与水平面的夹角为，斜面BC的倾角为，轻绳与斜面的夹角为，根据正交分解，对重物有， 重物下滑过程中斜面倾角不变，减小，增大，故减小，减小，故增大；设人的质量为，根据正交分解，对人有 其中角不变，因减小，故减小，故C错误，D正确。 故选D。 7．（2026·陕西铜川·一模）（多选）如图所示，质量为m的柔软均匀细链条悬挂在水平天花板上A、B两点，天花板对A、B两点作用力大小均为，链条最低点C到天花板距离为h。用竖直向上的力缓慢将链条最低点C推至刚好与天花板接触，重力加速度为g，则（　　） A．此时C点所受推力F大小为 B．此时天花板对A点作用力大小仍为 C．此过程中推力做功小于 D．此过程中天花板对A点作用力与水平方向夹角变大 【答案】AC 【详解】ABD．设两悬点A、B之间的距离为d，链条的总长度为L，由题可知链条A、B两点与天花板的夹角θ相等，链条自然悬挂时，θ的大小由L，d的长度关系决定，缓慢用力推到C点时，L，d均变为原来的一半，相对关系没变，所以θ不变。链条自然悬挂时，根据平衡条件可得 同理推至C点时，对左边链条则有 受力分析可知 同理对右边链条分析则有 此时C点受到推力的大小为，故A正确，BD错误； C．由以上解析可知C点所受推力F大小为，若上移过程中推力大小恒为，则推力做功 实际上在C点上移过程中，推力变大，此过程中推力做功小于，故C正确。 故选AC。 8．（2026·湖南怀化·一模）工人师傅在安装高层住户玻璃时，由于无法通过电梯搬运，需要楼上和楼下工人协作配合，楼上师傅通过光滑定滑轮拉动绳子，楼下师傅站在一楼地面上固定位置将绳子往远离楼体的方向拉，以避免窗户被磕碰，如图所示。两段绳子的拉力分别为和，窗户在两段绳子的作用下缓慢竖直向上运动。窗户从一楼地面竖直向上运动的过程中（　　） A．和的合力变小 B．楼下师傅需要收缩绳子 C．楼下师傅受到地面的支持力不变 D．和均增大 【答案】D 【详解】A．由三力平衡知、的合力与重力等大反向，合力不变，故A错误； B．窗户向上运动的过程中，楼下工人师傅需要逐渐放绳子，故B错误； D．由动态分析图解法可知，减小，增大，所以和均增大，故D正确； C．对楼下师傅 减小，增大，增大，楼下师傅受到地面的支持力减小，故C错误。 故选D。 9．（25-26高一上·湖南郴州·期末）如图甲所示，在粗糙水平地面上放着一个柱状物体的左端紧靠竖直墙壁，与竖直墙壁之间放一光滑球，整个装置处于静止状态，若把向右移动少许后，它们仍处于静止状态。现将柱状物体A换为等质量的柱状体，如图乙所示，进行同样的操作。则以下判断正确的是（　　） A．甲图中，地面对的摩擦力增大 B．甲图中，与之间的作用力增大 C．甲图中，对墙的压力增大 D．相较替换前，地面受到的压力一直不变 【答案】D 【详解】B．对物体B根据三角形定则，受力分析如图所示 设物体A对B的弹力与竖直方向的夹角为，当把A向右移动少许后与竖直方向的夹角将减小，此时将减小，即A与B之间的作用力将减小，故B错误； AC．根据以上分析可知，把A向右移动少许后墙壁对B的弹力F将减小，根据牛顿第三定律可知，物体B对墙壁的压力将减小，而把A、B看成一个整体分析，水平方向整体受墙壁水平向右的弹力和地面对其水平向左的摩擦力而平衡，当F减小时，地面对A的摩擦力也将减小，故AC错误； D．对A、B整体受力分析可知，在竖直方向上根据平衡条件有 若把A向右移动少许后，竖直方向上仍满足此平衡关系，即地面对物体A的支持力不变，根据牛顿第三定律可知，A对地面的压力不变；将柱状物体A换为等质量的柱状体C后，同理可得，故D正确。 故选D。 10．（25-26高一上·河北邢台·期末）如图所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为圆的柱状物体甲放置于斜面上，半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态。现对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向缓慢向下移动少许。设挡板对乙的弹力大小为，甲对乙的弹力大小为，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．缓慢增大 B．缓慢减小 C．先减小后增大 D．先减小后增大 【答案】B 【详解】先对物体乙受力分析，乙受重力Mg、挡板的支持力F1和甲物体的支持力F2，如图所示： 乙球的重力Mg不变，挡板的支持力F1方向不变，由平衡条件作图，由几何关系可知，F2最多只能与F1垂直，由图可知，甲对乙的支持力大小F2逐渐减小，挡板的支持力F1逐渐减小。故选B。 考点3 相似三角形法 11．（25-26高一上·云南大理·期末）（多选）如图所示，带孔滑块P套在水平杆上，并用轻绳将P与小球Q相连，与水平方向成一定夹角的拉力F作用在小球Q上，开始时拉力与细线成钝角，系统静止。现保持F的方向不变，缓慢减小拉力F，下列判断正确的是（　　） A．细线张力先减小后增大 B．细线张力一直减小 C．P受到横杆的支持力先增大后减小 D．P受到横杆的摩擦力一直减小 【答案】AD 【详解】AB．小球Q的重力G不变、受到拉力F方向不变，在三个力作用下平衡，画出矢量三角形，如图所示，刚开始拉力与细线成钝角，由图可知，拉力F和细线垂直时最小，张力T先减小后增大，故B错误，A正确； CD．对P和Q整体，设拉力F与水平夹角为θ，竖直方向受力平衡可知，杆对P的支持力 因为F减小，所以FN一直增大； 整体在水平方向，只有P受到横杆的摩擦力大小 则F一直减小，f也一直减小，故C错误，D正确。 故选AD。 12．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图所示，轻绳OA将一质量为m的小球悬挂于O点，OA与竖直方向的夹角为，在水平力F作用下，小球静止。现使力F沿逆时针方向缓慢旋转至竖直向上，小球位置始终不变，上述过程中（　　） A．小球的合力逐渐减小 B．力F先增大后减小 C．轻绳OA对球的拉力先增大再减小 D．力F最小值为 【答案】D 【详解】A．由于小球一直保持静止，所以小球的合力一直为零，故A错误； BCD．对小球进行受力分析可知，小球受重力mg、拉力F和轻绳的拉力的作用处于平衡状态，其中重力的大小和方向均不变，轻绳的拉力的方向不变。三力平衡时，三个力可以构成首尾相连的矢量三角形，如下图所示： 当力F沿逆时针方向缓慢旋转时，由图可以看出，力F先减小后增大，且当力F与轻绳的拉力垂直时，F有最小值，其最小值为 而轻绳OA上的拉力一直减小，故BC错误，D正确。 故选D。 13．（2026·湖南长沙·二模）（多选）如图，竖直固定圆环内有a、b两根等长轻杆，一端与固定在圆环上的光滑铰链连接，另一端通过光滑铰链连接在圆心O处，a杆水平。轻杆c的一端与O处的光滑铰链连接，另一端与质量为m的小球连接；劲度系数为k1的弹性轻绳一端固定在O点正上方的圆环上，另一端固定在可视为质点的小球上，小球处于静止状态，且轻杆c与轻杆b垂直。现把弹性轻绳换成原长相等但劲度系数为的另一弹性轻绳，小球静止后位于圆心O右侧，轻杆a、b、c 和弹性轻绳始终与圆环处在同一竖直平面内，轻杆c长度小于轻杆a、b 长度，弹性轻绳始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．轻杆a的弹力变小 B．轻杆b的弹力变小 C．轻杆c的弹力大小和方向都不变 D．弹性轻绳的弹力变小 【答案】AD 【详解】C．对小球进行受力分析如图1，由几何关系可得，小球重力，轻杆的弹力、弹性轻绳的拉力之间满足关系 因为，和为定值，故轻杆的弹力大小不变，但方向会改变，故错误； D．因为弹性轻绳劲度系数变大，故距离会减小，故弹性轻绳的拉力减小，故D正确； AB．对点进行受力分析如图2，根据平衡条件可知 结合上述分析可知，大小不变，与竖直方向夹角逐渐减小，由几何关系分析可得轻杆弹力变小、的弹力变大，故A正确，B错误。 故选AD。 14．（25-26高三下·甘肃白银·阶段检测）如图所示，水平光滑的地面上固定有半径为R的半圆形轨道，小球紧贴着半圆形轨道放置，小木块静置在半圆形轨道左侧的水平地面上，在圆轨道上方同一高度处固定有两个光滑定滑轮，两个定滑轮分别位于小木块和半圆形轨道圆心的正上方。现用一根跨过两个定滑轮的细线将小球和小木块连接起来，再对小木块施加水平向左的拉力，将小球沿半圆形轨道缓慢提高，在小球运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力先增大后减小 B．半圆轨道对小球的支持力先减小后增大 C．小木块对地面的压力逐渐减小 D．适当提高定滑轮的高度可以减小该过程中小球对半圆轨道的压力 【答案】D 【详解】ABD．设小球的重力为G，细线的拉力为T，半圆轨道对小球的支持力为，连接小球的细线长为L，定滑轮到水平地面的高度为H，如图所示 由平衡条件与几何关系可得 由于H和R固定，运动过程中L不断减小，所以细线的拉力不断减小，半圆轨道对小球的支持力不变，若提高定滑轮的高度，则H变大，运动过程中小球对半圆形轨道的压力减小，故AB错误，D正确； C．运动过程中连接小木块的细线拉力逐渐减小，细线与竖直方向的夹角不断增大，所以细线对小木块在竖直方向的拉力不断减少，小木块对地面的压力逐渐增加，故C错误。 故选D。 15．（2026·江西·模拟预测）（多选）如图所示，A球与B球用原长为、劲度系数为的轻质弹簧相连，B球用长为的细线悬挂于点，A球固定在点的正下方，且、A间的距离也为，恰好构成一个正三角形。现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为的轻质弹簧，系统重新平衡后A、B间的距离变为。两弹簧均在弹性限度内，两小球均视为质点。下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力不变 B．弹簧的弹力变大 C． D． 【答案】AC 【详解】AB．令B球的质量为，轻质弹簧劲度系数为时的受力分析图如下 由几何关系可知OAB构成的三角形与力的三角形相似，因此有， 解得， 同理轻质弹簧劲度系数为时，由受力分析图同样可以发现OAB构成的三角形与力的三角形相似，有， 解得， 因此弹簧的弹力变小，细线的拉力不变，故A正确，B错误； CD．对劲度系数为的弹簧，根据胡克定律 对劲度系数为的弹簧，同理有 联立解得，故C正确，D错误。 故选AC。 考点4 辅助圆法 16．（25-26高三上·山东青岛·期末）（多选）球心为，半径为的半球形光滑绝缘碗固定于水平面上，带电量为的小球甲固定在碗内壁的最低点，质量为的带电小球乙静止在碗内壁上的点，过、、的截面如图所示，之间的距离为。现缓慢增加甲球的电量，则乙球沿碗内壁缓慢向上运动到同一截面上与点等高的点。已知静电力常量为，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．乙球带正电，电荷量为 B．乙球向上运动过程中，点的电势不变 C．当乙球刚运动到点时，甲球的电量为 D．乙球向上运动过程中，碗内壁对乙球的支持力大小不变 【答案】AD 【详解】ACD．因乙球受库仑斥力，根据同种电荷相互排斥，且甲球带正电，故乙球也带正电，乙球受重力、库仑斥力、碗对其支持力N，三力动态平衡 由合成法得力的矢量三角形与相似，故有 解得 碗对其支持力大小为不变 当乙球刚运动到点时，甲球的电量为 故AD正确，C错误； B．根据点电荷的电势公式，乙球在运动过程中在点产生的电势不变，但甲球的电量增大，其在点产生的电势增大，故点的电势增大，故B错误。 故选AD。 17．（25-26高二上·云南大理·期末）（多选）如图所示，在光滑定滑轮正下方与相距的处固定一电荷量为的点电荷，电荷量为的带负电小球（可视为质点）用绝缘细线拴着，细线跨过定滑轮，另一端用适当大小的力拉住，使处于静止状态，此时小球与点的距离为，环境可视为真空。现改变拉力使小球缓慢地靠近定滑轮的过程中，下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大 B．、间距离不变 C．受到的库仑力逐渐增大 D．受到的库仑力与拉力大小的比值逐渐增大 【答案】BD 【详解】A．对进行受力分析，如图所示，根据三力平衡和相似三角形可得 又 则 有，且 当逐渐减小时，逐渐减小，故A错误； BC．在缓慢移动过程中，设与点的距离为，在整个过程中，都满足 对比 得，即与的距离不变，受到的库仑力大小不变，故B正确，C错误； D．由于库仑力大小不变，拉力逐渐减小，故库仑力大小和拉力大小比值逐渐增大，故D正确。 故选BD。 18．（25-26高一上·贵州毕节·期末）如图所示，不可伸长的轻绳两端分别固定在圆环上的两点，重物系在轻绳的中点处，稳定时点处于圆环中心，绳水平，绳与夹角。圆环绕点在竖直平面内缓慢转过始终保持静止状态.则在旋转过程中（    ） A．段轻绳的张力逐渐增大 B．段轻绳的张力先增大后减小 C．段轻绳的张力逐渐增大 D．段轻绳的张力先减小后增大 【答案】B 【详解】结点O受三个力作用处于平衡状态，三个力可构成一个三角形，如图所示 圆环绕O点在竖直平面内缓慢转动过程中，OA、OB夹角不变，图中、的交点A沿圆周移动，从图中可看出，一直在减小，先增大后减小。 故选B。 19．（25-26高一上·河南南阳·期末）（多选）如图甲所示是“中国天眼”口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，重力为的工作人员被悬在空中的气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，气球对其有竖直向上的恒力（）作用。如图乙所示，球面上点与球心的连线与竖直方向的夹角为。将人视为质点，当工作人员站在图乙中的点缓慢向点移动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球面对人的作用力变大 B．球面对人的作用力不变 C．球面对人的支持力增大 D．球面对人的摩擦力增大 【答案】BD 【详解】AB．球面对人的作用力等于与的合力，不会改变，故A错误，B正确； CD．工作人员受到球面对人的支持力、球面对人的摩擦力和竖直方向的与的合力，球面对人的两个互相垂直的作用力与首尾相连构成三角形，如图 工作人员由点缓慢向点移动的过程中，由受力分析图可知角度增大，增大，减小，故C错误，D正确。 故选BD。 20．（25-26高一上·甘肃·期中）（多选）如图甲所示是采棉机在运输圆柱形棉包，某时刻采棉机静止在平直路面上，一棉包静止放在“V”形挡板上，截面图如图乙所示，、两板间夹角为，初始时与水平面的夹角为．现保持两板间夹角不变，让、以为圆心，同时缓慢地逆时针转过角，转动过程中，棉包不脱离挡板，忽略“V”形挡板对棉包的摩擦力。则（　　） A．整个过程“V”形挡板对棉包的作用力逐渐减小 B．整个过程“V”形挡板对棉包的作用力保持不变 C．整个过程板对棉包的支持力一直减小 D．整个过程板对棉包的支持力一直增大 【答案】BCD 【详解】AB．由受力平衡可知，“”形挡板对棉包的作用力与棉包重力等大、反向，故A错误，B正确； CD．棉包重力大小和方向不变，板、板对棉包的作用力夹角不变，与竖直方向的夹角变大，作出力矢量三角形的外接圆如图所示 由图可知，一直减小，一直增大，故CD正确。 故选BCD。 考点5 平衡中的临界、极值问题 21．（25-26高三上·内蒙古·期中）如图所示，一截面为正三角形且内壁光滑的容器竖直放置，内部有一个小球，其半径略小于内接圆半径，三角形各边接有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。如果此时边恰好处于水平状态，将容器以点为轴在竖直平面内顺时针缓慢转动，直到边水平，则在转动过程中（　　） A．球对边的压力一直减小 B．球对边的压力先增大后减小 C．球对边的压力一直增大 D．边所受压力的最大值等于球的重力 【答案】B 【详解】本题考查用辅助圆解决动态平衡问题，目的是考查学生的推理论证能力。设边对小球的弹力大小为边对小球的弹力大小为，对小球进行分析，作出辅助圆的动态矢量分析如图所示 由图可知，开始与球的重力等大反向，转动过程中先增大后减小至从0开始先增大后减小至与球的重力等大反向，其中最大值大于球的重力，根据牛顿第三定律可知，球对边的压力与对边的压力均先增大后减小，且边所受压力的最大值大于球的重力。 故选B。 22．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图甲所示，质量为的物块A放在木板MN上，当木板与水平面呈角时A恰能静止在板上。再将MN竖直放置，用一根不可伸长的轻绳将光滑小球B悬挂在板上P点，小球与木板将物块A夹在中间，且A恰能保持静止，轻绳与木板之间夹角也为（如图乙所示）。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。 (1)求物块A与木板MN之间的动摩擦因数； (2)求小球B的质量； (3)现让MN绕其底端M顺时针缓慢转至水平，求转动过程物块A对小球支持力的最大值N和轻绳对小球拉力的最小值T。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）木板与水平面呈角时A恰能静止 物块A平衡：   解得 （2）木板竖直时，设轻绳对小球拉力为，物块A对小球支持力为 对小球B：， 物块A与木板之间的弹力 物块A恰能静止：   联立可得 （3）小球B受重力G、拉力、支持力而处于平衡，三力构成如图所示的矢量三角形，MN绕其底端M缓慢转动过程，和之间的夹角始终保持不变。 当转至轻绳水平时，小球所受支持力最大 当转至木板水平时，小球所受拉力最小 23．（25-26高一上·湖北随州·期末）如图所示，物体P、Q用轻绳连接后跨过光滑轻质定滑轮，物体P放在长木板上，物体Q悬挂在定滑轮的另一侧。长木板与水平地面的夹角为，物体P与长木板之间的动摩擦因数，物体P相对长木板静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．物体P、Q的质量之比的最大值为 B．物体P、Q的质量之比的最小值为 C．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则轻绳对滑轮的作用力保持不变 D．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则物体P对长木板的作用力保持不变 【答案】B 【详解】A．当物体P、Q的质量之比的最大时，P有下滑的趋势，此时最大静摩擦力沿斜面向上，根据平衡关系 解得，A错误； B．当物体P、Q的质量之比的最小时，P有上滑的趋势，此时最大静摩擦力沿斜面向下，根据平衡关系 可得，B正确； C．当从60°缓慢减小到45°的过程中，两轻绳间的夹角逐渐增大，绳子的拉力大小不变，则两绳的合力逐渐减少，则轻绳对滑轮的作用力逐渐减少，C错误； D．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则物体P对长木板的作用力大小等于物体P的重力和绳的拉力的合力大小，拉力大小不变但方向变化，则物体P对长木板的作用力变化，D错误。 故选B。 24．（25-26高一上·陕西安康·期末）某同学在阳台悬挂装饰物时，采用了图甲、乙所示的两种悬挂方式。已知花盆的质量为，花盆静止时细绳与水平面的夹角为，细绳水平，重力加速度，，。 (1)图甲所示细绳的拉力大小； (2)如图乙所示，细绳、的拉力大小； (3)若细绳所能承受的最大拉力，细绳所能承受的最大拉力。现不改变两根细绳的位置，为使两根细绳不断裂，求花盆质量的最大值。 【答案】(1) (2)， (3) 【详解】（1）图甲中，花盆只受重力和细绳的拉力，根据二力平衡可知，细绳的拉力大小为 （2）对图乙中的点O受力分析，如图所示 根据任意两个力的合力与第三个力等大反向可知，细绳、的拉力大小分别为， （3）由 可知，OA绳允许的花盆的最大质量为 由 可知，OB绳允许的花盆的最大质量为 所以，为使两根细绳不断裂，花盆质量的最大值为。 25．（25-26高一上·甘肃定西·期末）如图所示，倾角的粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，一端悬挂物体P，另一端与轻质弹簧相连，轻质弹簧另一端连接物体Q，系统处于静止状态，Q恰好不下滑，此时弹簧的伸长量。已知轻弹簧的劲度系数，Q的质量，取重力加速度大小，，，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。 (1)求P的质量； (2)求Q与斜面间的动摩擦因数； (3)用水平向右的拉力缓慢拉动P，当悬挂P的细绳与竖直方向成角时，Q恰好不上滑，求。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据胡克定律可知，弹簧的弹力 对P受力分析，根据平衡条件 解得 （2）对Q受力分析，根据平衡条件有 垂直于斜面方向平衡，又 解得 （3）Q恰好不上滑，此时绳上的拉力 对P受力分析，根据几何关系有 解得 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第9讲 动态平衡 临界极值问题 考点一遍过 考点1 解析法 1 考点2 图解法 5 考点3 相似三角形法 10 考点4 辅助圆法 14 考点5 平衡中的临界、极值问题 19 考点1 解析法 1．（25-26高一上·广东·期末）（多选）仿古建筑中某种瓦片的截面如图甲所示，其顶角为，若将质量为的该种瓦片对称放在一段房脊上，现工人师傅将房脊的一端缓慢抬高至瓦片刚要滑动，如图乙所示，此时房脊底部与水平面的夹角为。重力加速度大小为，最大静摩擦力近似等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　） A．受到5个力的作用 B．对的作用力方向与竖直方向的夹角为 C．对的摩擦力的合力大小为 D．与之间的动摩擦因数 2．（25-26高一上·重庆·期末）如图，质量分别为、的物体A与B之间用跨过光滑轻滑轮的轻绳相连，用轻绳C将滑轮悬挂在天花板上，系统处于静止状态。已知连接B物体的轻绳与水平方向成角，取。求： (1)轻绳C张力的大小； (2)物体B与地面间动摩擦因数的最小值。 3．（2026·山西晋城·一模）如图所示，一相框用一定长度的轻绳拴接后挂在墙上的点，静止时点两侧的轻绳与竖直方向的夹角均为，调节轻绳的长度，点两侧的轻绳与竖直方向的夹角也随之改变，相框的重力为。下列说法正确的是（　　） A．轻绳越长，轻绳的拉力越大 B．α越大，轻绳的拉力越小 C．轻绳拉力大小为2G时， D．轻绳拉力大小为3G时， 4．（24-25高一上·重庆渝中·期末）（多选）明代徐光启《农政全书》记载了戽斗[hùdou]是一种小型的人力提水灌田农具，如图所示，两人双手执绳牵斗取水，忽略绳子质量，戽斗平衡时，则（　　） A．绳子越短，绳子对人的作用力越大 B．绳子越长，绳子对人的作用力越大 C．绳子越短，绳子对戽斗的作用力越大 D．绳子越长，绳子对戽斗的作用力不变 5．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示，一块铁板AB下吸附了一块小磁铁，现将铁板在竖直面内绕A点向上逆时针缓慢转过一个小角度，磁铁始终未滑动，转动过程中，若磁铁对铁板的磁力方向始终垂直AB，大小保持不变，关于磁铁的受力，下列说法正确的是（　　） A．受到铁板的弹力减小 B．受到铁板的摩擦力减小 C．受到铁板的作用力增大 D．受到的吸引力与重力的合力增大 考点2 图解法 6．（2026·山东滨州·一模）在一地铁站的施工工地，需要利用绳索将一重物沿一竖直面内的轨道从水平地面上的A点缓慢运送到底部C点处，已知AB部分是半径为R，圆心角为60°的圆弧轨道，A点是圆弧轨道的最高点，BC部分为倾斜直轨道，两轨道在B点相切，轨道和定滑轮均视为光滑。定滑轮位于A点正上方2R高度处。在运送过程中，人牵引绳子的位置不动，重物可视为质点。则（　　） A．A到B过程中，轨道对重物的支持力不断增大 B．A到B过程中，绳子对重物的拉力先增大后减小 C．B到C过程中，地面对人的静摩擦力逐渐增大 D．B到C过程中，轨道对重物的支持力不断增大 7．（2026·陕西铜川·一模）（多选）如图所示，质量为m的柔软均匀细链条悬挂在水平天花板上A、B两点，天花板对A、B两点作用力大小均为，链条最低点C到天花板距离为h。用竖直向上的力缓慢将链条最低点C推至刚好与天花板接触，重力加速度为g，则（　　） A．此时C点所受推力F大小为 B．此时天花板对A点作用力大小仍为 C．此过程中推力做功小于 D．此过程中天花板对A点作用力与水平方向夹角变大 8．（2026·湖南怀化·一模）工人师傅在安装高层住户玻璃时，由于无法通过电梯搬运，需要楼上和楼下工人协作配合，楼上师傅通过光滑定滑轮拉动绳子，楼下师傅站在一楼地面上固定位置将绳子往远离楼体的方向拉，以避免窗户被磕碰，如图所示。两段绳子的拉力分别为和，窗户在两段绳子的作用下缓慢竖直向上运动。窗户从一楼地面竖直向上运动的过程中（　　） A．和的合力变小 B．楼下师傅需要收缩绳子 C．楼下师傅受到地面的支持力不变 D．和均增大 9．（25-26高一上·湖南郴州·期末）如图甲所示，在粗糙水平地面上放着一个柱状物体的左端紧靠竖直墙壁，与竖直墙壁之间放一光滑球，整个装置处于静止状态，若把向右移动少许后，它们仍处于静止状态。现将柱状物体A换为等质量的柱状体，如图乙所示，进行同样的操作。则以下判断正确的是（　　） A．甲图中，地面对的摩擦力增大 B．甲图中，与之间的作用力增大 C．甲图中，对墙的压力增大 D．相较替换前，地面受到的压力一直不变 10．（25-26高一上·河北邢台·期末）如图所示，斜面上固定有一与斜面垂直的挡板，另有一截面为圆的柱状物体甲放置于斜面上，半径与甲相同的光滑球乙被夹在甲与挡板之间，没有与斜面接触而处于静止状态。现对甲施加一平行于斜面向下的力F，使甲沿斜面方向缓慢向下移动少许。设挡板对乙的弹力大小为，甲对乙的弹力大小为，在此过程中，下列说法正确的是（　　） A．缓慢增大 B．缓慢减小 C．先减小后增大 D．先减小后增大 考点3 相似三角形法 11．（25-26高一上·云南大理·期末）（多选）如图所示，带孔滑块P套在水平杆上，并用轻绳将P与小球Q相连，与水平方向成一定夹角的拉力F作用在小球Q上，开始时拉力与细线成钝角，系统静止。现保持F的方向不变，缓慢减小拉力F，下列判断正确的是（　　） A．细线张力先减小后增大 B．细线张力一直减小 C．P受到横杆的支持力先增大后减小 D．P受到横杆的摩擦力一直减小 12．（25-26高二上·云南迪庆·期末）如图所示，轻绳OA将一质量为m的小球悬挂于O点，OA与竖直方向的夹角为，在水平力F作用下，小球静止。现使力F沿逆时针方向缓慢旋转至竖直向上，小球位置始终不变，上述过程中（　　） A．小球的合力逐渐减小 B．力F先增大后减小 C．轻绳OA对球的拉力先增大再减小 D．力F最小值为 13．（2026·湖南长沙·二模）（多选）如图，竖直固定圆环内有a、b两根等长轻杆，一端与固定在圆环上的光滑铰链连接，另一端通过光滑铰链连接在圆心O处，a杆水平。轻杆c的一端与O处的光滑铰链连接，另一端与质量为m的小球连接；劲度系数为k1的弹性轻绳一端固定在O点正上方的圆环上，另一端固定在可视为质点的小球上，小球处于静止状态，且轻杆c与轻杆b垂直。现把弹性轻绳换成原长相等但劲度系数为的另一弹性轻绳，小球静止后位于圆心O右侧，轻杆a、b、c 和弹性轻绳始终与圆环处在同一竖直平面内，轻杆c长度小于轻杆a、b 长度，弹性轻绳始终在弹性限度内。下列说法正确的是（　　） A．轻杆a的弹力变小 B．轻杆b的弹力变小 C．轻杆c的弹力大小和方向都不变 D．弹性轻绳的弹力变小 14．（25-26高三下·甘肃白银·阶段检测）如图所示，水平光滑的地面上固定有半径为R的半圆形轨道，小球紧贴着半圆形轨道放置，小木块静置在半圆形轨道左侧的水平地面上，在圆轨道上方同一高度处固定有两个光滑定滑轮，两个定滑轮分别位于小木块和半圆形轨道圆心的正上方。现用一根跨过两个定滑轮的细线将小球和小木块连接起来，再对小木块施加水平向左的拉力，将小球沿半圆形轨道缓慢提高，在小球运动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力先增大后减小 B．半圆轨道对小球的支持力先减小后增大 C．小木块对地面的压力逐渐减小 D．适当提高定滑轮的高度可以减小该过程中小球对半圆轨道的压力 15．（2026·江西·模拟预测）（多选）如图所示，A球与B球用原长为、劲度系数为的轻质弹簧相连，B球用长为的细线悬挂于点，A球固定在点的正下方，且、A间的距离也为，恰好构成一个正三角形。现把A、B间的弹簧换成原长相同但劲度系数为的轻质弹簧，系统重新平衡后A、B间的距离变为。两弹簧均在弹性限度内，两小球均视为质点。下列说法正确的是（　　） A．细线的拉力不变 B．弹簧的弹力变大 C． D． 考点4 辅助圆法 16．（25-26高三上·山东青岛·期末）（多选）球心为，半径为的半球形光滑绝缘碗固定于水平面上，带电量为的小球甲固定在碗内壁的最低点，质量为的带电小球乙静止在碗内壁上的点，过、、的截面如图所示，之间的距离为。现缓慢增加甲球的电量，则乙球沿碗内壁缓慢向上运动到同一截面上与点等高的点。已知静电力常量为，重力加速度大小为。下列说法正确的是（　　） A．乙球带正电，电荷量为 B．乙球向上运动过程中，点的电势不变 C．当乙球刚运动到点时，甲球的电量为 D．乙球向上运动过程中，碗内壁对乙球的支持力大小不变 17．（25-26高二上·云南大理·期末）（多选）如图所示，在光滑定滑轮正下方与相距的处固定一电荷量为的点电荷，电荷量为的带负电小球（可视为质点）用绝缘细线拴着，细线跨过定滑轮，另一端用适当大小的力拉住，使处于静止状态，此时小球与点的距离为，环境可视为真空。现改变拉力使小球缓慢地靠近定滑轮的过程中，下列说法正确的是（　　） A．逐渐增大 B．、间距离不变 C．受到的库仑力逐渐增大 D．受到的库仑力与拉力大小的比值逐渐增大 18．（25-26高一上·贵州毕节·期末）如图所示，不可伸长的轻绳两端分别固定在圆环上的两点，重物系在轻绳的中点处，稳定时点处于圆环中心，绳水平，绳与夹角。圆环绕点在竖直平面内缓慢转过始终保持静止状态.则在旋转过程中（    ） A．段轻绳的张力逐渐增大 B．段轻绳的张力先增大后减小 C．段轻绳的张力逐渐增大 D．段轻绳的张力先减小后增大 19．（25-26高一上·河南南阳·期末）（多选）如图甲所示是“中国天眼”口径球面射电望远镜维护时的照片。为不损伤望远镜球面，重力为的工作人员被悬在空中的气球拉着，当他在离底部有一定高度的望远镜球面上缓慢移动时，气球对其有竖直向上的恒力（）作用。如图乙所示，球面上点与球心的连线与竖直方向的夹角为。将人视为质点，当工作人员站在图乙中的点缓慢向点移动的过程中，下列说法正确的是（　　） A．球面对人的作用力变大 B．球面对人的作用力不变 C．球面对人的支持力增大 D．球面对人的摩擦力增大 20．（25-26高一上·甘肃·期中）（多选）如图甲所示是采棉机在运输圆柱形棉包，某时刻采棉机静止在平直路面上，一棉包静止放在“V”形挡板上，截面图如图乙所示，、两板间夹角为，初始时与水平面的夹角为．现保持两板间夹角不变，让、以为圆心，同时缓慢地逆时针转过角，转动过程中，棉包不脱离挡板，忽略“V”形挡板对棉包的摩擦力。则（　　） A．整个过程“V”形挡板对棉包的作用力逐渐减小 B．整个过程“V”形挡板对棉包的作用力保持不变 C．整个过程板对棉包的支持力一直减小 D．整个过程板对棉包的支持力一直增大 考点5 平衡中的临界、极值问题 21．（25-26高三上·内蒙古·期中）如图所示，一截面为正三角形且内壁光滑的容器竖直放置，内部有一个小球，其半径略小于内接圆半径，三角形各边接有压力传感器，分别感受小球对三边压力的大小。如果此时边恰好处于水平状态，将容器以点为轴在竖直平面内顺时针缓慢转动，直到边水平，则在转动过程中（　　） A．球对边的压力一直减小 B．球对边的压力先增大后减小 C．球对边的压力一直增大 D．边所受压力的最大值等于球的重力 22．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图甲所示，质量为的物块A放在木板MN上，当木板与水平面呈角时A恰能静止在板上。再将MN竖直放置，用一根不可伸长的轻绳将光滑小球B悬挂在板上P点，小球与木板将物块A夹在中间，且A恰能保持静止，轻绳与木板之间夹角也为（如图乙所示）。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取。 (1)求物块A与木板MN之间的动摩擦因数； (2)求小球B的质量； (3)现让MN绕其底端M顺时针缓慢转至水平，求转动过程物块A对小球支持力的最大值N和轻绳对小球拉力的最小值T。 23．（25-26高一上·湖北随州·期末）如图所示，物体P、Q用轻绳连接后跨过光滑轻质定滑轮，物体P放在长木板上，物体Q悬挂在定滑轮的另一侧。长木板与水平地面的夹角为，物体P与长木板之间的动摩擦因数，物体P相对长木板静止。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则（    ） A．物体P、Q的质量之比的最大值为 B．物体P、Q的质量之比的最小值为 C．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则轻绳对滑轮的作用力保持不变 D．若从60°缓慢减小到45°的过程中，物体P始终静止，则物体P对长木板的作用力保持不变 24．（25-26高一上·陕西安康·期末）某同学在阳台悬挂装饰物时，采用了图甲、乙所示的两种悬挂方式。已知花盆的质量为，花盆静止时细绳与水平面的夹角为，细绳水平，重力加速度，，。 (1)图甲所示细绳的拉力大小； (2)如图乙所示，细绳、的拉力大小； (3)若细绳所能承受的最大拉力，细绳所能承受的最大拉力。现不改变两根细绳的位置，为使两根细绳不断裂，求花盆质量的最大值。 25．（25-26高一上·甘肃定西·期末）如图所示，倾角的粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮。一细绳跨过滑轮，一端悬挂物体P，另一端与轻质弹簧相连，轻质弹簧另一端连接物体Q，系统处于静止状态，Q恰好不下滑，此时弹簧的伸长量。已知轻弹簧的劲度系数，Q的质量，取重力加速度大小，，，认为最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。 (1)求P的质量； (2)求Q与斜面间的动摩擦因数； (3)用水平向右的拉力缓慢拉动P，当悬挂P的细绳与竖直方向成角时，Q恰好不上滑，求。 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $