2.3有理数的乘方知识归纳与题型突破 2026-2027学年人教版数学七年级上册（八题型）

**基本信息** 本练习以“概念理解-技能应用-综合拓展”为分层逻辑，覆盖有理数的乘方、科学记数法、近似数三大知识点，通过八类题型实现从基础认知到实际应用的递进，适配新授课知识巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|乘方定义与符号法则|以辨析题（如-2⁵与(-2)⁵的意义区分）巩固概念，培养符号意识| |技能应用|乘方运算、科学记数法、近似数|通过符号运算（如含负号的乘方计算）和精确度判断，提升运算能力与数据意识| |综合拓展|混合运算、实际应用|结合细菌分裂模型、新定义运算（如a★b=|ab-2a-b|），发展模型意识与应用能力|

2.3有理数的乘方知识归纳与题型突破2026-2027学年 人教版七年级上册（八题型） 知识归纳 知识点1. 有理数的乘方 1. 乘方的定义 这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 例如：2×2×2×2，记作24读作2的4次方(幂). 2×2×2×2×2×2，记作26读作2的6次方(幂). 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）零的正整数次幂都是零 【知识总结】 1.注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 2.有理数乘方的运算方法： （1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。 （2）计算结果的绝对值。 注意：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行. 知识点2. 科学记数法 我们可以把大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤a＜10)， n是正整数.这种记数方法叫做科学记数法. 2.用科学记数法表示数 (1)指数与运算结果中的0的个数的关系 (2)指数与运算结果的数位的关系 反之，1后面有多少个0，10的幂指数就是多少. 【注意的事项】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10； (2)n值的确定： ①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1； ②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)； ③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． 知识点3. 近似数 在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2.精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪。 【知识总结】对近似数的精确度的理解 精确到0.1位，也叫做精确到十分位。 精确到0.01位，也叫做精确到百分位。 精确到0.001位，也叫做精确到千分位。 精确到0.0001位，也叫做精确到万分位。 近似数是一个与准确数接近的数，其接近程度可以用精确度表示. 题型突破 题型01 幂的概念的理解 1.118表示（　　） A．11个8连乘 B．11乘以8 C．8个11连乘 D．8个别1相加 【答案】C． 2.计算＝（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 3.﹣25表示的意义是（　　） A．5个﹣2相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个﹣5相乘 D．2个5相乘的相反数 【答案】B． 4.下列对于﹣34，叙述正确的是（　　） A．读作﹣3的4次幂 B．底数是﹣3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个﹣3相乘的积 【答案】C． 5.比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们底数不同，运算结果也不同 D．它们所表示的意义不相同，但运算结果相同 【答案】D． 题型02 有理数的乘方的运算 1.计算：（1）（﹣）2；（2）（）4． 【答案】解：（1）（一）2＝＝． 2.计算：（1）23；（2）﹣54；（3）﹣；（4）﹣（）3． 【答案】解：（1）23＝8； （2）﹣54＝﹣625； （3）﹣＝﹣； （4）﹣（）3＝﹣． 3.计算： （1）（﹣）3 （2）﹣32×23 （3）（﹣3）2×（﹣2）3 （4）﹣2×32 （5）（﹣2×3）2 （6）（﹣2）14×（﹣）15 （7）﹣（﹣2）4 （8）（﹣1）2001 （9）﹣23+（﹣3）2 【答案】解：（1）（﹣）3＝（﹣）×（﹣）×（﹣）＝﹣； （2）﹣32×23＝﹣9×8＝﹣72； （3）（﹣3）2×（﹣2）3＝9×（﹣8）＝﹣72； （4）﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18； （5）（﹣2×3）2＝（﹣6）2＝36； （6）（﹣2）14×（﹣）15＝（﹣2）14×（﹣）14×（﹣）＝[（﹣2）×（﹣）]14×（﹣）＝﹣； （7）﹣（﹣2）4＝﹣（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）×（﹣2）＝﹣16； （8）（﹣1）2001＝﹣1； （9）﹣23+（﹣3）2＝﹣8+9＝1； 4.下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 【答案】C． 5.下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2| 【答案】B． 6.下列各组数中： ①﹣52和（﹣5）2； ②（﹣3）3和﹣33； ③﹣（﹣0.3）5和0.35； ④0100和0200； ⑤（﹣1）3和﹣（﹣1）2．相等的共有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C． 题型03 偶次方与绝对值的非负性 1.若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝　 　． 【答案】9． 2.若（m+3）2+|n﹣2|＝0，则﹣mn＝　 　 【答案】﹣9． 3.已知|3m﹣12|+＝0，则2m﹣n＝　 　． 【答案】10． 4.如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021 【答案】B． 题型04 有理数的混合运算 1.计算： （1）；（2）； （3）． 【答案】解：（1） ＝×（﹣78）﹣×（﹣78）﹣×（﹣78） ＝﹣12+26+13 ＝27； （2） ＝16÷8﹣ ＝2﹣ ＝； （3） ＝﹣1﹣（﹣）×+（﹣8）÷|﹣9+1| ＝﹣1+2+（﹣8）÷8 ＝﹣1+2+（﹣1） ＝0． 2.计算： （1）；（2）． 【答案】解：（1） ＝ ＝ ＝5； （2） ＝1+（﹣10）×2×2﹣（﹣27﹣2） ＝1﹣40+29 ＝﹣10． 3.如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出的结果为（　　） A．15 B．13 C．11 D．﹣5 【答案】C． 4.如图，按图中的程序进行计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是（　　） A．﹣50 B．50 C．﹣250 D．250 【答案】A． 5.定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（　　） A．7 B．1 C．1或7 D．3或﹣3 【答案】C． 6.用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝ab和a★b＝ba，那么[（﹣3）☆2]★（﹣1）＝　 　． 【答案】﹣1． 7.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a．如：1☆3＝1×32+1＝10．则（﹣2）☆3的值为（　　） A．10 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣20 【答案】D． 题型05 乘方的实际应用 1.当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　 　个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　 　个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 【答案】解：（1）一个细菌在分裂n次后，数量变为2n个， 故答案为：2n； （2）1小时后，盘子里有1000×25＝32000个细菌， 故答案为：32000； （3）两个小时后的数量是1小时后的＝25＝32倍． 2.一杯饮料，第一次倒去一半，第二次倒去剩下的一半，…如此倒下去，第五次后剩下饮料是原来的几分之几？第n次后呢？ 【答案】解：设这杯饮料为1，根据题意得 第一次后剩下饮料是原来的：＝， 第二次后剩下饮料是原来的：＝， 第三次后剩下饮料是原来的：＝＝， 第五次后剩下饮料是原来的：＝＝， 第n次后剩下饮料是原来的：＝＝． 3.有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？ 【答案】解：由题意得，64×（）6＝64×＝1平方米， 答：第六次后，还剩1平方米． 题型06 用科学记数法表示大于10的数 1.2025年，我国经济总量稳步攀升，国内生产总值（GDP）超过126万亿元，比上年增长5.2%，实现了5%左右的预期目标．数据“126万”用科学记数法表示为（　　） A．1.26×105 B．1.26×106 C．126×104 D．12.6×105 【答案】B． 2.2026年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为（　　） A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×1011 【答案】C． 3.从国家统计局网站获悉，2026年1﹣2月份，全国规模以上工业企业实现利润总额9140.6亿元，同比增长10.2%．9140.6亿用科学记数法表示为（　　） A．9.1406×108 B．91.406×1010 C．9.1406×1011 D．9.1406×1012 【答案】C． 4.2026年2月19日记者从水利部获悉，目前黄河五大水库总蓄水量达到327.96亿立方米，将数据327.96亿用科学记数法表示为（　　） A．327.96×108 B．32.796×109 C．3.2796×1010 D．3.2796×1012 【答案】C． 5.中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 【答案】B． 题型07 判断一个近似数的精确度 1.用四舍五入法按要求对0.25025取近似值，其中错误的是（　　） A．0.2502（精确到0.0001） B．0.25（精确到百分位） C．0.250（精确到千分位） D．0.3（精确到0.1） 【答案】A． 2.用四舍五入法按要求对0.30628分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.3（精确到0.1） B．0.31（精确到0.01） C．0.307（精确到0.001） D．0.3063（精确到0.0001） 【答案】C． 3.由四舍五入法得到的近似数8.01×104，精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．万分位 【答案】C． 4.近似数6.16万精确到（　　） A．百分位 B．千分位 C．百位 D．万位 【答案】C． 5.列说法正确的是（　　） A．1.8和1.80的精确度相同 B．5.7万精确到0.1 C．6.610精确到千分位 D．0.12349精确到0.001是0.124 【答案】C． 题型08 根据精确度求近似数 1.1079.34精确到个位，则近似值为（　　） A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070 【答案】C． 2.将17.5208四舍五入精确到千分位是（　　） A．17.5 B．17.52 C．17.521 D．17.520 【答案】C． 3.用四舍五入法对3.14159取近似值，精确到百分位的结果是（　　） A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141 【答案】B． 4.用四舍五入法把3.8963精确到百分位得到的近似数是（　　） A．3.89 B．3.900 C．3.9 D．3.90 【答案】D． 5.用四舍五入法把数25.862精确到十分位，所得的近似数是（　　） A．25.8 B．25.9 C．25.86 D．25.87 【答案】B． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3有理数的乘方知识归纳与题型突破2026-2027学年 人教版七年级上册（八题型） 知识归纳 知识点1. 有理数的乘方 1. 乘方的定义 这种求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 例如：2×2×2×2，记作24读作2的4次方(幂). 2×2×2×2×2×2，记作26读作2的6次方(幂). 2.乘方的符号法则： （1）正数的任何次幂都是正数 （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数 （3）零的正整数次幂都是零 【知识总结】 1.注意：一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 2.有理数乘方的运算方法： （1）根据乘方的符号规律确定结果的符号。 （2）计算结果的绝对值。 注意：做有理数的混合运算时，应注意以下运算顺序 1.先乘方，再乘除，最后加减； 2.同级运算，从左到右进行； 3.如有括号，先做括号内的运算，按小括号、 中括号、大括号依次进行. 知识点2. 科学记数法 我们可以把大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数(即1≤a＜10)， n是正整数.这种记数方法叫做科学记数法. 2.用科学记数法表示数 (1)指数与运算结果中的0的个数的关系 (2)指数与运算结果的数位的关系 反之，1后面有多少个0，10的幂指数就是多少. 【注意的事项】用科学记数法表示一个数时，需要从两个方面入手，关键是确定a和n的值． (1)a值的确定：1≤|a|<10； (2)n值的确定： ①当原数大于或等于10时，n等于原数的整数位数减1； ②当原数大于0且小于1时，n是负整数，它的绝对值等于原数左起第一位非零数字前所有零的个数(含小数点前的零)； ③有计数(量)单位的科学记数法，先把数字单位转化为纯数字表示，再用科学记数法表示．常用的计数单位有：1亿＝108，1万＝104，计量单位有：1 mm＝10－3 m，1 nm＝10－9 m等． 知识点3. 近似数 1.近似数：在实际问题中，由“四舍五入”得到的数或大约估计的数都是近似数。（近似数小数点后的末位数是0的，不能去掉0.） 2.精确度：表示一个近似数与准确数的接近程度。一个近似数，四舍五入到哪一位，就称这个数精确到哪。 【知识总结】对近似数的精确度的理解 精确到0.1位，也叫做精确到十分位。 精确到0.01位，也叫做精确到百分位。 精确到0.001位，也叫做精确到千分位。 精确到0.0001位，也叫做精确到万分位。 近似数是一个与准确数接近的数，其接近程度可以用精确度表示. 题型突破 题型01 幂的概念的理解 1.118表示（　　） A．11个8连乘 B．11乘以8 C．8个11连乘 D．8个别1相加 2.计算＝（　　） A． B． C． D． 3.﹣25表示的意义是（　　） A．5个﹣2相乘 B．5个2相乘的相反数 C．2个﹣5相乘 D．2个5相乘的相反数 4.下列对于﹣34，叙述正确的是（　　） A．读作﹣3的4次幂 B．底数是﹣3，指数是4 C．表示4个3相乘的积的相反数 D．表示4个﹣3相乘的积 5.比较（﹣4）3和﹣43，下列说法正确的是（　　） A．它们底数相同，指数也相同 B．它们底数相同，但指数不相同 C．它们底数不同，运算结果也不同 D．它们所表示的意义不相同，但运算结果相同 题型02 有理数的乘方的运算 1.计算：（1）（﹣）2；（2）（）4． 2.计算：（1）23；（2）﹣54；（3）﹣；（4）﹣（）3． 3.计算： （1）（﹣）3 （2）﹣32×23 （3）（﹣3）2×（﹣2）3 （4）﹣2×32 （5）（﹣2×3）2 （6）（﹣2）14×（﹣）15 （7）﹣（﹣2）4 （8）（﹣1）2001 （9）﹣23+（﹣3）2 4.下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 5.下列各组的两个数中，运算后的结果相等的是（　　） A．23和32 B．﹣33和（﹣3）3 C．﹣22和（﹣2）2 D．﹣|﹣2|和|﹣2| 6.下列各组数中： ①﹣52和（﹣5）2； ②（﹣3）3和﹣33； ③﹣（﹣0.3）5和0.35； ④0100和0200； ⑤（﹣1）3和﹣（﹣1）2．相等的共有（　　） A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 题型03 偶次方与绝对值的非负性 1.若|x﹣2|+（y+3）2＝0，则yx＝　 　． 2.若（m+3）2+|n﹣2|＝0，则﹣mn＝　 　 3.已知|3m﹣12|+＝0，则2m﹣n＝　 　． 4.如果|a+2|+（b﹣1）2＝0，那么代数式（a+b）2021的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．±1 D．2021 题型04 有理数的混合运算 1.计算： （1）；（2）； （3）． 2.计算： （1）；（2）． 3.如图是一个“数值转换机”，按下面的运算过程输入一个数x，若输入的数x＝﹣1，则输出的结果为（　　） A．15 B．13 C．11 D．﹣5 4.如图，按图中的程序进行计算，如果输入的数是﹣2，那么输出的数是（　　） A．﹣50 B．50 C．﹣250 D．250 5.定义运算a★b＝|ab﹣2a﹣b|，如1★3＝|1×3﹣2×1﹣3|＝2．若a＝2，且a★b＝3，则b的值为（　　） A．7 B．1 C．1或7 D．3或﹣3 6.用“☆”、“★”定义新运算：对于任意有理数a、b，都有a☆b＝ab和a★b＝ba，那么[（﹣3）☆2]★（﹣1）＝　 　． 7.用“☆”定义一种新运算：对于任意有理数a和b，规定a☆b＝ab2+a．如：1☆3＝1×32+1＝10．则（﹣2）☆3的值为（　　） A．10 B．﹣15 C．﹣16 D．﹣20 题型05 乘方的实际应用 1.当细菌繁殖时，每隔一段时间，一个细菌就分裂成两个． （1）一个细菌在分裂n次后，数量变为　 　个． （2）有一种分裂速度很快的细菌，它每12分钟分裂一次，如果现在盘子里有1000个这样的细菌，那么1小时后，盘子里有　 　个细菌． （3）求两个小时后的数量是1小时后的多少倍？ 2.一杯饮料，第一次倒去一半，第二次倒去剩下的一半，…如此倒下去，第五次后剩下饮料是原来的几分之几？第n次后呢？ 3.有一块面积为64米2的正方形纸片，第1次剪掉一半，第2次剪掉剩下纸片的一半，如此继续剪下去，第6次后剩下的纸片的面积是多少平方米？ 题型06 用科学记数法表示大于10的数 1.2025年，我国经济总量稳步攀升，国内生产总值（GDP）超过126万亿元，比上年增长5.2%，实现了5%左右的预期目标．数据“126万”用科学记数法表示为（　　） A．1.26×105 B．1.26×106 C．126×104 D．12.6×105 2.2026年一季度，兰州市坚持稳中求进、综合施策，全市国民经济起步平稳，开局良好．一季度全市地区生产总值87790000000元，数据87790000000用科学记数法表示为（　　） A．87.79×109 B．8.779×109 C．8.779×1010 D．8.779×1011 3.从国家统计局网站获悉，2026年1﹣2月份，全国规模以上工业企业实现利润总额9140.6亿元，同比增长10.2%．9140.6亿用科学记数法表示为（　　） A．9.1406×108 B．91.406×1010 C．9.1406×1011 D．9.1406×1012 4.2026年2月19日记者从水利部获悉，目前黄河五大水库总蓄水量达到327.96亿立方米，将数据327.96亿用科学记数法表示为（　　） A．327.96×108 B．32.796×109 C．3.2796×1010 D．3.2796×1012 5.中国信息通信研究院测算，2020～2025年，中国5G商用带动的信息消费规模将超过8万亿元，直接带动经济总产出达10.6万亿元．其中数据10.6万亿用科学记数法表示为（　　） A．10.6×104 B．1.06×1013 C．10.6×1013 D．1.06×108 题型07 判断一个近似数的精确度 1.用四舍五入法按要求对0.25025取近似值，其中错误的是（　　） A．0.2502（精确到0.0001） B．0.25（精确到百分位） C．0.250（精确到千分位） D．0.3（精确到0.1） 2.用四舍五入法按要求对0.30628分别取近似值，其中错误的是（　　） A．0.3（精确到0.1） B．0.31（精确到0.01） C．0.307（精确到0.001） D．0.3063（精确到0.0001） 3.由四舍五入法得到的近似数8.01×104，精确到（　　） A．万位 B．百分位 C．百位 D．万分位 4.近似数6.16万精确到（　　） A．百分位 B．千分位 C．百位 D．万位 5.列说法正确的是（　　） A．1.8和1.80的精确度相同 B．5.7万精确到0.1 C．6.610精确到千分位 D．0.12349精确到0.001是0.124 题型08 根据精确度求近似数 1.1079.34精确到个位，则近似值为（　　） A．1080 B．1079.3 C．1079 D．1070 2.将17.5208四舍五入精确到千分位是（　　） A．17.5 B．17.52 C．17.521 D．17.520 3.用四舍五入法对3.14159取近似值，精确到百分位的结果是（　　） A．3.1 B．3.14 C．3.142 D．3.141 4.用四舍五入法把3.8963精确到百分位得到的近似数是（　　） A．3.89 B．3.900 C．3.9 D．3.90 5.用四舍五入法把数25.862精确到十分位，所得的近似数是（　　） A．25.8 B．25.9 C．25.86 D．25.87 学科网（北京）股份有限公司 $