福建同安第一中学2025-2026学年高一第二学期期中质量监测数学试题

**基本信息** 高一数学期中质检聚焦复数、向量、立体几何及解三角形，融入《九章算术》阳马、赵爽弦图等文化素材，通过蚂蚁爬行最短路径、线段组合面积探究等问题，培养数学眼光与创新意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|复数虚部、向量数量积、线面关系|基础巩固，考查空间观念| |多选题|3/18|复数运算、向量模长、正方体截面|分层设题，培养推理意识| |填空题|3/15|向量共线、阳马外接球体积、赵爽弦图类比|文化传承，发展抽象能力| |解答题|5/77|解三角形面积、线面平行证明、四棱锥体积|综合应用，如线段组合探究面积最值，提升应用意识|

同安一中2025—2026学年第二学期期中质检监测 高一数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项涂在答题卡相应的位置上. 1. 在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（     ） A.2 B. C. D. 2. 已知，为单位向量，且满足，则（     ） A. B. C. D.3 3. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列命题中为真命题的是（     ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 在中，，，其面积为，则等于（     ） A. B. C. D. 5. 已知直四棱柱的高为2，其底面四边形水平放置时的斜二测直观图为矩形，如图所示. 若，则该直四棱柱的表面积为（     ） A. B. C. D. 6. 已知正四棱锥的侧棱长为4，且，若一只蚂蚁从点出发沿着该四棱锥的侧面爬行一周回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（     ） A. B. C.6 D. 7. 在中，角，，的对边分别为，，，若，则（     ） A. B. C. D. 8. 在直角三角形中，，，是斜边上的两个动点，且，则取值范围为（ A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，下列说法正确的有（     ） A. 复数的共轭复数 B. C. 复数的模为 D. 已知复数满足，则在复平面内对应的点的轨迹为直线 10. 如图所示，线段是的弦，其中，，点为上任意一点，则以下结论正确的是（ A. B. C. 当时， D. 的最大值是 11. 如图，在棱长为的正方体中，已知，，分别是棱，，的中点，点满足，，则下列说法正确的有（     ） A. 平面 B. 若，，，四点共面，则 C. 若，点在侧面内（包括边界），且平面，则点的轨迹长度为 D. 若，过，，三点作该正方体的截面将该正方体分成两部分，较小体积与较大体积的比值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若与共线，则实数            . 13. 《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年.在《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图是阳马，平面，，，，则该阳马的外接球的体积为             14. 赵爽是我国古代数学家，大约在公元222年，他为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（以弦为边长得到的正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的一个小正方形组成，如图①），类比“赵爽弦图”，可构造如图②所示的图形，它是由3个全等的三角形与中间一个小等边三角形拼成的一个较大的等边三角形，其中，则的值为            ；设，则            . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15（13分）. 已知中，，，分别为角，，的对边，. （1）求； （2）若，点是的中点，且，求的面积. 16（15分）. 如图，在直三棱柱中，，，，，点，分别为棱，的中点. （1）证明：直线平面； （2）求异面直线与所成的角的大小. 17（15分）、已知向量，，且，。 （1）求的值； （2）在中，内角，，的对边分别为，，。若，求的取值范围。 18（17分）．如图，在四棱锥中，平面，底面四边形为直角梯形，，，，，，分别为，中点。 （1）求证：。 （2）求与平面所成角的余弦值。 （3）求点到平面的距离。 19（17分）．现有长度分别为1，2，3，4的线段各1条，必须将四条线段全部用上，首尾依次相连地放在桌面上，可组成周长为10的三角形或四边形。 （1）求出两种符合条件的三角形的面积。 （2）如图，在平面凸四边形中，，，，。 ①连接，当大小变化时，试用和用来表示四边形面积，并求的最大值。 ②当时，所在平面内是否存在点，使得达到最小？若有最小值，则求出该值；否则，说明理由。 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $