福建厦门市同安实验中学2024-2025学年第二学期高二年级期中质量检测数学试题

**基本信息** 以航天科技、航空服务等真实情境为载体，通过排列组合、概率统计、导数应用等知识考查，体现用数学语言表达现实世界的能力，设置新定义问题（如凹凸函数）梯度提升思维推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|排列组合（第1题）、概率分布（第3题）、导数几何意义（第4题）|基础概念与图像分析结合| |多选题|3/18|回归分析（第9题）、二项式定理（第10题）|辨析概念与实际应用判断| |填空题|3/15|正态分布（第12题）、导数极值（第14题）|知识综合与分类讨论| |解答题|5/77|导数应用（第15、18题）、概率统计（第17题航天摸球游戏）、回归预测（第16题航空投诉）|情境真实，设置新定义（第19题凹凸函数）考查创新思维|

厦门市同安实验中学2024—2025学年第二学期高二年级期中质量检测 数 学 试 题 （满分：150分 考试时间：120分钟） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．书架上有5本不同的理科类书籍和4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同的取法总数有 A．9种 B．45种 C．种 D．20种 2．设随机变量，，则 A． B． C． D． 3．下表是离散型随机变量的概率分布，则 1 2 3 4 P A． B． C． D． 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则下列判断正确的是 A．为的极小值点 B．为的极大值 C．在区间上，是增函数 D．在区间上，是减函数 5．函数的图像大致是 A． B． C． D． 6．某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不同安排的方法数为 A．32 B．24 C．18 D．12 7．在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A．30 B．36 C．60 D．72 8．甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为 A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．下列说法中，不正确的命题是 A．在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好 B．样本相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C．在经验回归方程中，当解释变量每增加1个单位时，响应变量平均增加2.3个单位 D．若关于的经验回归方程为，则样本点的残差为1.4 10．已知二项式的展开式中各项系数之和为，则 A．展开式中共有6项 B．展开式中二项式系数的和为64 C．展开式中常数项为 D．展开式中二项式系数最大的项是第3项 11．为了研究青少年长时间玩手机与近视率的关系，现从某校随机抽查600名学生，经调查，其中有的学生近视，有的学生每天玩手机超过1小时，玩手机超过1小时的学生的近视率为．用频率估计概率，则 （附：，其中．） 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A．如果抽查的一名学生近视，则他每天玩手机超过1小时的概率为 B．如果抽查的一名学生玩手机不超过1小时，则他近视的概率为 C．根据小概率值的独立性检验，可以认为每天玩手机超过1小时会影响视力 D．从该校抽查10位学生，每天玩手机超过1小时且近视的人数的期望为5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，则 ▲ . 13．已知，则 ▲ . 14．已知函数 . 若在处有极值，则的值为 ▲ ； 若当时，，则实数的取值范围是 ▲ . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数的图象过点，且． (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数在上的值域． 16．（15分）某市航空公司为了解每年航班正点率对每年顾客投诉次数（单位：次）的影响，对近8年（2017年～2024年）每年航班正点率和每年顾客投诉次数的数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值. （1）求关于的经验回归方程； （2）该市航空公司预计2026年航班正点率为，利用（1）中的回归方程，估算2026年顾客对该市航空公司投诉的次数； （3）根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的概率为，现从该市所有顾客中随机抽取3人，记这3人中选择乘坐该航空公司航班的人数为，求的分布列和数学期望． 附：经验回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 17．（15分）为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同.参与者每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X，记录完得分后，将摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏.若第3轮后仍未过关，则游戏也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏. (1)求随机变量X的分布列； (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率． 18．（17分）已知函数. (1)当时，求的单调区间； (2)讨论函数的单调性； (3)函数有两个零点，求证：． 19. （17分）对，若函数在有不等式，则称函数是在上的“凹函数”，反之，若不等式，则称函数是在上的“凸函数”，当且仅当时等号成立．也可理解为若函数在上可导，为在上的导函数，为在上的导函数，当时，函数是在上的“凹函数”，反之，当时，则称函数是在上的“凸函数”． (1)判断函数的凹凸性； (2)若，令，求的最小值； (3)为（2）问所得结果，证明不等式：． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $厦门市同安实验中学2024一2025学年第二学期高二年级期中质量检测 数学试题 (满分：150分考试时间：120分钟) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.书架上有5本不同的理科类书籍，4本不同的文科类书籍，现从书架上取一本书，不同 的取法总数有() A.9种 B.45种 C.54种 D.20种 【答案】A 【分析】由分类加法计数原理可得。 【详解】由分类加法计数原理，可知不同的取法有5+4=9种. 故选：A 2.设随机变量X~N1,o2),P(1<X<2)=0.28,则P(X>0)=() A.0.22 B.0.56 C.0.68 D.0.78 【答案】D 【分析】利用正态密度曲线的对称性可求得P(0<X<)的值，进而可得出 P(X>0)=P(0<X<1)+PK≥1)的值 【详解】X-N1,σ2)，.P(0<X<1)=P1<X<2=0.28, ∴.P(X>0)=P(0<X<1HP(X≥1F0.28+0.5=0.78. 故选：D 3.下表是离散型随机变量5的概率分布，则侧P(5≥2)=() P 24 8 A. B 11 D. 23 4 12 C. 3 24 【答案】B 【分析】根据分布列的性质可得α=2，利用对立事件概率性质运算求解。 【详解】由愿意可得：4只)+1，解得a-2, 24826 所以p(5≥2)=1-P(店=0=1-2412 211 故选：B. 4.已知函数f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示，则下列判断正确的是() A.-2为f(x)的极小值点 B.f(2)为f(x)的极大值 C.在区间(-1,1)上，f(x)是增函数 D.在区间(-3，-2)上，f(x)是减函数 【答案】B 【分析】根据导函数'(x)的图象，分析出函数f(x)的单调性及单调区间，再逐项分析即 可 【详解】由导函数'(x)的图象可知，当x∈(-3，-2)时∫'(x)>0,函数f(x)单调递增， 当x∈(-2,0)时f'(x)<0,函数f(x)单调递减， 所以x=-2为f(x)的极大值点，故A、D错误； 当xe(0,2)时f'(x)>0,函数f(x)单调递增， 当x∈(2,3)时f'(x)<0,函数f(x)单调递减， 所以x=2为f(x)的极大值点，即f(2)为f(x)的极大值，故B正确， 函数∫(x)在(-1,0)单调递减，在(0,1)上单调递增，所以C错误. 故选：B 5.函数f(x)=(x2-2x)e的图像大致是() 【答案】C 【分析】先分析函数∫(x)有两个零点，再探讨函数f(x)的单调性即可判断 【详解】令f(x)=(x2-2x)e=0,可得x=0,x2=2, 故f(x)有两个零点，排除A、B, 又f"(x)=(2x-2)e+(x2-2x)e=(x2-2)e, 当f"()>0时，x<-√2或x>2,即f()在(-o,-√②)，(V2,+∞）上单调递增： 当f'(w)<0时，√2<x<√2，即f)在（√2，√②上单调递减，由单调性可排除D. 故选：C 6.某校新闻社团负责报道采访本校田径运动会，社团派出甲、乙、丙、丁四名成员到跳高、 跳远、短跑三个比赛场地进行现场报道，且每个场地至少安排一人，则甲不在短跑场地的不 同安排的方法数为() A.32 B.24 C.18 D.12 【答案】B 【分析】由题意，分甲单独与组队两种情况，利用特殊元素优先法以及分组分配的思想，可 得答案 【详解】当甲单独一人进行现场报道时，甲有2种选择，再将乙、丙、丁分配到其他两个地 方， 情况数为CA号=6，则此时总的情况数为2×6=12； 当甲与人组队进项现场报道时，先从乙、丙、丁中选出一人与甲组队，则情况数为3， 再在跳高、跳远选一个去进行现场报道，则情况数为2， 最后剩下的两人安排去其他两个地方，则情况数为A?=2, 所以此时总的情况数为3×2×2=12 综上，符合题意的情况数为12+12=24 故选：B 7.在某班进行的歌唱比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生.如果2位男 生不能连着出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为 A.30 B.36 C.60 D.72 【答案】C 【分析】记事件A:2位男生连着出场，事件B:女生甲排在第一个，利用容斥原理可知所求 出场顺序的排法种数为A-(AB)=A-(A)+n(B)-n(A⌒B),再利用排列组合可求 出答案. 【详解】记事件A:2位男生连着出场，即将2位男生捆绑，与其他3位女生形成4个元素， 所以，事件A的排法种数为n(A)=AA4=48, 记事件B:女生甲排在第一个，即将甲排在第一个，其他四个任意排列，所以，事件B的排 法种数为n(B)=A4=24, 事件A⌒B:女生甲排在第一位，且2位男生连着，那么只需考虑其他四个人，将2位男生与 其他2个女生形成三个元素，所以，事件A⌒B的排法种数为AA=12种， 因此，出场顺序的排法种数4-(AUB)=-[n(4)+n(B)-n(AnB)] =120-(48+24-12)=60种，故选C. 8.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地 将球传给另外两个人中的任何一人，则5次传球后球在甲手中的概率为() A. 11 31 17 B. D. 96 16 48 【答案】C 【详解】设n次传球后球在甲手中的概率为pn,当n=1时，=0， 设A=“n次传球后球在甲手中”，则A1=AA1+A,AH, (A)=P(44)+P(44)=P(4)P(A14)+P(4)P(44) 即Am=R×0=0-A小}0-A). 1 所以，数列以引是以为首项，以为公比的等比数列， 所以5改传球后球在甲手中的凝率为么石)。 故选：C 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分. 9.下列说法中，不正确的命题是() A.在刻画回归模型的拟合效果时，R的值越大，说明拟合的效果越好 B.线性相关系数”越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱 C.在经验回归方程少=-0.85x+2.3中，当解释变量x每增加1个单位时，响应变量y平 均增加2.3个单位 D.若y关于x的经验回归方程为=-0.2x+0.8,则样本点(2，-1)的残差为1.4 【答案】BCD 【详解】 对于A:在刻画回归模型的拟合效果时，的值越大，说明拟合的效果越好，正确： 对于B:线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强，反之，线性相关性越弱，错误： 对于C,因为-0.85(x+1)+2.3=-0.85x+2.3-0.85, 所以当解释变量x每增加1时，响应变量y平均减少0.85，故C错误： 对于D中，将x=2代入回归方程为少=-0.2x+0.8,可得)=0.2×2+0.8=0.4， 则样本点的残差为-1-0.4=-1.4，所以D不正确： 10.己知二项式 x 1 的展开式中各项系数之和为 4,则() A.展开式中共有6项 B.展开式中二项式系数的和为64 C.展开式中常数项为 D.展开式中二项式系数最大的项为第3项 6 【答案】BC 【详解】由题可得展开式酒项为7。=C[日”（宁(-少（到-C”(-)字 对于A,令x=1,可得展开式各项系数和， 则 1) 、2=64 n=6, 则展开式共有7项，故A错误； 对于B,二项式系数和为∑C%=1+1)°=64，故B正确： 对于C,对于通项，令。三0→1=2，则常数项为买=C 2 )治c正 对于D,应为第4项 故选：BC 11.为了研究青少年长时间玩手机与近视率的关系，现从某校随机抽查600名学生，经调查， 其中有40%的学生近视，有20%的学生每天玩手机超过1小时，玩手机超过1小时的学生 的近视率为50%.用频率估计概率，则() (附：x2= n(ad-bc)2 其中n=a+b+c+d.) (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 如果抽查的一名学生近视，则他每天玩手机超过1小时的概率为} B。如果抽查的一名学生玩于机不超过1小时，则他近视的微率为号 C.根据小概率值=0.05的独立性检验，可认为每天玩手机超过1小时会影响视力 D.从该校抽查10位学生，每天玩手机超过1小时且近视的人数的期望为5 【答案】AC 【分析】根据条件概率的求法判断A,由全概率公式判断B,根据卡方的运算判断C,根据 二项分布的期望判断D 【详解】设A=“任选1名学生近视”，B=“任选1名学生每天使用手机超过1小时” 则0-号P)-专，P所以PM-BPaB-0 则P(B|A)= P(AB)10-1 24 ,故A正确： P(A) 5 因为P(国=1--手，P)=PE)PA+P国Pa-号 4 即Pa到-子解得- 2 放B错误， 由题意，可得2×2列联表： 每天使用手机时 长 合 视力 超过 不超过 计 1h 1h 近视 60 180 240 不近 60 300 360 视 合计 120 480 600 由上表可知x 600×(60×300-180×60)_25=6.25>3.841,可以认为每天玩手机超过1 240×360×120×480 4 小时会影响视力，故C正确： 由腰意知，任取1人，取得每天玩手机超过1小时且近视的概率为P=P(4B)=。,10人中 每天玩手机超过1小时且近视的人数为X,则x~B10,1 10 所以E四)-10×。1，故 D错误 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 1 12.己知随机变量5B5,)则D25+1) 【答案】5 【分析】根据题意，利用二项分布的方差的计算公式以及方差的性质，即可求解 【详解】由随机变量5~A 可得D(⑤)=10x×Q-=,则D25+1D=2D5)=5. 2 24 13.己知(1-2.x)'=+ax+a2x2+ax3+a4x4+ax+,x5+a,x,则 4+凸2+4+44+4+46+4=」 【答案】-2 【分析】应用赋值法求得a,=1、+4++4+a4+4+4+a,=1,即可求值. 【详解】令x=0,则a=1-2×0)'=1, 令x=1,则a4+4+4+a+4+a+%+a=1-2x1)=-1, 所以4+4+4+a4+4+46+a2=-2. 故答案为：-2 14.已知函数f(x)=x(ex-1)-ax2(a∈R).若f(x)在x=-1处有极值，则a的值为； 若f(x)≥0在x>0时恒成立，则实数a的取值范围是」 [答案]【解】f'(x)=ex-1+xe*-2ax=(x+1)ex-2ax-1. 依题意知f'(-1)=2a-1-0,所以a= [答案]方法一：当x>0时，f(x)≥0， 即x(ex-1)-ax2≥0，即ex-1-ax≥0. 令p(x)=ex-1-ax(x>0),则p(x)min≥0，p'(x)=e*-a. ①当a≤1时，p'(x)=e*-a>0, 所以p(x)在(0，+oo)上单调递增， 所以p(x)>p(O)=0,所以a≤1满足条件. ②当a>1时，若0<x<lna,则p'(x)<0, 若x>lna,则p'(x)>0 所以p(x)在(0，na)上单调递减，在na,+o)上单调递增， 所以p(x)min=p(na=a-1-alha≥0. Ag(a)=a-1-aln a(a>1) 所以g'(a)=1-(1+lna)=-na<0, 所以g(a)在(1，+o)上单调递减. 所以g(a)<g(1)=0与g(a)≥0矛盾，故a>1不满足条件， 综上，实数a的取值范围是(-∞，1] 方法二：当x>0时，f(x)≥0，即x(ex-1)-ax2≥0， 即e-1-ax≥0，即a≤1恒成立. 令h=6>0)所以h(c)=H x2 令k(x)=e*(x-1)+1(x>0),所以k'(x)=e*·x>0, 所以k(x在(0，+oo)上单调递增，所以k(x)>k(O)=0. 所以h'(x)>0,所以h(x)在(0，+oo)上单调递增. 由洛必达法则知，幻=兰==1 X→0 所以a≤1，故实数a的取值范围是(-∞，1] 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤 15.(13分)已知函数f(x)=x3-x2+b(a,b∈R)的图象过点(2，-4)，且f'(2)=0. (1)求函数y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程 (2)求函数y=f(x)在x∈[-1,3]上的值域. 【答案】(1)3x+y-1=0 (2[-4,0] f'(2)=0 【分析】(1)求出∫'(x),根据题意得出 f(2)-4求出a、b的值，可得出函数f(的 解析式，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程： (2)利用导数分析函数∫(x)在区间[-1,3]上的单调性，利用函数的最值与导数的关系可求 出函数∫(x)在区间[-1,3]上的最大值和最小值 【详解】(1)因为f(x)=x-ax2+b(a,beR),则f'(x)=3x2-2ar, [f'(2)=12-4a=0 ,a=3 由已知条件得g4a6-4解罚8=0所以=r-3, 所以f'(x)=3x2-6x,则f①)=-2，f(1)=-3, 所以函数y=∫()在点(1，f(1)处的切线方程为y+2=-3(x-1),即3x+y-1=0. (2)由(1)知，f(x)=x3-3x2,f'(x)=3x2-6x,由f'(x)=0可得x=0或x=2,列表 如下： [-1,0) 0 (0,2) 2 (2,3] '(x) + 0 0 f(x) 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 所以，函数f(x)在区间[-1,0)上单调递增，在区间(0,2)上单调递减，在区间(2,3引上单调递 增， 所以，函数(x)在区间[-1,3]上的极大值为f(0)=0,极小值为f(2)=-4, 又因为f(-1)=-4,f(3)=0,故函数f(x)在区间[-1,3]上的最大值为0，最小值为-4. 值域为[-4,0] 16.(15分)某市航空公司为了解每年航班正点率x%对每年顾客投诉次数y(单位：次) 的影响，对近8年(2017年~2024年)每年航班正点率x%和每年顾客投诉次数y的数据 作了初步处理，得到下面的一些统计量的值 可 600 592 43837.2 93.8 (1)求y关于x的经验回归方程； (2)该市航空公司预计2026年航班正点率为84%，利用（1)中的回归方程，估算2026 年顾客对该市航空公司投诉的次数： (3)根据数据统计，该市所有顾客选择乘坐该航空公司航班的樱率为 ，现从该市所有顾 3 客中随机抽取3人，记这3人中选择乘坐该航空公司航班的人数为X,求X的分布列和数 学期望 附：经验回归直线=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： 2会 ,a=下-bx 【答案】(1)=-6x+524 (2)20 (3)分布列见解析，E(X)=2 【解析】(1) t=600=757=59 8 8 =74: x 则6 43837.2-8×75×74=-6, 代- 93.8 所以a=y-bx=74+6×75=524, 所以)=-6x+524: (2)当x=84时，y=20, 所以2024年顾客对该市航空公司投诉的次数为20次： (2)X可取0,1,2,3， Px--c6)74--子g-g Px-2-c眉)周-号Px--c- 所以分布列为 0 2 3 1 2 4-9 8 27 9 27 因为X服从=项分布：所似E(r)-3子-2 17.(15分)为普及航天知识，某航天科技体验馆开展了一项“摸球过关”领取航天纪念品的 游戏，规则如下：不透明的口袋中有4个白球，2个红球，这些球除颜色外完全相同参与者 每一轮从口袋中一次性取出4个球，将其中的白球个数记为该轮得分X,记录完得分后，将 摸出的球全部放回袋中.当参与者完成第n轮游戏，且其前n轮的累计得分恰好为3n时，游 戏过关，可领取纪念品，同时游戏结束，否则继续参与游戏若第3轮后仍未过关，则游戏 也结束，参与者不能获得纪念品，每位参与者只能参加一次游戏 (1)求随机变量X的分布列： (2)若甲参加该项游戏，求甲能够领到纪念品的概率 【答案】(1)分布列见解析 692 15 【分析】(1)写出X可能取值和对应的概率，得到分布列： (2)在(1)基础上，记其前n轮的累计得分为Y,求出P(=3)= 8P== 1 75 PW=)=5 32 相加得到概率 【详解】(1)由题意得，随机变量X可取的值为2,3,4， 易知P(X=2)= cc-2 ，P(X=3)= 入CC-8,Px=9=1 C6151 则随机变量X的分布列如下： 2 3 2 8 1 5 15 15 (2)由（①）可知，参与者每轮得2分，3分，4分的概率依次为5,5,5 记参与者第i轮的得分为X,,则其前轮的累计得分为Y=X1+X,+…+Xm, 8 若参与者取球1次后可领取纪念品，即参与者得3分，则P(Y=3)= 15: 若参与者取球2次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为6分，有“4+2”，“2+4” 的情形， 则PW=6)=2x2×1-4 5^1575 若参与者取球3次后可领取纪念品，即参与者获得的分数之和为9分，有“2+3+4”，“4+3+2 的情形， 28132 则PY=9=2×亏×15151125 记“甲能够领取纪念品”为事件A, 则P4=PC=3)+PW=O+PT=9)=8+4+32-92 157511251125 18（17分)尼知函数f=方式-a+2x+2咖r(aeR)。 ()当a=时，求f(9的单调减区间： (2)讨论函数∫(x)的单调性； 6)函数()=f()-产有两个零点，，求证：>e. 【答案】(1)(0,2) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】(1)求出函数的导函数，再解∫'(x)<0,即可得解： (2)求得f"(y=c-r-2) 对实数a的取值进行分类讨论，利用函数的单调性与导数 的关系可得出函数∫(x)的增区间和减区间： ③》设太0。自己知等式推导出出之会，将新不号式等价变形为 2-1 n> 2 令=点>1，即证nt>2t-),令p0=n1-2- ,其中t>1,令导 2 +1 t+1 t+1 2 数分析函数p(t)的单调性，即可证得结论成立. 【详解】(1)函数f(x)的定义域为(0，+∞) 当a=时，数f- 所以f6)=x-多1-2-3-2x-22x+ 2 x 2x 2x 令'(x)<0,解得0<x<2,所以函数f(x)的减区间是(0,2). 令'(x)>0,解得x>2,所以函数f(x)的增区间是(2，+n) (2函数f)=r-(a+2x+2at血aeR则的定义线为0+o), 又f"()=x-a+2+2a--(a+2r+2a区-a)-2) ①当a≤0时，对任意的x>0,x-a>0, 当0<x<2,f'(x)<0:当x>2,f'(x)>0, 此时函数f(x)在(0,2)上单调递减，在(2，+∞)上单调递增： ②当0<a<2时， 由f'(x)<0可得a<x<2,由f'(x)>0可得0<x<a或x>2, 此时函数f(x)在(a,2)上单调递减，在(0，a)和(2，+o)上单调递增； ③当a=2时，f'(x)≥0恒成立， 此时函数f(x)在(0，+o)上单调递增： ④当a>2时 由∫'(x)<0可得2<x<a,由f'(x)>0可得0<x<2或x>a, 此时函数f(x)在(2，a)上单调递减，在(0,2)和(a,+o)上单调递增； 综上所述，当a≤0时，函数f(x)的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2，+∞)： 当0<a<2时，函数f(x)的单调递减区间为(a,2),单调递增区间为(0，a)、(2,+o)； 当a=2时，f(x)的单调递增区间为(0，+o),无单调递减区间； 当a>2时，函数∫(x)的单调递减区间为(2，a),单调递增区间为(0,2)、(a,+∞) 3)e)=f0e2=hm-a+2, 因为函数(x)有两个零点，x2,不妨设书1>x3>0, 2ax1=(a+2)x 则 2anx2=(a+2)x3 2a(hx-lnx2)=(a+2)(-x3) 所以 2a(hx+hx2)=(a+2)(x+x3) +-+及，即n(x)=+名h支 整理可得-n,名 1-X2x2 要证>e,即证h(kx)=当+n生>2， 1一22 2-1 即证n生 2(x1-x2)(x3 X2 x1+X2 +1 2 令t=点>1，即证lhnt> 2t-(t>0, t+1 令p0=r2.其申1>1，则pe),4D t+1 i+00+>0, 所以函数p(t)在(1，+o)上为增函数，则p(t)>p(1)=0, 即lnt 2业-少、0，即m>2t-),故原不等式得证 t+1 t+1 19.(17分)对1，x2,,x∈[a,b],若函数f(x)在[a,b]有不等式 5士+)s)+f飞)+)，则称函数问是在a.]上的四面数 发之：若不等式+5女5）上)+，则称厨数问是在上 n 的凸函数”，当且仅当x=x2=…=x时等号成立.也可理解为若函数f(x)在[α，b]上可导， f'(x)为f(x)在[a,b]上的导函数，"(x)为f(x)在[a,b]上的导函数，当f"(x)≥0时，函 数f(x)是在[a,b]上的“凹函数'，反之，当"(x)≤0时，则称函数f(x)是在[a,b]上的“凸 函数”. (1)判断函数f(x)=ln(x+1)x(x>0)的凹凸性： 清≥0=12m空1，令归产广+六言 名.++言≥2)，求()的 i-1 最小值a4; (G)a为(2)向所得结果，证明不等式：u-Id<e号片（≥2meN 【答案】(1)f(x)为(0，+∞)的凸函数 (3)证明见解析 【分析】(1)根据定义，求得f'(x)和"(x),判断f”(x)的正负即可： (2)先判断出f(x)在(0,1)为凹函数”，当≥2时，根据凸函数的性质得出 1 n-x- -(n-1) 即可得出h(x)的最小值a: 2+++ (3)由(2)结论得出即证n<e与号片，两边取对数，即证1<1+2+有 11 n,由 导数得出f(y)=x-n(x+1)在(0，+o)上为单调递增函数，即可得出h(m+1)-l<,再用 累加法即可证明. 【详解1由邀/)中1，)-（品》 ,即f"()<0, 所以∫(x)为(0，+o)的凸函数. ②》设玉数)后则之 3 20-x) f=20-+30=1-_-4,0,所以了四在0)为四数 4(0-x)月 4(1-x)月 +x2+…+ 1 当n≥2时， Vn(n-1)1 点+ n -x- 当且仅当龙=5=5=…=x时，等号成立， 国最小值为a-”22. (3)4.=1 1 两边取对数，即证：n<l+ 1,1 23++ n-1 f闲=-血x+的号数为f=1- 当>0时，()本0恒成立，所以（田在(Q+四）上为单调递增函数，。 所以f(x)>f(0)=0→n(x+1)<x, 令x=女所以合h+小-m n(w-ln(n-1)<1 -1 n(n-)-lh(m-2y<1 n-2 所以 n3-h2c月 In2-Inl<1 累加可得：<1++ 1 证得不等式成立.