精品解析：山东济南市市中区泉海学校2025－2026学年八年级下学期期末模拟数学试题（2026.6）

泉海学校八下期末模拟数学试题（2026.6） 一．选择题（共10小题） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 2. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，是斜边上的中线．若，则 （ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中正确的是 （ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 5. 若分式方程有增根，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点 顺时针旋转 变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在三角形中，．将三角形沿所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，若要使成立，则平移的距离是（ ） A. 6 B. 9 C. 6或12 D. 9或12 10. 如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接，，则的长度是（ ） A. B. 20 C. D. 16 二．填空题（共5小题） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 因式分解=______． 13. 如图，菱形的对角线与相交于点 ，若 ， ，则菱形的面积为______． 14. 如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有条等宽的水渠，将花圃分为了个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为______． 15. 如图，在菱形中，，，对角线、相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值是______． 三．解答题（共10小题） 16. 解方程： （1）； （2） 17. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 18. 如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，且，与相交于点O，求证：． 19. “城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 20. 如图，在四边形中，，平分，，E为中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 21. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为__________； （2）请画出绕原点逆时针旋转得到的； （3）在（2）的条件下，求点C经过的路径长． 22. 某家电子产品商城计划购机A、B两种不同型号的平板电脑，每台A型平板电脑的购进价格比B型多1000元，用万元购买A型的台数与用万元购买B型的台数相等． （1）求A、B两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进A、B两种不同型号的平板电脑共100台，售卖A、B两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍，如何购进A、B两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； （3）若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 24. 【建立模型】 （1）如图，点是线段上的一点，，，，垂足分别为 ，，，，求证：． 【类比迁移】 （2）如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． 写出点 的坐标是______； 求直线的解析式； 写出的面积是______． 25. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点 重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 泉海学校八下期末模拟数学试题（2026.6） 一．选择题（共10小题） 1. 下列食品标识中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 绿色饮品 B. 绿色食品 C. 有机食品 D. 速冻食品 【答案】D 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念分别判断选项即可得出答案． 【详解】解：A、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查轴对称图形以及中心对称图形的判断，熟练掌握两种特殊图形的概念是解题关键，做题时注意看清楚题目要选的是哪种图形. 2. 下列变形是因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，根据定义即可判断． 【详解】A、是因式分解，选项正确； B、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； C、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； D、结果不是整式的乘积的形式，不是因式分解，选项错误； 故选：A． 【点睛】本题考查了因式分解的定义，因式分解是整式的变形，注意结果是整式的乘积的形式，并且变形前后值不变． 3. 如图，在中， 是斜边上的中线．若，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，由等边对等角得出，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中， 是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴． 4. 下列说法中正确的是 （ ） A. 四边相等的四边形是正方形 B. 一组对边相等且另一组对边平行的四边形是平行四边形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】正方形：有一个角是直角且有一组邻边相等的平行四边形. 平行四边形：有两组对边分别平行的四边形. 菱形：在一个平面内，有一组邻边相等的平行四边形. 矩形：有一个角是直角的平行四边形，矩形也叫长方形. 【详解】A选项中四边相等的四边形不能证明是正方形,有可能是菱形.则A错误. B选项一组对边相等且另一组对边平行的四边形不一定是平行四边形，有可能是等腰梯形，所以B错误. C选项中，对角线互相垂直，不能判定四边形是菱形. 根据正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质与判定，即可得出本题正确答案为D. 【点睛】本题的关键在于：熟练掌握正方形、平行四边形、菱形、矩形的性质与判定. 5. 若分式方程有增根，则的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】先将分式方程化为整式方程，再代入增根即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程 有增根， ∴最简公分母，得 ， 方程两边同乘去分母得： ， 整理得：， 将增根 代入整式方程得： ， 解得 ． 6. 若关于x的方程有实数根，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查一元二次方程根的判别式．根据x的方程有实数根得到，解不等式即可． 【详解】解：关于x的方程有实数根， ∴， ∴． 故选：D． 7. 如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm． 依题意得：（45-2x）（25-2x）=625． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图，将绕点顺时针旋转 变为，则下列说法不一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，根据旋转的性质逐项分析即可得解，熟练掌握旋转的性质是解此题的关键． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，，故正确； 而与不一定平行，故D不一定正确， 故选：D． 9. 如图，在三角形中，．将三角形沿所在直线向右平移，所得图形对应为三角形，若要使成立，则平移的距离是（ ） A. 6 B. 9 C. 6或12 D. 9或12 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的性质可得，则，然后分点E在线段上和点E在线段的延长线两种情况，分别求解即可． 【详解】解：根据平移的性质可得， ∵， ∴， 又∵， ∴当点E在线段上时，， 当点E在线段的延长线上时，有， 解得： ， ∴， ∴平移的距离是或， 故选：C． 【点睛】本题考查了平移的性质，正确分类讨论是解题的关键． 10. 如图，已知四边形中，，，点E、F分别是边、的中点，连接 ，，则的长度是（ ） A. B. 20 C. D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键． 取的中点G，连接 ，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出，并求出，然后利用勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：如图，取的中点G，连接 ， ∵E、F分别是边的中点， ∴ 且， 且， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 二．填空题（共5小题） 11. 若分式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，因此只需解分母不等于零的不等式即可． 【详解】要使分式有意义，则分母，解得． 故答案为：． 12. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 13. 如图，菱形的对角线与相交于点，若， ，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】首先求出对角线BD的长，根据菱形面积等于两条对角线乘积的一半计算即可． 【详解】∵四边形ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，, 在Rt△ABO中， , ∴BD=8, ∴菱形ABCD的面积为：， 故填：24． 【点睛】此题主要考查菱形的对角线的性质和菱形的面积计算，熟练掌握菱形面积等于两条对角线乘积的一半是解题关键． 14. 如图，为美化环境，某地准备将一片面积为的矩形空地建为一个花圃，花圃中间共设有 条等宽的水渠，将花圃分为了 个形状相同的矩形区域，在每个区域内种植花草，花草的总面积为，若测得空地的宽为，则水渠的宽度为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意，正确找出等量关系．先求出空地的长，设水渠的宽度为，根据题意列方程即可求解． 【详解】解：设水渠的宽度为， 空地的长为：， 根据题意得：， 整理得：，即， 解得： ，（不合题意，舍去）， 则水渠的宽度为 ， 故答案为：． 15. 如图，在菱形中，，，对角线、相交于点O，点E是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点B逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值是______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造辅助线是解题的关键．根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，继而得到，连接，证明，得，得到点 在射线上，当时，有最小值，最小值为，即可得到答案． 【详解】如图，在菱形中，，连接， ， ， 是等边三角形， ， ， ， 绕点按逆时针方向旋转，得到， ， ， ， 在和 中， ， ， ， 点 在射线上， 当时，有最小值，最小值为． 三．解答题（共10小题） 16. 解方程： （1）； （2） 【答案】（1）原分式方程无解 （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程和一元二次方程的知识，掌握以上知识是解题的关键； （1）分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）找出，，的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解． 【小问1详解】 解：原式去分母得：， 整理得：， 解得： ， 检验：当 时，， ∴ 是方程的增根， ∴原分式方程无解； 【小问2详解】 解： ，， ∴， ∴， ∴， ； 17. 先化简，再求值：，然后再从1，2，3中选一个你喜欢的数，求式子的值． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时将除法转化为乘法，再根据分式的性质化简，最后根据分式有意义的条件，将代入求解． 【详解】解： ， ∵， ∴当时，原式 【点睛】本题考查了分式化简求值，解题关键是熟练运用分式运算法则进行求解． 18. 如图，E，F是平行四边形的对角线上两点，且，与相交于点O，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质推出， ，得到 ，判定，推出，关键是由平行四边形的性质推出． 【详解】证明：四边形是平行四边形， ，， ， 在和中， ， ， ． 19. “城是济南城，湖是大明湖，楼是超然楼”是网友为超然楼写的广告词．随旅游旺季的到来，大明湖超然楼景区的游客人数逐月增加，4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次． （1）求这两个月中该景区游客人数的月平均增长率； （2）若增长率保持不变，请求出7月份的游客人数． 【答案】（1） （2）31.25万人 【解析】 【分析】（1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据4月份游客人数约为16万人次，6月份游客人数约为25万人次．列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）由题意列式计算即可． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为x 由题意可得 解得，（不合题意，舍去） 答：这两个月平均增长率为． 【小问2详解】 （万人） 答：7月份的游客人数为31.25万人． 20. 如图，在四边形中，，平分，，E为中点，连接． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解答的关键． （1）先证明是平行四边形，再根据角平分线的定义和平行线的性质证得，利用等角对等边得到，然后根据菱形的判定得出结论； （2）过D作于H，根据菱形四边形的性质和含30度角的直角三角形的性质求解、即可． 【小问1详解】 证明：∵E为中点， ∴，， ∴ ，又， ∴四边形是平行四边形， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：过D作于H， ∵四边形是菱形，， ∴，， ∴， ∴，则， ∴四边形的面积为． 21. 如图，平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． （1）平移到，其中点A的对应点的坐标为，请在图中画出；B点平移后对应点的坐标为__________； （2）请画出绕原点逆时针旋转得到的； （3）在（2）的条件下，求点C经过的路径长． 【答案】（1）画图见解析， （2）画图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据平移的性质画出三角形，得出对应点的坐标即可解答； （2）根据旋转的定义画出图形即可； （3）求解，，再利用弧长公式计算即可 【小问1详解】 解：根据平移的性质和题意可知，向右平移4个单位得到，如图， ∴B点平移后对应点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示； ； 【小问3详解】 解：由题意可得：，， ∴点C经过的路径长为 【点睛】本题主要考查了平移的性质，图形与坐标，旋转图形和旋转中心的定义，求解弧长等知识点，熟练的画图是关键． 22. 某家电子产品商城计划购机A、B两种不同型号的平板电脑，每台A型平板电脑的购进价格比B型多1000元，用万元购买A型的台数与用万元购买B型的台数相等． （1）求A、B两种型号的购进单价分别是多少？ （2）该商城计划购进A、B两种不同型号的平板电脑共100台，售卖A、B两型平板电脑的单价分别为4200元、3000元，要求购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍，如何购进A、B两型平板电脑，才能使总利润最高？最高是多少？ 【答案】（1）A型号的平板电脑的购进单价为3500元，则B型号的平板电脑的购进单价为元； （2）购进A型平板电脑66台，B型平板电脑34台时总利润最高，最高总利润为63200元 【解析】 【分析】（1）设A型号的平板电脑的购进单价为x元，则B型号的平板电脑的购进单价为元，根据用万元购买A型的台数与用万元购买B型的台数相等建立方程求解即可； （2）设购进A型号的平板电脑m台，获得的总利润为W元，根据利润（售价进价）销售量表示出A型号和B型号的利润，进而得到W关于m的关系式，求出m的取值范围，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A型号的平板电脑的购进单价为x元，则B型号的平板电脑的购进单价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型号的平板电脑的购进单价为3500元，则B型号的平板电脑的购进单价为元； 【小问2详解】 解：设购进A型号的平板电脑m台，获得的总利润为W元， 由题意得， ， ∵， ∴W随m的增大而增大； ∵购进A型平板电脑的数量不超过B型的2倍， ∴， ∴， 又∵m为整数， ∴m的最大值为66， ∴当时，W有最大值，最大值为， 此时， 答：购进A型平板电脑66台，B型平板电脑34台时总利润最高，最高总利润为63200元． 23. 如果关于x的一元二次方程有两个实数根，，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻近根方程”，例如，一元二次方程的两个根是，，，则方程是“邻近根方程”． （1）判断方程是否是“邻近根方程”； （2）已知关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”，求的值； （3）若关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，令，试求t的最大值． 【答案】（1）方程是“邻近根方程”，理由见详解 （2）0或 （3）t的最大值为 【解析】 【分析】（1）根据解一元二次方程的方法求出已知方程的两个根，再计算两根的差是否为1，从而确定方程是否为“邻近根方程”； （2）先解方程求得其根，再根据新定义列出关于m的方程，注意有两种情况； （3）根据新定义得方程得大根与小根的差为1，列出a与b的关系式，再由，得t与a的关系，化简即可． 【小问1详解】 解：方程是“邻近根方程”， 理由：在方程中， ， ∴ ，， ∴， ∴方程是“邻近根方程”． 【小问2详解】 解：， ， ，， ，， ∵关于x的方程（m是常数）是“邻近根方程”， ，即， ∴， 解得：或． 【小问3详解】 解：∵关于x的方程（a，b是常数，且）是“邻近根方程”，设两个根为、， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴当时，， 即t的最大值为． 【点睛】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法以及正确理解“邻近根方程”的定义． 24. 【建立模型】 （1）如图，点是线段 上的一点，，，，垂足分别为，，，，求证：． 【类比迁移】 （2）如图，一次函数的图象与轴交于点、与轴交于点，将线段绕点逆时针旋转得到、直线交轴于点． 写出点的坐标是______； 求直线的解析式； 写出的面积是______． 【答案】（1）见解析；（2）①；②；③ 【解析】 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，是解题的关键： （1）同角的余角相等，得到，利用证明即可； （2）过作轴于，先求出的坐标，证明，求出点坐标即可；②待定系数法求出函数解析式即可；③直接利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）证明：，， ， ， ， ， 在和 中， ， ； 解：过作轴于，如图： 在中，令得，令得， ，， ，， 将线段绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； 故答案为：； 设直线的解析式为， 把，代入得：， 解得， 直线的解析式为； 在中，令得， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 25. 在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边 交于点 ． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）的长度为或． 【解析】 【分析】（1）连接 ，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得（ ），得出 ，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得（ ），即可得出答案； （3）连接交于，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接 ，则，，， ， （ ）， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8， ， ，， 、均为等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， （ ）， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即 ， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于，则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确添加辅助线，运用分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $