精品解析：湖北省襄阳市2024-2025学年高一下学期期末统一调研测试数学试题

襄阳市2025年7月高一期末统一调研测试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A. 3，3，3，3，3 B. 2，2，3，4，4 C. 1，2，3，4，5 D. 1，1，3，5，5 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 5. 已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 函数的图象的对称轴方程为 D. 函数在区间上单调递增 10. 已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，其母线长为2，底面圆周上有，两点，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则直线与平面夹角的正弦值为 C. 截面三角形的最大面积为2 D. 若一只小蚂蚁从点出发绕圆锥侧面一周回到点，则最短路程为 11. 四面体的体积为，则下列说法正确的有（ ） A. 若该四面体有5条棱的长为2，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若该四面体有1条棱的长为6，其余5条棱的长为4，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为_____． 13. 在中，点满足，若，则_____． 14. 如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，其中为锐角三角形，，设，满足．则的周长的取值范围为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，若的最小正周期是． （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位得到的图象，求在区间上的值域． 16. 某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本平均数； （2）试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 17. 如图，在四棱柱中，侧面底面，且，侧棱，点和点在棱上，且满足， （1）若底面四边形为平行四边形，求证：平面； （2）若底面四边形为矩形，求二面角的平面角的正切值． 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求的值； （2）为边上一点，满足且， （i）求证：； （ii）若，，设，求的值． 19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何?”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式．若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为． （1）用公式证明“三斜求积”公式； （2）若等腰三角形中，，边上的中线，求面积的最大值； （3）在三棱锥中，，，，其外接球的表面积为，的外接圆面积为．试用，，表示，并求的最大值． 参考公式： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 襄阳市2025年7月高一期末统一调研测试 数学 本试卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各组数据中方差最大的一组是（ ） A. 3，3，3，3，3 B. 2，2，3，4，4 C. 1，2，3，4，5 D. 1，1，3，5，5 【答案】D 【解析】 【分析】由方差的意义和计算公式可得. 【详解】由题意可得各组的， 由方差的意义可得， ， ， ， . 故选：D. 2. 若复数z满足，则z的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算及复数的概念即可求解. 【详解】由题意可得， 所以复数z的虚部为. 故选：D. 3. 如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，．则平面四边形的面积为（ ） A. 8 B. 16 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】将直观图还原，求出底和高即可得到结果. 【详解】将直观图还原得平行四边形，设高为，如下图， 因为，由勾股定理得：,故原图形中, 所以，，所以平面四边形的面积为． 故选：B． 4. 已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】由线线，线面，面面间位置关系逐项判断可得. 【详解】对于A，若，，则或，A错误； 对于B，若，，则与可能平行、相交或异面； 对于C，若，，则或．例如，当在平面内时，也能满足且，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面， 即，D正确． 故选：D． 5. 已知向量满足且单位向量在方向上的投影向量为，则向量与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意，由投影向量的计算公式可得. 【详解】因为在方向上的投影向量为，所以， 可得，即； 因为，为单位向量，所以，所以. 故选：A． 6. 已知圆台上下底面半径分别为1，2，圆台的母线与底面所成的角为，则圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由线面角求出母线长，再由圆台的侧面积公式计算可得. 【详解】，，， ． 故选：C. 7. 在中，角，，所对的边分别为，，，已知，，，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A,B利用正弦定理即可求得结果，对角B分情况讨论，即可判断选项C,D. 【详解】对于选项A,B：由正弦定理可得， 由于，故或，故AB错误， 对于选项C,D:若时，则，此时 ， 若时，则， 此时为三角形中最小的内角，故，故C正确，D错误， 故选：C 8. 如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，利用零点等式变形得到，又，解得，再结合正弦函数的性质可得. 【详解】令，则，， ，， ，， 又，，，， ，． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分． 9. 函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数是奇函数 C. 函数的图象的对称轴方程为 D. 函数在区间上单调递增 【答案】AD 【解析】 【分析】由图可得的最小正周期可判断A；由图象平移的性质可得B错误；由正弦函数的对称轴方程可得C错误；整体代入结合正弦函数的单调性可得D正确. 【详解】对于A，由图可得的最小正周期为， 且，则，则， 将代入得，即， 且，则， 可得，解得 故A正确； 对于B，由A可知， 所以，是偶函数，故B错误； 对于C，令，，解得，， 所以的对称轴方程为，，故C错误； 对于D，因，则，因在上单调递增， 则函数在区间上单调递增，，故D正确. 故选：AD. 10. 已知圆锥的轴截面是顶角为的等腰三角形，其母线长为2，底面圆周上有，两点，下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则直线与平面夹角的正弦值为 C. 截面三角形的最大面积为2 D. 若一只小蚂蚁从点出发绕圆锥侧面一周回到点，则最短路程为 【答案】ABC 【解析】 【分析】由线面垂直的性质可得A正确；取线段的中点，连接，，由线面垂直的判定定理证明平面可得B正确；由三角形的面积公式可得C正确；由侧面展开图的性质可得D错误. 【详解】对于A，平面，平面，，A正确； 对于B，设为圆锥底面圆的直径． 由，得， 则． 如图，取线段的中点，连接，． 由可知为等边三角形，即， 又平面，平面，， 因为平面，所以平面． 所以点到平面的距离为， 所以直线与平面夹角的正弦值为，B正确． 对于C，设圆锥的母线长为，则截面的面积为， 当时，截面的面积最大，所以面积最大值为2，C正确． 对于D，圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为． 又因为，所以最短路程为，D错误． 故选：ABC． 11. 四面体的体积为，则下列说法正确的有（ ） A. 若该四面体有5条棱的长为2，则 B. 若，，则 C. 若，则 D. 若该四面体有1条棱的长为6，其余5条棱的长为4，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用体积分割法求解体积判断AD，利用三棱锥体积判断B，举反例判断C. 【详解】 对于A选项，如图1，， 取的中点，连接， 则，且， 所以为二面角的平面角， 当时，，A正确； 对于B选项，如图2，在中，，， 所以的高，则的面积为， 故当平面时，，B正确； 对于C选项，如图3，当，平面时，，C错误； 对于D选项，如图4，， 分别取的中点，连接， 则，且，， 平面，所以平面， 在中，，， 所以，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若在复平面内，复数所对应的点的坐标为，则复数的模为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设复数，由复平面内对应点的坐标求出复数，再计算模长可得. 【详解】设复数，则， 因为复数所对应的点的坐标为， 所以，解得， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 在中，点满足，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】先将式子变形为，利用向量之间的运算即可求得结果. 【详解】， ，， ，． 故答案为： 14. 如图，的内角，，的对边分别为，，，直线与的边，分别相交于点，，其中为锐角三角形，，设，满足．则的周长的取值范围为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先由和差角的正余弦公式结合正弦定理求出，再由时，的周长有最小值，当时，的周长有最大值. 【详解】因为， 可得， 可得， 所以，可得， 又因为，可得，所以， 因为，所以． 画图可知，当时，的周长有最小值， 当时，的周长有最大值， 由为锐角三角形，所以周长的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，，，若的最小正周期是． （1）求函数的解析式； （2）若将的图象向左平移个单位得到的图象，求在区间上的值域． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由二倍角的正余弦公式结合辅助角公式和正弦函数的最小正周期可得； （2）由图象平移的性质结合正弦函数的单调性可得. 【小问1详解】 由的最小正周期，又，解得， 所以. 【小问2详解】 ， ，可得， ， 16. 某校举办了“趣味数学”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）作为样本，将样本分成六段：，，，，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值及样本平均数； （2）试估计这100名学生的分数的方差，并判断此次得分为60分和80分的两名同学的成绩是否进入到了范围内?（用每组的区间的中点代替该组的分数） 【答案】（1），平均数为74分 （2）60分的同学的成绩没有进入到范围，80分的同学的成绩进入到范围了． 【解析】 【分析】（1）由面积和为1可计算的值，由每组长方形中点值乘以频率可得平均数； （2）由方差的计算公式计算方差，再判断即可. 【小问1详解】 由题意知，解得； 所以该次测试分数的平均数的为： (分)． 【小问2详解】 由频率分布直方图知 ， (分)， (分)，(分) ， 故得分为60分的同学的成绩没有进入到内，得分为80分的同学的成绩进入到了内． 即：得分为60分的同学的成绩没有进入到范围，得分为80分的同学的成绩进入到范围了. 17. 如图，在四棱柱中，侧面底面，且，侧棱，点和点在棱上，且满足， （1）若底面四边形为平行四边形，求证：平面； （2）若底面四边形为矩形，求二面角的平面角的正切值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接、，由线面平行的判定定理证明可得； （2）过点作于点，连接，，由线面垂直的性质定理和判定定理找到二面角的平面角，然后由几何知识可得. 【小问1详解】 在四棱柱中，， 点和点在棱上，且， 连接、，设，连接， 底面为平行四边形，则为的中点， 又为的中点，所以， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 过点作于点，连接， 面面，面面，， 面， 又， 又底面为矩形， 又，面，面 又，，面 ， 即二面角的平面角 在中， 在中，，， 18. 在中，角，，所对的边分别为，，，． （1）求的值； （2）为边上一点，满足且， （i）求证：； （ii）若，，设，求的值． 【答案】（1）3或． （2）． 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理与余弦定理即可得到结果. （2）（i）利用正弦定理以及互补角的余弦值互为相反列出等式，即可证明结论. （ii）利用第（i）的结论以及两角差的正弦公式即可求得结果. 【小问1详解】 因为，结合正弦定理和余弦定理可得 ， ，或． 所以或． 【小问2详解】 （i）因为，所以． 又，，，． 又，则， ， ， ， ， ， 又，，， 又，, 所以 （ii），，， ，，解得， ∴，∴， ∴， ， ∴，， 19. 我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”有一个题目：“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步．欲知为田几何?”其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．”这就是秦九韶推出的“三斜求积”公式．若的内角，，的对应边分别为，，，面积为，则“三斜求积”公式为． （1）用公式证明“三斜求积”公式； （2）若等腰三角形中，，边上的中线，求面积的最大值； （3）在三棱锥中，，，，其外接球的表面积为，的外接圆面积为．试用，，表示，并求的最大值． 参考公式： 【答案】（1）证明见解析 （2） （3），． 【解析】 【分析】（1）由三角形的面积公式结合余弦定理以及同角的三角函数关系可得； （2）由面积新定义结合二次函数的性质可得； （3）将三棱锥补形成与其共外接球的长方体，方法一：结合余弦定理，正弦定理，基本不等式运算可得；方法二：由面积新定义结合正弦定理，三角形的面积公式计算出，然后化简，基本不等式运算可得. 【小问1详解】 因为，由余弦定理得， 所以 所以 所以得证． 【小问2详解】 的面积是的面积的2倍， 设，，所以 所以当时，面积的最大值为． 【小问3详解】 由题意，将三棱锥补形成与其共外接球的长方体， 设其三条边长为，，，则， 设等腰四面体的外接球半径为， 所以，所以， 在中，由余弦定理得， 所以 设的外接圆半径为， 由正弦定理得， 所以 所以 因为 所以 因为 所以 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 法二： 设的外接圆半径为，由正弦定理得， 因为，所以， 代入上式得，， 所以， 所以 因为 所以 因为 所以 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $