第21讲 圆的基本性质-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

第六章 圆 第21讲 圆的基本性质 考点一 垂径定理及其推论 1.(2025·宜宾)如图，AB是⊙0的弦，半径0C1AB于点D.若 AB=8,OC=5,则OD的长是 () A.3 B.2 C.6 0.2 AD B 第1题图 第2题图 2.(2024·通辽)如图，圆形拱门最下端AB在地面上，D为AB的中 点，C为拱门最高点，线段CD经过拱门所在圆的圆心，若AB= 1m,CD=2.5m,则拱门所在圆的半径为 () A.1.25m B.1.3m C.1.4m D.1.45m 3.（2025·长沙)如图，AB为⊙0的弦，OC⊥AB于点C,连接OA, OB,若AB=OA,AC=3,则OA的长为 D 第3题图 第4题图 4.(2024·牡丹江)如图，在⊙0中，直径AB⊥CD于点E,CD=6,BE=1, 则弦AC的长为 5.(2023·上海)如图，在⊙0中，弦AB的长为8，点C在B0延长线 上，且oLA8c=5,0 4 20B (1)求⊙0的半径. (2)求∠BAC的正切值 考点二圆周角定理及其推论 6.(2024·临夏州)如图，AB是⊙0的直径，∠E=35°，则∠B0D= A.80° B.100° C.120° D.110° D 第6题图 第7题图 7.(2025·长沙)如图，AC,BC为⊙0的弦，连接0A,0B,0C.若 ∠A0B=40°，∠0CA=30°，则∠BC0的度数为 A.40° B.45° C.50 D.55° 8.(2025·山西)如图，AB为⊙0的直径，点C,D是⊙0上位于AB 异侧的两点，连接AD,CD.若AC=BC,则∠D的度数为() A.30° B.45° C.60° D.75° D D B 第8题图 第9题图 9.(2025·南充)如图，AB是⊙0的直径，AD⊥AB于点A,OD交⊙0 于点C,AE⊥OD于点E,交⊙O于点F,F为弧BC的中点，P为线 段AB上一动点，若CD=4,则PE+PF的最小值是 A.4 B.27 C.6 D.43 10.（2025·扬州)如图，点A,B,C在⊙0上，∠BAC=50°，则 ∠OBC= 第10题图 第11题图 第12题图 11.(2025·陕西)如图，AB为⊙0的直径，BC=BD,∠CDB=24°，则 ∠ACD的度数为 12.(2024·北京)如图，⊙0的直径AB平分弦CD(不是直径).若 ∠D=35°，则∠C= 13.（2025·安徽)如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是 半圆O的直径，连接OC,∠DAB+2∠ABC=180°. (1)求证：OC∥AD. (2)若AD=2,BC=2W3,求AB的长 考点三 圆内接四边形 14.(2025·武威)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AB=BC,连接 BD,若∠ABC=70°，则∠BDC的度数为 () A.20° B.35° C.55 D.70° 第14题图 第15题图 15.(2024·巴中)如图，四边形ABCD为⊙0的内接四边形.若四边 形ABC0为菱形，则∠ADC的大小为 16.(2024·浙江)如图，在圆内接四边形ABCD中，AD<AC,∠ADC< ∠BAD,延长AD至点E,使AE=AC,延长BA至点F,连接EF,使 ∠AFE=∠ADC: (1)若∠AFE=60°，CD为直径，求∠ABD的度数. (2)求证：①EF∥BC. ②EF=BD. 47 考点四圆的基本性质综合题 17.(2025·重庆)如图，AB是⊙0的直径，点C在⊙0上，连接AC. 以AC为边作菱形ACDE,CD交⊙O于点F,AB⊥CD,垂足为G 连接AD,交⊙0于点H,连接EH.若AG=12,GF=5,则DF的长度 为 EH的长度为 18.新素材·邻等内接四边形(2025·遂宁)我们知道，如果一个四 边形的四个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫这个圆的内 接四边形.我们规定：若圆的内接四边形有一组邻边相等，则称 这个四边形是这个圆的“邻等内接四边形” (1)请同学们判断下列分别用含有30°和45°角的直角三角形纸 板拼出如图所示的4个四边形，其中是邻等内接四边形的 有 .（填序号) 7 ② ③ (④ (2)如图，四边形ABCD是邻等内接四边形，且∠BAC=90°，AB= 3,AC=4,AB=AD.求四边形ABCD的面积 48 19.（2024·安徽)如图，⊙0是△ABC的外接圆，D是直径AB上一 点，∠ACD的平分线交AB于点E,交⊙O于另一点F,FA=FE. (1)求证：CD⊥AB. (2)设FM⊥AB,垂足为M,若OM=OE=1,求AC的长 0 /E D AB 20.(2025·福建)如图，四边形ABCD内接于⊙0，AD,BC的延长线 相交于点E,AC,BD相交于点F,G是AB上一点，GD交AC于点 H,且AB=AC,BG=DG (1)求证：∠ABC=∠DBE+∠E. (2)求证：A=HF·HC. (3)若tan∠ABC=√5，AD=2DE,CD=√6，求△AGH的周长.∴.∠EHC=∠B=∠BCD=90°， .·.四边形EBCH是矩形， .'EH=BC=12,CH=BE=5, .DH=CD-CH=12-5=7. BE=DF=5, ∴.HF=DH-DF=7-5=2. 在Rt△EFH中，由勾股定理，得EF=√E+HF产= w/122+22=2/37. 31.解：(1)四边形BPC0为平行四边形.理由如下： :四边形ABCD为平行四边形， 六0c=0M=24C,0B=0=子8D, 1 ~以点B,C为圆心，】AC,。BD长为半径画弧，两弧交于 点P, ∴.BP=OC,OB=CP ∴四边形BPCO为平行四边形. (2)当AC⊥BD,AC=BD时，四边形BPC0为正方形. [提示].AC⊥BD,∴.∠BOC=90° AC-BD,OB-7 BD.0C-7AC,..O8-0C. :四边形BPCO为平行四边形 .四边形BPCO为正方形. 32.解：(1)PA1+PA3=√2PA2 [提示]思路一：如题图2，在射线PA3上截取AQ=PA1,连 接A2Q ∠PA1A2+∠PA3A2=180, ∠QA3A2+∠A2A3P=180°， .∠A2A1P=∠A2A3Q. 又四边形AA2A3A4是正方形， .A2A1=A2A3, .∴.△QA3A2≌△PA1A,(SAS), .∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q 又：四边形A1A2A344是正方形， .∠A1A2A3=90°， ∴.∠PA2Q=90° ∴.△A2PQ是等腰直角三角形， ∴.PQ=PA3+A3Q=PA3+PA1=√2PA2 思路二：如题图3，过点A2作A,M⊥A,P交射线PA,于点 M,在PA2上截取A,N=A,M,连接A,N, ∠PA1A2+∠PA3A2=180°，∠PA1A2+∠A2A1M=180°， ∴.∠A2A1M=∠A2A3N. :四边形A1A2A3A4是正方形 .A1A2=A2A3,∠A1A2A3=90°， ∴.△A1A2M≌△A3A2N(SAS), .∠A1A2M=∠A3A2N,MA2=A2N,∠M=∠A2NA3=90°， .∠MA2N=∠A1A2A3=90°， ∴.∠M=∠MA2N=∠A2WNP=90°， .四边形A2MPN为正方形， .A2P=√2PM=√2(PA1+MA1)=V2(PA1+A3N),A2P= √2PN, .2A2P=√2(PA1+A3N+PN)=√2(PA1+PA3), .√2A2P=PA1+PA3 (2)正五边形的一个内角的度数为5-2)×180 =108°】 5 如图1，在射线PA3上截取A,Q=PA1,连接A2Q,过点A2作 A2T⊥PQ于点T. 2 同理，可得△QA3A2≌△PA1A2(SAS), ∴.∠A1A2P=∠A3A2Q,A2P=A2Q, ∴.∠PA2Q=∠A1A2A3=108°， A:T-2PQ54 PA1=11,PA3=49, .PO=PA3+AO=PA+PA =60, mP0=30, PT 30 PA,sim54o081≈37.0. (3)PA +PA=2PA2 sin 72 [提示]如图2，在射线PA3上截取AQ=PA1,连接A2Q,过 点A2作A2T⊥PQ于点T. 同理，可得∠PA2Q=∠A142A3= Q-A3 (10-2)×180°=14°，PA2=A2Q, 10 ∠P%r3∠P%Q=72, 图2 PT .PA=sin 720 .PQ=PA+AQ=PA+PA, 1 PT=2PQ=2(PA+PA,), PT 2(PA,+PA,) ∴.PA2= sin 720= sin 720, 即PA1+PA3=2PA2·sin72°. 第六章圆 第21讲圆的基本性质 1.A2.B3.64.310 5.解：(1)如图1，过点0作0D⊥AB,垂足为D. .AB=8,..AD=BD=- B=4. 1 4 在Rt△OBD中，.cos∠ABC= 0 BD 4 ∴.OB= CoS∠ABC4 =5, 5 图1 .⊙0的半径为5. (2)如图2，过点C作CE⊥AB,垂足为E. 1 0C=20B,0B=5, .BC 20B=75 OD⊥AB,CE⊥AB,.OD∥CE, OB BD 2 4 六BCBD3BEBE=6, 图2 AE=AB-BE=8-6=2. 在Rt△BCE中，CE=√BC2-BE=√7.52-6=4.5， 在Rt△ACE中，tanLBAC=CE_4,5_9 AE 2 4' :∠BAC的正切值为4 9 6.D7.C8.B9.C10.4011.66°12.55 13.(1)证明：，·∠AOC=2∠ABC,∠DAB+2∠ABC=180°， ∴.∠DAB+∠A0C=180°，∴.0C∥AD. (2)解：如图，连接BD,交OC于点E. .·AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°，即AD⊥BD :OC∥AD,∴.OC⊥BD, 点E为BD的中点. 又点O是AB的中点， .OE是△ABD的中位线， 1 ÷0E=2AD=1. 设半圆的半径为r,则CE=r-1. 由勾股定理，知OB2-OE2=BE2=BC2-CE2, 即r2-1=(25)2-(r-1)2, 解得r1=3,r2=-2(舍去). .AB=2r=6. 14.C15.60° 16.(1)解：.CD为直径，.∠CAD=90° .:∠AFE=∠ADC=60°， .∴.∠ACD=90°-60°=30°， ∴.∠ABD=∠ACD=30°. (2)证明：①如图，延长AB至 点M. .·四边形ABCD是圆内接四 边形， ∴.∠CBM=∠ADC. 又.：∠AFE=∠ADC .∠AFE=∠CBM,∴.EF∥BC. ②过点D作DGBC交⊙O于点G,连接AG,CG,如图. .DG//BC,..BD=CG,..BD=CG. .·四边形ACGD是圆内接四边形， ∴.∠GDE=∠ACG. EFBC,.EFDG,.∠DEF=∠GDE, .∴.∠DEF=∠ACG ∠AFE=∠ADC,∠ADC=∠AGC, .∴.∠AFE=∠AGC 又.AE=AC,∴.△AEF≌△ACG(AAS), .EF=CG...EF=BD. 3 18.解：(1)③[提示]依题意，题图①、题图②和题图④没有 对角互补，不是圆内接四边形， 题图③对角互补且有一组邻边相等，是邻等内接四边形 (2)·∠BAC=90°，AB=3,AC=4, .BC=√JAB2+AC2=5. :四边形ABCD是邻等内接四边形，LBAC=90°， A,B,C,D四点共圆，且BC为直径， 把BC的中点记为点O,即A,B,C,D四点在⊙O上， 如图，连接BD,A0,相交于点H. .BC=5,.B0=0A=2.5. 设OH=x,则AH=2.5-x. .AB=AD,∴.AO⊥BD,.BH=DH .·在Rt△ABH中，BH2=AB2-AH2 在Rt△BOH中，B=BO2-O .BO2-OH2=AB2-AH2. 即2.52-x2=32-(2.5-x)2,解得x=0.7, .AH=2.5-0.7=1.8, .BH=V32-1.82=2.4,∴.BD=2.4×2=4.8. .BC是直径，.∠BDC=90°. 2 .·BH=DH,BO=OC .0H是△BDC的中位线，.DC=2H0=1.4, S△0c=2×BDXDC=2×4.8x1.4=3.36, SABM=2×BDXAH=-2×4.8x1.8=4.32, .四边形ABCD的面积=SAB0c+S△A=3.36+4.32=7.68, 19.(1)证明：FA=FE,.∠FAE=∠AEF :∠FAE与∠BCE都是BF所对的圆周角， ∴.∠FAE=∠BCE. ,·∠AEF=∠CEB,∴.∠CEB=∠BCE. :CE平分LACD,∴.∠ACE=∠DCE. .·AB是直径，.∠ACB=90°， .∴.∠CEB+∠DCE=∠BCE+∠ACE=∠ACB=9O°， ∴.∠CDE=90°，∴.CD⊥AB. (2)解：由(1)知，∠BEC=∠BCE, .BE=BC. .'AF=EF,FM⊥AB ∴.MA=ME=2,∴.AE=4, ..圆的半径OA=OB=AE-OE=3, .AB=20A=6,BC=BE=OB-OE=2 在△ABC中，AB=6,BC=2,∠ACB=90°， .AC=√AB2-BC=√62-22=42. 20.(1)证明：AB=AC,.∠ABC=∠ACB AB=AB,.∠ACB=∠ADB,∠ABC=LADB. :LADB=LDBE+LE,∴.∠ABC=LDBE+LE. (2)证明：AD=AD,.∠ABD=∠ACD. .BG=DG,.∠BDG=∠ABD=∠ACD. 又.·∠DHF=∠CHD,∴.△HDF∽△HCD, HF HD DHCHD2=HF·HC 由(1)知，∠ABC=∠DBE+∠E. 又.·∠ABC=∠DBE+∠ABD, ·.∠ABD=∠E,∴LBDG=∠E. ·.∠ADB=∠ADG+∠BDG=∠DBC+∠E, ∴.∠ADG=∠DBC ·CD=CD,.∠DAC=LDBC, .LADG=∠DAC, .AH=DH,.AP=HF·HC. (3)解：由(2)知，AH=DH, ∴，△AGH的周长为AG+GH+AH=AG+GH+DH=AG+DG= AG+BG=AB. 设DE=m,则AD=2DE=2m,∴.AE=AD+DE=3m. 由(2)可知，∠ACD=∠E. 又.·∠CAD=∠EAC,.∴.△ACD∽△AEC, 能00 AC2=AD·AE=6m2,.AC=√6m 又：CD=6,3mEC √6m√6 .EC=3. 如图，过点C作CP⊥AE,垂足为点 P,则∠CPD=∠CPE=90° :四边形ABCD是圆内接四边形， ∴.∠ADC+∠ABC=180°. 又，∠ADC+∠CDP=180°， .∠CDP=LABC, .tanLCDP=tan∠ABC=√5， 六在△DCP中，S5,即PC=5PD, .CD=√PD2+PC=√6PD, .w6PD=6,PD=1, .PC=√5，PE=DE-DP=m-1. 在Rt△CPE中，PE2+PC2=CE2, .(m-1)2+(5)2=32, 解得m=3,或m=-1(舍去)， .AB=AC=36, ∴.△AGH的周长为36 第22讲与圆有关的位置关系 1.C2.B3.5 4.（1)证明：如图，连接0C, 则∠OAC=∠OCA. 又：BC=CD,.BC=CD, ∴.∠DAC=∠CAB= 2∠DAB, 1 ∴.∠DAC=∠OCA, ∴OCAD,.∠0CE=∠F .·EH平分∠FEG, .∴.∠FEG=2∠HEG, ∴.∠F=∠FEG-∠FAE=2LHEG-2∠CAB =2(∠HEG-∠CAB)=2∠H=2X45°=90°， ∴.∠0CE=∠F=90°. 又.OC是⊙0的半径 ∴.EF是⊙O的切线. (2)解：设⊙0的半径为r,则OE=OB+BE=r+2. ∠0CE=90°，.0C+CE2=0E2,即r2+42=(r+2)2, 解得r=3, ∴.EA=AB+BE=2r+2=8,0E=5. 又.：OC∥AD,∴.△ECO∽△EFA, 小9-2部得A- 5 5.(1)证明：连接0C,如图， .AB是⊙O的直径， .∴.∠ACB=90°， .∴.∠A+∠ABC=90° OB=OC. .∴.∠ABC=∠OCB :∠BCD=∠A,.∠BCD+∠OCB=90°， 即∠OCD=90°，∴.0C⊥CD. OC为⊙0的半径，∴.CD是⊙0的切线。 (2)解：点B是AD的中点，.BD=AB=20C 0B=0C,.OD=0B+BD=30C, .0C1 0p3 .BE⊥AD,..∠DBE=90° 又∠0CD=90°，.sinD _BE OC 1 DE OD 3 .∴.DE=3BE=9. 在Rt△DBE中，BD=√DE2-BE=√92-3=62， ∴.0C=32,即⊙0的半径为32. 2 6.解：(1)PB是⊙0的切线，理由如下： 如图1，连接OA,OB. .OA=OB,.∠BAO=∠ABO .PA=PB,.∠PAB=∠PBA. :PA是⊙O的切线， .∠PA0=∠BAO+LPAB=90°， .∠PBO=∠ABO+∠PBA=90° ∴.OB⊥PB. 又OB是⊙0的半径，.PB是⊙0的切线 (2).∠P=60°，PA=PB, .△ABP是等边三角形， ∴.AB=PA=PB,∠PAB=∠PBA=60° .·∠DCE=60°， .∠BCE+∠ACD=180°-∠DCE=120. .∠ADC+∠ACD=180°-∠PAB=120°， .∠ADC=∠BCE,.△ADC∽△BCE, AD AC CD BC-BE CE “03A0=2c,AC=E, CD 1 21 .4AD+BE=2BC+2AC=2AB. 如图2，连接OA,OB,过点0作OF⊥AB于点F,则AF= 子a :PA是⊙0的切线，.∠PA0=90°， ∴.∠OAF=∠PAO-∠PAB=90 60°=30°， 、在Rt△A0F中，0F=2A0=2, B 图2 ·AB=2MF=2x2=3, ..4AD+BE=23r. 7.D8.A9.C10.2011.70°12.43 13.(1)解：BC与⊙0相切于点C, ∴.OC⊥CB,∴.∠0CB=90°， .∠AC0=∠ACB-∠0CB=120°-90°=30°. (2)证明：0A=0C, .∠A=∠AC0=30°， .∠B=180°-∠A-∠ACB=180°-30°-120°=30°， ∴.∠A=∠B,.AC=BC 14.证明：连接0D,如图. ·.以OA为半径的⊙O与边BC相切 于点D, .OD⊥BC. C .·∠ABC=90°，∴.OD∥AB, ∴.∠ODA=∠BAD. ,·OA=OD,.∴.∠ODA=∠OAD ∴.∠BAD=∠OAD,.AD平分∠BAC. 15.(1)证明：.·GF是⊙0的切线，∴.DF⊥GF,.∠F=90°. .DF⊥AB,∴.AB∥GF,.∠BAC=∠G=45°， .∠FDG=90°-45°=45°，即△DFG是等腰直角三角形， ∴.FD=FG 2)解：DFLAB,LAED=90,AB=BE=)AB=6 .·∠BAC=45°， 6