第19讲 平行四边形与多边形-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

第五章 四边形 第19讲平行四边形与多边形 考点一 平行四边形的判定 1.(2024·乐山)如图，下列条件中不能判定四边形ABCD为平行四 边形的是 A.AB∥DC,ADBC B.AB=DC.AD=BC C.A0=C0,B0=D0 D.AB∥DC,AD=BC 2.新考法·补全证明过程(2024·河北)下面是嘉嘉作业本上的一 道习题及解析过程： 已知：如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角∠CAN,点M是AC 的中点，连接BM并延长交AE于点D,连接CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形 N/ A1 证明：AB=AC,∠ABC=∠3. E :∠CAN=∠ABC+∠3，∠CAN=∠1+∠2， ∠1=∠2， .① 又.∠4=∠5，MA=MC, .△MAD≌△MCB(② .MD=MB,∴.四边形ABCD是平行四边形 若以上解析过程正确，①，②应分别为 A.∠1=∠3，AAS B.∠1=∠3，ASA C.∠2=∠3，AAS D.∠2=∠3，ASA 3.新课标·条件开放(2024·武汉)如图，在口ABCD中，点E,F分 别在边BC,AD上，AF=CE. (1)求证：△ABE≌△CDF. (2)连接EF.请添加一个与线段相关的条件，使四边形ABEF是 平行四边形.（不需要说明理由） 42 4.(2025·青海)如图，在△ABC中，点0，D分别是边AB,BC的中 点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E,连接AD,BE. (1)求证：四边形AEBD是平行四边形 (2)若AB=AC,试判断四边形AEBD的形状，并证明. D 考点二 平行四边形的性质 5.(2025·山西)如图，在口ABCD中，点O是对角线AC的中点，点 E是边AD的中点，连接OE.下列两条线段的数量关系中一定成 立的是 () A0E-40 B.OE-7 BC 1 C.0E=24B D.OE=2AC D AE 第5题图 第6题图 第7题图 6.(2025·湖北)如图，平行四边形ABCD的对角线交点在原点.若 A(-1,2),则点C的坐标是 （) A.(2,-1) B.（-2,1) C.(1,-2) D.(-1,-2) 7.(2025·新疆)如图，在口ABCD中，∠BCD的平分线交AB于点 E,若AD=2,则BE= 8.(2025·宜宾)如图，点E是平行四边形ABCD边CD的中点，连 接AE并延长交BC的延长线于点F,AD=5.求证：△ADE≌ △FCE,并求BF的长， 9.（2024·南京)如图，在口ABCD中，点M,N分别在边BC,AD上， 且AM∥CN,对角线BD分别交AM,CN于点E,F.求证：BE=DF. 10.新素材·“平行六边形”“菱六边形”(2025·广西)【平行六边 形】如图1，在凸六边形ABCDEF中，满足AB∥DE,BCEF,CD∥ FA,我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中AB与DE, BC与EF,CD与FA叫做“主对边”；∠A和∠D,∠B和∠E,∠C 和∠F叫做“主对角”；AD,BE,CF叫做“主对角线”. (1)类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上 填写“正确”或“错误”. 猜想 判断正误 ①平行六边形的三组主对边分别相等 ②平行六边形的三组主对角分别相等 ③平行六边形的三条主对角线互相平分 【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形” (2)如图2，已知平行六边形OPORST满足OP=PQ=QR=RS.求 证：平行六边形OPORST是菱六边形 (3)如图3是一张边长为3,4,6的三角形纸片.剪裁掉三个小三 角形，使剪裁后的纸片为菱六边形.请在剪裁掉的小三角形中， 任选一个，求它的各边长 3 6 图1 图2 图3 考点三 多边形及其性质 角度①多边形的性质及计算 11.(2025·北京)若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为 A.60 B.90 C.120 D.150 12.(2025·遂宁)已知一个凸多边形的内角和是外角和的4倍，则 该多边形的边数为 A.10 B.11 C.12 D.13 13.（2024·巴中)从五边形的一个顶点出发可以引 条对 角线 14.(2025·扬州)若多边形的每个内角都是140°，则这个多边形的 边数为 15.(2025·长沙)如图，五边形ABCDE中，∠B=120°，∠C=110°， ∠D=105°，则∠A+∠E= D B C 第15题图 第16题图 角度②正多边形的性质及计算 16.(2025·眉山)如图，直线1与正五边形ABCDE的边AB,DE分 别交于点M,N,则∠1+∠2的度数为 A.216° B.180° C.144° D.120° 17.（2025·湖南)如图，左图为传统建筑中的一种窗格，右图为其窗 框的示意图，多边形ABCDEFGH为正八边形，连接AC,BD,AC 与BD交于点M,∠AMB= A H D 第17题图 第18题图 18.(2025·江西)如图，创意图案中间空白部分为正多边形，该正多 边形的内角和为 度 19.新课标·综合与实践一正三角形与正六边形的密铺 (2025·安徽)综合与实践 【项目主题】 某劳动实践小组拟用正三角形和正六边形两种环保组件改善小 区幼儿园室内活动场地. 【项目准备】 (1)密铺知识学习：用形状、大小完全相同的一种或几种平面图 形进行拼接，使图形之间既没有空隙也没有重叠地铺成一片，叫 做图形的密铺， (2)密铺方式构建：运用密铺知识得到图1、图2所示的两种拼 接方式，其中正六边形和正三角形组件的边长均为20cm. (3)密铺规律探究：为方便研究，称图3、图4分别为图1、图2的 “拼接单元”. 10 cm 40 cm 宽20.5cm 图1 图2 图3 图4 观察发现：自左向右拼接图1时，每增加一个图3所示的拼接单 元，则增加1个正六边形和2个正三角形，长度增加40cm,从而 x个这样的拼接单元拼成一行的长度为(40x+10)cm. 自左向右拼接图2时，每增加一个图4所示的拼接单元，则增加 ①个正六边形和 ②个正三角形长度增加 ③cm,从而y个这样的拼接单元拼成一行的长度为 ④ cm. 【项目分析】 (1)项目条件：场地为长7.4m、宽6m的矩形；正三角形和正六边形 组件的单价分别为1元和5元 (2)基本约定：项目成本仅计算所需组件的费用， (3)方式确定： ()考虑成本因素，采用图1方式进行密铺； (ⅱ)每行用正六边形组件顶着左墙开始，从左向右用一个正六 边形与两个正三角形组件按图1所示方式依次交替拼接，当不 能继续拼接时，该行拼接结束； ()第一行紧靠墙边，从前往后按相同方式逐行密铺，直至不能 拼接为止 (4)方案论证：按上述确定的方式进行密铺，有以下两种方案 方案一：第一行沿着长度为6m的墙自左向右拼接（如图5）. 6m 第一行 第二行 图5 根据规律，令40x+10≤600，解得x≤14.75，所以每行可以先拼 14块拼接单元，即共用去14个正六边形和28个正三角形组件， 由40×14+10=570知，所拼长度为570cm,剩余30cm恰好还可 以摆放一个正六边形组件（如图5所示的阴影正六边形），最终 需用15个正六边形和28个正三角形组件，由5×15+1×28=103 知，方案一每行的成本为103元. 由于每行宽度为203cm(按3=1.73计算)，设拼成s行，则 2035≤740，解得5≤37,3≈21.34，故需铺21行.由103×21= 3 2163知，方案一所需的总成本为2163元. 方案二：第一行沿着长度为7.4m的墙自左向右拼接. 类似于方案一的成本计算，令40x+10≤740… 方案二每行的成本为⑤元，总成本为 ⑥元 【项目实施】 根据以上分析，选用总成本较少的方案完成实践活动（略） 请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ① ;② ;③ ;④ ⑥ec AM c ,.AM=ec f,sin a= AM_f_cc AB a af (3)①[提示]sina=e,且sina=0.86, ∴.按键顺序为2 ndF (sin086· 第五章 四边形 第19讲平行四边形与多边形 1.D2.D 3.(1)证明：四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD,AD=BC,∠B=∠D. AF=CE,.'.AD-AF=BC-CE,..DF=BE. 在△ABE与△CDF中， (AB=CD. ∠B=∠D,∴.△ABE≌△CDF(SAS) BE=DF. (2)解：添加BE=CE.(答案不唯一) [提示]理由如下： 如图，AF=CE,BE=CE,.AF=BE. .:四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC,即AF∥BE, ∴.四边形ABEF是平行四边形. 4.(1)证明：：点0为AB的中点，0A=0B. AE∥BC,∴.∠EAO=∠OBD,∠AEO=∠BDO, ∠EAO=∠DBO, 在△AE0和△BD0中， ∠AEO=∠BDO. OA=OB. ·△AEO≌△BDO(AAS),.AE=BD. ,·AEBD,∴.四边形AEBD是平行四边形. (2)解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形 证明如下：AB=AC,点D是BC边上的中点， ∴AD⊥BC,即∠ADB=90° :由(1)，知四边形AEBD是平行四边形， .四边形AEBD是矩形 5.C6.C7.2 8.解：：四边形ABCD是平行四边形， ∴.BC∥AD,BC=AD=5, .∠D=∠FCE. E是CD的中点，∴.DE=CE 在△ADE和△FCE中， I∠D=∠FCE. DE=CE. .∴.△ADE≌△FCE(ASA), 、∠AED=∠FEC, ∴.FC=AD=5,∴.BF=BC+FC=5+5=10. 9.证明：连接AC交BD于点O,如图， 四边形ABCD是平行四边形， .∴.A0=0C,B0=D0. AM∥CN,∴.∠EAC=∠FCA. 在△AE0与△CFO中， LEA0=∠FC0, A0=C0. ∴.△AEO≌△CFO(ASA), ∠AOE=∠COF, .OE=OF,..BO-0E=OD-OF, .BE=DF. 10.(1)①错误②正确③错误 [提示]如图1，连接BE,CF,AD,BE与AD交于点O. 2 ①由AB∥DE,只能知道△AOB∽ △DOE,不能得出AB=DE,其他对边同 理，故平行六边形的三组主对边分别相 等是错误的 ②AB∥DE,∴.LABE=∠BED,同理 可得∠CBE=LBEF, 图1 .∠ABC=∠DEF,其他对角同理， 故平行六边形的三组主对角分别相等是正确的 ③由①可知，平行六边形的三条主对角线互相平分是错 误的. (2)证明：如图2，过点Q作QH平行且等 于P0,连接OH,HS, 则四边形PQH0是平行四边形， ∴PQ∥oH,PQ=OA. 在平行六边形OPORST中， P0∥RS,P0=S, 图2 ∴.QH与RS平行且相等， .四边形OSH是平行四边形 ·.QRHS,QR=HS 在平行六边形OPORST中，PQST,QROT, .∴.OH/ST,HSOT, ∴.四边形HSTO为平行四边形，.HS=OT,OH=ST, .OR=OT,PO=ST. .OP=PO=OR=RS,...PQ=QR=RS=ST=OT=PO, ..平行六边形OPORST是菱六边形 (3)解：设三角形纸片为△ABC,裁剪后的纸片为菱六边形 DEFGHK. .∴.DE∥HG,HKEF,GF∥DK. DE=EF=FG=HG=KH=DK D 4 ∴.△ADE∽△ABC △BKH∽△BAC, DE AD AE KH BK 图3 ·BC-AB AC'ACAB DE=EF=FG=HG=KH=DK=x, 则=ADAE本BK 634’43, 2*,AE=2 1 3 ∴.AD= 七，BK= 4 AB=AD+DK+BK=3, +子=3，解得=子 1 3 12 28 AD=2* 3,AE= 3=9,DE=x=4 (求其他三角形 的边均可) 11.C12.A13.214.915.205°16.C17.4518.720 19.解：①1②6③60④(60y+10)⑤126⑥2142 [提示]【项目准备】 观察题图4可知，每增加一个题图4所示的拼接单元，增 加1个正六边形和6个正三角形：由正六边形和正三角形 组件的边长均为20cm,观察题图4，可得增加的长度为 3个20cm,即3×20=60(cm); 计算y个拼接单元拼成一行的长度：第一个拼接单元有一 个正六边形左边的10cm,每增加一个拼接单元长度增加 60cm,所以y个这样的拼接单元拼成一行的长度为(60y+ 10)cm. 【项目分析】 计算方案二每行可拼接的单元数量：令40x+10≤740， 移项，可得40x≤740-10，即40x≤730， 两边同时除以40，解得x≤18.25 ∴.每行可以先拼18块拼接单元 由40x18+10=730知，所拼长度为730cm, 剩余740-730=10(cm),无法再摆放组件， 计算方案二每行所需的正六边形和正三角形组件数量： 拼18块拼接单元， .共用去18个正六边形和2×18=36个正三角形组件. 由5×18+1×36=90+36=126知，方案二每行的成本为 126元. 由于每行宽度为20√5cm(按3=1.73计算)，设拼成 s行， 则20√3s≤600， 两边同时除以20,3，解得5≤600 =103≈17.3， 20W3 故需铺17行. 计算方案二的总成本：126×17=2142（元）. 故方案二所需的总成本为2142元. 第20讲矩形、菱形、正方形 1.D2.C3.B4.B52m6.2 7.(1)5(2)5 3 8.3或9 9.证明：.·四边形ABCD为矩形 ∴.AB=CD,∠B=∠C=90°. BE=CF,∴.BE+EF=CF+EF,即BF=CE. (AB=DC, 在△ABF和△DCE中，{∠B=∠C, BF=CE, ∴.△ABF≌△DCE(SAS),∴.AF=DE 10.(1)证明：.·在矩形ABCD中，∴.AB=CD,∠B=∠C=90°. I∠BAE=∠CDF, 在△ABE和△DCF中，{AB=DC, ∠B=∠C, ∴.△ABE≌△DCF(ASA). (2)解：由(1)知，△ABE≌△DCF, .∴.AE=DF=13. .·AB=12,∠B=90°，.BE=/AE2-AB2=5. 11.(1)证明：·D,E分别为AB,AC的中点， .DE是△ABC的中位线，.DEBC .DG=FC,.四边形DFCG是平行四边形 又：DF⊥BC,∴.∠DFC=90°， .四边形DFCG是矩形. (2)解：DF⊥BC,.∠DFB=90° ∠B=45°，∴△BDF是等腰直角三角形， ∴.BF=DF=3. .'DG=FC=5,.∴.BC=BF+FC=3+5=8. 由(I)可知，DE是△ABC的中位线，四边形DFCG是矩形， DE-BC=4.CG-DF-3,LG90 ∴.EG=DG-DE=5-4=1, .CE=√CG+EG=√32+12=√I0, E为AC的中点， .AC=2CE=2/10. 12.C13.B14.D15.A16.AC⊥BD(答案不唯一) 17.1518.119.83 2 20.证明：.·四边形ABCD是菱形，.AB=BC ·AE=CF,∴.AB-AE=BC-CF,即BE=BF 在△ABF和△CBE中， AB=CB. ∠B=∠B,∴.△ABF≌△CBE(SAS),∴.AF=CE BF=BE. 21.(1)证明：如图，连接AC,BD交于点0，AC交FG于点N, BD交HG于点M. .·ABCD,AD∥BC .四边形ABCD是平行四边形 .·四边形EFGH是矩形， .∴.∠HGF=90 :点H,G分别是AD,DC的中点， ACGAC .∴.∠HGF=∠GNC,.∴∠GNC=90° 点G,F分别是DC,BC的中点， CF//BD.CF-2BD. .∠GNC=∠MOC=90°，∴.BD⊥AC, 四边形ABCD是菱形 (2)解：矩形EFGH的周长为22， .HG+FG=11,..AC+BD=22. 2XACXBD=10,.ACxBD=20. .(AC+BD)2=AC2+2xACxBD+BD2, AC+BD2=44,44C2+BD2=11, .A02+B02=111, .AB2=A02+B02=111,AB=√11T. 22.(1)证明：.·EF是AC的垂直平分线， ∴.EA=EC,FA=FC,OA=OC,∠AOE=∠COF=90° :四边形ABCD是平行四边形， ∴.AD∥BC,AB∥CD,∴.∠OAE=∠OCF. 在△OAE和△OCF中， ∠AOE=∠COF, 0A=0C, ∴.△OAE≌△OCF(ASA), ∠OAE=∠OCF, ∴EA=FC,∴EA=EC=FA=FC, .四边形AFCE是菱形. (2)解：四边形ABCD是平行四边形，AB=3,BC=5, .CD=AB=3,∠D=∠B. 由(1)知四边形AFCE是菱形，.∠ACB=∠ACE. :CE平分LACD,.∠DCE=∠ACE,.∠DCE=∠BCA. 又：∠D=∠B,.△CDE∽△CBA, DE CD DE 3 9 六ABBC35DE= 5 23.A24.C25.D26.C27.AC=BD(答案不唯一) 28.229.8 30.(1)证明：四边形ABCD是正方形，∴.AB=CD,ABCD. BE=DF,..AB-BE=CD-DF,..AE=CF. 又：AB∥CD,.四边形AECF是平行四边形. (2)解：过点E作EH⊥CD于点H,如图A 所示， ∴.∠EHC=∠EHF=90°. 四边形ABCD是正方形，BC=12, ∴AB=BC=CD=AD=12,∠B=∠BCD=90°， 3