第14讲 三角形的基本知识&第15讲 等腰三角形与直角三角形-【真题分类卷】备战2026中考数学专题分类卷

将点A(-1,6),B(3,-2)代入y=ax+b, 得a+h=6,解得a=2, 八3a+b=-2, b=4, 一次函数的表达式为y=-2x+4. (2)如图，设一次函数的图象与x轴的交点为点C, 将y=0代入一次函数y=-2x+4,得-2x+ 4=0,解得x=2, .C(2,0),∴0C=2. 由(1)，得A(-1,6),B(3,-2), .△A0C的0C边上的高为|6=6， △B0C的0C边上的高为|-2=2， :△0AB的面积为SAue+Sac=号X2x6+)x2x2=8 2 2 18.解：(1)把x=-4,a=1代入y=(x+4)(x-a2+a-3)+1,得 y=(-4+4)(-4-12+1-3)+1=1, y的值为1. (2)将x=3a+2,y=1代人y=（x+4)(x-a2+a-3)+1,得 (3a+2+4)(3a+2-a2+a-3)+1=1, 整理，得-3(a+2)(a2-4a+1)=0, ∴.a+2=0或a2-4a+1=0. ①当a+2=0,即a=-2时， T=-2)249 4(-2)2+153. ②当a2-4a+1=0时，a≠0， 则有a2=4a-1,a2+1=4a, ∴.a+=4, a r=4a-14 2-1+1=4-1-15 4+4a=a-4+a 44>3 综上可知：当a=-2时，T<3;当a2-4a+1=0时，T3. 19.解：(1)设A型挂面每袋x元，B型挂面每袋y元， 则2x+2y=100解得=20， (3x+2y=120, （(y=30. 答：A型挂面每袋20元，B型挂面每袋30元. (2)设购买B型挂面a袋，则购买A型挂面的数量为 (40-a)袋，总费用为w元， 则40-a）×20+30a≤950，解得10≤a≤15. (a≥10， 又a为正整数，a=10,11,12,13,14,15. 由题意，得w=(40-a)×20+30a=10a+800. .10>0,∴.w随a的增大而增大， .当a=10时，w有最小值，最小值为10x10+800=900(元). 答：共有6种购买方案，其中最低花费为900元. 20.解：(1).抛物线y=x2+bx+c的顶点坐标为(3，-4)， ∴.y=(x-3)2-4=x2-6x+5, .b=-6,c=5. (2)存在，点P的横坐标为5+，4或54可 2 2 [提示]对于抛物线y=x2-6x+5, 当y=0,即x2-6x+5=0时，解得x1=1,x2=5, 当x=0时，y=5,∴.A(1,0),B(5,0),C(0,5), ..OB=0C=5,AB=5-1=4. .:∠C0B=90°，∴.∠0BC=∠0CB=45°. 过点B作x轴的垂线，在x轴上方的垂线上截取BD=BA= 4,连接AD与BC交于点E,如图，则D(5,4), ∴.∠DBC=90°-∠0BC=45°=∠0BC, ∴.BC⊥AD,ED=EA. :△PBC的面积与△ABC的面积相等， Sac=2BC·AE, .过点D作BC的平行线与抛物线交点 即为点P. 设直线BC的解析式为y=mx+n(m≠O), 则5m+n=0,解得ml, (n=5, (n=5, .直线BC的解析式为y=-x+5. BC//PD. .设直线PD的解析式为y=-x+g,代人D(5,4),得-5+g=4, 解得q=9, ·直线PD的解析式为y=-x+9,与抛物线解析式联立，得 y=-x+9,整理，得2-5x-4=0, y=x2-6x+5, 解得升或 2 点P的微坐标为外或 2 21.解：(1)18xw=-x2+42x+100 [提示]若开设3条安检通道，安检时间为x分钟，则已入 场人数为18x,若排队人数为0，则w与x的函数表达式为 0=y-18x=-x2+42x+100. (2).:0=-x2+42x+100=-(x-21)2+541,-1<0, .当x=21时，0最大=541. 答：排队人数在第21分钟达到最大值，最大人数为 541人. (3)设开了m条安检通道， 则w=y-6mx=-x2+60x+100-6mx=-x2+6(10-m)x+100, .对称轴为直线x=3(10-m). 排队人数在安检开始10分钟（包括10分钟）内减少， 0≤3(10-m)≤10，即9sm≤10 20 又：最多开通9条，3≤m≤9， ,m为正整数，∴.m最小值为7， .可开设7条安检通道 第四章图形的初步认识与三角形 第13讲角、相交线与平行线 1.A2.两点之间，线段最短3.B4.B5.C6.A 7.1088.B9.B10.B11.C12.B13.B14.B 15.B16.B17.D18.70°19.45°20.145 21.证明：：AB∥CD,.∠ACD=∠1. ∠1=∠2，∴.∠ACD=∠2， ∴.AEDF. 22.C23.B24.A25.B26.D27.A28.AC 29.同位角相等，两直线平行 30.-31(答案不唯一) 第14讲三角形的基本知识 1.B2.B3.4(答案不唯一)4.C5.A6.22.57.C 8.109.C10.B11.B 12.解：(1)分别作出AB边和BC边的垂直平 分线，与AB和BC边分别交于点N和点 M,连接AM和CN, 如图所示，交点G即为所求作的点： (2)15[提示]：点G是△ABC的重心， ..AG=2MG. M :△ABG的面积等于5cm2, .△BMG的面积等于2.5cm2, ∴.△ABM的面积等于7.5cm2. 又.AM是△ABC的中线， .△ABC的面积等于15cm2. 13.(2,1)(答案不唯一，纵坐标绝对值为1即可)14.1 第15讲等腰三角形与直角三角形 1.C2.B3.64.2 5.解：(1)AB=AC,∠B=72°，∴∠ACB=∠B=72° 由作图，可知CD是∠ACB的平分线， ∠BCD=LACD=2∠ACB=36, (2)在△BCD中，由三角形内角和定理，得∠BDC=180°- ∠B-∠BCD=72°， ∠BDC=LB,∴.CD=CB. 在△ACD中，.·∠BDC=∠A+∠ACD,∠ACD=36°， .∴.∠A=∠BDC-∠ACD=72°-36°=36°， .∴.∠A=∠ACD,∴.AD=CD,∴.AD=BC. .BC=2.5,∴.AD=2.5. 6.(1)证明：：△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰 三角形， ∴.∠A=∠DCA,∠ECB=∠CBE,AD=CD,CE=BE ,∠A=∠CBE,∴.∠A=∠ECB,∠ADC=∠CEB, .∴.ADCE,.∠ADC=∠DCE, .∴.∠DCE=∠CEB. EF=AD,∴.CD=EF, ∴.△DCE≌△FEB(SAS),∴.DE=BF (2)解：：△ACD,△BCE分别是以AC,BC为底边的等腰三 角形， ∴∠A=∠DCA,∠ECB=∠CBE,AD=CD,CE=BE. .·∠A=∠CBE, ∴.∠DCA=∠CBE,.DCBE. 作GH∥CD,交CE于点H,如图，则GHBE DG=EG,GH//CD,..CH=EH. .'AD=2,AD=CD,∴.CD=2 &GH=2CD=1. 设CE=BE=m,÷.EH= 2m. 1 .EF=AD=2,..FH= 2m-2. .·GHBE,∴.△GHF∽△BEF, 1 能 m 2 解得m=2+22或m=2-2W2(舍去)， ∴.BE的长为2+2√2. 7.B8.3-19.1210.5 11.(1)解：△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°. D是AB的中点， ∠DCB=∠DCA=7∠ACB=30°. .CE⊥BC,∴.∠BCE=90°， .∠DCE=∠BCE-∠DCB=60° (2)证明：由平移可知，CD/∥EF,.∠EAC=∠DCA=30°. 又.·∠ECA=∠BCE-∠ACB=30°， .∠EAC=∠ECA,∠AEC=120°，.AE=CE. 又：AB=CB,.BE垂直平分AC, LGEC-LAEG6 由(1)知，∠GCE=60°，.∠EGC=60°， ·.∠GEC=LCCE=LEGC=60°，∴.△CEG是等边三角形. 12.D13.B1411,60,6115.2.41645 5 17.(1)2(2)①②18.C19.620.4 21.解：(1)55[提示].∠ABC=90°，AB=40m,BC=30m, .AC=√302+402=50(m). 点D为AC的中点，CD=2AC=25m, .∴.BC+CD=30+25=55(m), 机器人乙运动的路线长为55m 55 (2)根据题意，得，510， △ABC中，∠ABC=90°，点D为AC的中点， ·BD=CD=AD=25m, ..∠ABD=∠A,∠DBC=∠C, 3 ∴.sin∠ABD=sinA=5,sin∠DBC=sinC=S: 当点Q在BC上，即0≤t≤3时，d2=BQ·sin∠DBC=10t× 58, ∴.8t1=16,解得t1=2. 当点Q在CD上，即3<t≤5.5时，作AH⊥BD,垂足为H,如图， 则AH=AB·sim∠ABD=40x3 =24(m), sin∠ADH=A24 AD 25 .·∠CDB=∠ADH, 0 24 .∴.sin∠CDB=sin∠ADH= 25 d ∴.d2=QD·sin∠CDB=(55-10t)× 2426448 2555 26448 23 写5，=16，解得6=6， _232-11 -1=62= 61 (3)当t=5.5时，d1=7.5m, 此时，BP= Pp_7.5=12.5(m), sin∠ABD3 5 .AP=AB-BP=40-12.5=27.5(m), 之4-p.mL480=(40-50×3-24-3L 当点Q在BC上，即0≤t≤3时，由d1=d2,得24-3t=8t, 8 解得=24 i: 当点Q在CD上，即3<t≤5.5时，由d1=d2,得24-3t= 2想解得4智 55 或贺 48 第16讲全等三角形 1.解：选择①： 理由如下：AE∥BF,∴∠A=∠FBD. .·CE∥DF,.∠ACE=∠D. 在△AEC和△BFD中， LACE=∠D, ∠A=∠FBD,∴.△AEC≌△BFD(AAS), AE=BF, ∴.AC=BD,∴.AB=CD 选择③： 理由如下：：AE∥BF,∴.∠A=∠FBD 在△AEC和△BFD中， LA=∠FBD, AE=BF, .△AEC≌△BFD(ASA), ∠E=∠F, .AC=BD,∴.AB=CD. 2.(1)证明：点C是线段AB的中点， AC-C848 .CDBE,.∠DCA=∠B. I∠A=∠ECB 在△DAC和△ECB中，{AC=CB, (∠DCA=∠B, ∴△DAC≌△ECB(ASA). (2)解：AB=16,BC=2AB=8. .·△DAC≌△ECB,.CD=BE 又：CDBE,.四边形BCDE是平行四边形， ∴.DE=BC=8. 3.D 4.证明：.∠ABE=∠BAF,∴.AC=BC. 又：LACE=∠BCF,CE=CF, .△ACE≌△BCF(SAS),∴.AE=BF 5.证明：.∠CBE=∠CDF,∠ABC+∠CBBE=180°，∠ADC+∠CDF= 180°，∴.∠ABC=∠ADC. 在△ABC和△ADC中， I∠ABC=∠ADC, ∠ACB=∠ACD, (AC=AC, .△ABC≌△ADC(AAS),.AB=AD. 6.C 7.证明：在△A0C和△B0D中， I∠AOC=∠BOD, ∠C=∠D, ∴.△AOC≌△BOD(AAS) AC=BD. 8.（1)证明：ABDE,.∠B=∠E. 又.·∠A=∠D,AC=DF, ∴.△ABC≌△DEF(AAS) (2)解：，△ABC≌△DEF .BC=EF,..BF+FC=CE+FC. BF=4,FC=3,.4+3=CE+3,.CE=4, .∴.BE=BF+FC+CE=4+3+4=11. 9.解：(1)BE=√2CD[提示]如图1，过点E作EM⊥CB交 CB的延长线于点M. 由旋转，得AD=DE,∠ADE=90°， .∴.∠ADC+∠EDM=90° ∠ACB=90°， .∴.∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°， .∠CAD=∠EDM, .△ACD≌△DME(AAS), 图1 .∴.CD=EM,AC=DM. AC=BC, .BM=DM-BD=AC-BD=BC-BD=CD...BM=EM. EM⊥CB,.BE=√2EM=√2CD. (2)补全图形如图2，BE=√2CD. 证明如下：过点E作EM⊥BC于点M,如图2，由旋转，得 AD=DE,∠ADE=90°， .∠ADC+∠EDM=90° .∠ACB=90°， .∴.∠ACD=∠DME,∠ADC+∠CAD=90°， .∠CAD=∠MDE, .△ACD≌△DME(AS), ∴.CD=EM,AC=DM. AC=BC...DM=BC. .DM-CM=BC-CM, 图2 ∴.CD=BM,.EM=BM :EML⊥CB,∴.BE=√2EM=√2CD. (3)如图3，当点D在CB的延长线 上时，过点E作EM⊥CB交CB的延 长线于点M,连接CE. 同理可得△ACD≌△DME, .∴.DM=AC=1,EM=CD=2, .CM=CD+DM=3. 图3 .CE=√CM+EM=√I3, .sin∠ECD= EM2213 CE√1313 当点D在BC的延长线上时，过点E 作EM⊥BC交BC的延长线于点M, 连接CE,如图4. 同理可得△ACD≌△DME, ∴.DM=AC=1,ME=CD=2, .∴.CM=2-1=1, .CE=√22+1下=5， E EM 2 25 图4 .sin∠ECD= CE5 5 综上，sin L ECD= 2 5 10.D11.100°12.B 13.解：(1)如图1，射线0P即为所求. 0 0 D 图1 图2 (2)如图2，弧CD即为所求 14.B15.D16.12 9第14讲三角形的基本知识 考点一 三角形及边角关系 角度①三角形的三边关系 1.(2025·连云港)下列长度（单位：cm)的3根小木棒能搭成三角 形的是 () A.1,2,3 B.2,3,4 C.3,5,8 D.4,5,10 2.(2023·河北)四边形ABCD的边长如图所示，对角线AC的长度 随四边形形状的改变而变化.当△ABC为等腰三角形时，对角线 AC的长为 () 2D A.2 B.3 C.4 D.5 3.新课标·结论开放(2024·西宁)若长度分别为3,6，a的三条线 段能组成一个三角形，则整数a的值可以是 .（写出一个 即可) 角度②三角形的内角和及内外角关系 4.（2024·长沙)如图，在△ABC中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥ BC,则∠1的度数为 () A.50° B.60° C.70° D.80° 5.(2025·烟台)如图是一款儿童小推车的示意图，若AB∥CD, ∠1=30°，∠2=70°，则∠3的度数为 () 3 2 D A.40° B.35° C.30° D.20° 6.新课标·数学文化(2023·株洲)《周礼·考工记》中记载有： “.…半矩谓之宣(uan),一宣有半谓之橘(zhú)…”意思是：“.…直角 的-半的角叫做宜，一宜半的角叫做褐…即：1宜=矩，1樱= 12宣（其中，1矩=90）. 问题：图1为中国古代一种强弩图，图2为这种强弩图的部分组 件的示意图，若∠A=1矩，∠B=1橘，则∠C=度 考工记 图1 图2 考点二三角形中的重要线段 角度①与角平分线有关的问题 7.(2024·青海)如图，0C平分∠A0B,点P在OC上，PD⊥OB, PD=2,则点P到OA的距离是 () P 0 D B A.4 B.3 C.2 D.1 8.（2024·宿迁)如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=30°，AD是高， 以点A为圆心，AB长为半径画弧，交AC于点E,再分别以B,E为 圆心，大于2BE的长为半径画弧，两弧在∠BAC的内部交于点P, 作射线AF,则∠DAF= 0 角度②与中线有关的问题 9.（2025·陕西)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=20°，CD为AB边 上的中线，DE⊥AC,则图中与∠A互余的角共有 () A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 10.（2024·德州)如图，在△ABC中，AD是高，AE是中线，AD=4, S△ABc=12,则BE的长为 () A.1.5 B.3 C.4 D.6 11.(2025·威海)如图，△ABC的中线BE,CD交于点F,连接DE. 下列结论错误的是 （) 1 A.S△DEr= B.S△ADE=2S四边形BCED 1 C.SDF=ARCF D.S△ADC=S△AEB 12.新考法·尺规作图与面积计算结合(2024·绥化)已知：△ABC. (1)尺规作图：画出△ABC的重心G.（保留作图痕迹，不要求写 作法和证明) (2)在(1)的条件下，连接AG,BG.已知△ABG的面积等于 5cm2,则△ABC的面积是 cm2. 角度③与高线有关的问题 13.新课标·结论开放(2025·德阳)△ABC在平面直角坐标系中， 已知A(1,0),B(3,0),如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标 可以是 .（只需写出一个即可) 14.（2023·安徽)清初数学家梅文鼎在著作《平三角举要》中，对南 宋数学家秦九韶提出的计算三角形面积的“三斜求积术”给出 了一个完整的证明，证明过程中创造性地设计直角三角形，得出 了一个结论：周A0是锐角的高，则mc,C） 当AB=7,BC=6,AC=5时，CD= 33 第15讲等腰三角形与直角三角形 考点一等腰三角形 1.（2025·达州)如图，在△ABC中，AB=AC=8,BC=5,线段AB的垂直 平分线交AB于点E,交AC于点D,则△BDC的周长为 A.21 B.14 C.13 D.9 D B D 第1题图 第2题图 第4题图 2.(2025·扬州)在如图的房屋人字梁架中，AB=AC,点D在BC上， 下列条件不能说明AD LBC的是 A.∠ADB=∠ADC B.LB=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC 3.（2024·镇江)等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 4.(2024·重庆B)如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分 ∠ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长度为 5.(2025·长沙)如图，在△ABC中，AB=AC,∠B=72°，以点C为圆 心，适当长为半径作弧，交CA于点M,交CB于点N,再分别以点 M,N为圆心，大于)MN的长度为半径作弧，两弧相交于点P,作 射线CP交AB于点D. (1)求∠BCD的度数. (2)若BC=2.5,求AD的长 34 6.(2023·烟台)如图，点C为线段AB上一点，分别以AC,BC为等 腰三角形的底边，在AB的同侧作等腰△ACD和等腰△BCE,且 ∠A=∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF=AD,连接BF,DE. (1)如图1，求证：DE=BF. (2)如图2，若AD=2,BF的延长线恰好经过DE的中点G,求BE 的长 D D B 图1 图2 考点二 等边三角形 7.（2024·泰安)如图，直线l∥m,等边三角形ABC的两个顶点B,C 分别落在直线l,m上，若∠ABE=21°，则∠ACD的度数是() A.45° B.39° C.29° D.21° m 第7题图 第8题图 8.（2025·广西)如图，点A,D在BC同侧，AB=BC=CA=2,BD= CD=J2,则AD= 9.(2025·平凉)如图，把平行四边形纸片ABCD沿对角线AC折叠， 点B落在点B'处，B'C与AD相交于点E,此时△CDE恰为等边 三角形，若AB=6cm,则AD= cm B B。 B 第9题图 第10题图 10.(2024·南京)如图，在边长为4的等边三角形ABC中，AD是中 线，将DA绕点D顺时针旋转60°得到DE,连接BE,则S△Ds= 11.(2025·福建)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点， CE⊥BC,垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF 过点A,BE交CD于点G. (1)求∠DCE的大小 (2)求证：△CEG是等边三角形. 考点三直角三角形 角度①勾股定理及其逆定理 12.（2024·眉山)如图，图1是北京国际标数学家大会的会标，它取材于 我国古代数学家赵爽的“弦图”，是由四个全等的直角三角形拼成 若图1中大正方形的面积为24，小正方形的面积为4，现将这四 个直角三角形拼成图2，则图2中大正方形的面积为()》 图1 图2 A.24 B.36 C.40 D.44 13.（2024·淮安)如图，用9个直角三角形纸片拼成一个类似海螺的 图形，其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形 的周长（实线部分）为1，则下列整数与1最接近的是() A.14 B.13 C.12 D.11 14.（2025·扬州)清代扬州数学家罗土琳痴迷于勾股定理的研究， 提出了推算勾股数的“罗士琳法则”.法则的提出，不仅简化了 勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献 由此法则写出了下列几组勾股数：①3,4,5；②5,12,13：③7,24， 25;④9,40,41…根据上述规律，写出第⑤组勾股数 为 15.（2025·连云港)如图，长为3m的梯子靠在墙上，梯子的底端离 墙脚线的距离为1.8m,则梯子顶端的高度h为 m -1.8 第15题图 第16题图 16.（2025·成都)如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=1,BC=2. 以点A为圆心，以AB长为半径作弧；再以点C为圆心，以BC长 为半径作弧，两弧在AC上方交于点D,连接BD,则BD的长 为 17.(2025·湖南)已知a,b,c是△ABC的三条边长，记t= ,其中k为整数 (1)若三角形为等边三角形，则t= (2)下列结论正确的是 .(写出所有正确的结论) ①若k=2,t=1,则△ABC为直角三角形； ②若k=1,a=2b+2,c=1,则5<<11； 5 ③若k=1,≤3，a,b,c为三个连续整数，且a<b<c,则满足条件 的△ABC的个数为7. 角度②直角三角形的性质及计算 18.(2024·陕西)如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的 高，E是BC的中点，连接AE,则图中的直角三角形共有() B D A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 19.（2025·扬州)如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,BC的中 点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC=90°，若AC=4,BC= 8,则DF的长是 20.（2025·福建)某房梁如图所示，立柱AD⊥BC,E,F分别是斜梁 AB,AC的中点.若AB=AC=8m,则DE的长为 m. 21.(2025·苏州)两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工 作，∠ABC=90°，AB=40m,BC=30m,直线BD为生产流水线， 且BD平分△ABC的面积（即D为AC中点）.机器人甲从点A出 发，沿A→B的方向以v,(m/min)的速度匀速运动，其所在位置 用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以 v2(m/min)的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示.两个机器 人同时出发，设机器人运动的时间为t(min),记点P到BD的距 离（即垂线段PP'的长）为d(m),点Q到BD的距离（即垂线段 QQ'的长)为d,(m).当机器人乙到达终点时，两个机器人立即 同时停止运动，此时d,=7.5m,d2与t的部分对应数值如下表 (t1<t2): t(min） 0 t2 5.5 d2(m） 0 16 16 0 (1)机器人乙运动的路线长为 m. (2)求t2-t1的值 (3)当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即d,=d2) 时，求t的值 备用图 35