第六章 教用课时 数列的新定义与重构问题(进阶课) 课件-2027届高三数学一轮专题复习

该高中数学高考复习课件聚焦“数列的新定义与重构问题”专题，依据高考评价体系梳理了新定义问题、奇偶项问题、公共项问题、增减项问题四大核心考点，通过近年模拟题分析明确新定义与奇偶项为高频考查内容，归纳出选择、填空、解答题等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题典例+通性通法+多维变式”的备考策略，如以2026安顺模拟行列式与等比数列结合题为例，运用“读懂定义—特殊分析—转化为等差等比”四步流程，培养学生的数学抽象与逻辑推理素养。特设“通性通法总结”和“易错点警示”，助力学生掌握分奇偶求和、公共项公差最小公倍数等技巧，教师可据此实施精准复习，提升备考效率。

第六章　数列 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) [总体概览]　数列的重构问题(包括数列中的奇数项、偶数项、公共项以及增减项)与数列的新定义问题是近几年高考的重点和热点，一般方法是构造新数列，利用新数列的特征(等差、等比或其他特征)求解原数列． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 类型一　数列新情境、新定义问题 [典例1]　(1)(2026·安顺模拟)行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，其中最简单的二阶行列式的运算定义如下：＝ad－bc，已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若＝0，a1＝1，q≠1，则S6＝(　　) A．6 B．10 C．63 D．64 √ 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) (2)(多选)(2026·昆明模拟)已知数列{an}，定义数列{an+1－2an}为数列{an}的“2倍差数列”．若{an}的“2倍差数列”的通项公式为an+1－2an＝2n+1，且a1＝2，则下列结论错误的是(　　) A．a2＝8 B．an＝(n＋1)·2n C．数列{an}是递减数列 D．数列{an}的前n项和Sn＝n·2n+1 √ √ √ 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) (1)C　(2)BCD　[(1)根据题意，等比数列{an}中，若＝0， 则有2a3(a3－a2)－a4(a3－a2)＝(2a3－a4)(a3－a2)＝0， 又由q≠1，即a3－a2≠0， 必有2a3－a4＝0，则q＝＝2，故S6＝＝26－1＝63． 故选C． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) (2)由an+1－2an＝2n+1，且a1＝2， 可得＝1， 即有数列是首项和公差均为1的等差数列， 可得＝1＋n－1＝n，即有an＝n·2n， 可得a2＝8，数列{an}是递增数列，故A正确，BC错误； 由Sn＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋n·2n， 2Sn＝1·22＋2·23＋3·24＋…＋n·2n+1， 两式相减可得－Sn＝21＋22＋23＋…＋2n－n·2n+1＝－n·2n+1＝(1－n)·2n+1－2， 化为Sn＝(n－1)·2n+1＋2，故D错误． 故选BCD．] 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 通性通法：解决新定义数列问题的一般流程 (1)读懂定义，理解新定义数列的含义． (2)特殊分析，比如对n＝1，2，3，…的情况进行讨论． (3)通过特殊情况寻找新定义数列的规律及性质，以及新定义数列与已知数列(如等差或等比数列)的关系，仔细观察，探求规律，注重转化，合理设计解题方案． (4)联系等差数列与等比数列知识，将新定义数列问题转化为熟悉的知识进行求解． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 【教用·备选题】 (多选)(2026·福州模拟)若数列{an}为递增数列且数列也为递增数列，则称{an}为“重增数列”．下列数列中，是重增数列的有 (　　) A．{3n} B．{n5} C．{log2n} D．{sin n} √ √ 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) AB　[根据题意，依次分析选项： 对于A：当n≥2时，＝3>1，则数列{3n}为递增数列，且n≥2时，＝3－>1，所以数列也为递增数列，符合题意； 对于B：当n≥2时，>1，则数列{n5}为递增数列，且n≥2时，>1，所以数列也为递增数列，符合题意； 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 对于C：对于数列，因为2<4，不是递增数列，不符合题意； 对于D：因为3<4，>0>不是递增数列，故{sin n}不是重增数列，不符合题意．故选AB．] 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 类型二　数列的重构 考向1　奇偶项问题 [典例2]　(2025·商丘期末)已知等差数列{an}前n项和为Sn(n∈N*)，数列{bn}是等比数列，a1＝3，b1＝1，b2＋a2＝8，3a7－4b2＝3a5． (1)求数列{an}和{bn}的通项公式； (2)若cn＝设数列{cn}的前n项和为Tn，求T2n． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) [解]　(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q(q≠0)， 由a1＝3，b1＝1，b2＋a2＝8，3a7－4b2＝3a5，可得解得d＝2，q＝3， 则an＝2n＋1，bn＝3n-1． (2)由(1)得，Sn＝＝n(n＋2)， 当n为偶数时，cn＝， 当n为奇数时，cn＝3n-1， 则T2n＝30＋32＋34＋…＋32n-2＋ ＝． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 通性通法：对于通项公式奇、偶项不同的数列{an}求Sn时，我们可以分别求出奇数项的和与偶数项的和，也可以先求出S2k，再利用S2k-1＝S2k－a2k，求S2k-1． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) [多维变迁] 已知数列{an}的前n项和为Sn，满足a1＝2，且an是2与Sn的等差中项． (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＝(－1)n·log2a2n+1，求数列{bn}的前n项和Tn． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) [解]　(1)因为an是2与Sn的等差中项， 所以2an＝Sn＋2，　① 当n≥2时，2an-1＝Sn-1＋2，　② ①－②得2an－2an-1＝an， 所以an＝2an-1(n≥2)， 又a1＝2，所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以an＝2n． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) (2)bn＝(－1)n·log2a2n+1＝(－1)n·(2n＋1)， 当n为偶数时， Tn＝(b1＋b2)＋(b3＋b4)＋…＋(bn-1＋bn)＝(－3＋5)＋(－7＋9)＋…＋[－(2n－1)＋(2n＋1)]＝2＋2＋…＋2＝2·＝n； 当n为奇数时，Tn＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5)＋…＋(bn-1＋bn)＝－3＋(－2)＋(－2)＋…＋(－2)＝－3＋(－2)·＝－n－2． 综上所述，数列{bn}的前n项和 Tn＝ 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 考向2　数列的公共项 [典例3]　(2025·济南市中区校级二模)数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列{an}，数列{bn}满足：bn＝，则数列{bn}的最大项等于______________．  　 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 　[根据题意，数列{2n－1}和数列{3n－2}的公共项从小到大构成一个新数列为：1，7，13，…， 分析可得：该数列为首项为1，公差为6的等差数列，则an＝6n－5， 所以bn＝， 因为bn+1－bn＝， 所以当n≥2时，bn+1－bn<0，即b2>b3>b4>…， 又b1<b2， 所以数列{bn}的最大项为第二项，其值为．] 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 通性通法：两个等差数列的公共项是等差数列，且公差是两个等差数列公差的最小公倍数，两个等比数列的公共项是等比数列，公比是两个等比数列公比的最小公倍数． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) [多维变迁] (人教A版选择性必修第二册P25习题4.2T8)已知两个等差数列2，6，10，…，190及2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列．求这个新数列的各项之和． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) [解]　记等差数列2，6，10，…，190为{an}，则{an}的通项公式为an＝2＋4(n－1)＝4n－2． 记等差数列2，8，14，…，200为{bn}，则{bn}的通项公式为bn＝2＋6(n－1)＝6n－4． 记{an}与{bn}的公共项组成的数列为{cn}． ∵{an}的公差为4，{bn}的公差为6， ∴{cn}为一个等差数列，且公差d＝12， 又c1＝2， 所以cn＝2＋(n－1)×12＝12n－10． 令12n－10<190，得n<16，则数列{cn}共有16项． 故新数列各项之和为16×2＋×12＝1 472． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 考向3　数列增减项 [典例4]　(人教A版选择性必修第二册P56复习参考题4T12)已知等比数列的前n项和为Sn，且an+1＝2Sn＋2(n∈N*)． (1)求数列的通项公式； (2)在an与an+1之间插入n个数，使这n＋2个数组成一个公差为dn的等差数列，在数列中是否存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列？若存在，求出这样的3项，若不存在，请说明理由． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) [解]　(1)由题意知： 当n＝1时，a1q＝2a1＋2，① 当n＝2时，a1q2＝2(a1＋a1q)＋2，② 联立①②，解得a1＝2，q＝3． 所以数列的通项公式an＝2×3n-1． (2)由(1)知an＝2×3n-1，an+1＝2×3n． 所以an+1＝an＋(n＋2－1)dn． 所以dn＝． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 设数列中存在3项dm，dk，dp(其中m，k，p成等差数列)成等比数列． 则＝ dm ·dp ， 所以， 即． 又因为m，k，p成等差数列， 所以2k＝m＋p， 所以(k＋1)2＝(m＋1)(p＋1)， 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 化简得k2＋2k＝mp＋m＋p， 所以k2＝mp． 又2k＝m＋p，所以k＝m＝p，这与已知矛盾． 所以在数列中不存在3项dm，dk，dp成等比数列． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 通性通法：对于数列的中间插项或减项构成新数列问题，我们要把握两点：先判断数列之间共插入(减少)了多少项 (运用等差等比求和或者项数公式去看)，再对于题目给出的条件确定它包含了哪些项． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) [多维变迁] (2026·岳阳模拟)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S5＝15，a2＝2，等比数列{bn}满足b2＝a1＋a3，b3＝2a4． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)将数列{an}中与{bn}的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{cn}，求ci(n∈N*)． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) [解]　(1)设{an}的公差为d， 由题意可得 解得 所以{an}的通项公式为an＝1＋(n－1)×1＝n． 因为b2＝a1＋a3＝1＋3＝4，b3＝2a4＝2×4＝8， 所以等比数列{bn}的公比q＝＝2，且b1＝＝2， 所以等比数列{bn}的通项公式为bn＝b1·qn-1＝2×2n-1＝2n． 所以数列{an}，{bn}的通项公式分别为an＝n，bn＝2n． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) (2)将数列{an}中与{bn}的相同项去掉，剩下的项依次构成新数列{cn}， 则ci＝c1＋c2＋…＋， {cn}中前2n项是由{an}的前2n＋n项去掉与{bn}的前n项相同的项构成的， 所以ci＝c1＋c2＋…＋ 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) ＝－(2＋22＋…＋2n) ＝ ＝＋2(1－2n) ＝22n-1＋(2n－3)2n-1＋． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 【教用·备选题】 (2025·湛江二模)将数列{3n＋2}与{4n}中所有的项去掉它们的公共项后，剩余的项从小到大排序得到数列{an}，则a5＝ ___________，{an}的前202项和为 ______________．  14　 49 609　 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 14　49 609　[{3n＋2}与{4n} 的公共项为12n－4，去掉它们的公共项后， 剩余的项从小到大排序为4，5，11，12，14，16，17，23，24，26，28，29，…， 所以a5＝14，且每两个相邻的公共项之间有5项，以这5项的和为一项构成的新数列是首项为70，公差为60的等差数列． 因为(202－2)÷5＝40， 所以{an}的前202项和为4＋5＋40×70＋＝49 609．] 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 1．(2025·桂林期末)“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数1，，，，…，构成数列{an}，其前n项和为Sn，则S31＝(　　) A． B． C． D． 课时作业　数列的新定义与重构问题(进阶课) √ *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 33 A　[根据从第三行起，每一行的第三个数1，，…，构成数列{an}， 可知，a1＝1＝，a2＝，a3＝，a4＝，…， 以此类推，an＝＝2， 所以Sn＝2＝2， 所以S31＝． 故选A．] 34 √ 2．(2026·临沂模拟)在数列{an}中，已知a1＝1，an+1＝则a11＝(　　) A． B． C． D． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 35 B　[在数列{an}中，a1＝1， an+1＝ 可得a2＝a1＋， 而a2n＝a2n-1＋a2n-2＋， 可得a2n－1＝(a2n-2－1)， 36 即有{a2n－1}是首项和公比均为的等比数列，可得a2n－1＝，即a2n＝＋1， 则a2n-1＝，则a11＝． 故选B．] 37 3．(2025·资阳雁江区月考)已知数列{an}的通项公式为an＝3n－1，{bn}是公比为q(q>0)的等比数列，且b2＝2，b2＋b3＋b4＝14． (1)求{bn}的通项公式； (2)设{an}与{bn}的公共项由小到大排列构成新数列{cn}，求{cn}的前5项和S5． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 38 [解]　(1){bn}是公比为q(q>0)的等比数列，且b2＝2，b2＋b3＋b4＝14， 可得2＋2q＋2q2＝14，即q2＋q－6＝0， 解得q＝2(负值舍去)， 由b2＝b1q＝2，解得b1＝1， 由等比数列的通项公式，可得bn＝2n-1． (2)由an＝3n－1，bn＝2n-1， 设{an}的第m项与{bn}的第k项相等， 39 则am＝bk，即3m－1＝2k-1，m＝． 当k＝1时，m＝∉N*，当k＝2时，m＝1，则c1＝2， 当k＝3时，m＝∉N*，当k＝4时，m＝3，则c2＝8， 当k＝5时，m＝∉N*，当k＝6时，m＝11，则c3＝32， 当k＝7时，m＝∉N*，当k＝8时，m＝43，则c4＝128， 当k＝9时，m＝∉N*，当k＝10时，m＝171，则c5＝512． 故S5＝2＋8＋32＋128＋512＝682． 40 4．(2025·武汉质检)已知数列{an}满足a1＝4，且an+1＋an＝8n＋4． (1) 求数列{an}的通项公式； (2) 已知bn＝2n，在数列{an}中剔除{an}与{bn}的公共项后余下的项按原顺序构成一个新数列{cn}，求数列{cn}的前192项和T192． 课时作业 *教用课时　数列的新定义与重构问题(进阶课) 41 [解]　(1)因为an+1＋an＝8n＋4，a1＝4，当n＝1时，a2＋a1＝12，所以a2＝8； 当n≥2时，an＋an-1＝8n－4，所以an+1－an-1＝8， 则当n为偶数时，an＝8＋×8＝4n； 当n为奇数时，an＝4＋×8＝4n． 综上，an＝4n． (2) 设{an}的前n项和为Sn，{bn}的前n项和为Hn，由(1)可知a200＝800，b9＝29＝512， 当n≤200时，{an}与{bn}的公共项为4，8，16，…，512，共8项，所以数列{cn}的前192项和T192＝S200－(H9－2)＝＝80 400－1 020＝79 380． 42 谢谢！ $