第六章　第46课时　等比数列及其前n项和课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“等比数列及其前n项和”专题，依据高考评价体系明确了概念理解、公式掌握、性质应用三大考查要求，通过近五年高考真题分析，归纳出基本量运算（占比45%）、判定与证明（占比30%）、性质应用（占比25%）的高频题型，构建了系统的知识网络和解题框架。 课件亮点在于“真题溯源+通性通法+易错警示”的备考设计，如以2023年全国甲卷等比数列求和题为例，详解“知三求二”方程法和性质法，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。特设“多维变迁”变式训练和“母题拆解”，帮助学生掌握分类讨论、作商消元等技巧，教师可依托此课件精准定位学生薄弱点，提升复习效率。

第六章　数列 第46课时　等比数列及其前n项和 [考试要求]　1．理解等比数列的概念．2．掌握等比数列的通项公式与前n项和公式．3．了解等比数列与指数函数的关系． 第46课时　等比数列及其前n项和 理法先行·题练固本 知识点1　等比数列的有关概念 (1)定义：一般地，如果一个数列从第_项起，每一项与它的前一项的比都等于______常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的____，公比通常用字母q(q≠0)表示． (2)等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成____数列，那么__叫做a与b的等比中项，此时，G2＝__． 同一个 公比 等比 G ab 2 第46课时　等比数列及其前n项和 3 知识点2　等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝_______＝amqn-m． (2)前n项和公式： Sn＝ a1qn-1 第46课时　等比数列及其前n项和 知识点3　等比数列的性质 已知数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和(m，n，p，t，r，k∈N*)． (1)若m＋n＝p＋t＝2r，则am·an＝ap·at＝． (2)数列am，am+k，am+2k，am+3k，…仍是等比数列． (3)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍是等比数列(此时{an}的公比q≠－1，或q＝－1且m为奇数)． 第46课时　等比数列及其前n项和 (4)若{bn}(与{an}项数相同)也是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{}，{an·bn}，仍是等比数列． (5)若{an}共有2n项，则＝q，其中S偶，S奇分别是数列{an}的偶数项和与奇数项和． 第46课时　等比数列及其前n项和 [常用结论] 1．等比数列的单调性 当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，数列{an}是递增数列； 当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，数列{an}是递减数列； 当q＝1时，{an}是常数列． 2．等比数列{an}的前n项和Sn可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，且q≠0)． 第46课时　等比数列及其前n项和 1．(北师大版选择性必修第二册P27练习T3改编)＋1与－1的等比中项为(　　) A．2 B．2或－2 C． D．或－ √ 第46课时　等比数列及其前n项和 D　[设＋1与－1的等比中项为S， 则有S2＝(＋1)(－1)＝2， 解得S＝±， 即＋1与－1的等比中项为或－． 故选D．] 第46课时　等比数列及其前n项和 2．(北师大版选择性必修第二册P29例5(2))等比数列1，，，…，前10项的和为______________．   　[S10＝．] 　 第46课时　等比数列及其前n项和 3．(人教A版选择性必修第二册P37练习T3节选)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝____________________．   3·2n－1或2·3n-1　[设等比数列{an}的公比为q， 由题意得 解得 故an＝3·2n-1或an＝2·3n-1．] 3·2n－1或2·3n-1　 第46课时　等比数列及其前n项和 4．(湘教版选择性必修第一册P35习题1.3T7)在由正数组成的等比数列{an}中，若a4a5a6＝3，则log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9的值为______________．  　[∵a4a5a6＝＝3，∴a5＝， ∴log3a1＋log3a2＋log3a8＋log3a9＝log3(a1a2a8a9)＝log3＝log3．] 　 第46课时　等比数列及其前n项和 考点深研·题型突破 考点一　等比数列的基本量的运算 [典例1]　(1)(2025·娄底市期末)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝，＝a6，则S4＝(　　) A． B． C． D． (2)(2025·全国一卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项和为4，前8项和为68，则该等比数列的公比为_______．  √ 2 第46课时　等比数列及其前n项和 13 (1)D　(2)2　[(1)设等比数列{an}的公比为q， 由＝a6，得(a1q3)2＝a1q5，即a1q＝1， 又a1＝，故q＝3， 所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝＋1＋3＋9＝． 故选D． 第46课时　等比数列及其前n项和 (2)法一：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68， 设的公比为q， 当q＝1时，S4＝4a1＝4，即a1＝1，则S8＝8a1＝8≠68，显然不成立，舍去； 当q≠1时，则S4＝＝4，S8＝＝68， 两式相除，得＝17， 则1＋q4＝17，所以q＝2， 所以该等比数列公比为2． 第46课时　等比数列及其前n项和 法二：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68， 设的公比为q， 所以S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4， S8＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8 ＝a1＋a2＋a3＋a4＋a1q4＋a2q4＋a3q4＋a4q4 ＝＝68， 所以4＝68，则1＋q4＝17，所以q＝2， 所以该等比数列公比为2． 第46课时　等比数列及其前n项和 法三：设该等比数列为，Sn是其前n项和，则S4＝4，S8＝68， 设的公比为q， 因为S8－S4＝a5＋a6＋a7＋a8＝(a1＋a2＋a3＋a4)q4＝68－4＝64， 又S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝4， 所以＝q4＝＝16，所以q＝2， 所以该等比数列公比为2．] 第46课时　等比数列及其前n项和 [考题探源] 1．(人教A版选择性必修第二册P36例8)已知等比数列的首项为－1，前n项和为Sn．若，求公比q． 第46课时　等比数列及其前n项和 [解]　若q＝1，则＝2≠， 所以q≠1． 当q≠1时，由，得 ． 整理，得1＋q5＝， 即q5＝－．所以q＝－． 第46课时　等比数列及其前n项和 2．(人教A版选择性必修第二册P37例9)已知等比数列的公比q≠－1，前n项和为Sn．证明Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，并求这个数列的公比． [证明]　当q＝1时， Sn＝na1， S2n－Sn＝2na1－na1＝na1， S3n－S2n＝3na1－2na1＝na1， 所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为1． 第46课时　等比数列及其前n项和 当q≠1时， Sn＝， S2n－Sn＝＝＝qnSn， S3n－S2n＝＝＝qn， 所以＝qn． 因为qn为常数，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，公比为qn． 第46课时　等比数列及其前n项和 通性通法：等比数列基本量的运算的解题策略 (1)等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求解． (2)解方程组时常常利用“作商”消元法． (3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解． 第46课时　等比数列及其前n项和 [多维变迁] 1．(2023·全国甲卷)设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为S n，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝(　　) A． B． C．15 D．40 √ 第46课时　等比数列及其前n项和 C　[法一(直接运用等比数列的通项公式与前n项和公式求解)：若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1．由＝5×－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝＝15．故选C． 法二(直接求和法)：设等比数列{an}的公比为q，则由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15．故选C．] 第46课时　等比数列及其前n项和 2．(多选)(2026·长沙模拟)在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法正确的是(　　) A．此人第二天走了九十六里路 B．此人第三天走的路程占全程的 C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 D．此人后三天共走了四十二里路 √ √ √ 第46课时　等比数列及其前n项和 ACD　[设此人第n天走an里路， 则数列{an}是首项为a1，公比为的等比数列， 因为S6＝378，所以S6＝＝378， 解得a1＝192． 对于A，由于a2＝192×＝96，所以此人第二天走了九十六里路，所以A正确； 对于B，由于a3＝192×＝48，， 所以B不正确； 对于C，由于378－192＝186，192－186＝6， 所以此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里，所以C正确； 对于D，a4＋a5＋a6＝378－192－96－48＝42， 所以此人后三天共走了四十二里路， 所以D正确．故选ACD．] 考点二　等比数列的判定与证明 [典例2]　(1)(多选)已知数列{an}的前n项和为Sn，下列说法正确的是(　　) A．若b2＝ac，则a，b，c成等比数列 B．若{an}为等差数列，则{}为等比数列 C．若Sn＝3n－1，则数列{an}为等比数列 D．若a1＝1，a2＝2，3an+1＝an＋2an+2(n∈N*)，则{an+1－an}为等比数列 (2)(2025·八省联考节选)已知数列{an}中，a1＝3，an+1＝． (i)证明：数列为等比数列； (ii)求{an}的通项公式． √ √ √ 第46课时　等比数列及其前n项和 (1)BCD　[对于A，当a＝b＝c＝0时，b2＝ac，此时a，b，c不是等比数列，故A错误； 对于B，若{an}为等差数列，设其公差为d，则此时有＝2d>0，所以数列{}为等比数列，故B正确； 对于C，若Sn＝3n－1，则a1＝S1＝2， an＝Sn－Sn-1＝3n－1－(3n-1－1)＝3n－3n-1＝2·3n-1(n≥2)， a1＝2显然满足an＝2·3n-1， 所以数列{an}为等比数列，故C正确； 对于D，因为3an+1＝an＋2an+2， 所以2(an+2－an+1)－(an+1－an)＝0， 而a1＝1，a2＝2， 因此数列{an+1－an}是首项为1，公比为的等比数列，故D正确．故选BCD．] (2)[解]　(i)证明：因为an+1＝， 所以， 所以， 所以1－＝1－， 即1－＝－， 所以，又因为1－＝1－， 所以数列为公比的等比数列． (ii)由(i)知，1－， 所以＝1－， 所以an＝． 易错提醒：(1)＝an-1an+1(n≥2，n∈N*)是{an}为等比数列的必要不充分条件，判断一个数列是等比数列时，还要注意各项不为0． (2){an}为等比数列，可推出a1，a2，a3成等比数列，但a1，a2，a3成等比数列并不能说明{an}为等比数列． (3)证明{an}不是等比数列可用特殊值法． 第46课时　等比数列及其前n项和 【教用·通性通法】 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列． (2)等比中项法：若数列{an}中，an≠0且＝an·an+2(n∈N*)，则{an}是等比数列． (3)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，q≠1)，则{an}是等比数列． 第46课时　等比数列及其前n项和 【教用·备选题】 (2026·岳阳模拟)已知数列{an}为等差数列，a1＝1，a3＝2＋1，前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝． 求证：(1)数列{bn}为等差数列； (2)数列{an}中的任意三项均不能构成等比数列． 第46课时　等比数列及其前n项和 [证明]　(1)因为数列{an}为等差数列，a1＝1，a3＝2＋1，所以d＝， Sn＝n＋n2＋n， 则bn＝n＋1－， 则bn－bn-1＝，b1＝1，故数列{bn}是以1为首项，为公差的等差数列． 第46课时　等比数列及其前n项和 (2)假设数列{an}中的任意不同的三项an，am，ak构成等比数列，则＝an·ak， 即[1＋(m－1)]2＝[1＋(n－1)][1＋(k－1)]， 则 故(k－n)2＝0，即k＝n，与假设矛盾， 故数列{an}中的任意三项均不能构成等比数列． 第46课时　等比数列及其前n项和 考点三　等比数列的性质及应用 [典例3]　(1)(2023·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝(　　) A．120 B．85 C．－85 D．－120 (2)已知{an}为正项等比数列． (i)若a2a4＋2a3a5＋a4a6＝25，求a3＋a5； (ii)若a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值． √ 第46课时　等比数列及其前n项和 (1)C　[法一：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1， 则 化简整理得 所以S8＝×(1－44)＝－85，故选C． 第46课时　等比数列及其前n项和 法二：易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，…为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝．当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝时，结合S4＝－5得化简可得q2＝－5，不成立，舍去．所以S8＝－85，故选C．] 第46课时　等比数列及其前n项和 (2)[解]　(i)∵{an}为正项等比数列，∴a2a4＋2a3a5＋a4a6＝＋2a3a5＋＝(a3＋a5)2＝25， ∵an>0，∴a3＋a5>0，∴a3＋a5＝5． (ii)根据等比数列的性质， 得a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9， ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5＝95， ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 ＝log3(a1a2…a9a10)＝log395＝10． 第46课时　等比数列及其前n项和 通性通法：(1)在解决与等比数列有关的问题时，要注意挖掘隐含条件，利用性质，特别是“若m＋n＝p＋q，则aman＝apaq”，可以减少运算量，提高解题速度． (2)在应用等比数列的性质解题时，要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．此外，解题时注意设而不求思想的运用． 第46课时　等比数列及其前n项和 [多维变迁] 1．在等比数列{an}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8＝(　　) A．40 B．36 C．54 D．81 √ C　[在等比数列{an}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列， ∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24， ∴a7＋a8＝(a3＋a4)·＝24×＝54．故选C．] 第46课时　等比数列及其前n项和 2．已知正项等比数列{an}共有2n项，它的所有项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝______________．  2　[由题意可知a1＋a2＋…＋a2n＝3(a1＋a3＋…＋a2n-1)， 又a2＋a4＋…＋a2n＝q(a1＋a3＋…＋a2n-1)， 所以(q＋1)(a1＋a3＋…＋a2n-1)＝3(a1＋a3＋…＋a2n-1)． 又q>0，an>0，所以q＋1＝3，即q＝2．] 2 第46课时　等比数列及其前n项和 1．(链接考点一)(湘教版选择性必修第一册P26例1改编)在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5＝(　　) A．5　　　B．±5　　　C．4　　　D．±4 √ C　[由a3＝a1q2＝2，a7＝a1q6＝8，得q2＝2(舍负)． 又∵a5＝a3q2>0，∴a5＝4．故选C．] 第46课时　等比数列及其前n项和 2．(链接考点二)(多选)(2025·成都期中)下列数列为等比数列的是 (　　) A．{2n} B．{n2} C．{3-n} D．{2·2n} √ √ 第46课时　等比数列及其前n项和 CD　[对于A，数列的前三项为2，4，6，第二项不是第一和第三项的等比中项，不成立； 对于B，数列的前三项为1，4，9，第二项不是第一和第三项的等比中项，不成立； 对于C，因为为常数，所以满足等比数列的定义，故成立； 对于D，因为＝2为常数，所以满足等比数列的定义，故成立． 故选CD．] 第46课时　等比数列及其前n项和 3．(链接考点三)(2025·抚顺期中)已知等比数列{an}，且a3＋a5＝12，a2·a6＝32，a3<a5，则a5＝(　　) A．8 B．6 C．4 D．2 A　[由等比数列{an}，且a3＋a5＝12①，a2·a6＝32，a3<a5②， 可得，a2·a6＝a3·a5＝32③， 联立①②③，解得a3＝4，a5＝8． 故选A．] √ 第46课时　等比数列及其前n项和 4．(链接考点三)(人教A版选择性必修第二册P37例9改编)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝3，则＝______________．  　[设等比数列{an}的公比为q，易知q≠－1，由等比数列前n项和的性质可知S3，S6－S3，S9－S6仍成等比数列，∴， 又由已知得S6＝3S3，∴S9－S6＝4S3， ∴S9＝7S3，∴．] 　 第46课时　等比数列及其前n项和 谢谢！ $