6.3等比数列及其前n项和 课件-2027届高三数学一轮复习

第六章　数列 第3节　等比数列及其前n项和 1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.了解等比数列与指数函数的关系. 课标要求 1.等比数列的概念 (1)定义:如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于_________常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(显然q≠0). 数学语言表达式:＝___(n≥2，q为非零常数). (2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，则G2＝______. 同一个 q ab 3 2.等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝_______________; 通项公式的推广:an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式:当q＝1时，Sn＝na1;当q≠1时，Sn＝. a1qn-1 4 3.等比数列的性质 已知{an}是等比数列，Sn是数列{an}的前n项和. (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则有ak·al＝______________. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为___________. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等比数列，其公比为__________. (4)当q>1，a1>0或0<q<1，a1<0时，{an}是递增数列;当q>1，a1<0或0<q<1，a1>0时，{an}是递减数列. am·an qm qn 5 常用结论与微点提醒 1.若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则数列{c·an}(c≠0)，{|an|}，{}，，{an·bn}，也是等比数列. 2.数列{an}是等比数列，Sn是其前n项和. (1)若a1·a2·…·an＝Tn，则Tn，，…成等比数列. (2)若数列{an}的项数为2n，则＝q;若项数为2n＋1，则＝q，或＝q. 6 常用结论与微点提醒 3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 4.等比数列{an}的前n项和Sn，可以写成Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠1，0). 5.三个数成等比数列，通常设为，x，xq;四个符号相同的数成等比数列，通常设为，xq，xq3. 7 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)等比数列的公比q是一个常数，它可以是任意实数.(　　) (2)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.(　　) (1)在等比数列中，q≠0. (2)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列. 诊断自测 概念思考辨析+教材经典改编 × × 8 (3)数列{an}的通项公式是an＝an，则其前n项和为Sn＝.(　　) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.(　　) (3)当a＝1时，Sn＝na. (4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. × × 9 2.(北师大选修二P29例5(2)改编)等比数列1，，…前10项的和为________.  S10＝. 10 3.(人教A选修二P37T3改编)在等比数列{an}中，已知a2＝6，6a1＋a3＝30，则an＝____________.  设数列{an}的公比为q， 由题意得 解得 故an＝3·2n－1或an＝2·3n－1. 3·2n-1或2·3n-1 11 4.(人教B选修三P37T5拓展)已知等比数列{an}满足a4＋a6＝10，a2·a8＝2，则＝____________.  5 ＝5. 12 例1 (1)(多选)(2025·新高考Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和，q为{an}的公比，q>0.若S3＝7，a3＝1，则(　　) A.q＝ B.a5＝ C.S5＝8 D.an＋Sn＝8 AD 考点一　等比数列基本量的求解 由已知，得S3＝a1＋a2＋a3＝＋a3＝＋1＝7， 即6q2－q－1＝(2q－1)·(3q＋1)＝0，因为q>0，所以q＝，A正确; a5＝a3q2＝1×，B错误; S5＝S3＋q＋q2＝，C错误; an＝a3qn－3＝23－n， Sn＝＝8－23－n， 所以an＋Sn＝8，D正确. (2)(2026·淮南、淮北模拟)权是中国传统度量衡器具，历史悠久，文化底蕴深厚，承载着中华民族在政治、经济、文化方面的大量信息.“环权”类似于砝码(如图)，用于测量物体质量.已知九枚环权的质量(单位:铢)从小到大构成项数为9的数列{an}，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且a2＝2，a4＝6，a9＝192，则{an}的前8项和为(　　) A.194 B.193 C.192 D.191 C 由题意可得a1＋a3＝2a2＝4， 则a1＋a2＋a3＝6. 设后7项所成等比数列的公比为q， 则q5＝＝32，q＝2， 所以{an}的前8项和为(a1＋a2＋a3)＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝6＋6＋12＋24＋48＋96＝192. 感悟提升 1.等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)便可迎刃而解. 2.等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1;当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝. 训练1 (1)(2026·苏锡常镇调研)已知Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＝4a3－4a2，则＝(　　) A.5 B.9 C.-9 D.-5 A 设等比数列{an}的公比为q， 由a4＝4a3－4a2，得a2q2＝4a2q－4a2， 则q2＝4q－4，解得q＝2， 所以＝5. (2)(2025·新高考Ⅰ卷)若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于____________.  2 法一　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn， 因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0， 又S4＝4，S8＝68，所以q≠1. 由S4＝4得＝4，① 由S8＝68得＝68，② ， 即＝1＋q4＝17， 所以q4＝16，又q>0，所以q＝2. 法二　设等比数列为{an}，其公比为q，前n项和为Sn， 因为等比数列{an}的各项均为正数，所以q>0， 又S4＝4，S8＝68， 所以q4＝＝16， 又q>0，所以q＝2. 例2 (2025·八省联考节选)已知数列{an}中，a1＝3，an＋1＝. (1)证明:数列为等比数列; 考点二　等比数列的判定与证明 因为an＋1＝， 所以， 所以·， 所以1－＝1－， 即1－＝－·， 所以， 又因为1－＝1－， 所以数列为首项，为公比的等比数列. (2)求{an}的通项公式. 由(1)知，1－·， 所以＝1－， 所以an＝. 感悟提升 等比数列的三种常用判定方法 (1)定义(作比)法:若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列. (2)等比中项法:若数列{an}中，an≠0且＝an·an＋2(n∈N*)，则{an}是等比数列. (3)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列. 训练2 (1)已知Sn是数列{an}的前n项和，若a1＝1，Sn＝an＋1，则(　　) A.数列{an}是等比数列 B.数列{an}是等差数列 C.数列{Sn}是等比数列 D.数列{Sn}是等差数列 C 因Sn＝an＋1，① 可得当n≥2时，Sn－1＝an，② 于是由①－②可得Sn－Sn－1＝an＋1－an， 即an＝an＋1－an，可得＝3， 因为a1＝1，在Sn＝an＋1中，取n＝1，可得a2＝2S1＝2， 即＝2≠3，故数列{an}不是等比数列，A，B错误; 当n∈N*时，都有an＋1＝Sn＋1－Sn，代入Sn＝an＋1中，可得Sn＝(Sn＋1－Sn)， 整理得＝3，故数列{Sn}是等比数列，即C正确，D错误. (2)在数列{an}中，Sn为其前n项和，且满足2Sn－＝2an－1.判断数列是否为等比数列，并说明理由. 因为2Sn－＝2an－1， 所以当n＝1时，a1＝1， 当n≥2时，2Sn－＝2(Sn－Sn－1)－1， 整理可得Sn＝， 因为＝－·， 又， 所以数列为首项，以－为公比的等比数列. 角度1　项的性质 例3 (2026·济南模拟)已知{an}是各项均为正数的等比数列，且a1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a9＝(　　) A.8 B.9 C.16 D.18 B a1，a9是关于x的方程x2－mx＋4＝0的两个实数根，则a1a9＝4， 由等比数列的性质可得a1a9＝a8a2＝…＝a5a5＝4，所以a5＝2， 又log2a1＋log2a2＋…＋log2a9＝log2(a1·a2·a3·…·a9) ＝log2[(a1·a9)·(a2·a8)·(a3·a7)·(a4·a6)·a5]＝log2(44×2)＝log229＝9. 考点三　等比数列的性质及应用 角度2　和的性质 例4 (1)设Sn是等比数列{an}的前n项和，若S2＝2，a3＋a4＝6，则等于(　　) A.2 B. C.3 D. D 由题意得S2＝2，S4－S2＝6，S4＝S2＋6＝8，且等比数列{an}的公比q≠－1， 则S2，S4－S2，S6－S4成等比数列， 故(S4－S2)2＝S2(S6－S4)， 即62＝2(S6－8)，解得S6＝26， 故. (2)已知等比数列{an}有2n＋1项，a1＝1，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则n等于____________.  3 因为等比数列{an}有2n＋1项，则奇数项有n＋1项，偶数项有n项，设公比为q， 得到奇数项的和为1＋q2＋q4＋…＋q2n＝1＋q(q＋q3＋q5＋…＋q2n－1)＝85， 偶数项的和为q＋q3＋q5＋…＋q2n－1＝42， 整体代入得q＝2， 所以前2n＋1项的和为＝85＋42＝127， 解得n＝3. 角度3　等比数列的最值 例5 (多选)设等比数列{an}的公比为q，其前n项和为Sn，前n项积为Tn，并满足条件a1>1，a2 025a2 026>1，<0，下列结论正确的是(　　) A.S2 025<S2 026 B.a2 025a2 027－1<0 C.T2 026是数列{Tn}中的最大值 D.数列{Tn}无最大值 AB 当q<0时，a2 025a2 026＝q<0，不成立; 当q≥1时，∵a1>1，∴a2 025>1，a2 026>1， 则<0不成立; 故0<q<1，且a2 025>1，0<a2 026<1， 故S2 026>S2 025，A正确; a2 025a2 027－1＝－1<0，故B正确; T2 025是数列{Tn}中的最大值，C，D错误. 感悟提升 1.等比数列的性质可以分为三类:一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形.根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口. 2.涉及等比数列的单调性与最值的问题，一般要考虑公比与首项的符号对其的影响. 训练3 (1)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若S6＝3S3，S9＝14，则S6＝(　　) A.4 B.6 C.7 D.8 B 因为{an}是等比数列，所以S3，S6－S3，S9－S6成等比数列， 因S6＝3S3，S9＝14，则＝2， 故＝2，解得S6＝6. (2)(2026·重庆诊断)在等比数列{an}中，若a3a5＝36，a4＋a6＝60，则a1＝______.  在等比数列{an}中，(q2＝＝－11无解，舍去)， 所以q2＝＝9，即q＝±3， 所以a1＝＝±. ± (3)已知数列{an}是等比数列，若a2＝1，a5＝，则a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1(n∈N*)的最小值为____________.  由已知得数列{an}的公比满足q3＝，解得q＝， ∴a1＝2，a2＝1，a3＝， 故数列{anan＋1}是首项为2，公比为的等比数列， ∴a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝＝∈， 故最小值为2. 2 一、单选题 1.(2026·杭州模拟)若等比数列{an}满足a1＋a2＝2，a1－a3＝3，则数列{an}的公比为(　　) A.-或 B.或- C.- D. C 设公比为q， 则a1＋a2＝a1(1＋q)＝2， a1－a3＝a1－a1q2＝a1(1－q2)＝a1(1＋q)(1－q)＝2(1－q)＝3， 所以q＝－，故选C. 2.(2026·太原调研)古代“微尘数”的计法:“凡七微尘，成一窗尘;合七窗尘，成一兔尘;合七兔尘，成一羊尘;合七羊尘，成一牛尘;合七牛尘，成于一虮;合于七虮，成于一虱;合于七虱，成一芥子;合七芥子，成一大麦;合七大麦，成一指节;累七指节，成于半尺……”这里，微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，那么1指节是(　　) A.77兔尘 B.77羊尘 C.兔尘 D.羊尘 A ∵微尘、窗尘、兔尘、羊尘、牛尘、虮、虱、芥子、大麦、指节、半尺的长度构成了公比为7的等比数列，∴1指节＝77兔尘.故选A. 3.(2026·邵阳模拟)记等比数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝1，S6＝S3，则a1＝(　　) A.3 B.2 C.- D.- D 设等比数列{an}的公比为q， 若q＝1，则S6＝2S3，故q≠1; 由S6＝S3可得×， 化简得q3＝－，解得q＝－， 则a1＝＝－. 4.(2026·江西十校协作体联考)记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a4＋a5＋a6＝ －3，a7＋a8＋a9＝9，则S15＝(　　) A.－81 B.81 C.50 D.61 D 由等比数列的性质得a1＋a2＋a3，a4＋a5＋a6，a7＋a8＋a9，a10＋a11＋a12，a13＋a14＋a15是公比为－3的等比数列， 所以a1＋a2＋a3＝1，a10＋a11＋a12＝－27，a13＋a14＋a15＝81， 又a4＋a5＋a6＝－3，a7＋a8＋a9＝9，所以S15＝1－3＋9－27＋81＝61. 故选D. 5.(2026·广州质检)已知首项为负数的等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S6＝63，则a4＝(　　) A.8 B.16 C.24 D.48 C 设数列{an}的公比为q，则S2＝a1＋a2＝a1(1＋q)＝3， 又a1<0，则1＋q<0，即q<－1， 又S6＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6 ＝(a1＋a2)(1＋q2＋q4)＝63， 即1＋q2＋q4＝21，解得q2＝4，又q<－1， 则q＝－2，所以a1＝－3，a4＝a1·q3＝－3·(－2)3＝24. 6.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，若，则＝(　　) A.8 B.9 C.16 D.17 A 设S4＝x(x≠0)，则S8＝4x. 因为{an}为等比数列，所以S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12仍成等比数列. 易知＝3， 所以 则＝8. 7.(2026·南京模拟)已知数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3.若ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝214－24，则正整数k的值是(　　) A.4 B.5 C.6 D.7 B 因为数列{an}为等比数列，公比为2，且a1＋a2＝3， 所以a1＋2a1＝3，解得a1＝1，故an＝2n－1， 因为ak＋ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋9＝ak(1＋2＋22＋…＋29) ＝2k－1·＝2k＋9－2k－1＝214－24， 解得k＝5，故选B. 二、多选题 8.(2026·宝鸡模拟)已知数列{an}是公比为q的等比数列，其前n项和为Sn，a1＋a2＋a3＝1，a2＋a3＋a4＝2，则(　　 ) A.q＝2 B.a1＝ C.Sn＝ D.a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12＝1 023 ABD 根据题意，a1＋a2＋a3＝1，(a1＋a2＋a3)q＝2，两式相除得q＝2，A正确; 又a1＋a1q＋a1q2＝1，即a1＋2a1＋4a1＝1，可得a1＝，B正确; Sn＝，C错误; 根据选项A，可知a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，…为首项为1，公比为2的等比数列， 所以a1＋a2＋a3＋a2＋a3＋a4＋a3＋a4＋a5＋…＋a10＋a11＋a12 ＝(a1＋a2＋a3)＋(a2＋a3＋a4)＋(a3＋a4＋a5)＋…＋(a10＋a11＋a12)＝1＋2＋22＋…＋29＝＝1 023. 9.已知{an}是各项均为正数的等比数列，其前n项和为Sn，且{Sn}是等差数列，则下列结论正确的是(　 　) A.{an＋Sn}是等差数列 B.{an·Sn}是等比数列 C.{}是等差数列 D.是等比数列 ACD 由{Sn}是等差数列，可得2(a1＋a2)＝a1＋a1＋a2＋a3，∴a2＝a3， ∵{an}是各项均为正数的等比数列， ∴a2＝a2q，可得q＝1. ∴an＝a1>0，∴an＋Sn＝(n＋1)a1， ∴数列{an＋Sn}是等差数列，因此A正确; ∵，∴{}是常数列，为等差数列，因此C正确; ∵＝a1>0，∴是等比数列，因此D正确; ∵anSn＝n，∴{an·Sn}不是等比数列，因此B不正确. 三、填空题 10.(2026·石家庄质检)记Sn为数列{an}的前n项和，若Sn＝2an－1，则a7＝____.  64 当n＝1时，S1＝a1＝2a1－1， 即a1＝1; 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1， 即an＝2an－1， 所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列， 则an＝2n－1，则a7＝26＝64. 11.(2026·沈阳模拟)已知等比数列{an}的前n项的积为Tn，即Tn＝a1a2a3…an－1an，又已知a1＝4，q＝，则Tn的最大值为____________.  8 由a1＝4，q＝，得an＝4·， 则Tn＝a1a2a3…an－1an＝··…· ＝， 所以当n＝2或3时，Tn取得最大值8. 12.(2026·开封模拟)已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，若a2＋a4＋a6＝4π，b2b4b6＝3，则tan＝____________.  － 因为{an}是等差数列，所以a2＋a4＋a6＝3a4＝4π， 故a4＝，则a1＋a7＝2a4＝. 因为{bn}是等比数列，所以b2b4b6＝＝3， 故b4＝，则b2b6＝＝3， 所以tan＝tan＝－. 四、解答题 13.(2024·全国甲卷)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an＋1－3. (1)求{an}的通项公式; 因为2Sn＝3an＋1－3，所以2Sn＋1＝3an＋2－3， 两式相减可得2an＋1＝3an＋2－3an＋1， 即an＋2＝an＋1，所以等比数列{an}的公比为. 因为2S1＝3a2－3＝5a1－3， 所以a1＝1，故an＝. (2)求数列{Sn}的前n项和. 因为2Sn＝3an＋1－3， 所以Sn＝(an＋1－1)＝， 设数列{Sn}的前n项和为Tn， 则Tn＝×n ＝×n－. 14.(2026·北京海淀区段考)已知数列{an}的各项均为正数，记Sn为{an}的前n项和，从下面①②③三个条件中选取两个作为已知条件，证明另外一个成立.①数列{an}是等比数列;②数列{Sn＋a1}是等比数列;③a2＝2a1. 注:若选择不同的组合分别解答，按第一个解答计分. 选①②作条件证明③. 因为数列{an}，{Sn＋a1}是等比数列， 所以(S2＋a1)2＝(S1＋a1)(S3＋a1)， 即(2a1＋a2)2＝2a1(2a1＋a2＋a3)， 故4＋4a1a2＋＝4＋2a1a2＋2， 所以＝2a1a2. 又因为a2≠0，所以a2＝2a1. 选①③作条件证明②. 因为a2＝2a1，{an}是等比数列， 所以数列{an}的公比q＝2， 所以Sn＝＝a1(2n－1)， 即Sn＋a1＝a12n， 因为＝2，Sn＋a1≠0， 所以{Sn＋a1}是等比数列. 选②③作条件证明①. 因为数列{Sn＋a1}是等比数列，且a2＝2a1， 所以＝2， 则数列{Sn＋a1}是以2a1为首项，2为公比的等比数列， 所以Sn＋a1＝2a1·2n－1＝a1·2n， Sn＝a1·2n－a1， 所以an＝Sn－Sn－1＝a1·2n－a1－(a1·2n－1－a1)＝a1·2n－1(n≥2)， 当n＝1时，a1＝a1，也符合上式， 所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列. $