内蒙古巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年高一下学期5月月考数学试题

**基本信息** 高一年级数学月考卷覆盖复数、解三角形、立体几何、统计等核心模块，以电影票房统计、志愿者调查等现实情境为载体，通过分层抽样、频率分布直方图等问题设计，培养数据意识与空间观念，适配高一学段能力要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数运算、解三角形、分层抽样、立体几何位置关系|跳水比赛评分考中位数，体现数学眼光观察现实| |多选题|3/18|正方体线面关系、频率分布直方图、三棱锥体积|电影票房数据考百分位数，培养数据观念与推理能力| |填空题|3/15|解三角形、三棱锥外接球、四边形向量|等边三角形外接球问题，考查空间想象与运算能力| |解答题|5/77|解三角形周长、直三棱柱证明与距离、统计图表分析、四棱锥二面角、圆锥展开体积|分层设计，圆锥展开综合题考查创新意识与逻辑推理|

巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年第二学期5月月考 高一年级 数学试题 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1.设复数满足，则（  ） A． B． C． D． 2.在中，,, 则（ ） A. B. C. D. 3.某学校高一年级选择“物化生”、“物化地”、“物化政”和“史政地”组合的同学人数分别为、、和．现采用分层抽样的方法选出位同学进行一项调查研究，则“史政地”组合中选出的同学人数为（  ） A． B． C． D． 4.已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（  ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．若为异面直线，，则不垂直于 5.跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定不改变的是（ ） A．中位数 B．平均数 C．极差 D．方差 6.如图，圆锥的轴截面是正三角形，为底面圆的圆心，为的中点，点在底面圆的圆周上，且是等腰直角三角形，则直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 7.某同学次考试的数学成绩分别为，则这组成绩的第分位数为（   ） A． B． C． D． 8.如下图，在三棱锥中，点，分别为棱，的中点，为线段上的点，若，且满足平面，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9.如图，正方体的棱长为1，为的中点，直线与平面交于点，则下列结论正确的是（    ） A．，三点共线 B．平面平面 C．点到平面的距离为 D．二面角的余弦值为 10.据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（   ） A. B．观众年龄的众数估计为 C．观众年龄的平均数估计为 D．观众年龄的第70百分位数估计为 11.在棱长为1的正方体中，点在线段上运动（包含端点），则（    ） A．直线平面 B．正方体外接球的表面积为 C．三棱锥的体积为定值 D．直线与平面的夹角可能为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 内角的对边分别为.已知，，，则_________. 13. 在三棱锥中，是边长为的等边三角形，平面，若四点都在表面积为的球的球面上，则三棱锥的体积为______． 14.如图，在四边形ABCD中，，，，且，，则实数的值为____________，（2分）若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为____________．（3分） 4、 解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分)已知内角的对边分别是，且. （1） 求角的大小； （2）点在边上，且,求的周长. 16.（15分）如图，在直三棱柱中，侧面为正方形，，，点是棱的中点，点为与交点. (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离. 17.（15分）为增强市民节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的名志愿者中随机抽取名志愿者，他们的年龄情况如下表所示： 分组（单位：岁） 频数 频率 ① ② 总计 (1)频率分布表中的①②位置应填什么数据？ (2)补全如图所示的频率分布直方图，再根据频率分布直方图估计这名志愿者中年龄在岁的人数； (3)现用比例分配的分层随机抽样从、、的样本中共抽取名志愿者，已知从中抽取了人，求的值． 18.（17分）如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，. (1)证明：平面平面； (2)若，与平面的夹角为，求二面角的正弦值. 19.（17分）如图1，设半圆的半径为，点三等分半圆，分别是的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥（如图2）.在图2中完成下列各题. （1） 求证：平面平面. （2） 求四面体的体积. （3）若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 高一数学试题 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $巴彦淖尔市第一中学2024-2025学年第二学期5月月考 高一年级 数学试题答案 一、选择题 题号 1 2 3 5 6 7 P 9 10 11 答案 A C B D A D 9 ABD BD BCD 二、填空题 12. 75° 13. 4w2 14.①. 1 ②. 47 (3分) 3 6 (2分) 4 三、解答题 15.【详解】1)由射影定理得ac0sB+booA=c,所以c~c0sC=V C3分； 所以cosC=V ，所以C= Γ65分 2)在AMDC中， =c08C=+41,解得6=5…8分 2 2.b.2 在AMC中，cC2=b2+9-2b-3.5=12-9=3c=5…1分 所以周长=V3+V3+3=3+2W313分 16.【详解】(1)在直三棱柱ABC-ABC1中，连接OD, 由ABAB=O,四边形ABBA是矩形，得O是AB的中点，而点D是棱的A4C1中点，3分 则OD/BC1,又ODC平面AB,D,BC￠平面ABD,5分 所以BC/1平面AB,D.6分 B (2)解法一：依题意，4B=BG=1,点D是棱的AC中点，得B,D⊥AC' 1 由A4⊥平面ABC1,BDc平面ABC1,得BDLA4, 而AA∩AC=A,AA,AC1c平面ACC1A,则BD⊥平面ACCA, 又B,DC平面AB,D,因此平面ABDL平面ACCA,且平面ABD⌒平面ACCA=AD, 在平面ACCA内过点A作AE⊥AD于E,则AE⊥平面AB,D,9分 即AE长是点A到平面AB,D的距离，…10分 在AMD本AD0,41AD4C号，a0-=V495 12分 2 因此AB=4×4D-3 ，14分 AD 3 所以点4到平面ABD的距离为V5 15分 解法二：等体积法 17.【详解】（1）①应填0,20x10-=20,②应填35=0：35；4分 100 (2)[25,30)区间的频率为0.20，故频率/组距为0.20÷5=0.04，…6分 故补全频率分布直方图，如下： 频率/组距 0.08 0.07 0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0202530354045年龄/岁 这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数为0.35×500=175；8分 (3)[30,35)、[35,40)、[40,45)的人数比例为0.07：0.06：0.02=7：6：2,10分 从[40,45)中抽取了2人，故从[30,35)、[35,40)中分别抽取了7人和6人，12分 故n=7+6+2=15.15分 18.【详解】(1)设AC∩BD=O,连接OP,因为ABCD为正方形，所以AC L BD且O为BD的中点， 又PB=PD,所以OP⊥BD,3分 又AC∩OP=O,AC,OPc平面PAC, 所以BDL平面PAC,5分 又BDC平面PBD,所以平面PBD⊥平面PAC6分 2 P B (2)在平面PAC中过点P作PH⊥AC交AC于点H, 因为BD⊥平面PAC,又PHC平面PAC,所以BD⊥PH, 又AC∩BD=O,AC,BDC平面ABCD,所以PH⊥平面ABCD, 所以∠PAH即为PA与平面ACD所成的角，即∠PAH-子，8分 又PA=1,所以AH=PH= 2 过点H作HB⊥BC交BC于点E,连接PE, 又PH⊥平面ABCD,BCC平面ABCD,所以PH⊥BC, 又PHOHE=H,PH,HEc平面PHE,所以BC⊥平面PHE, 又PEc平面PHE,所以BC⊥PE, 所以∠PEH即为二面角P-BC-A的平面角， 11分 又AC=2°+2-2W,所以cH=225_32 22 因为ABCD为正方形，所以AB⊥BC,则ABE, 32 所以丝照，用 H,解得EH= 2 -13分 AC AB 2W22 又PH⊥平面ABCD,EHC平面ABCD,所以PH⊥EH, 所以PE=VPH2+EH + 2 √22 所以sin∠PEH= 2 V1111 -15分 所以二面角P-BC-A的正弦值为 --17分 11 3 P D B 19.【小问1详解】 证明：因为M,N分别是OB,OC的中点，所以MN∥BC, 又N文平面ABC,BCC平面ABC, 所以N∥平面ABC,同理得PN∥平面ABC, ……3分 又MNc平面PMN,PNc平面PMN,NOPN=N, 所以平面PN/平面ABC.5分 【小问2详解】 如图所示： 0 C B 设圆维的底面圆半径为，则2=×2x×2,解得=l.…6分 所以在图中，B,C为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以Y4BC为等边三角形，所以BC=2r=2,所以BC=V5…7分 sin60° 8方55点3，圆绝的病h=V2-下-5,8分 24 =x35×5=3. 所以Vo-ABc=3X 34 4 11 1 3 所以VM-ACN= 2 Vo-ABC-16 .9分 4 即四面体ACN的体积为6 10分 【小问3详解】 4 如图所示： p E B 在线段OB上存在点五，且 =3,使得DB/平面ABC,.....12分 EB 理由如下： 取AC的中点F,且D是AN的中点，连接DF, 所以DFIICN,2DF=CN .13分 取CB的四等分点G,使CG=3BG,连接GE,FG 因为OE=3EB,所以EG/OC,4EG=OC,.......14分 所以2EG=CN=2DF,EGDF,所以四边形DFGE是平行四边形， .......15分 所以DE/FG,又DE丈平面ABC,FGC平面ABC,所以DE∥平面ABCI7分 5