第09讲 一元二次方程的解法——公式法（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材苏科版

第09讲 一元二次方程的解法——公式法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 公式法 同学们，在前面的学习中，我们掌握了解一元二次方程的多种方法.遇到简单的方程，我们可以用“直接开平方法”；遇到能提取公因式或套用乘法公式的，我们用“因式分解法”；遇到稍微复杂的，我们就用“配方法”一步步去推导. 但是，大家有没有想过这样一个问题：如果每次遇到一个新的方程，我们都要像“手工定制”一样，重新去配方、去计算，是不是太繁琐了？有没有一种“万能钥匙”，不管方程的系数怎么变，我们都能直接套用，一步到位求出答案呢？ 其实，数学家们早就帮我们找到了这把“万能钥匙”.既然配方法对所有的一元二次方程都适用，如果我们把一般形式的方程a+b+c=0直接进行配方，会得出什么结果呢？ 经过一系列严密的代数推导，我们会得到一个包含字母a、b、c的终极表达式.只要我们把具体方程的系数代入这个表达式，就能直接算出方程的解.这个由一般形式推导出来的“万能公式”，就是我们这节课要学习的——公式法. 【知识点7 公式法解一元二次方程】 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型1 求根公式的理解】 【例1】x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（    ） A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝0 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【题型2 公式法解一元二次方程】 【例2】用公式法解方程：． 【变式2-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）用公式法解方程： 【变式2-2】（24-25九年级下·北京·开学考试）用公式法解方程：． 【变式2-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 模块三 根的判别式 【知识点2 一元二次方程根的判别式】 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【题型3 不解方程判断一元二次方程根的情况】 【例3】不解方程，判断方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 【变式3-1】不解方程，判断方程的根的情况是________． 【变式3-2】已知：关于x的方程. （1）不解方程：判断方程根的情况； （2）若方程有一个根为1，求m的值. 【变式3-3】不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【题型4 根据判别式求字母的取值范围】 【例4】已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值； （3）如果方程没有实数根，求m的取值范围； 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【变式4-2】已知关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程有两个不相等的实数根 【变式4-3】关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【题型5 一元二次方程根的判别式的实际应用】 【例5】已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖南常德·阶段检测）已知a，b，c分别是的三边，其中，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的形状是______． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【变式5-3】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值． 【题型6 由求根公式求字母的值】 【例6】关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围． 【变式6-1】（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【变式6-2】（24-25八年级下·北京房山·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【变式6-3】（2025·福建泉州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 模块四 课后作业 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 4．（2026·河南南阳·一模）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的（    ） A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 6．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________． 8．（25-26九年级上·四川泸州·期中）我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的是____________（填序号）． 10．（24-25九年级上·河北衡水·阶段检测）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）判断241_______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”为_______； （2）已知一个“喜鹊数”（，，，其中，，为正整数），利用“喜鹊数”中的，，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，则的值为__________． 11．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）用公式法解方程：． 12．（25-26八年级下·广西崇左·期中）解方程 (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3) 13．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 14．（25-26八年级下·安徽·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 15．（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第09讲 一元二次方程的解法——公式法（暑假预习讲义） 【新教材苏科版】 【知识框架+2个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 公式法 同学们，在前面的学习中，我们掌握了解一元二次方程的多种方法.遇到简单的方程，我们可以用“直接开平方法”；遇到能提取公因式或套用乘法公式的，我们用“因式分解法”；遇到稍微复杂的，我们就用“配方法”一步步去推导. 但是，大家有没有想过这样一个问题：如果每次遇到一个新的方程，我们都要像“手工定制”一样，重新去配方、去计算，是不是太繁琐了？有没有一种“万能钥匙”，不管方程的系数怎么变，我们都能直接套用，一步到位求出答案呢？ 其实，数学家们早就帮我们找到了这把“万能钥匙”.既然配方法对所有的一元二次方程都适用，如果我们把一般形式的方程a+b+c=0直接进行配方，会得出什么结果呢？ 经过一系列严密的代数推导，我们会得到一个包含字母a、b、c的终极表达式.只要我们把具体方程的系数代入这个表达式，就能直接算出方程的解.这个由一般形式推导出来的“万能公式”，就是我们这节课要学习的——公式法. 【知识点7 公式法解一元二次方程】 1. 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式．将各系数直接代入求根公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根 2. 利用公式法解一元二次方程的一般步骤 （1）把方程化为一般形式，确定a，b，c的值； （2）求出的值； （3）若，则将a，b，c的值代人求根公式求出方程的根，若，则方程无实数根． 【题型1 求根公式的理解】 【例1】x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根，则满足要求的方程是（    ） A．2x2﹣2x﹣1＝0 B．2x2﹣2x＋1＝0 C．2x2＋2x＋1＝0 D．2x2＋2x﹣1＝0 【答案】D 【分析】根据一元二次方程求根公式，对照x＝得出一元二次方程的字母系数即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程的根为， ∵x＝是用公式法解一元二次方程得到的一个根， ∴， ∴满足要求的方程为：， 故选：D． 【点睛】本题考查了公式法解一元二次方程，熟记求根公式是解本题的关键． 【变式1-1】（24-25八年级下·安徽淮北·阶段检测）在用求根公式求某一元二次方程的根时，得到，则该一元二次方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的求根公式，解题的关键是根据求根公式，对比已知式子确定a，b，的值． 通过求根公式，分析出a，b，． 【详解】一元二次方程求根公式为，已知， 由，可得， 由，可得， 由，可得， 将代入一元二次方程， 得到，对应选项B． 故选：B． 【变式1-2】以为根的一元二次方程可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了公式法解一元二次方程，牢记一元二次方程的求根公式是解题的关键． 根据公式法解一元二次方程即可求解． 【详解】解：A． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； B． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； C． ， ∴，故该选项正确，符合题意； D． ， ∴，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式1-3】利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 【题型2 公式法解一元二次方程】 【例2】用公式法解方程：． 【答案】，． 【分析】本题考查解一元二次方程，熟练掌握用公式法求解一元二次方程是解题的关键． 用公式法求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ， ，． 【变式2-1】（24-25九年级上·内蒙古呼伦贝尔·期中）用公式法解方程： 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解法，利用公式法解一元二次方程解题即可． 【详解】解：，，， ， 方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． 【变式2-2】（24-25九年级下·北京·开学考试）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了利用公式法解一元二次方程，熟练掌握公式法是解题关键．先将方程化成一般式，再利用公式法解一元二次方程即可得． 【详解】解：化成一般式为， 这个方程中的， 所以这个方程根的判别式为， 所以， 所以，． 【变式2-3】（25-26九年级上·全国·课后作业）用公式法解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)，； (2)方程没有实数解； (3)，． 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到 ，然后利用求根公式得到方程的解； （2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到 ，然后利用根的判别式的意义判断方程没有实数解； （3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值得到 ，然后利用求根公式得到方程的解． 【详解】（1）解：， ，，， ， ， ，； （2）， 方程化为一般式为， ，，， ， 方程没有实数解； （3）， 方程化为一般式为， ，，， ， ， ，． 【点睛】本题考查了解一元二次方程公式法：熟练掌握用公式法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键． 模块三 根的判别式 【知识点2 一元二次方程根的判别式】 1. 对于一元二次方程，通过配方可得，则方程根的情况由的符号决定． 一般地，式子叫做一元二次方程根的判别式，通常用希腊字母“”表示它，即． 2. 根的判别式的符号与一元二次方程根的情况 （1）一元二次方程有两个不相等的实数根； （2）一元二次方程有两个相等的实数根； （3）一元二次方程无实数根． 3. 应用 （1）不解方程判断一元二次方程根的情况； （2）根据方程根的情况求字母系数的取值范围． 【题型3 不解方程判断一元二次方程根的情况】 【例3】不解方程，判断方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等实数根 C．有两个不相等实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】把a=3，b=-4，c=-1代入判别式Δ=b2-4ac进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况． 【详解】解：∵， ∴a=3，b=-4，c=-1， ∴Δ=b2-4ac=（-4）2-4×3×（-1）=28＞0， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）根的判别式Δ=b2-4ac．解题的关键是熟练掌握根的判别式与根的关系. 【变式3-1】不解方程，判断方程的根的情况是________． 【答案】没有实数根 【分析】本题考查了根的判别式判断根的情况，根据一元二次方程的根与有如下关系：时，方程有两个不相等的实数根；时，方程有两个相等的实数根；时，方程无实数根，进行求解即可． 【详解】解：方程整理得：， ，，， ， 该方程没有实数根． 故答案为：没有实数根． 【变式3-2】已知：关于x的方程. （1）不解方程：判断方程根的情况； （2）若方程有一个根为1，求m的值. 【答案】（1）有两个不等的实数根；（2）0，-2 【分析】（1）找出方程a、b及c的值，计算出根的判别式的值，根据其值的正负即可作出判断； （2）将x=1代入方程得到关于m的方程，.解之可得. 【详解】（1）    由题意得，a=1，b=2m，c=， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根. （2）∵方程有一个根是1， ∴1+2m+， 解得m=0或m=-2. 【点睛】本题考查了根的判别式以及解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当>0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）将x=1代入原方程求出m的值. 【变式3-3】不解方程，判断下列方程根的情况． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)原方程有两个相等的实数根 (2)原方程有两个不相等的实数根 (3)原方程无实数根 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；因此根据一元二次方程根的判别式可分别求解（1）（2）（3） 【详解】（1）解：原方程可化为， ， ∴原方程有两个相等的实数根． （2）解：原方程可化为． ， 原方程有两个不相等的实数根． （3）解：原方程可化为． ， 原方程无实数根． 【题型4 根据判别式求字母的取值范围】 【例4】已知关于x的一元二次方程（m为常数）． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围； （2）如果方程有两个相等的实数根，求m的取值； （3）如果方程没有实数根，求m的取值范围； 【答案】（1）且；（2）；（3）． 【分析】（1）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得； （2）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得； （3）先根据一元二次方程的定义可得，再根据一元二次方程的根的判别式即可得． 【详解】方程是关于x的一元二次方程， ， 解得， （1）如果方程有两个不相等的实数根， 则其根的判别式， 解得， 故此时m的取值范围为且； （2）如果方程有两个相等的实数根， 则其根的判别式， 解得； （3）如果方程没有实数根， 则其根的判别式， 解得． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，熟练掌握根的判别式是解题关键． 【变式4-1】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的方程，当方程总有实数根时．则m的范围为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及一元二次方程根的判别式． 当时，方程为一元一次方程，有一个实数解；当时，方程为一元二次方程，则，解得且，然后综合两种情况得到m的取值范围． 【详解】解：当时，即，方程变形为，解得； 当时， 解得且， 综上所述，m的取值范围为． 故答案为：． 【变式4-2】已知关于的方程，下列说法正确的是（    ） A．当时，方程无解 B．当时，方程有两个相等的实数根 C．当时，方程有两个相等的实数根 D．当时，方程有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】利用k的值，分别代入求出方程的根的情况即可． 【详解】关于的方程， A当k= 0时，x- 1=0，则x=1，故此选项错误，不符合题意； B当k = 1时，- 1 = 0，x=±1，方程有两个不相等的实数解，故此选项错误，不符合题意； C当k=-1时，，则，，此时方程有两个相等的实数根，故此选项正确，符合题意； D当时，根据A选项，若k= 0，此时方程有一个实数根，故此选项错误，不符合题意， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的解，代入k的值判断方程根的情况是解题关键． 【变式4-3】关于的方程，无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为______． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程的根的判别式可得，从而可得m应该小于的最小值，再根据偶次方的非负性求解即可得． 【详解】原方程可化为， 当该方程总有两个不相等的实数根时， 则其根的判别式， 解得， 无论实数取何值，该方程总有两个不相等的实数根，即无论实数取何值，不等式恒成立， 小于的最小值， 由偶次方的非负性得：， ， 的最小值为1， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式等知识点，正确将问题转化为无论实数取何值，不等式恒成立是解题关键． 【题型5 一元二次方程根的判别式的实际应用】 【例5】已知关于的一元二次方程，其中、、分别为三边的长． (1)如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由； (2)如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由； (3)如果，，，求这个一元二次方程的根． 【答案】(1)是等腰三角形；理由见解析 (2)直角三角形；理由见解析 (3)， 【分析】（1）把代入原方程，可得到的数量关系，即可判断的形状； （2）根据方程有两个相等的实数根得到，从而得到，由勾股定理的逆定理即可得到答案； （3）把，，代入原方程，利用公式法解方程即可． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是方程的根， ， ， ，即， 是等腰三角形； （2）解：是直角三角形，理由如下： 方程有两个相等的实数根， ， ， ， 是直角三角形； （3）解：将，，代入方程得：， 解得：， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解、勾股定理的逆定理、一元二次方程的根的判别式、等腰三角形的判定、解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 【变式5-1】（24-25九年级上·湖南常德·阶段检测）已知a，b，c分别是的三边，其中，，且关于x的方程有两个相等的实数根，则的形状是______． 【答案】等腰三角形 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定方法，解答关键是根据根的判别式构造方程求解． 根据题意可知，方程根的判别式值为0，则b值可求，进而问题可解． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ， ， ， ， ∴为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形． 【变式5-2】（25-26九年级上·江苏无锡·期末）已知分别是中所对的边长，且关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，试判断的形状并求其面积． 【答案】是直角三角形，面积为 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，勾股定理的逆定理．一元二次方程根的情况与判别式的关系：（1），方程有两个不相等的实数根；（2），方程有两个相等的实数根；（3），方程没有实数根． 根据已知条件得出，将等式变形，利用勾股定理的逆定理得到是直角三角形，然后由勾股定理求解，再由三角形面积公式求解． 【详解】解：因为关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， 所以其判别式． 化简可得：， 由可知，是直角三角形，且c为斜边． 又因为， ∴ 所以其面积． 【变式5-3】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知关于x的方程． (1)求证：无论k为何值，方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，b、c为方程的两个根，求k值． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式以及等腰三角形的性质、三角形三边关系．熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，以及等腰三角形的性质和三角形三边关系是解题的关键． （1）要证明无论为何值方程总有实数根，需要考虑方程的判别式．对于一元二次方程，当判别式非负时，方程有实数根，所以通过计算判别式并判断其取值范围来证明． （2）已知等腰三角形的边长，、为方程的两个根，需要根据等腰三角形的性质，分情况讨论哪两边相等，再结合方程根与系数的关系求解的值． 【详解】（1）证明：∵， ∴其判别式 ∵任何数的平方都大于等于，即， ∴无论为何值，方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 分三种情况讨论： 情况一：若为腰，，． ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边，这种情况舍去； 情况二：若为底，，则． 此时三边为，，，满足三角形三边关系； 综上，． 【题型6 由求根公式求字母的值】 【例6】关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根不小于7，求的取值范围． 【答案】(1)见解析． (2)． 【分析】（1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用求根公式得到，．根据题意得到，即可求得k的取值范围． 【详解】（1）解： ， ∴方程总有实数根； （2）解：∵， ∴， 解方程得：，， 由于方程有一个根不小于7， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答（2）时得到方程的两个根是解题的关键． 【变式6-1】（2026·四川南充·三模）为实数，关于的方程为． (1)判断方程根的情况． (2)若方程的两根为，，当时，求的值． 【答案】(1)原方程总有两个实数根 (2)或 【分析】（1）求出一元二次方程的判别式，根据判别式的值即可作出判断； （2）求出一元二次方程的两个根，根据条件列式即可求解． 【详解】（1）解：原方程为一元二次方程，可化为． ． 无论为何实数，都是非负数．即． ∴原方程总有两个实数根． （2）解：由（1），原方程的根． 或． 若，则， ． 若，则， ． 综上，的值为或． 【变式6-2】（24-25八年级下·北京房山·期末）关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求根公式，分类讨论思想是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据求根公式得到，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程，， ∴， 当时，， 解得，， ∵方程有一个根为非负数， ∴， 解得，，与不符合； 当时，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，． 【变式6-3】（2025·福建泉州·一模）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 【答案】(1) 证明：∵ ． ∴该方程有两个实数根． (2) 解：存在整数，使得该方程的两个实数根均为正整数，理由如下： 由求根公式，得：， 即，， ∵为整数，且该方程的两个实数根均为正整数， ∴必为正整数， ∴或， 即当或时，该方程的两个实数根均为正整数． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． （1）根据根的判别式解答即可；． （2）首先求出一元二次方程的两根，一根为1，一根为，只需要求出是正整数时m的值即可． 【详解】（1）略 （2）略 模块四 课后作业 1．（24-25八年级下·全国·课后作业）用公式法解一个一元二次方程的根为，则此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式与求根公式，通过对比题干给出的根的表达式，反推方程的二次项系数、一次项系数和常数项即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程的一般形式为，其求根公式为， 又∵题干中方程的根为， ∴，，， 解得，，， ∴此一元二次方程的一般形式为， ∴此方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别为，，， 故选：． 2．（25-26八年级下·辽宁大连·期中）方程的根的情况为（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【分析】先将方程整理为一元二次方程的一般形式，再计算根的判别式，根据判别式与0的大小关系即可判断根的情况． 【详解】将原方程整理为一般形式，得， ∴根的判别式， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选A． 3．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若关于x的方程有两个不相等的实数根，则a的值可能是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，结合“有两个不相等的实数根”可得根的判别式大于0，据此求出a的取值范围，再判断选项即可. 【详解】解：∵方程 有两个不相等的实数根，因此方程是一元二次方程， ∴， 对于一元二次方程 ，，代入得： ， 由得 ，解得， 由得， 因此a的取值范围是且， 结合选项，只有B选项的满足该范围. 4．（2026·河南南阳·一模）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（    ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据新运算定义整理得到关于x的一元二次方程，利用一元二次方程根的判别式求出m的取值范围，再选出符合条件的选项即可． 【详解】解：由新运算定义可得， 因此方程可化为， 整理得， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式， 化简得， 解得， 观察选项，仅有D选项的满足． 5．（25-26九年级下·黑龙江大庆·期中）对于一元二次方程，下列说法： ①若，则； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若是一元二次方程的根，则； 其中正确的（    ） A．②④ B．①②④ C．①③④ D．①②③ 【答案】B 【分析】由，可判断必有一个根为，从而判断①；由方程有两个不相等的实根，则，从而判断②；由，需考虑是否为，从而判断③；用求根公式表示出即可判断④． 【详解】解：①若，则必有一个根为，则，故①正确； ②若方程有两个不相等的实根，则， 则的判别式为， ∴方程必有两个不相等的实根；故②正确； ③若c是方程的一个根，则， 当时，，故③错误； ④若是一元二次方程的根，则或， ∴或， ∴；故④正确． 综上所述，正确的有①②④． 6．关于的一元二次方程（，且 为互质的整数）的两根分别是，，那么_____． 【答案】1 【分析】根据一元二次方程的公式法即可得出答案． 【详解】解：由，， 得：． 7．（25-26九年级上·河南南阳·期中）以为根的一元二次方程是________． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求根公式，熟练掌握求根公式式解题的关键． 通过对比给定的求根公式与标准求根公式，确定一元二次方程的系数，从而得到方程． 【详解】解：给定的求根公式为，标准求根公式为， 对比可得：，因此， ，因此， 根号内部表达式为，得， 因此一元二次方程为，即 故答案为：． 8．（25-26九年级上·四川泸州·期中）我们定义一种新运算：对于任意实数p、q，规定，若关于x的方程（m为常数）有两个相等的实数根，则m的值为______． 【答案】5或1 【分析】本题考查新定义运算与一元二次方程根的判别式，解题的关键是根据新运算将方程转化为标准一元二次方程，再利用判别式求解． 先根据新运算定义将方程转化为一元二次方程，再利用一元二次方程有两个相等实数根时判别式为0的性质求解的值． 【详解】根据新运算， 将方程转化为， 整理得， 此方程的判别式， 因方程有两个相等实数根，故， 即， 提取公因式得， 解得或， 验证可知或均满足条件． 故答案为：1或5． 9．（24-25八年级下·浙江绍兴·期中）在桥梁结构的力学分析中，工程师们用到一元二次方程来计算结构的受力情况．对于这个方程，有下列说法： ①若，则方程必有一个根为； ②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根； ③若是方程的一个根，则一定有成立． 这些说法对于准确评估桥梁结构的稳定性至关重要，其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键． 按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质等知识对各选项分别讨论，可得答案． 【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①正确． ②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确． ③由是方程的一个根，得． 当，则；当，则不一定等于，故③不一定正确． 综上所述：其中正确的是①②． 故答案为：①②． 10．（24-25九年级上·河北衡水·阶段检测）对于任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字的平方等于百位上的数字与个位上的数字之积的4倍，那么称这个数为“喜鹊数”．例如：，因为，所以169是“喜鹊数”． （1）判断241_______“喜鹊数”（填“是”或“不是”），并写出一个“喜鹊数”为_______； （2）已知一个“喜鹊数”（，，，其中，，为正整数），利用“喜鹊数”中的，，构造两个一元二次方程①与②，若是方程①的一个根，是方程②的一个根，则的值为__________． 【答案】 不是 121（答案不唯一） 1 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是弄清喜鹊数的定义． （1）根据喜鹊数的定义解答即可；根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可； （2）根据一元二次方程的定义和根的判别式解答即可． 【详解】解：（1），，， 不是“喜鹊数”； ，， 是“喜鹊数”； （2）是方程①的一个根，是方程②的一个根， ，，将两边同除以得，，将，看成是方程的两个根， 是“喜鹊数”， ， 方程有两个相等的实数根， ， . 11．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）用公式法解方程：． 【答案】， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握公式法解一元二次方程． 利用公式法解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， ，，， ， ， ，． 12．（25-26八年级下·广西崇左·期中）解方程 (1)（用配方法） (2)（用公式法） (3) 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）利用配方法解方程即可； （2）利用公式法解方程即可； （3）利用因式分解的方法解方程即可. 【详解】（1）解：， 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴，， 解得：，. 13．已知：关于的方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)如果为正整数，且方程的两个根均为整数，求的值． 【答案】(1) 见解析 (2)1或3 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，证明，从而说明方程总有两个实数根； （2）先求出方程的两个根，再根据为正整数，且两个根均为整数的条件，确定的值． 【详解】（1）证明：， ∴方程是关于的一元二次方程， ， ∴方程总有两个实数根． （2）解：， ，． 为正整数，且方程的两个根均为整数， 或3． 14．（25-26八年级下·安徽·期中）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程有两个实数根； (2)若的两边、的长分别是此方程的两个实数根，第三边长为，当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，所以方程总有两个实数根； （2）因为等腰三角形有两边的长是方程的两个根，分为腰和为底边两种情况分别求出的值，当为底边时，可得：等腰三角形的三边分别为，，，不满足三边关系，所以的值只能为． 【详解】（1）证明：一元二次方程中，，，， ， 方程总有两个实数根； （2）解：解法一： ①若腰长为时， 则， 解得：， 方程为， 解得：，， 三角形三边长为，，， ， 满足三边关系，符合条件； ②若底边长为时， 可得：， 解得：， 此时三边为，，，不满足三边关系，舍去； ； 解法二：原方程因式分解得， ，， 是等腰三角形，，分两种情况： 若，即，三边为，，，不满足三边关系，舍去； 若，即，三边为，，，满足三边关系，符合条件； ． 15．（25-26八年级下·广西崇左·期中）定义：若一元二次方程满足，则称该方程为“和谐方程”． (1)下列方程属于“和谐方程”的是 ；（填序号） ①；②；③ (2)求证：和谐方程总有实数根； (3)已知一元二次方程为和谐方程，若该方程有两个相等的实数根，求a，c的数量关系． 【答案】(1)①③ (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据“和谐方程”的定义判断即可； （2）求出，根据平方的非负性作答即可； （3）根据“该方程有两个相等的实数根”得到，进而根据“和谐方程”的定义得到，根据完全平方公式得到，即可得到a，c的数量关系． 【详解】（1）解：①，是“和谐方程”； ②，不是“和谐方程”； ③，是“和谐方程”； ∴属于“和谐方程”的是①③； （2）证明：∵该方程为和谐方程， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴和谐方程总有实数根； （3）解：∵该方程有两个相等的实数根 ∴， 即． ∵方程为和谐方程， ∴， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴a，c的数量关系为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $