第12讲 幂函数（八大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高一数学人教A版必修第一册

第12讲 幂函数（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 幂函数的概念 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里c是S的函数； (5)如果某人ts内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度km/s，即v=t-1，这里v是t的函数. 【知识点1 幂函数的概念】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【题型1 对幂函数的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式1-2】（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【变式2-2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2-3】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数为幂函数，则的值为（　　） A．2 B．1 C．2或 D．2或1 【变式3-1】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【变式3-2】（25-26高一上·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式3-3】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 模块三 幂函数的图象与性质 【知识点2 幂函数的图象与性质】 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点3 对勾函数的图象与性质】 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【题型4 求幂函数的定义域、值域】 【例4】（2026高一上·全国·专题练习）幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4-2】（25-26高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【变式4-3】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【题型5 幂函数图象的判断及应用】 【例5】（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（25-26高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】 【例6】（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【变式6-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A．或3 B． C． D．3 【变式6-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式6-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【题型7 比较幂值的大小】 【例7】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26高一上·河北保定·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【题型8 利用幂函数的性质解不等式】 【例8】（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知幂函数的图象不经过原点． (1)求幂函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【变式8-3】（25-26高一上·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 2．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知幂函数与坐标轴有公共点，则值为（   ） A． B． C．或 D． 3．（25-26高一上·山西运城·期末）“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（   ） A．1 B．或3 C． D．3 5．（25-26高一上·新疆和田·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高一上·云南昆明·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 10．（25-26高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 11．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 三、填空题 12．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则__________. 13．（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在区间上单调递增，则________. 14．（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数过点. (1)求的解析式，判断的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明. 16．（25-26高一上·河南·期末）已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集. 17．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 18．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 19．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 幂函数（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 幂函数的概念 前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数的一些性质.本节我们利用这些知识研究一类新的函数.先看几个实例. (1)如果张红以1元/kg的价格购买了某种蔬菜w kg，那么她需要支付p=w元，这里p是w的函数； (2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数； (3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数； (4)如果一个正方形场地的面积为S，那么这个正方形的边长，这里c是S的函数； (5)如果某人ts内骑车行进了1 km，那么他骑车的平均速度km/s，即v=t-1，这里v是t的函数. 【知识点1 幂函数的概念】 1．幂函数的概念 (1)幂函数的概念： 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)幂函数的特征： ①xα的系数为1； ②xα的底数是自变量； ③xα的指数为常数. 只有同时满足这三个条件，才是幂函数. 2．幂函数的解析式 幂函数的形式是(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式. 【题型1 对幂函数的概念的理解】 【例1】（25-26高一上·辽宁葫芦岛·阶段检测）下列函数不是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义，逐一分析选项，判断其是否符合幂函数的形式. 【解答过程】对于选项A，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项B，符合幂函数的形式，是幂函数； 对于选项C，不符合幂函数的形式，不是幂函数； 对于选项D，符合幂函数的形式，是幂函数. 故选：C. 【变式1-1】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）现有下列函数：①；②；③；④；⑤，其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【解题思路】由幂函数的定义即可求解. 【解答过程】由于幂函数的一般表达式为：； 逐一对比可知题述中的幂函数有①；⑤共两个. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高一上·河南信阳·期中）下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据幂函数的定义直接判断即可. 【解答过程】幂函数的定义：， 可知，，均不是幂函数，是幂函数. 故选：D. 【变式1-3】（25-26高一上·全国·课后作业）下面的函数中是幂函数的有（    ） ①；②；③；④；⑤． A．①⑤ B．①②③ C．②④ D．②③⑤ 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义判断即可. 【解答过程】由幂函数定义可知，②④是幂函数， 故选：C. 【题型2 求幂函数的函数值、解析式】 【例2】（25-26高一上·浙江·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设出幂函数解析式，由待定系数法可得. 【解答过程】因为为幂函数，， 又因为图象过，所以，即，得. 故选：C. 【变式2-1】（25-26高一上·江苏无锡·期中）已知幂函数的图象经过点，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】将点代入函数解析式可求得，进而得到，进而代值求解即可. 【解答过程】由题意得，，解得， 则，所以. 故选：C. 【变式2-2】（25-26高一上·四川成都·期中）已知幂函数的图象过点，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意设，代入点，即可得解. 【解答过程】设则，解得. 故选：D. 【变式2-3】（25-26高一上·云南楚雄·期末）已知幂函数满足，则（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解题思路】将代入幂函数的解析式中可求得的值，进而可求解. 【解答过程】因为幂函数满足， 所以，所以， 则，从而. 故选：B. 【题型3 根据函数是幂函数求参数值】 【例3】（25-26高一上·江苏无锡·期中）函数为幂函数，则的值为（　　） A．2 B．1 C．2或 D．2或1 【答案】C 【解题思路】利用幂函数的定义解题即可. 【解答过程】根据幂函数的定义，可得，解得或. 故选：C. 【变式3-1】（25-26高三上·河南·阶段检测）已知幂函数的定义域为，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．1 【答案】C 【解题思路】由函数是幂函数解得或，再检验即可. 【解答过程】由题意，解得或， 当时，的定义域为，符合题意， 当时，的定义域不为，不符合题意， 综上，. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高一上·云南昆明·期中）“”是“为幂函数”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】先根据幂函数定义确定系数条件，再分别判断“”能否推出“是幂函数”以及“是幂函数”能否推出“”，即可判断其充分性和必要性. 【解答过程】由，可得，所以函数为幂函数， 反之，由函数为幂函数，可得， 即，解得或， 故“”是“为幂函数”的充分不必要条件. 故选：B. 【变式3-3】（2026·河南驻马店·模拟预测）已知幂函数的图象与坐标轴无公共点，则（   ） A．－2 B．1 C．－2或1 D．－1或2 【答案】A 【解题思路】本题可先根据幂函数的定义求出的可能值，再结合幂函数图象与坐标轴无公共点的条件确定的值. 【解答过程】因为为幂函数，所以， 即，解得或. 当时，，其定义域为，图象与坐标轴无公共点，符合题意； 当时，，其图象与坐标轴有公共点，不合题意. 综上，. 故选：A. 模块三 幂函数的图象与性质 【知识点2 幂函数的图象与性质】 1．常见幂函数的图象与性质 幂函数 图象 定义域 R R R 值域 R R 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 单调性 在R上为增函数 ，增函数 ，减函数 在R上为增函数 在上为增函数 ，增函数 ，减函数 定点 （1,1） 温馨提示：幂函数在区间(0，＋∞)上，当a>0时，y＝xα是增函数；当α<0时，y＝xα是减函数． 2．一般幂函数的图象与性质 (1)一般幂函数的图象： ①当α=1时，y=x的图象是一条直线. ②当α=0时，y=x0=1(x≠0)的图象是一条不包括点(0,1)的直线. ③当α为其他值时，相应幂函数的图象如下表： （p、q互质） p，q都是奇数 p是偶数，q是奇数 p是奇数，q是偶数 (2)一般幂函数的性质： 通过分析幂函数的图象特征，可以得到幂函数的以下性质： ①所有的幂函数在(0,+∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1). ②α>0时，幂函数的图象过原点，并且在区间[0,+∞)上是增函数. ③α<0时，幂函数在区间(0,+∞)上是减函数.在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方 无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴. ④任何幂函数的图象与坐标轴仅相交于原点，或不相交，任何幂函数的图象都不过第四象限. ⑤任何两个幂函数的图象最多有三个公共点.除(1,1)，(0,0)，(-1,1)，(-1,-1)外，其他任何一点都不是两个 幂函数的公共点. 3．比较幂值的大小 在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键. 【知识点3 对勾函数的图象与性质】 1．对勾函数的图象与性质 参考幂函数的性质，探究函数的性质. (1)图象如图：与直线y=x，y轴无限接近. (2)函数的定义域为{x|x≠0}； (3)函数的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞). (4)奇偶性：∵，∴函数为奇函数. (5)单调性：由函数的图象可知，函数在(-∞,-1)，(1,+∞)上单调递增，在 (-1,0)，(0,1)上单调递减. 【题型4 求幂函数的定义域、值域】 【例4】（2026高一上·全国·专题练习）幂函数的定义域是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据幂函数有意义可直接得到结果. 【解答过程】，，即的定义域为. 故选：B. 【变式4-1】（25-26高一上·辽宁盘锦·阶段检测）下列四组函数中，同组两个函数的值域相同的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的性质逐项分析即得. 【解答过程】对于A，的定义域为，∵，∴的值域为， 的定义域和值域均为，故A错误； 对于B，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故B错误； 对于C，的定义域为，其值域为， 的定义域为，其值域为，故C正确； 对于D，的定义域为，其值域为， 的定义域和值域均为，故D错误， 故选：C. 【变式4-2】（25-26高一上·广东珠海·期中）给出5个幂函数：①；②；③；④；⑤，其中定义域为的是（    ） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义域求得正确答案. 【解答过程】①的定义域为，不符合. ②的定义域为，符合. ③的定义域为，不符合. ④的定义域为，符合. ⑤的定义域为，不符合. 所以符合的是②④. 故选：C. 【变式4-3】（25-26高一上·山西吕梁·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】依据题意设出解析式，求出解析式后求解具体函数定义域即可. 【解答过程】是幂函数， 设，将代入解析式， 得，解得，故，则， 故，解得 故选：B. 【题型5 幂函数图象的判断及应用】 【例5】（25-26高一上·上海嘉定·期中）图中为三个幂函数在第一象限内的图象，则解析式中指数的值依次可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据给定的图象，结合幂函数的性质判断即得. 【解答过程】令图象为的幂函数分别为， 观察图象知，曲线在第一象限内从左到右下降，对应函数在上单调递减，则； 曲线在第一象限内从左到右都上升，对应函数在上都单调递增， 而在时，曲线在直线上方，曲线在直线下方，则， 因此. 故选：D. 【变式5-1】（25-26高一上·云南文山·期末）函数的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，利用幂函数的性质判断即可. 【解答过程】函数是幂函数，定义域为R， 又，所以为偶函数，其图象关于y轴对称，排除AD； 由，得函数在上单调递增，排除C； 且当时，函数的图象在下方，选项B符合要求. 故选：B. 【变式5-2】（25-26高一上·上海·期中）如图所示曲线是幂函数在第一象限内的图像，其中，则曲线对应的值依次是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，结合幂函数在第一象限的单调性和图象的变换趋势，依次判定，即可求解. 【解答过程】根据幂函数在第一象限的图象，知： 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向上靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递增，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右靠近轴，符合的图象； 当时，函数在第一象限为单调递减，且图象向右更靠近轴，符合的图象， 所以曲线对应的值依次是. 故选：B. 【变式5-3】（25-26高一上·辽宁·期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图象，则①对应的幂函数可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据①对应的函数图象特点分析. 【解答过程】由图可知，①对应的幂函数：函数的定义域为，在第一象限内单调递增， 且图象呈现上凸趋势，则指数的值满足，排除选项AD； 又的定义域为R，的定义域为， 故符合题意. 故选：C. 【题型6 由幂函数的图象与性质求参数】 【例6】（25-26高一上·山西晋中·阶段检测）已知幂函数为奇函数，且在区间上是增函数，则（   ） A．1或4 B．0或4 C．1或2 D．0或2 【答案】D 【解题思路】幂函数在区间上是单调增函数，则指数为正，由此可求得，又因为，故将代入验证，为奇函数即可． 【解答过程】在区间上是单调增函数，， 即，又， 当时，是奇函数， 当时，是偶函数，不符合题意. 所以. 故选：D. 【变式6-1】（25-26高一上·江西抚州·期末）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ） A．或3 B． C． D．3 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的定义求出的值，再根据函数单调性检验即得. 【解答过程】由题意，可得，即，解得或， 当时，在上单调递增，不合题意，舍去； 当时，在上单调递减，所以符合题意. 故选：B. 【变式6-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）若幂函数的图象关于y轴对称，且在上是严格减函数，则整数a的值是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用幂函数的定义及单调性列式求出的值. 【解答过程】由幂函数在上是严格减函数，得，解得， 而，则，， 由幂函数的图象关于y轴对称，得为偶数， 因此，此时，所以整数a的值是1. 故选：B. 【变式6-3】（25-26高一上·重庆·期中）已知幂函数为偶函数，且在区间上单调递增，则等于（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用幂函数的性质列式求出值. 【解答过程】由幂函数在区间上单调递增，得，而， 解得或，又函数是偶函数，则为偶数，因此. 故选：C. 【题型7 比较幂值的大小】 【例7】（25-26高一上·四川凉山·期末）已知，，，则实数、、的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为幂函数在上为增函数， 且，， ，所以. 故选：B. 【变式7-1】（25-26高一上·福建莆田·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意结合幂函数单调性的分析判断即可. 【解答过程】因为，且在内单调递增， 则，即. 故选：D. 【变式7-2】（25-26高一上·河北保定·期中）设幂函数的图象经过原点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由是幂函数且图象经过原点确定的值及的解析式，再利用的单调性即可得解. 【解答过程】因为是幂函数， 所以，解得或. 又的图象经过原点，所以，即. 因为，所以， 又因为在上单调递增， 所以． 故选：A. 【变式7-3】（25-26高一上·全国·阶段检测）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先计算出的值，然后根据幂函数的单调性可知的大小. 【解答过程】由题意，均为正数， 因为，且， 所以，由在上单调递增可知． 故选：B． 【题型8 利用幂函数的性质解不等式】 【例8】（25-26高一上·贵州黔南·期末）已知幂函数（为常数）的图象经过点，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据解得，继而确定的定义域与单调性，再结合定义域与单调性，解不等式即可. 【解答过程】∵幂函数的图象经过点，，解得， 故，. 因为，故在定义域上单调递增， 故由，可得解得. 故选：C. 【变式8-1】（25-26高一上·黑龙江哈尔滨·期末）已知幂函数为奇函数，且在上单调递减，则满足不等式的实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由幂函数在上是单调递减函数，得到，解得的值，对的值进行讨论结合为奇函数得到，转化为，从此不等式的形式可得到幂函数，其定义域为，且在上为单调递增函数，则转化为，计算此不等式组得到的范围. 【解答过程】幂函数在上是单调递减函数， ，， ，， 当时，，， 故是偶函数，不符合题意； 当时，，， 故是奇函数，符合题意； 综上可知，，转化为， 的定义域为，且在上为单调递增函数， 转化为，，. 故选：D. 【变式8-2】（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知幂函数的图象不经过原点． (1)求幂函数的解析式； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据幂函数的定义结合幂函数图象的特点可得出关于实数的等式或不等式，即可解出的值，由此可得出函数的解析式； （2）由幂函数的性质结合题设列出不等式组，即可求得答案. 【解答过程】（1）因为幂函数的图象不过原点， 所以，解得，故. （2）因为，定义域为， 所以由得，解得或， 所以原不等式的解集为. 【变式8-3】（25-26高一上·天津·期末）已知幂函数在第一象限上是增函数． (1)求的解析式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）直接根据幂函数的定义及性质列方程求解即可； （2）利用幂函数的单调性，结合函数定义域列不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为是幂函数， 所以， 解得或， 又在第一象限上是增函数，故， 所以，则. （2）由（1）知在上是增函数， 又的定义域为， 所以解得， 所以的取值范围是. 模块四 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高一上·湖南怀化·期末）已知幂函数过点，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】A 【解题思路】根据幂函数的定义设函数的解析式，再代入已知点求出函数解析式，再求值即可. 【解答过程】因为函数为幂函数，所以可设， 因为图象过， 所以， 所以，即， 所以 故选：A. 2．（25-26高一上·湖北襄阳·期末）已知幂函数与坐标轴有公共点，则值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的定义确定的可能值，再结合幂函数与坐标轴有公共点的条件筛选出符合要求的值. 【解答过程】依题意得，解得或， 当时，，其图象是平行于轴且过点的直线（除去点），其图象与x轴和y轴均无公共点，不符合要求； 当时，，其图象是过原点的直线，与坐标轴有公共点（原点），符合要求. 故选：B. 3．（25-26高一上·山西运城·期末）“”是“是幂函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】由幂函数的定义求出的值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【解答过程】若是幂函数，则，解得或； 所以由推得出是幂函数，故充分性成立； 由是幂函数推不出，故必要性不成立； 所以“”是“是幂函数”的充分不必要条件. 故选：A. 4．（25-26高一上·河南郑州·期末）已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（   ） A．1 B．或3 C． D．3 【答案】C 【解题思路】根据幂函数的定义求出参数的值，再代入检验即可. 【解答过程】由题意知，即，解得或， ∴当时，，则在上单调递增，符合题意； 当时，，则在上单调递减，不符合题意， ． 故选：C. 5．（25-26高一上·新疆和田·期末）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据幂函数的图象及偶函数的性质即可求解． 【解答过程】因为幂函数的指数，所以在单调递减， 又因为定义域为，， 所以为偶函数，则在单调递增， 故选：B． 6．（25-26高一上·云南昆明·期末）下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据函数奇偶性的定义和单调性即可判断. 【解答过程】令，其定义域为， 又，    ，是偶函数， 根据幂函数的性质可知，在单调递减，根据偶函数的性质即在上单调递增，故A错误. ，其定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，故B错误. 令，其定义域为，又，是偶函数， 根据幂函数的性质可知，在单调递增，根据偶函数的性质即在上单调递减，故C正确. 令，其定义域为，，为奇函数，故D错误. 故选：C. 7．（25-26高三上·河南漯河·期末）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用幂函数的单调性可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为幂函数在上为增函数， 且，， 所以， 又因为，所以. 故选：A. 8．（25-26高一上·安徽芜湖·期末）已知函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据奇偶性定义和幂函数性质得在上单调递增，并将所求不等式化为，利用单调性可得自变量大小关系，进而求得结果. 【解答过程】的定义域为，， 为定义在上的奇函数； 由幂函数性质知：在上单调递增； 由得：， ，解得：，不等式的解集为. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高一上·山西朔州·期末）已知幂函数，则（   ） A．当为奇函数时， B．当为偶函数时， C．当为奇函数时，在上单调递减 D．当为偶函数时，在上单调递减 【答案】ACD 【解题思路】根据幂函数定义计算可得或，再分别利用函数奇偶性定义、单调性定义对选项逐一判断即可得出结论. 【解答过程】由幂函数的定义可知，即，解得或， 当时，为奇函数，且在上单调递减，A，C正确； 当时，为偶函数，且在上单调递减，B错误，D正确． 故选：ACD． 10．（25-26高一上·湖北·期末）已知幂函数的图象过，下列说法正确的是（    ） A．且 B．是奇函数 C．在定义域内是减函数 D．的值域是 【答案】ABD 【解题思路】根据幂函数的定义和性质判断各项即可. 【解答过程】因为幂函数的图象过， 所以，解得，A正确； 所以，定义域为，因为， 所以是奇函数，B正确； 在和上各自单调递减，但在整个定义域上不是减函数，C错误； 根据幂函数的性质可知，的值域为，D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一上·陕西咸阳·期末）已知幂函数过点，则下列说法正确的是（   ） A． B．是减函数 C．是奇函数 D．不等式的解集是 【答案】ACD 【解题思路】根据幂函数定义以及经过点的坐标可得，再由其单调性、奇偶性可判断B错误，C正确，由分式不等式可得D正确. 【解答过程】设幂函数，则，即， 即，A正确， 函数的定义域为， 则函数在定义域和上分别单调递减，但在整个定义域上并不单调递减，B错误， 函数的定义域关于原点对称，且，所以函数为奇函数，C正确， 不等式为，即,解得或， 即不等式的解集是，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12．（25-26高一上·重庆·阶段检测）已知幂函数的图象过点，则__________. 【答案】 【解题思路】根据幂函数的定义和所过的点求解即可. 【解答过程】因为是幂函数，所以，且过点，因此， 所以，得，所以. 故答案为：. 13．（25-26高一上·重庆·期末）幂函数在区间上单调递增，则________. 【答案】2 【解题思路】根据给定条件，利用幂函数定义及单调性列式求解. 【解答过程】由幂函数在区间上单调递增， 得，所以. 故答案为：2. 14．（25-26高一上·河北·期末）若幂函数的图象过点，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解题思路】设，根据函数过点求出参数的值，即可得到函数解析式，从而判断其单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式即可求解. 【解答过程】设，则，即，所以，解得， 所以，则在定义域上单调递增； 所以由得，解得， 所以不等式的解集为． 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高一上·安徽合肥·期末）已知幂函数过点. (1)求的解析式，判断的奇偶性并证明； (2)判断函数在上的单调性并证明. 【答案】(1)，奇函数，证明见解析 (2)在上单调递减，证明见解析 【解题思路】（1）由幂函数的定义及经过的点可得函数解析式，并用奇偶性的定义判断可得； （2）直接根据幂函数性质判断并用单调性的定义证明可得. 【解答过程】（1）因为为幂函数，且过点，所以，解得 所以，所以该函数为奇函数. 理由：定义域为，因为都有， 且，所以该函数为奇函数. （2）函数在上单调递减. 证明：，且，则 ，，又因为，，即. ，即 在上单调递减. 16．（25-26高一上·河南·期末）已知幂函数（）的图象经过点. (1)求的值及的解析式； (2)求不等式的解集. 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由幂函数的定义求得，再结合点求得，即可； （2）由（1）将不等式展开，结合一元二次不等式求解即可. 【解答过程】（1）因为为幂函数，所以，解得， 因为的图象经过点， 所以，则， 解得或， 又，故，则， 所以． （2）由（1）知， 则即为， 整理得，即， 解得， 所以原不等式的解集为． 17．（25-26高一上·河南·阶段检测）已知幂函数在上单调递减. (1)求常数，的值； (2)设，判断在上的单调性，并用定义法证明你的结论. 【答案】(1)， (2)单调递减，证明见解析 【解题思路】（1）由幂函数的定义，结合单调性求参数即可； （2）根据题意，，任取，且，作差得，再根据的符号确定单调性即可． 【解答过程】（1）根据幂函数的定义可知，，，即，， 解得或， 当时，，显然在上单调递增，不合题意； 当时，，在上单调递减，满足题意， 所以幂函数，即，， 故常数，的值分别为2和4； （2）由（1）可知，，在上单调递减； 证明：任取，且， ， 因为，所以，，，， 所以，则， 所以，故在上单调递减． 18．（25-26高一上·云南昭通·期末）已知幂函数的图象过点． (1)求函数的解析式； (2)判断的增减性，并证明； (3)求在上的值域． 【答案】(1) (2)增函数，证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用幂函数的定义及待定系数法可得答案； （2）利用单调性定义证明即可； （3）利用幂函数的单调性可得答案. 【解答过程】（1）设，   代入点， 得：，解得，    所以． （2）是增函数． 证明：函数的定义域是．    ，且，    有   ， ， .    因为，    所以， 所以， 即幂函数是上的增函数． （3）由（2）知在上单调递增，    所以，    ，    所以的值域为． 19．（25-26高一上·福建莆田·期末）已知幂函数在上单调递增， (1)求函数的解析式； (2)如果函数在区间上是增函数，求的取值范围； (3)求关于x的不等式的解集（其中）. 【答案】(1) (2) (3)当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）由幂函数的定义求解即可； （2）由（1）知，再结合二次函数的性质即可求解； （3）因式分解可得，再分、、三种情况讨论，分别求出不等式的解集. 【解答过程】（1）由题意可得，解得或， 又因为在上单调递增，所以， 所以，所以. （2）由（1）知， 又因为函数在区间上是增函数， 所以，解得或，即的取值范围为. （3）不等式转化为，则. 当时，解得或，即不等式的解集为； 当时，解得，即不等式的解集为； 当时，解得或，即不等式的解集为. 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $