2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册5《第2章一元二次方程第2节一元二次方程的解法》预习讲义

数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册5 《第2章一元二次方程第2节一元二次方程的解法》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法四种一元二次方程解法，理解 “ 降次 ” 核心数学思想。 2.能根据方程结构特征，灵活选择最简捷解法，规范书写解方程完整步骤。 3.理解求根公式推导过程，会用判别式 △ =b 2 -4ac判断方程实数根情况。 4.结合江苏本地真题，规避配方漏常数、开平方忘正负、因式分解不移项等高频易错点。 5.能结合代数式求值、简单几何计算综合运用方程解法，提升计算准确率。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.四种解法的步骤与适用方程类型； 2.配方法完整步骤、求根公式记忆与应用； 3.根据方程特征优选解法。 （二）难点 1.二次项系数不为1时的配方操作； 2.判别式 △ 的综合应用； 3.含括号、整体换元型一元二次方程求解； 4.综合大题中解方程与代数式化简结合题型。 ) 三．自主探究 （一）核心思想——降次 解一元二次方程的核心思想——降次：一元二次方程含未知数二次项，通过变形转化为一元一次方程求解，该转化思想称为降次。通常采用直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等四种方法解一元二次方程。 （二）四种解法梳理 1.直接开平方法 对于形如或（，）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解. 如（）的解为，即，； 如（）转化为，即转化为或进行求解；当时，方程和均无解. 例1.用直接开平方法解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 解：（1）∵x2﹣1＝80，∴x2＝81，∴x＝±9，即x1＝9，x2＝﹣9； （2）∵9x2+12＝16， ∴x2=， ∵x＝±， 即x1=，x2=-． 例2．用直接开平方法解方程： (1)(2x－1)2＝(x－2)2. (2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2. 解：(1)由(2x－1)2＝(x－2)2，得2x－1＝x－2或2x－1＝－(x－2)，∴x1＝－1，x2＝1. (2)开方，得2(2y－5)＝±3(3y－1)，即2(2y－5)＝3(3y－1)或2(2y－5)＝－3(y－1) ∴y1＝－，y2＝1. 【归纳】 （1）适用形式：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0) （2）步骤：两边同时开平方，得mx+n=±，再解一元一次方程； （3）注意：p<0时，方程无实数根。 2.配方法 通过配方的方法把一元二次方程转化为形如的形式，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程。 用配方法解一元二次方程的步骤如下： 例3.用配方法解方程： (1)x2－2x＝1；　　　 (2)x2＋5x＋2＝0； 解：(1)配方，得x2－2x＋1＝1＋1，即(x－1)2＝2，两边开平方，得x－1＝±， 所以x1＝1＋，x2＝1－. (2)方程变形，得x2＋5x＝－2，配方，得x2＋5x＋()2＝－2＋()2，(x＋)2＝， 解得x1＝，x2＝. 例4.用配方法解方程： (1)x2＋9＝6x；　　 　(2)(x－1)(x－3)＝8. 解：(1)移项，得x2－6x＋9＝0，即(x－3)2＝0，解这个方程，得x1＝x2＝3. (2)去括号，得x2－4x＋3＝8，移项，得x2－4x＝5，配方，得x2－4x＋4＝9，即(x－2)2＝9， 所以x－2＝±3，所以x1＝5，x2＝－1. 【归纳】解方程ax2+bx+c=0(a≠0)标准五步： ① 化1：二次项系数化为1，两边同除以a； ② 移项：常数项移到等号右侧； ③ 配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方； ④ 整理：左侧写成完全平方式(x+m)^2=n； ⑤ 开方：分n≥0有实根、n<0无实根讨论。 3.因式分解法（最快，优先选用） 因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于，那么这两个因式至少有一个为，反过来，如果两个因式中有一个因式为，那么它们之积为，即，则或或.例如：，则或. 例5.用因式分解法解下列方程 （1）(x﹣3)2＋2x(x﹣3)＝0. （2） x2－8x＝9. 解：（1）(x﹣3)2＋2x(x﹣3)＝0 ； (x﹣3)(x﹣3＋2x)＝0， 解得：x1＝3，x2＝1. （2）x2－8x－9＝0，(x－9)(x＋1)＝0，∴x－9＝0或x＋1＝0，∴x1＝9，x2＝－1. 例6.用因式分解法解下列方程 （1）4x2－(x－2)2＝0 （2）(y＋)2＝4y＋12 解：（1）(2x)2－(x－2)2＝0，(2x＋x－2)(2x－x＋2)＝0，即(3x－2)(x＋2)＝0， ∴3x－2＝0或x＋2＝0，∴x1＝，x2＝－2. （2）y2＋2y＋3－4y－12＝0，y2－2y－9＝0，(y＋)(y－3)＝0，∴y＋＝0或y－3＝0，∴y1＝－，y2＝3. 【归纳】 （1）理论依据：若A·B=0，则A=0或B=0 （2）适用：方程整理后一侧为0，另一侧可提公因式、平方差、完全平方分解； （3）关键易错点：解方程x(x-2)=3，不可直接拆分x=0或x-2=3，必须移项使右侧为0再分解。 4.公式法（通用万能解法） 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来.用配方法解方程：（、、为常数且）因为，方程两边同除以，得移项，得，配方，因为，所以，当时，直接开平方得：，又因为式子前面已有符号“”，所以无论还是，最终结果总是即；当时，原方程无解． 例7．用公式法解下列方程： (1)x2＋3x＝0. (2)x2＋10＝2x. 解：(1)a＝1，b＝3，c＝0， Δ＝b2－4ac＝32－4×1×0＝9. x＝ x1＝0，x2＝－3. （2）x2－2x＋10＝0，a＝1，b＝－2，c＝10，∵Δ＝b2－4ac＝(－2)2－4×1×10＝－20<0，∴此方程无实数根． 例8．用公式法解下列方程： (1)3x2－4x－1＝0 (2)x(x－4)＝2－8x. 解：(1)a＝3，b＝－4，c＝－1，Δ＝b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28.x＝， x1＝，x2＝. (2)x2＋4x－2＝0，a＝1，b＝4，c＝－2，Δ＝b2－4ac＝42－4×1×(－2)＝24.x＝， x1＝－2＋，x2＝－2－. 【归纳】 公式法解一元二次方程标准完整步骤 适用方程：ax2+bx+c=0 (a≠0) 判别式：Δ= b2-4ac （1）化为一元二次方程一般形式 （2）确定系数 a、b、c a：二次项系数（x2前面数字，带符号） b：一次项系数（x前面数字，带符号） c：常数项（不含未知数的数字，带符号） （3）计算判别式 Δ= b2-4ac 分三种情况： ①Δ>0：方程有两个不相等实数根，可以代入求根公式计算； ②Δ=0：方程有两个相等实数根； ③Δ<0：方程无实数根，停止计算。 （4）Δ≥0 时代入求根公式 求根公式： （5）分别计算两个根，化简结果是根式、分数必须化为最简形式。 （三）解法选择优先级（考试高频技巧） 因式分解法＞直接开平方法＞配方法（二次项系数1、一次项偶数）＞公式法（无简便方法时保底） 四．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）用直接开平方法解方程(x-3)^2=4，正确解为（ ） A.x1=1，x2=-1 B.x1=5，x2=1 C.x1=-5，x2=-1 D.x1=5，x2=-1 【答案】：B 【解析】：两边开平方得x-3=±2，x-3=2 ⇒ x=5；x-3=-2 ⇒x=1。易错陷阱：开平方遗漏负号。 2.（2024·镇江丹徒期末）配方法解方程3x2-6x=1，第一步正确操作是（ ） A.两边除以3 B.两边加6x C.两边除以x D.两边加1 【答案】：A 【解析】：配方法第一步二次项系数化为1，两边同除以3。 3.（2025·泰州姜堰期末）方程x2=x的根是（ ） A.x=1 B.x=0 C.x1=0，x2=1 D.无实数根 【答案】：C 【解析】：移项x2-x=0，x(x-1)=0，x=0或x=1；易错：直接两边除x丢根。 4.（2026·盐城射阳一模）关于x方程x2+2k x+1=0有两个不相等实根，则k取值范围（ ） A.k>1 B.k<-1 C.k>1或k<-1 D.-1<k<1 【答案】：C 【解析】：△=(2k)2-4>0 ⇒ 4k2>4 ⇒ k2>1，k>1或k<-1。 5.（2024·常州溧阳期末）用配方法将x2-6x-1=0化为(x+m)2=n形式，则m、n的值为（ ） A.m=-3，n=10 B.m=3，n=10 C.m=-3，n=-8 D.m=3，n=-8 【答案】：A 【解析】：移项x2-6x=1，两边加(-6÷2)2=9，x2-6x+9=1+9，即(x-3)2=10，m=-3，n=10。易错：配方仅左边加常数，右边忘记同步加。 6.（2025·南京秦淮期末）下列方程适合因式分解法直接求解的是（ ） A.x2+4x-1=0 B.(x+2)2=3x+6 C.2x2+3x=1 D.x2-2x=5 【答案】：B 【解析】：移项(x+22)-3(x+2)=0，提取公因式(x+2)(x+2-3)=0，可直接分解；其余无法快速因式分解。 （二）填空题 7.（2025·淮安淮阴期末）直接开平方解方程4x2=16，x1=__，x2=__。 【答案】：2；-2 【解析】：化简x2=4，x=±2。 8.（2024·南通通州期末）x2+8x+__=(x+__)2 【答案】：16；4 【解析】：一次项系数8一半为4，平方16。 9.小华在解方程(x+6)2-9=0,解答过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9……第一步 两边开平方,得x+6=3………第二步 所以x=-3……第三步 小华的解答从第________步开始出错,请写出正确的解答过程.  【答案】二 【解析】小华的解答从第二步开始出错.正确的解答过程为:解:移项,得(x+6)2=9,两边开平方,得x+6=±3,所以x1=-3,x2=-9. （三）解答题 10.利用配方法解方程: (1)x2+4x-3=0. (2)x2+2x+2=8x+4. 解：(1)x2+4x-3=0,x2+4x+4=3+4,(x+2)2=7,x+2=±,∴x1=-2+,x2=-2-. (2)x2+2x+2=8x+4,x2+2x-8x=-2+4,x2-6x=2,配方得x2-6x+9=2+9,(x-3)2=11, 开方得x-3=±,解得x1=3+,x2=3-. 11.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)9x2＋6x＋2＝0. (2)x2－2x＋2＝0. (3)3(x2－1)－5x＝0. 解：（1）∵a＝9，b＝6，c＝2，∴Δ＝b2－4ac＝62－4×9×2＝－36＜0.∴此方程无实数根． (2)∵a＝1，b＝－2，c＝2∴Δ＝(－2)2－4×1×2＝0.∴此方程有两个相等的实数根． (3)化为一般形式为3x2－5x－3＝0.∵a＝3，b＝－5，c＝－3，∴Δ＝(－5)2－4×3×(－3)＝25＋36＝61>0.∴此方程有两个不相等的实数根． 12．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a2－b2.根据这个规则，求方程(x＋2)※5＝0的解． 解：依题意有(x＋2)2－52＝0，(x＋2)2＝25，解得x1＝3，x2＝－7. 13. 若一个三角形两边的长分别为1和2，第三边的长是方程2x2－11x＋14＝0的一个根，求这个三角形的周长． 解：解方程2x2－11x＋14＝0得x1＝2，x2＝.若第三边长为2，满足三角形三边关系且此时周长为5；若第三边长为，不满足三角形三边关系．综上，这个三角形的周长为5. 14．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0. (1)试判断方程的根的情况． (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 解：（2）∵a＝1，b＝－(k＋1)，c＝2k－2，∴Δ＝b2－4ac＝[－(k＋1)]2－4×(2k－2)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0.∴此方程总有两个实数根． （2）x＝，∵此方程有一个根大于0且小于1，∴0＜k－1＜1.∴1＜k＜2. 15.求方程x2－5|x|＋4＝0的所有实数根的和． 解：分两种情况讨论：①当x≥0时，原方程可化为x2－5x＋4＝0，解得x1＝1，x2＝4. ②当x<0时，原方程可化为x2＋5x＋4＝0，解得x3＝－1，x4＝－4.综上所述，方程x2－5|x|＋4＝0的根为x1＝1，x2＝4，x3＝－1，x4＝－4，∴所有实数根的和为0. 五．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·无锡滨湖期末）解方程(x+5)2-3(x+5)=0，简便方法是（ ） A.公式法 B.配方法 C.因式分解 D.直接开平方 【答案】：C 【解析】：提取公因式(x+5)快速求解。 2.（2024·徐州铜山期末）一元二次方程x2-2x+3=0根的情况（ ） A.两不等实根 B.两相等实根 C.无实根 D.无法判断 【答案】：C 【解析】：△=4-12=-8<0。 3.（2025·宿迁宿豫期末）若代数式x2-6x+9=0，则x值为（ ） A.x=3 B.x=-3 C.x1=x2=3 D.x1=x2=-3 【答案】：C 【解析】：完全平方(x-3)2=0，两相等实根。 4.（2024·扬州广陵期末）方程2(x-1)2=8的解为（ ） A.x=3 B.x=-1 C.x1=3，x2=-1 D.x1=5，x2=-3 【答案】：C 【解析】：化简(x-1)2=4，x-1=±2⇒x1=3，x2=-1。 5.（2026·盐城响水二模）一元二次方程2x2-5x+3=0判别式△的值是（ ） A.-1 B.1 C.-49 D.49 【答案】：B 【解析】：a=2，b=-5，c=3，三角形=(-5)2-4×2×3=25-24=1。易错：代入b时遗漏负号。 6．关于x的一元二次方程(x－a)2＝b，下列说法正确的是(　B　) A．它的解为x＝± B．当b≥0时，它的解为x＝±＋a C．当b≥0时，它的解为x＝±－a D．当b≥0时，方程无实数根 【答案】：B 【解析】：∵方程中b的值不确定，∴当b＜0时，方程无实数根；当b≥0时，x－a＝±，即方程的解为x＝±＋a.故选B. 7、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】依题意得,,代入得,∴,∴.故选A 8．已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为( ) A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6 【答案】：A 【解析】两式相减，得 (m2＋n2－12)－(m2－5n－6)＝0，∴m2＋n2－12－m2＋5n＋6＝0，∴n2＋5n－6＝0，即(n＋6)(n－1)＝0，∴n1＝－6，n2＝1.把n＝－6代入m2＋n2－12＝0，得m2＝－24，不合题意，舍去；把n＝1代入m2＋n2－12＝0，得m2＝11，即m＝±，∴n＝1. 9．给出一种新运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如，若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是( ) A. x1＝4，x2＝－4 B. x1＝2，x2＝－2 C. x1＝x2＝0 D. x1＝2，x2＝4 【答案】：B 【解析】：y＝x3. ∴ y′＝3x2 ∴3x2＝12 ∴x1＝2，x2＝－2 故选：B 10.如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝3，x2＝﹣3 C.x1＝3，x2＝﹣1 D.x1＝﹣3，x2＝1 【答案】C 【解析】利用程序图中的程序列出方程，解方程即可解答．由题意得：2（x﹣1）2＝8， 整理得：（x﹣1）2＝4，直接开平方得：x﹣1＝2或x﹣1＝﹣2，解得x1＝3，x2＝﹣1．故选：C． （二）填空题 11.将方程x2+4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 　  　． 【答案】5． 【解析】利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答．x2+4x+1＝0，∴x2+4x＝﹣1， ∴x2+4x+4＝﹣1+4，∴（x+2）2＝3，∴m＝2，n＝3，∴m+n＝2+3＝5故答案为：5． 12.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 【答案】3． 【解析】用配方法求解即可．由题意，得x(x+6)=40,∴x2+6x＝40，∴x2+6x+9＝40+9， （x+3）2＝49，∴m＝3．故答案为：3． 13.关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，则实数c的取值范围是 　     　． 【答案】． 【解析】根据一元二次方程根的情况求参数，根据两个不相等的实数，得Δ＝b2﹣4ac＞0，代入数值进行计算，即可作答．∵关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×1×c＞0，解得，故答案为：． 14.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 【答案】x1＝2，x2＝6． 【解析】把关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0看作关于（x﹣5）的一元二次方程，则x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，然后解一次方程即可．∵关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，∴关于（x﹣5）的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解满足x﹣5＝﹣3或x﹣5＝1，解得x1＝2，x2＝6．故答案为：x1＝2，x2＝6． 15.对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　    　． 【答案】m＜0． 【解析】根据定义的新运算可得：（x+1）2﹣6m＝0，从而可得（x+1）2＝6m，然后利用解一元二次方程﹣直接开平方法进行计算，即可解答．∵（x+1）⊕（3m）＝0，∴（x+1）2﹣6m＝0，∴（x+1）2＝6m，∵方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，∴6m＜0，∴m＜0，故答案为：m＜0． 16.实数x，y满足（x2+y2）2﹣x2﹣y2﹣5＝0，则x2+y2＝　    　． 【答案】． 【解析】设x2+y2＝t，则t≥0，原方程化为t2﹣t﹣5＝0，解方程得t＝或（舍去），即可得出答案．设x2+y2＝t，则t≥0，∴原方程化为t2﹣t﹣5＝0，解得t＝或（舍去），∴x2+y2＝．故答案为：． 17.已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3＝0，那么x2+x+1的值为 　   　． 【答案】1． 【解析】首先利用换元思想，把x2+x+1看作一个整体换为y，化为含y一元二次方程，解这个方程即可．另y＝x2+x+1，则y2+2y﹣3＝0，即（y﹣1）（y+3）＝0，解得：y＝1或y＝﹣3，当x2+x+1＝﹣3时，即x2+x+4＝0，Δ＝12﹣4×1×4＝﹣15＜0，此时方程无解，当x2+x+1＝1时，即x2+x＝0，Δ＝12﹣4×1×0＝1＞0，此时方程有解，∴x2+x+1＝1，故答案为：1． 18.已知关于x的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m的值 　   　． 【答案】1.2（不唯一） 【解析】若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac≥0，建立关于m的不等式，求出m的取值范围．还要注意二次项系数不为0和被开方数2﹣m≥0．∵关于x方程（m﹣1）x2﹣＝0的有两个实数根，∴， 解得：0≤m≤2且m≠1．故答案为：1.2． 19.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 【答案】x1＝1+i，x2＝1﹣i． 【解析】方程整理得：x2﹣2x＝﹣2，配方得：x2﹣2x+1＝﹣1，即（x﹣1）2＝﹣1，开方得：x﹣1＝±i，解得：x1＝1+i，x2＝1﹣i．故答案为：x1＝1+i，x2＝1﹣i． 20．对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论： ①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6； ②（a*b）#c=c（a*b）； ③a*（b#a）=（a*b）#a；④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．正确的是 　 　 （填序号即可） 【答案】①②④ 【解析】∵[2+（﹣5）]#（﹣2）=（﹣3）#（﹣2）=6，∴①正确；∵（a*b）#c=（a+b）#c=（a+b）c=ac+bc，c（a*b）=c（a+b）=ac+bc，∴②正确；∵a*（b#a）=a*ab=a+ab，（a*b）#a=（a+b）#a=（a+b）a=a2+ab，∴③错误；∵（1*x）#（1#x）=1，∴（1+x）#（x）=1，（1+x）x=1，x2+x﹣1=0，解得：x2=，x2=，∵x＞0，∴x=，∴④正确．故答案为：①②④． （三）解答题 21．（24分）解方程 (1)（公式法） (2)（配方法）； (3)（因式分解法） (4)（适当的方法）． (5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (7)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (8)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 解：(1)∵，∴，，，∴，∴，∴，； (2)∵，∴，∴，∴， ∴，∴，∴，； (3)∵∴，∴，∴，∴，； (4)∵，∴，∴，∴，． (5)x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝±， ∴x1＝﹣1+，x2＝﹣1﹣． (6)3x2﹣5x+1＝0，∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0， 则x＝，即x1＝，x2＝； (7)3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0， 2x+1＝0或6x+1＝0，x1＝﹣，x2＝﹣． (8)3x2+5x＝3x+3，3x2+2x-3=0∵a＝3，b＝2，c＝-3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0， ∴x＝＝，∴x1＝，x2＝． 22．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． 解：(1)若x＝1是方程的一个解，则a＋b＋＝0，解得a＋b＝－. (2)Δ＝b2－4a×＝b2－2a，∵b＝a＋1，∴Δ＝(a＋1)2－2a＝a2＋2a＋1－2a＝a2＋1＞0. ∴原方程有两个不相等的实数根． (3)∵方程有两个相等的实数根，∴b2－2a＝0，即b2＝2a.取a＝2，b＝2，则方程为2x2＋2x＋＝0，解得x1＝x2＝－. 23．阅读材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要保证是恒等的．例如：解方程x2－4x＋4＝0，则(x－2)2＝0，∴x1＝x2＝2.已知x2－2x＋y2＋4y＋5＝0，求x，y的值，则有(x2－2x＋1)＋(y2＋4y＋4)＝0，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝0，解得x＝1，y＝－2. 根据以上材料解答下列各题： (1)若x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，求(x＋y)－2025的值； (2)若a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－ac－ab－bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 解：(1)∵x2－4x＋y2＋6y＋13＝(x－2)2＋(y＋3)2＝0，∴x－2＝0，y＋3＝0，即x＝2，y＝－3，则(x＋y)－2025＝(2－3)－2025＝(－1)－2025＝－2026. (2)△ABC是等边三角形．理由：变形，得2a2＋2b2＋2c2－2ac－2ab－2bc＝(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，∴a－b＝0，a－c＝0，b－c＝0，即a＝b＝c，∴△ABC为等边三角形． 24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的三边长，易知AE＝c，这时我们把形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积． 解：（1）证明：由题意，得Δ＝(c)2－4ab＝2c2－4ab.∵a2＋b2＝c2，∴2c2－4ab＝2(a2＋b2)－4ab＝2(a－b)2≥0，即Δ≥0.∴关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． （2）当x＝－1时，有a－c＋b＝0，即a＋b＝c.∵2a＋2b＋c＝6，即2(a＋b)＋c＝6，∴3c＝6.∴c＝2.∴a2＋b2＝c2＝4，a＋b＝2.∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，∴ab＝2.∴S△ABC＝ab＝1. 25.阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax4+bx2+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设 x2=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay2+by+c=0，解出y之后代入x2=y，从而求出x的值．例如解：4x4﹣8y2+3=0 解：设x2=y，则原方程可化为：4y2﹣8y+3=0∵a=4，b=﹣8，c=3∴b2﹣4ac=﹣（﹣8）2﹣4×4×3=16＞0∴y==∴y1=，∴y2=∴当y1=时，x2= ∴x1=，x2=﹣；当y1=时，x2=∴x3=，x4=﹣ （1）请你解双二次方程：x4﹣2x2﹣8=0 （2）思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是 （选出所有的正确答案）①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根； ②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根； ③当b2﹣4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根； ④原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0． 解：（1）x4﹣2x2﹣8=0 设y=x2，则原方程变为：y2﹣2y﹣8=0． 分解因式，得（y+2）（y﹣4）=0， 解得，y1=﹣2，y2=4， 当y=﹣2时，x2=﹣2，x2+2=0，△=0﹣4×2＜0，此方程无实数解；当y=4时，x2=4，解得x1=﹣2，x2=2，所以原方程的解为x1=﹣2，x2=2． （2）根据阅读新知和（1）的解题过程即可判断①②③④；故答案为①②③④． 26．如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足，例如有整数解3和4，所以＝0属于同族方程，所以． (1)如果同族方程中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (2)关于x的一元二次方程属于同族方程，求整数k的值． 解：(1)证明：根据完美方程的定义可知，∴，∵， ∴； (2)：，解得：．∵该一元二次方程为同族方程，∴的值应为整数，∴的值为-3或-1或1或3． 27. 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5. (1) 当k为何值时,△ABC是直角三角形? (2) 当k为何值时,△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长. 解： (1) 由方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0,得b2-4ac=[-(2k+3)]2-4(k2+3k+2)=1>0,∴ 无论k取何值,方程总有两个不相等的实数根.利用求根公式解方程,得x1=k+1,x2=k+2.设AB=k+1,AC=k+2.∵ 第三边BC的长为5,∴ 当△ABC是直角三角形时,分两种情况讨论:① 当BC是斜边时,有AB2+AC2=BC2,即(k+1)2+(k+2)2=52,解得 k1=2,k2=-5(不合题意,舍去);② 当AC是斜边时,有AB2+BC2=AC2,即(k+1)2+52=(k+2)2,解得 k=11.∴ 当k=2或11时,△ABC是直角三角形　 (2) 由(1),不妨设AB=k+1,AC=k+2.∵ BC=5,∴ 当△ABC是等腰三角形时,分两种情况讨论:① 当AC=BC=5时,k+2=5,∴ k=3,则AB=4,此时△ABC的周长为14;② 当AB=BC=5时,k+1=5.∴ k=4,则AC=6,此时△ABC的周长为16.综上所述,当k=3或4时,△ABC是等腰三角形,△ABC的周长分别是14或16 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学臻选·2026年暑假苏科版九年级数学上预习手册5 《第2章一元二次方程第2节一元二次方程的解法》预习讲义 一．预习目标 ( 1.掌握直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法四种一元二次方程解法，理解 “ 降次 ” 核心数学思想。 2.能根据方程结构特征，灵活选择最简捷解法，规范书写解方程完整步骤。 3.理解求根公式推导过程，会用判别式 △ =b 2 -4ac判断方程实数根情况。 4.结合江苏本地真题，规避配方漏常数、开平方忘正负、因式分解不移项等高频易错点。 5.能结合代数式求值、简单几何计算综合运用方程解法，提升计算准确率。 ) 二．重点难点 ( （一）重点 1.四种解法的步骤与适用方程类型； 2.配方法完整步骤、求根公式记忆与应用； 3.根据方程特征优选解法。 （二）难点 1.二次项系数不为1时的配方操作； 2.判别式 △ 的综合应用； 3.含括号、整体换元型一元二次方程求解； 4.综合大题中解方程与代数式化简结合题型。 ) 三．自主探究 （一）核心思想——降次 解一元二次方程的核心思想——降次：一元二次方程含未知数二次项，通过变形转化为一元一次方程求解，该转化思想称为降次。通常采用直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法等四种方法解一元二次方程。 （二）四种解法梳理 1.直接开平方法 对于形如或（，）型的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平法求解. 如（）的解为，即，； 如（）转化为，即转化为或进行求解；当时，方程和均无解. 例1.用直接开平方法解方程 （1）x2﹣1＝80； （2）9x2+12＝16． 例2．用直接开平方法解方程： (1)(2x－1)2＝(x－2)2. (2)4(2y－5)2＝9(3y－1)2. 【归纳】 （1）适用形式：x2=p(p≥0) 或 (mx+n)2=p(p≥0) （2）步骤：两边同时开平方，得mx+n=±，再解一元一次方程； （3）注意：p<0时，方程无实数根。 2.配方法 通过配方的方法把一元二次方程转化为形如的形式，再运用直接开平方的方法求解，即用配方法解方程。 用配方法解一元二次方程的步骤如下： 例3.用配方法解方程： (1)x2－2x＝1；　　　 (2)x2＋5x＋2＝0； 例4.用配方法解方程： (1)x2＋9＝6x；　　 　(2)(x－1)(x－3)＝8. 【归纳】解方程ax2+bx+c=0(a≠0)标准五步： ① 化1：二次项系数化为1，两边同除以a； ② 移项：常数项移到等号右侧； ③ 配方：等式两边同时加一次项系数一半的平方； ④ 整理：左侧写成完全平方式(x+m)^2=n； ⑤ 开方：分n≥0有实根、n<0无实根讨论。 3.因式分解法（最快，优先选用） 因式分解法的根据：如果两个因式的乘积等于，那么这两个因式至少有一个为，反过来，如果两个因式中有一个因式为，那么它们之积为，即，则或或.例如：，则或. 例5.用因式分解法解下列方程 （1）(x﹣3)2＋2x(x﹣3)＝0. （2） x2－8x＝9. 例6.用因式分解法解下列方程 （1）4x2－(x－2)2＝0 （2）(y＋)2＝4y＋12 【归纳】 （1）理论依据：若A·B=0，则A=0或B=0 （2）适用：方程整理后一侧为0，另一侧可提公因式、平方差、完全平方分解； （3）关键易错点：解方程x(x-2)=3，不可直接拆分x=0或x-2=3，必须移项使右侧为0再分解。 4.公式法（通用万能解法） 一元二次方程的求根公式是由配方法演变而来.用配方法解方程：（、、为常数且）因为，方程两边同除以，得移项，得，配方，因为，所以，当时，直接开平方得：，又因为式子前面已有符号“”，所以无论还是，最终结果总是即；当时，原方程无解． 例7．用公式法解下列方程： (1)x2＋3x＝0. (2)x2＋10＝2x. 例8．用公式法解下列方程： (1)3x2－4x－1＝0 (2)x(x－4)＝2－8x. 【归纳】 公式法解一元二次方程标准完整步骤 适用方程：ax2+bx+c=0 (a≠0) 判别式：Δ= b2-4ac （1）化为一元二次方程一般形式 （2）确定系数 a、b、c a：二次项系数（x2前面数字，带符号） b：一次项系数（x前面数字，带符号） c：常数项（不含未知数的数字，带符号） （3）计算判别式 Δ= b2-4ac 分三种情况： ①Δ>0：方程有两个不相等实数根，可以代入求根公式计算； ②Δ=0：方程有两个相等实数根； ③Δ<0：方程无实数根，停止计算。 （4）Δ≥0 时代入求根公式 求根公式： （5）分别计算两个根，化简结果是根式、分数必须化为最简形式。 （三）解法选择优先级（考试高频技巧） 因式分解法＞直接开平方法＞配方法（二次项系数1、一次项偶数）＞公式法（无简便方法时保底） 四．夯实基础 （一）选择题 1.（2025·盐城阜宁期末）用直接开平方法解方程(x-3)^2=4，正确解为（ ） A.x1=1，x2=-1 B.x1=5，x2=1 C.x1=-5，x2=-1 D.x1=5，x2=-1 2.（2024·镇江丹徒期末）配方法解方程3x2-6x=1，第一步正确操作是（ ） A.两边除以3 B.两边加6x C.两边除以x D.两边加1 4.（2026·盐城射阳一模）关于x方程x2+2k x+1=0有两个不相等实根，则k取值范围（ ） A.k>1 B.k<-1 C.k>1或k<-1 D.-1<k<1 5.（2024·常州溧阳期末）用配方法将x2-6x-1=0化为(x+m)2=n形式，则m、n的值为（ ） A.m=-3，n=10 B.m=3，n=10 C.m=-3，n=-8 D.m=3，n=-8 6.（2025·南京秦淮期末）下列方程适合因式分解法直接求解的是（ ） A.x2+4x-1=0 B.(x+2)2=3x+6 C.2x2+3x=1 D.x2-2x=5 （二）填空题 7.（2025·淮安淮阴期末）直接开平方解方程4x2=16，x1=__，x2=__。 8.（2024·南通通州期末）x2+8x+__=(x+__)2 9.小华在解方程(x+6)2-9=0,解答过程如下: 解:移项,得(x+6)2=9……第一步 两边开平方,得x+6=3………第二步 所以x=-3……第三步 小华的解答从第________步开始出错,请写出正确的解答过程.  （三）解答题 10.利用配方法解方程: (1)x2+4x-3=0. (2)x2+2x+2=8x+4. 11.不解方程，判断下列一元二次方程的根的情况： (1)9x2＋6x＋2＝0. (2)x2－2x＋2＝0. (3)3(x2－1)－5x＝0. 12．在实数范围内定义一种运算“※”，其规则为a※b＝a2－b2.根据这个规则，求方程(x＋2)※5＝0的解． 13. 若一个三角形两边的长分别为1和2，第三边的长是方程2x2－11x＋14＝0的一个根，求这个三角形的周长． 14．已知关于x的一元二次方程x2－(k＋1)x＋2k－2＝0. (1)试判断方程的根的情况． (2)若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围． 15.求方程x2－5|x|＋4＝0的所有实数根的和． 五．巩固训练 （一）选择题 1.（2025·无锡滨湖期末）解方程(x+5)2-3(x+5)=0，简便方法是（ ） A.公式法 B.配方法 C.因式分解 D.直接开平方 2.（2024·徐州铜山期末）一元二次方程x2-2x+3=0根的情况（ ） A.两不等实根 B.两相等实根 C.无实根 D.无法判断 3.（2025·宿迁宿豫期末）若代数式x2-6x+9=0，则x值为（ ） A.x=3 B.x=-3 C.x1=x2=3 D.x1=x2=-3 4.（2024·扬州广陵期末）方程2(x-1)2=8的解为（ ） A.x=3 B.x=-1 C.x1=3，x2=-1 D.x1=5，x2=-3 5.（2026·盐城响水二模）一元二次方程2x2-5x+3=0判别式△的值是（ ） A.-1 B.1 C.-49 D.49 6．关于x的一元二次方程(x－a)2＝b，下列说法正确的是(　B　) A．它的解为x＝± B．当b≥0时，它的解为x＝±＋a C．当b≥0时，它的解为x＝±－a D．当b≥0时，方程无实数根 7、定义：如果一元二次方程满足，那么我们称这个方程为“凤凰”方程.已知是“凤凰”方程，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 8．已知实数m，n同时满足m2＋n2－12＝0，m2－5n－6＝0，则n的值为( ) A. 1 B. 1，－6 C. －1 D. －6 9．给出一种新运算：对于函数y＝xn，规定y′＝nxn－1.例如，若函数y＝x4，则有y′＝4x3.已知函数y＝x3，则方程y′＝12的解是( ) A. x1＝4，x2＝－4 B. x1＝2，x2＝－2 C. x1＝x2＝0 D. x1＝2，x2＝4 【 10.如图，这是一个简单的数值运算程序，则输入x的值为（　　） A.x1＝2，x2＝﹣2 B.x1＝3，x2＝﹣3 C.x1＝3，x2＝﹣1 D.x1＝﹣3，x2＝1 （二）填空题 11.将方程x2+4x+1＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值为 　  　． 12.如图，在用配方法解一元二次方程x2+6x＝40时，配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是（x+6）、宽是x、面积是40的矩形割补成一个正方形，则m的值是 　    　． 13.关于x的方程x2﹣x+c＝0有两个不相等的实数，则实数c的取值范围是 　     　． 14.已知关于x的方程m（x+a）2+n＝0的解是x1＝﹣3，x2＝1，则关于x的方程m（x+a﹣5）2+n＝0的解是 　    　． 15.对于实数a，b，定义一种运算“⊕”为：a⊕b＝a2﹣2b，若关于x的方程（x+1）⊕（3m）＝0没有实数根，则实数m的取值范围为 　    　． 16.实数x，y满足（x2+y2）2﹣x2﹣y2﹣5＝0，则x2+y2＝　    　． 17.已知x为实数，且满足（x2+x+1）2+2（x2+x+1）﹣3＝0，那么x2+x+1的值为 　   　． 18.已知关于x的方程有两个实数根，请写出一个符合条件的m的值 　   　． 19.阅读并回答问题：x2＝﹣1在实数范围内无解，如果存在一个数i，使i2＝﹣1，那么当x2＝﹣1时，有x＝±i，从而x＝±i是方程x2＝﹣1的两个根．据此可知：i可以运算，例如：i3＝i2×i＝﹣1×i＝﹣i．则方程x2﹣2x+2＝0的两根为 　　．（根用i表示）． 20．对于实数a、b定义：a*b=a+b，a#b=ab，如：2*（﹣1）=2+（﹣1）=1，2#（﹣1）=2×（﹣1）=﹣2．以下结论： ①[2+（﹣5）]#（﹣2）=6； ②（a*b）#c=c（a*b）； ③a*（b#a）=（a*b）#a；④若x＞0，且满足（1*x）#（1#x）=1，则x=．正确的是 　 　 （填序号即可） （三）解答题 21．（24分）解方程 (1)（公式法） (2)（配方法）； (3)（因式分解法） (4)（适当的方法）． (5)x2+2x﹣1＝0；（用配方法） (6)3x2﹣5x+1＝0；（用公式法） (7)3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法） (8)3x2+5x＝3x+3．（选择适当的方法） 22．已知关于x的一元二次方程ax2＋bx＋＝0. (1)若x＝1是方程的一个解，写出a，b满足的关系式． (2)当b＝a＋1时，利用根的判别式判断方程根的情况． (3)若方程有两个相等的实根，请写出一组满足条件的a，b的值，并求出此时的方程根． 23．阅读材料： 配方法是初中数学中经常用到的一个重要方法，学好配方法对我们学习数学有很大的帮助．所谓配方就是将某一个多项式变形为一个完全平方式，变形一定要保证是恒等的．例如：解方程x2－4x＋4＝0，则(x－2)2＝0，∴x1＝x2＝2.已知x2－2x＋y2＋4y＋5＝0，求x，y的值，则有(x2－2x＋1)＋(y2＋4y＋4)＝0，∴(x－1)2＋(y＋2)2＝0，解得x＝1，y＝－2. 根据以上材料解答下列各题： (1)若x2－4x＋y2＋6y＋13＝0，求(x＋y)－2025的值； (2)若a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2－ac－ab－bc＝0，试判断△ABC的形状，并说明理由． 24．如图，四边形ACDE是证明勾股定理时用到的一个图形，a，b，c是Rt△ABC和Rt△BED的三边长，易知AE＝c，这时我们把形如ax2＋cx＋b＝0的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． (1)求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0必有实数根． (2)若x＝－1是“勾系一元二次方程”ax2＋cx＋b＝0的一个根，且四边形ACDE的周长是6，求△ABC的面积． 25.阅读新知：移项且合并同类项之后，只含有偶次项的四次方程称作双二次方程．其一般形式为ax4+bx2+c=0（a≠0），一般通过换元法解之，具体解法是设 x2=y，则原四次方程化为一元二次方程：ay2+by+c=0，解出y之后代入x2=y，从而求出x的值．例如解：4x4﹣8y2+3=0 解：设x2=y，则原方程可化为：4y2﹣8y+3=0∵a=4，b=﹣8，c=3∴b2﹣4ac=﹣（﹣8）2﹣4×4×3=16＞0∴y==∴y1=，∴y2=∴当y1=时，x2= ∴x1=，x2=﹣；当y1=时，x2=∴x3=，x4=﹣ （1）请你解双二次方程：x4﹣2x2﹣8=0 （2）思考以上解题方法，试判断双二次方程的根的情况，下列说法正确的是 （选出所有的正确答案）①当b2﹣4ac≥0时，原方程一定有实数根； ②当b2﹣4ac＜0时，原方程一定没有实数根； ③当b2﹣4ac≥0，并且换元之后的一元二次方程有两个正实数根时，原方程有4个实数根，换元之后的一元二次方程有一个正实数根一个负实数根时，原方程有2个实数根； ④原方程无实数根时，一定有b2﹣4ac＜0． 26．如果方程满足两个实数解都为整数解，我们就称所有这样的一元二次方程为同族方程，并规定：满足，例如有整数解3和4，所以＝0属于同族方程，所以． (1)如果同族方程中有两个相等的解、我们称这个方程为同族方程中的完美方程，求证：对任意一个完美方程，总有； (2)关于x的一元二次方程属于同族方程，求整数k的值． 27. 已知△ABC的两边AB、AC的长分别是关于x的一元二次方程x2-(2k+3)x+k2+3k+2=0的两个实数根,第三边BC的长为5. (1) 当k为何值时,△ABC是直角三角形? (2) 当k为何值时,△ABC是等腰三角形?请求出此时△ABC的周长 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $