第十章　第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦事件相互独立性、条件概率与全概率公式核心考点，依据高考评价体系明确了解独立含义、理解独立与条件概率关系、会用全概率公式的考查要求。通过梳理概念性质、常用结论及通性通法，结合近5年高考真题分析，明确相互独立事件判断、条件概率计算、全概率公式应用为高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题溯源+通法提炼+素养提升”策略，如以2021新高考Ⅰ卷典例1为例，通过定义法验证事件独立性，培养数学思维中的推理能力。全概率公式应用中分解互斥事件、计算条件概率的“三步法”，强化数学语言表达的模型观念。特设易错点分析与多维变式训练，助力学生掌握解题技巧，教师可据此系统开展专题复习，提升备考效率。

第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [考试要求]　1．了解两个事件相互独立的含义． 2．理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 理法先行·题练固本 知识点1　相互独立事件 (1)概念：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝____________成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． (2)性质：若事件A与B相互独立，那么A与也都相互独立． P(A)P(B) B 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 3 知识点2　条件概率 (1)概念：一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率． (2)两个公式 ①利用古典概型：P(B|A)＝． ②概率的乘法公式： P(AB)＝_______________． P(A)P(B|A) 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (3)性质：设P(A)>0，则 ①P(Ω|A)＝___； ②任何事件的条件概率都在0和1之间，即_______________； ③如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝___________________； ④设|A)＝____________． 1 0≤P(B|A)≤1 P(B|A)＋P(C|A) 1－P(B|A) 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 知识点3　全概率公式 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件 B⊆Ω，有P(B)＝_________________，我们称该公式为全概率公式． P(Ai)P(B|Ai) 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [常用结论] 1．事件的关系与运算 (1)A，B都发生的事件为AB；A，B都不发生的事件为． (2)A，B恰有一个发生的事件为AB；A，B至多有一个发生的事件为． 2．P(AB)求法 (1)古典概型；(2)相互独立：P(AB)＝P(A)P(B)；(3)概率的乘法公式：P(AB)＝P(A)P(B|A)． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 3．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1．(人教A版必修第二册P253习题10.2 T1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(　　) A．互斥 B．互为对立 C．相互独立 D．相等 √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 C　[掷两枚质地均匀的骰子，A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，事件A与B能同时发生，故事件A与B既不是互斥事件，也不是对立事件，故A，B错误；P(A)＝，P(B)＝，P(AB)＝，P(A)·P(B)＝，因为P(A)·P(B)＝P(AB)，所以A与B相互独立，故C正确；事件A与B不相等，故D错误．故选C．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2．(苏教版选择性必修第二册P143复习题T1)甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7．若两人同时独立射击，则他们都击中靶的概率是(　　) A．0.56 B．0.48 C．0.75 D．0.6 √ A　[甲、乙两人射击时相互独立， 则他们都中靶的概率为0.8×0.7＝0.56．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 3．(人教B版选择性必修第二册P47练习AT4)已知一种节能灯使用寿命超过10 000 h的概率为0.95，而使用寿命超过12 000 h的概率为0.9，则已经使用了10 000 h的这种节能灯，使用寿命能超过12 000 h的概率为______________．   　[由题意，设该节能灯使用寿命超过10 000 h为事件A， 则事件A的概率P(A)＝0.95； 设该节能灯使用寿命超过12 000 h为事件B，则事件B的概率P(B)＝0.9，则P(AB)＝P(B)＝0.9，所以P(B|A)＝．] 　 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 4．(人教A版选择性必修第三册P50例4)某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为______________．   0.7　 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 0.7　[设A1＝“第1天去A餐厅用餐”， B1＝“第1天去B餐厅用餐”， A2＝“第2天去A餐厅用餐”， 则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥， 根据题意得， P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8， 由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)·P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7． 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 5．(用结论)已知P(M)＝0.4，P(|M)＝0.5，则P(MN)＝(　　) A．0.4　　B．0.6　　C．0.1　　D．0.2 D　[因为P(|M)＝0.5，由对立事件概率计算公式可得，P(N|M)＝1－0.5＝0.5， 则P(MN)＝P(M)P(N|M)＝0.4×0.5＝0.2．故选D．] √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 考点深研·题型突破 考点一　相互独立事件 考向1　事件相互独立性的判断 [典例1]　(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(　　) A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立 √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 16 B　[事件甲发生的概率P(甲)＝，事件乙发生的概率P(乙)＝，事件丙发生的概率P(丙)＝，事件丁发生的概率P(丁)＝．事件甲与事件丙同时发生的概率为0，P(甲丙)≠P(甲)P(丙)，故A错误；事件甲与事件丁同时发生的概率为，P(甲丁)＝P(甲)P(丁)，故B正确；事件乙与事件丙同时发生的概率为，P(乙丙)≠P(乙)P(丙)，故C错误；事件丙与事件丁是互斥事件，不是相互独立事件，故D错误．故选B．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 考向2　相互独立事件的概率 [典例2]　某公司成立了甲、乙、丙三个科研小组针对某技术难题同时进行科研攻关，攻克技术难题的小组会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题的概率分别为，且三个小组各自独立进行科研攻关．求： (1)甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率； (2)只有甲小组受到奖励的概率； (3)受到奖励的小组数是2的概率． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [解]　设甲、乙、丙三个小组攻克该技术难题分别为事件A，B，C，即P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，且A，B，C相互独立． (1)甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝． (2)只有甲小组受到奖励的概率为P(A)＝P(A)P()P()＝． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (3)设受到奖励的小组数为X，则P(X＝2)＝P(A)P(B)P()＋P(A)P()P(C)＋P()·P(B)P(C)＝． 所以受到奖励的小组数是2的概率为． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 通性通法：(1)判断事件相互独立，一般用定义判断． (2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较复杂(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 考点二　条件概率 [典例3]　(1)已知事件A和事件B满足P(A)＝0.6，P(B)＝0.7，P(A＋B)＝0.9，则P(A|B)＝(　　) A． B． C． D． √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (2)(2025·沈阳期末)甲、乙两个家庭计划五一小长假来沈阳游玩，他们分别从“沈阳故宫”“张氏帅府”“沈阳博物馆”三个景点中选择一处游玩，记事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择‘沈阳博物馆’”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”，则P(B|A)＝ (　　) A． B． C． D． √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (1)D　(2)A　[(1)由题意知P(AB)＝P(A)＋P(B)－P(A＋B)＝0.6＋0.7－0.9＝0.4， 所以P(A|B)＝．故选D． (2)事件A表示“两个家庭至少一个家庭选择沈阳博物馆”，事件B表示“两个家庭选择景点不同”， 两个家庭共有32＝9(种)选择， 则P(AB)＝，P(A)＝1－， 则P(B|A)＝．故选A．] 通性通法：求条件概率的常用方法 (1)定义法：P(B|A)＝． (2)样本点法：P(B|A)＝． (3)缩样法：去掉第一次抽到的情况，只研究剩下的情况，用古典概型求解． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [多维变迁] 1．(2026·惠州模拟)质数又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数，数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”．如3和5，5和7，……，那么，如果我们在不超过20的自然数中，随机选取两个不同的数，记事件A＝“这两个数都是素数”，事件B＝“这两个数不是孪生素数”，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 A　[在不超过20的自然数中，素数有2，3，5，7，11，13，17，19，共8个， 其中“孪生素数”有3和5，5和7，11和13，17和19，共4种情况， 则P(|A)＝，故P(B|A)＝1－P(|A)＝．故选A．] 2．(多选)下列结论中错误的是(　　) A．P(B|A)＝P(A|B) B．P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A) C．P(AB)＝P(B|A)P(A) D．P(B|A)P(A)≥P(A)＋P(B) √ √ √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 ABD　[P(A|B)＝，P(B|A)＝，而P(A)与P(B)不一定相等，故A不正确； 当B，C为互斥事件时，等式成立，故B不正确； 由概率的乘法公式知C正确； P(B|A)P(A)＝P(AB)≤P(A)＋P(B)，故D不正确． 故选ABD．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 考点三　全概率公式的应用 [典例4]　跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为(　　) A．0.35 B．0.32 C．0.45 D．0.36 √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 A　[设事件A表示“随机抽一名教师，该教师喜欢跑步”，事件B1，B2，B3分别表示“抽到的教师来自高一、高二、高三年级”， 由题意知P(B1)＝＝0.3，P(B2)＝＝0.3，P(B3)＝＝0.4， P(A|B1)＝0.4，P(A|B2)＝0.3，P(A|B3)＝0.35， 根据全概率公式知P(A)＝P(B1)P(A|B1)＋P(B2)P(A|B2)＋P(B3)P(A|B3)＝0.3×0.4＋0.3×0.3＋0.4×0.35＝0.35． 故选A．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 通性通法：利用全概率公式解题的思路 (1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个两两互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)． (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)． (3)代入全概率公式计算． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [多维变迁] 1．(2025·沈阳期末)某工业园区安装了一套AI水质污染监测系统，对每日的水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1．当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为(　　) A．0.095 B．0.45 C．0.14 D．0.1 √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 C　[设事件A表示该园区水质每日发生化学污染，事件B表示该监测系统每日发生警报， 由题意，可得P(A)＝0.1，P()＝0.9，P(B|A)＝0.95，P(B|)＝0.05， 所以P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()P(B|)＝0.1×0.95＋0.9×0.05＝0.14． 故选C．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2．(2026·莆田模拟)某年3月初，某地区甲型流感进入高发期，调查数据显示，该地区小学生、初中生、高中生感染甲型流感的比例分别为． (1)若从该地区小学生与初中生中各随机抽取1人，求这2人中至多有一人感染甲型流感的概率； (2)若该地区小学生、初中生、高中生人数之比为5∶4∶3，现从该地区小学生、初中生及高中生中随机地抽取1人，求该生感染甲型流感的概率． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [解]　(1)从该地区小学生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为，从该地区初中生中随机抽取1人，该生感染甲型流感的概率为，所以这2人中至多有一人感染甲型流感的概率为1－． (2)设A＝“抽到小学生”，B＝“抽到初中生”，C＝“抽到高中生”，D＝“该生感染甲型流感”， 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝， P(D|A)＝，P(D|B)＝，P(D|C)＝， 所以由全概率公式可知， P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)·P(D|C)＝． 所以该生感染甲型流感的概率为． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 【教用·备选题】 保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(　　) A．0.155 B．0.175 C．0.016 D．0.096 √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 B　[设事件B1表示“被保险人是‘谨慎的’”，事件B2表示“被保险人是‘一般的’”，事件B3表示“被保险人是‘冒失的’”，则P(B1)＝20%，P(B2)＝50%，P(B3)＝30%．设事件A表示“被保险人在一年内发生事故”，则P(A|B1)＝0.05，P(A|B2)＝0.15，P(A|B3)＝0.30．由全概率公式，得P(A)＝P(Bi)·P(A|Bi)＝20%×0.05＋50%×0.15＋30%×0.30＝0.175．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 【教用·教材拓展】 贝叶斯公式 (1)贝叶斯公式：设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有P(Ai|B)＝，i＝1，2，…，n．贝叶斯公式是用来求一个事件的条件概率的，其思想是执果索因，即在知道结果的情况下，去推断原因的可能性，可以看作是全概率公式的逆向应用． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (2)全概率公式和贝叶斯公式的区别 ①从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率． ②从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概率．贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 ③从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母(结果发生的总概率)，而贝叶斯公式可以用来求出全概率公式中的分子(子事件发生的条件概率)． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 [典例]　(1)(2026·宿迁模拟)人工智能领域让贝叶斯公式：P(A|B)＝站在了世界中心位置，AI换脸是一项深度伪造技术，某视频网站利用该技术掺入了一些“AI”视频，AI视频占有率为0.001．某团队决定用AI对抗AI，研究了深度鉴伪技术来甄别视频的真假．该鉴伪技术的准确率是0.98，即在该视频是伪造的情况下，它有98%的可能鉴定为“AI”；它的误报率是0.04，即在该视频是真实的情况下，它有4%的可能鉴定为“AI”．已知某个视频被鉴定为“AI”，则该视频是“AI”合成的可能性约为(　　) A．0.1%　　　　 B．0.4% C．2.4% D．4% √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (2)(2026·扬州模拟)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为______________．   　 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (1)C　(2)　[(1)记“视频是‘AI’合成”为事件A，记“鉴定结果为‘AI’”为事件B， 则P(A)＝0.001，P()＝0.999，P(B|A)＝0.98，P(B|)＝0.04，由贝叶斯公式得 P(A|B)＝＝≈0.024．故选C． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 (2)设Ai表示“取到的零件是第i台车床加工(i＝1，2，3)”，B表示“取到的零件是次品”， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3) ＝0.25×0.06＋0.30×0.05＋0.45×0.05＝0.052 5，P(A2B)＝P(A2)P(B|A2)＝0.30×0.05＝0.015，故P(A2|B)＝． 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 1．(链接考向1)(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(　　) A．A与B相互独立 B．A与C相互独立 C．A与C互斥 D．A与B互斥 √ √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 AB　[由于摸球过程是有放回地，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥．故选AB．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 2．(链接考向2)(2025·湘潭期末)体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛(甲、乙各投篮一次)，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为(　　) A．0.38 B．0.24 C．0.14 D．0.5 √ A　[根据题意可知，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8， 则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为0.7×(1－0.8)＋0.8×(1－0.7)＝0.38． 故选A．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 3．(链接考点二)(2026·聊城模拟)抛掷2颗骰子，观察掷得的点数，记事件M为“2个骰子的点数不相同”，事件N为“点数之和大于8”，则在事件M发生的条件下，事件N发生的概率是(　　) A． B． C． D． √ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 D　[由题意知，事件M包含的基本事件有30个，则P(M)＝， 事件MN包含的基本事件有8个，则P(MN)＝，所以P(N|M)＝． 故选D．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 4．(链接考点二)(2026·盐城模拟)已知事件A，B，若P(B|A)＝，则P(AB)＝______________．   　[∵P(B|A)＝，P(A)＝， ∴P(AB)＝P(A)P(B|A)＝．] 　 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 5．(链接考点三)(2025·济宁期末)某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为已知输入的问题表达不清晰的概率为，则智能客服的回答被采纳的概率为______________．   　 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 　[设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件B， 则P(A)＝1－，P()＝， P(B|A)＝，P(B|)＝， 根据全概率公式，P(B)＝P(A)P(B|A)＋P()·P(B|)＝．] 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 谢谢！ 第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式 $