山东青岛市2025-2026学年高一下学期6月部分学生调研检测（强基班调考）数学试题

2026年高一年级部分学生调研检测 数学试题 2026.06 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上，并将准 考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如 需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写 在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 3+i 1-i A.1-2i B.1+2i C.2-i D.2+i 2.已知D为△ABC所在平面内一点，且AD=2CD,则BD可表示为 A.2BC-BA B.2BC+BA C.BC-2BA D.BC+2BA 3.为响应教育部普及全学段人工智能通识教育的号召，某校开展了A1知识线上答题活动，根 据成绩得到如图所示的频率分布直方图，则估计该校学生 频率组距 0.020 的平均成绩为 0.015 0.010 A.70 B.68 0.005 C.66 D.65 可20406080100成统/分 4.一水平放置的平面四边形OABC的直观图O'ABC如图所示， 其中OA=OC=1,OC⊥x轴，AB⊥x轴，BC∥y轴， 则四边形OABC的周长为 A.4+8√2 B.9+2W2 人45° C.8+4W2 D.10+2W2 0 A 5.已知圆台的侧面积等于上下两个底面面积之和，且圆台的母线和下底面所成的角为60°， 则圆台上下两个底面面积之比为 A司 6.已知平面向量a,b,e,旧=1,6与e夹角为60°，且6-te≥b-2q对任意teR恒成立， 则a+e+a-1的最小值 A.5 B.25 C.4 D.√2i 高一数学试题第1页共4页 7.我国传统古建筑经常采用榫卯交叉结构，如图所示的博卯交叉结构是：两个完全相同的正 四棱柱垂直贯穿拼接成一个装饰多面体，其中一个四棱柱的侧棱与另一个四棱柱的侧棱垂 直，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点已知正四 棱柱底面边长为√互，侧棱长为4，则该榫卯交叉结构的体积为 A 28 B. 28V2 3 3 C %0 D. 40W2 3 3 8.已知平面上的点4,4,4，A4,4,满定∠44，马=ZhA=∠AA4=折，且 AA·2A=4·内A=内A·A44,则下列式子一定不成立的是 A.A4=244 B.A4=(N2+10AA C.AA=244 D.AA=AA 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.在平面直角坐标系中，向量4，b如图所示，则 A.a.b=11 B.a在i上的投影向量为二b C.存在实数1，使得(a+b)∥(a-b) D.存在实数，使得(1a+b)⊥(a-b) 7,则 10已知虚数z满足1z1.记a0=名- Awω为纯虚数 B.@s1 C.若|0=1，则z为纯虚数 D.记u=1+iw,v=1-iw,则Su2-2vl+|v2-2w的最小值为8(W5-2) 11.如图，矩形ABCD中，AB=2,BC=1,E为边CD上的一点.现将△ADE沿着AE折起， 使点D到达点P的位置，点P在平面ABCE内的射影K在线段AB上，则 A.存在E,使得EK∥平面PBC B存在E,使得AP⊥平面PBE C.DE的取值范围为(1,2] D.PE与平面ABCE所成角最大为30° 高一数学试题第2页共4页 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分， 12.若一组整数数据：M,2,1,3,4,5,4,6,8,9的第75百分位数是m,则m可以是（写出其 中一个即可. 13.已知正四楼柱ABCD-AB,CD,的底面边长为V,高为1，CP=CD,C不=uCD, 0≤，4≤1，M为AD,中点，则PM+PN的最小值为一 14.在锐角△ABC中，角么B,C的对边分别为a,点c,△MBC的面积S=号(+e2-a), 则的取值范围为—一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分) 如图，为完善山区森林防火预鳌网络，林业公益小队操控固定高度巡航无人机开展山林测 绘，计划在M,N两处制高点布设火情监测摄像头，.无人机在A处测得山顶M,N的俯角分别 为a=75°，B=30°，沿水平方向行驶4m到达B处，在B处测得山顶M,N的俯角分别为 C2=45°，B2=60°.A,B,M,N在同一铅锤平面内. （1)求A,M间的距离； A (2)求M,N间的距离. 16.（15分) 在△ABC中，D=2,花=二AC,BE和CD相交于点P,M是BC的中点. (1)用AB,AC表示亚； (2)若AB=2,AC=4,∠BAC=60°，求coS∠PMC. 高一数学试题第3页共4页 17.（15分) 已知总体划分为两层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分 别为：m,元，n,,s子，记总的样本平均数为z,样本方差为s2. (1)证明：g2=m+(:-1+”号+(-z]: m+n m+n (2)若第一层抽取的样本量m=20,平均数x=65,方差为5；第二层抽取的样本量 n=30,平均数夕=75，方差为s子，若两层合并后的方差为s2,且s2<s,试判断s2与好 的大小关系，并证明你的结论 18.（17分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD//BC,AB⊥BC, AD=2BC=4,AB=2W2,点E为AD的中点，BD∩CE=O,PO⊥平面ABCD,且PO=2. (1)证明：AC⊥平面PBD; (2)求平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦值； （3)在棱PC上是否存在一点F,使F,A,B,D四点在半径为√7的同一个球面上.若存 在，求 的值；若不存在，请说明理由。 D B 19.（17分) 已知锐角△4BC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,△ABC的垂心为H，,外心为O. (1》证明：O正=OA+OB+OC; (2)若BO=BH. (i)求B; (iⅱ)设△ABC的重心为G,内心为I,且c=2,a=3,求顶.O元. 高一数学试题第4页共4页 2026年高一年级部分学生调研检测数学参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1--8:BABD CDCD 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.BC 10.ACD 11.BCD 三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分. 12.6或7或8（写出其中一个即可）； 13.5; 4后 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分)（1)在△AMB中，由正弦定理， AM AB sin45°sin60°' AM 46 2 3 …4分 2 2 解得AM=8,.A,M间的距离为8km…6分 2》在△18N中，曲正孩定理得n位产·则=12疗分 在△AMN中，由余弦定理得MN2=AMP+AN2-2AM·AN cos45° =8+022P-1922.2 160… 11分 2 MN=4V10,所以M,N间的距离为4V10km…13分 16.(15分) (1)由题意，不妨设BP=kBE,CP=1CD, 则可以得到： AP=AB+BP=AB+kBE=(1-k)4B+2kAC 3 AP=AC+CP=AC+ICD=2AB+(-1AC …3分 3 [1-k=2 k=3 由于AB,AC不共线，所以可得： ,解得 5 k 3 1 =1- t5 所以D=2B+2AC …7分 5 数学评分标准第1页（共6页) (2)因为AM=)B+AC,所以=2花+2AC=4丽， 2 5 所m=号丽+4c,M而-c …9分 -后丽+6和：向4+16-器四写 1Cwf=兮形-号c=4+16-8到=3c5.2分 4 丽.动4-10-昌 所以cos∠PMC= PM.CM 5 V21 …15分 IPM-ICMI5. 7 5 17.(15分) 解：(1)根据方卷的定义可得，=2化-可+2一】…2分 m+n i=I 所以52=2x-+x-+20y,~+万-]， m+n ii 25-+x--20-0+2-x-司+(-剂 =x-+22x-x-司+2x-可 又22x-x-司=2x-2(x-司=0 ·6分 又∑（仅-）2=m(x-习2， 所以∑(x-x+x-习)2=ms7+m(x-司2， 同理∑0y,-+-习)2=s吃+(5-习2， i=l 数学评分标准第2页（共6页） 所以s=1ms+m(-y+ns+n0-] m+n 所=nTn+-矿]+m本n好+6-] 10分 m+n (2)>, …11分 证明如下： 2 EX65十3X75=7…12t分 合并后的方老=子+(65-7列1++(5-71门 =2g2+32120 5+好+ 5 5 c2, >+40，>S…15分 18.(17分) 解：(I)证明：因为底面ABCD为直角梯形，AD/IBC,AB⊥BC,所以AB⊥AD AC.BD=(AB+BC).(AD-AB)=AB.AD-AB.AB+BC.AD-BC.AB =-AB.AB+BC.AD=-8+8=0,所以AC⊥BD…2分 又PO⊥平面ABCD,ACC平面ABCD,所以AC⊥PO 又POc平面PBD,BDC平面PBD,且PO∩BD=O,所以AC⊥平面PBD·4分 （2)设平面PAD与平面PBC的交线为I,因为AD/IBC,可得AD//平面PBC 由线面平行的性质得，AD//BC/I,因为E为AD的中点，AD=2BC=4, 所以BC=DE=2,O为BD,CE的中点，由勾股定理得 BD=√AB2+AD2=2√6，所以PD=VP02+OD2=√10=PA=PB, 所以PE⊥AD…6分 PC=VP02+0C2=V6,因为PC2+BC2=6+4=10=PB2, 所以PC⊥BC A 如图，连接PE,易得PE⊥1，PC⊥1 所以∠EPC为平面PAD与平面PBC所成的锐二面角 在△PEC中，PE=PC=V6, B 数学评分标准第3页（共6页) COSLEPC=PE2+PC2-EC26+6-81 2PE·PC 123 所以平面PMD与平面P8C所成二面角的正弦值为2 …8分 (3)假设F,A,B,D四点在半径为√7的同一个球面上， 设球心为Q,因为AB⊥AD, A D O为BD的中点， 且PO⊥平面ABCD,所以Q在直线PO上， B 如图过F作FH⊥EC,FN⊥OP,垂足分别为H,N, 显然FH⊥平面ABCD,FH=ON,OH=NF…I0分 姿 FP=>0), 所器是点附益股距点 k+1 在△00D中，由勾股定理，Q0=VQD2-0D2=√7-6=1， …12分 @若球心Q在平面4cD上办，则QvQ0-ONHl-种H 在△0F中，由购殿理Qr=QN,,即7-会+ 化简得3k2+8k+2=0,因为k>0,所以无解… …14分 ②若球心Q在平面ABCD下方，则QN=QO+ON=1+ 2k3k+1 k+1k+1 在△OWF中，由勾股定理，QFP2=QN2+MF2,即7=(k+马+2 k+1 (k+)2, 化简得2-4-2=0，因为k>0,所以k=2+√6 所以，在棱PC上存在一点F,使F,A,B,D四点在半径为V7的同一个球面上. 此时的值为2+6 …17分 数学评分标准第4页（共6页) 19.(17分) 证明：（1)如图延长BO交△ABC的外接圆O于D,连接AD,CD CD⊥BC,AH⊥BC,故CD∥AH,同理可证AD∥CH. ∴.四边形ADCH为平行四边形.AF=DC=OC-OD=OC-BO, Oi-OA=OB+0C,Oi=OA+OB+0C…3分 (2)(i)由(1)知，Oi=OA+OB+OC,所以OB+BF=OA+OB+OC,即B丽=OA+OC 设△ABC外接圆半径为R,则|BF=(OA+OC)2=2R2+2OA.OC 因为BO=BH=R,∠AOC=2B,所以R=2R2+2R2cos2B. …5分 所以os28=分即2cosB-1=分6osB=分因为Be0受，所以B=号7分 （ⅱ)延长B1交AC于E,由角平分线性质可得： 怨提子压-函+号c CE BC 3' 在△ABC中，由余弦定理：AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cOSB=7, 4C=7,AB=27 …9分 在△BAE中，由角平分线性质可得： 是8-方可正版+. 5+V万b5+√7 由(1)知O丽=OA+OB+OC=3OG,B丽=B0+Oi=B0+30G=B0+3(OB+BG)=2OB+3BG, G-BA+BC.BH=20B+BA+EC. 丽.0c-(8丽--(O5+80)=(205+丽+8c--(08+号8+80 20丽o丽+号函+号o=210r+号0死厨+号0丽.c=21of-厨f-c 1OR=2C。-语20丽丽+时a+写0 …13分 2sinB√5 3 网+80)O丽+号M+8d=1r-8cP+BM+BCf21 6 数学评分标准第5页（共6页) no远+号4+写o方0a+2cx丽++ 3 3 15+3W76BM+2BCX305+m+B0 -1 l5分 (68+28C8o5+函+BC=-21f-3引8Cf+31B+218cf+1c卡0 远+风号-0.丽元-时+0-日 …17分 数学评分标准第6页（共6页）