专题强化：碰撞模型四大拓展（举一反三讲义）2027年高考物理一轮复习举一反三系列

该高中物理讲义聚焦碰撞模型四大拓展，系统整合滑块—弹簧、木板、子弹打木块及斜面模型，按“模型特点—临界条件—动量能量应用”逻辑架构知识点，通过考点梳理、典例精讲、变式训练等环节，帮助学生构建系统分析框架，突破高考高频难点。 资料以“共速”临界分析为核心，创新采用“模型建构+能量转化”双路径教学，如滑块—弹簧模型通过典例演示共速时弹性势能最大，培养科学思维与能量观念。设置基础巩固与综合提升分层练习，配合易错点专项突破，助力学生高效掌握解题方法，为教师把控复习节奏提供科学指导。

专题强化：碰撞模型四大拓展 目录 1 4 考点一 滑块—弹簧模型 4 考点二 滑块—木板模型 8 考点三 子弹打木块模型 12 考点四 滑块—斜面(曲面)模型 15 20 基础巩固练 20 综合提升练 27 核心考点 1.滑块—弹簧模型： 特点：系统动量守恒（通常地面光滑），机械能守恒（无摩擦生热）。弹簧压缩最短或拉伸最长时，两物体共速，弹性势能最大（动能损失最大，类似完全非弹性碰撞）。弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大（类似弹性碰撞）。 2.滑块—木板模型： 特点：系统在水平方向动量守恒（地面光滑）。系统内一对滑动摩擦力做功，将部分机械能转化为内能，故系统机械能不守恒。临界条件：滑块滑到木板另一端时两者共速（恰好不滑出），或滑块与木板达到共速后相对静止。内能Q=f·L（L为相对滑行距离）。 3.子弹打木块模型： 特点：属于完全非弹性碰撞的特殊形式。子弹射入木块（或穿过木块）过程，系统内力远大于外力，动量守恒。子弹和木块之间的摩擦力做功产生内能，系统机械能损失。内能Q=f·d（d为子弹相对木块的位移）。f常视为恒定阻力，是分析动能损失的关键。 4.滑块—斜面(曲面)模型： 特点：系统水平方向动量守恒（地面光滑，系统在水平方向不受外力）。系统机械能守恒（通常无摩擦）。当滑块上升到最高点时，两者水平方向共速。当滑块从斜面滑下时，系统机械能守恒，可类比弹性碰撞。需注意速度的分解与关联。 考情透析 1.题型与难度：以选择题和计算题（特别是压轴题）为主，难度高，是高考区分度的重要体现。 2.命题规律： 四大模型几乎必考其一或组合考查，是动量与能量综合应用的核心载体。 常与其他运动（圆周运动、平抛运动）结合，构成多过程、多物体的复杂综合题。 常以临界状态（弹簧最长/最短、恰好不滑出、滑块上升到最高点等）作为考点，考查学生的分析推理能力。 3.考查方向：侧重“找临界状态”（共速）是解决所有模型的关键、动量守恒与能量守恒（或功能关系）的综合列式、相对位移/路程在摩擦生热计算中的作用、系统初末状态的动量与能量对比分析。 素养对接 1.模型建构：将“碰撞”这一瞬时过程，通过弹簧、木板等媒介，拓展为持续一段时间的有相互作用的运动过程，培养模型辨析与迁移能力。 2.能量观念：能清晰判断系统机械能是否守恒，并能识别动能与弹性势能、内能之间的转化路径，培养对机械能与系统内能之间转化关系的深刻理解。 3.临界与极限思维：抓住“弹簧最长/最短”、“滑块恰好不滑出”、“共速”等临界状态作为解题突破口，培养在复杂运动中寻找关键点的能力。 4.系统性思维：坚持从系统整体（而不只是单个物体）出发，用动量守恒和能量守恒分析系统内部的相互作用过程，培养整体性科学思维。 学习目标 1.知识目标： 能准确写出四个模型动量守恒（系统合外力为零或其分量为零）和能量转化（是否涉及内能、弹性势能）的具体内容。 能说出每个模型的“临界条件”：弹簧模型（共速→Ep最大）、木板模型（共速→恰好不滑出）、子弹打木块（共速→嵌入）、斜面模型（上升到最高点共速）。 能写出内能计算公式Q=f·s相对。 2.能力目标： 模型识别能力：能根据题目描述的物理场景（含弹簧、木板、子弹、斜面），准确匹配对应的物理模型。 列综合方程能力：能根据模型特点，同时列出动量守恒和能量守恒（或功能关系）的方程组，并正确求解（如求解共速速度、弹簧最大弹性势能、产生内能、相对位移等）。 临界状态分析能力：能准确找到“共速”这一核心临界状态，并以此为节点列方程。 多过程衔接能力：能将四大模型与其他力学过程（如平抛、圆周）组合分析，确保各阶段物理规律的正确选用。 备考建议 1.牢牢抓住“共速”这一核心临界条件： 核心：在四个模型中，“共速”是出现重要物理量极值（弹性势能最大、内能最大、滑块上升到最高点）的标志。看到“弹簧最短/最长”、“木块不从木板上滑下”、“子弹刚好嵌入”、“滑块到达弧面最高点”等语言，立即想到“共速”。 2.死磕“动量守恒+能量守恒”的联合方程： 四大模型的通用列式框架： 动量守恒： 功能关系（能量守恒）： 3.重点突破“摩擦生热”的计算： 公式：Q=f·s相对。 滑块—木板模型：·s相对等于滑块与木板在相对滑动过程中的相对路程（若滑块未滑落，则等于木板的长度L；若滑块滑落，则需根据位移关系计算）。 子弹打木块模型：·s相对是子弹嵌入木块或穿过木块的深度（d）。解题时可画出v-t图，速度图线与时间轴围成的面积差即为s_相对。 4.注意模型的“变式”与“组合”： 变式：如“弹簧模型”的初速度方向不共线（需要分方向列动量守恒）；“木板模型”中木板粗糙但地面光滑（总动量守恒）；“打木块模型”中子弹未穿出或刚好穿出等。 组合：如“滑块在光滑曲面上滑动后与弹簧碰撞”，需要分析：滑块+曲面系统（水平动量守恒，机械能守恒，类比弹性碰撞）与滑块+弹簧系统（动量守恒，机械能守恒，滑块和弹簧的相互作用）的衔接。 5.强化易错点的专项训练： 易错点一：混淆“对系统”与“对单个物体”的动量守恒。四大模型只能对系统（如滑块+木板）列动量守恒，不能对单个物体列。 易错点二：错误判断系统机械能是否守恒。有无摩擦力是判断机械能是否守恒的关键。有摩擦生热的模型（木板、子弹打木块），系统机械能不守恒，必须使用功能关系或能量守恒定律。 易错点三：在打木块模型中，误以为子弹损失的动能全部转化为内能。实际上，子弹损失的动能大部分转化为木块的动能，只有转化的那部分Q=f·d才是内能。 易错点四：忽略“二维”碰撞中的动量矢量性。在斜面等涉及竖直方向运动的模型中，要注意系统在竖直方向动量不一定守恒，只能根据水平方向合力为零判断水平方向动量守恒。 考点一 滑块—弹簧模型 【必备知识回顾】 1．模型图示(如图所示) 2．模型特点 (1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为0，则系统动量守恒。 (2)机械能守恒：系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。 (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为0，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。 【重难模型精讲】 【典例1】(2026·江苏省·单元测试)如图甲所示，物块、的质量分别是和，用轻弹簧拴接两物块放在光滑的水平地面上，物块的右侧与竖直墙面接触。另有一物块从时刻起，以一定的速度向右运动，在时与物块相碰，并立即与粘在一起不再分开，物块的图像如图乙所示。 物块的质量； 物块离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能； 物块离开墙壁后，物块的最大速度值。 【答案】由题图乙知，与碰前速度为，碰后速度为与碰撞过程动量守恒，以的初速度方向为正方向，由动量守恒定律得 解得 当与速度为时，弹性势能最大 物块离开墙壁后，系统动量守恒、机械能守恒，物块的最大速度时，弹簧处于原长，则 解得 故物块离开墙壁后，物块的最大速度为 【变式训练与拓展】 【变式1】(2026·辽宁省·模拟题)如图所示，在足够长的光滑水平面上静止着两个物块和，物块与轻弹簧右端连接。一个小球被一根不可伸长的轻质细线悬挂于点正下方，轻靠在物块的左侧。现将细线拉直到与竖直方向夹角位置时，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生碰撞碰后将小球撤离，碰撞的恢复系数为定义式为，其中和分别是碰撞前两物体的速度，和分别是碰撞后两物体的速度。已知细线长，小球和物块的质量为，物块的质量为，小球、物块均可视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度取。求： 碰撞后物块的速度大小； 物块最大速度； 小球与物块碰撞后，试求物块最小速度。 【答案】解：小球从释放到刚与物块碰撞过程中，由动能定理得： 对小球和物块构成的系统，碰撞过程中动量守恒，以水平向右的方向为正方向，根据动量守恒得： 又因为碰前物块静止，由定义式可得 解得： 从物块与弹簧开始接触到弹簧再次恢复到原长时，物块的速度最大，在此过程中物块与物块及弹簧构成的系统动量守恒，机械能守恒，以水平向右的方向为正方向，由动量守恒定律得： 由机械能守恒得： 解得： 所以物块的最大速度为。 由解得 当弹簧恢复原长时，物块的运动方向发生变化，说明从物块刚与弹簧接触到弹簧恢复原长的过程中的某一位置，物块的速度为零，所以物块的最小速度为。 【变式2】(2026·广东省中山市·其他类型)如图所示，两物块、之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长，物块的质量。现给物块一向右的初速度，并把此时记为时刻，规定向右为正方向，在时间内、物块运动的图像如图所示。已知时刻它们的加速度最大，此时的速度，位移。求： 物块的初速度的大小 时间内弹簧对物块做的功 内的位移大小和弹簧的劲度系数。 【答案】解：由图结合牛顿第二定律可知：， 得：， 当时，、的加速度最大，此时速度相同，即， 由动量守恒定律， 得。 时，弹簧恢复原长，由能量守恒列方程， 由动量守恒定律， 得当时，，， 则∽时间内弹簧对物块做功， 解得。 ∽内，设的速度，设的速度，由动量守恒定律始终有， 即，已知时，， 得， 则时，弹簧的形变量为， ， ， 弹簧的劲度系数， 得。 【变式3】(2026·江苏省南通市·其他类型)如图所示，倾角为的足够长光滑斜面固定在水平面上，一轻弹簧与小滑块、相连，被锁定在斜面顶端，在斜面上从弹簧原长位置由静止释放已知、的质量均为，重力加速度为，弹簧的劲度系数为，弹簧的形变在弹性限度内． 求滑块速度最大时弹簧的伸长量 求滑块运动至最低点时弹簧的弹力大小 若两滑块与斜面间的动摩擦因数均为，解除滑块的锁定，同时滑块从弹簧原长位置以初速度沿斜面向下运动，经过时间滑块、速度第一次相同求时刻滑块的速度大小以及时间内系统产生的内能． 【答案】解：当滑块受到合力为零时速度最大 解得 设释放物块时，的加速度为，根据题意可知物块在斜面上做简谐运动，由对称性得在最低点时的加速度大小与释放时的相等，由牛顿第二定律 在释放时， 在最低点时， 解得 由题意可知，物块、在时间内加速度始终大小相等、方向相反，减小的速度与增加的速度相等，时刻、速度相等，弹簧伸长量最大根据对称性，在时间内减小的速度与增加的速度相等，时的速度为，的速度为，弹簧为原长以此类推，在时、的速度相等 因 对物块、、弹簧组成系统，由动量守恒定律 解得 设时间内物块、的位移分别为、，任何时刻物块、满足动量守恒 则有 即 由功能关系 解得 考点二 滑块—木板模型 【必备知识回顾】 1．模型图示(如图所示) 2．模型特点 (1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。 (2)若滑块未从滑板上滑下，当两者速度相同时，滑板速度最大，相对位移最大。 3．求解方法 (1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统。 (2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体。 (3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统。 【重难模型精讲】 【典例2】(2026·福建省·单元测试)如图所示，质量的木板静止在光滑水平面上，一个质量可视为质点的小木块，以初速度冲上木板左端，小木块恰好未滑离木板，木块与木板间的动摩擦因数，。求： 小木块和木板达到的共同速度大小； 系统损失的动能； 木板的长度、木块在木板上滑行的时间。 【答案】解：根据动量守恒 解得 系统损失的动能 系统损失的动能转化为摩擦产生的内能，由能量守恒得 解得木板的长度 对木块受力分析，由牛顿第二定律得 由运动学公式得 解得 【变式训练与拓展】 【变式4】(2026·江苏省南通市·其他类型)如图所示，一质量的长木板放在光滑水平地面上，在其右端放一质量可视为质点的小木块，现和以大小为的共同初速度向左运动。一与长木板等高，前端有胶，质量为，长度的短木板，以的初速度水平撞击长木板并粘为一体，撞击时间极短，始终没有滑离、，和、间的动摩擦因数均为，取。求： 与撞击后的速度大小及此时木块、的加速度大小； 从与撞击到、、具有共同速度所需的时间； 长木板至少要多长。 【答案】解：取向右为正方向，由于和碰撞时间极短，对、系统由动量守恒定律有 解得 对、和分别由牛顿第二定律有， 解得， 从和碰撞到、、共速，对、、系统由动量守恒定律得 解得 对由动量定理有 解得 对和碰撞后的、、系统由能量守恒定律有 解得由于摩擦产生的热量为 由功能关系有 解得 由于 解得 所以木板至少长。 【变式5】(2026·天津市市辖区·模拟题)某生产线上的传送装置如图所示，质量为的零件先从点由静止释放，通过半径的圆弧轨道，然后进入一段水平轨道，运动了之后，从水平轨道末端点冲上静止在地面上且表面与水平轨道相切的传送小车，零件与小车相对静止后，小车到达挡板与挡板碰撞后立即停止运动，零件在小车上又滑行了恰好能被挡板处的工人接到，已知小车质量为，小车与地面间摩擦力很小可以忽略，已知零件与水平轨道和传送小车间的动摩擦因数均为，取，求： 传送小车的长度； 圆弧轨道的摩擦力对零件做的功。 【答案】解：小车静止后，零件在小车上滑行过程，由动能定理，有 零件在小车上相对滑动过程，由动量守恒定律和能量守恒定律，有，， 其中，代入数据解得。 零件在段滑行过程，由动量定理，有 在圆弧轨道上下滑过程中，由动能定理，有，解得。 【变式6】(2026·山东省·模拟题)如图，质量为的薄木板静置于光滑水平地面上，半径为的竖直光滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端与木板等高，轨道上端点和圆心连线与水平面成角．质量为的小物块以的初速度从木板左端水平向右滑行，与木板间的动摩擦因数为当到达木板右端时，木板恰好与轨道底端相碰并被锁定，同时沿圆弧切线方向滑上轨道．待离开轨道后，可随时解除木板锁定，解除锁定时木板的速度与碰撞前瞬间大小相等、方向相反．已知木板长度为取取． 求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块和木板的速度大小； 求物块到达圆弧轨道最高点时受到轨道的弹力大小及离开轨道后距地面的最大高度； 物块运动到最大高度时会炸裂成质量比为的物块和物块，总质量不变，同时系统动能增加，其中一块沿原速度方向运动．为保证之一落在木板上，求从物块离开轨道到解除木板锁定的时间范围． 【答案】设物块的初速度为，木板与轨道底部碰撞前，物块和木板的速度分别为和，物块和木板的质量分别为和，物块与木板间的动摩擦因数为，木板长度为，由动量守恒定律和功能关系有： 由题意分析，联立式得：，。 设圆弧轨道半径为，物块到圆弧轨道最高点时斜抛速度为，轨道对物块的弹力为； 物块从轨道最低点到最高点，根据动能定理有： 物块到达圆弧轨道最高点时，根据牛顿第二定律有： 联立，得：； 设物块抛出时速度的水平和竖直分量分别为和 ， 斜抛过程物块上升时间，该段时间物块向左运动距离为； 物块距离地面最大高度。 物块从最高点落地时间，设向左为正方向，物块在最高点炸裂为、，设质量和速度分别为、和、，设，系统动能增加； 根据动量守恒定律和能量守恒定律得： 解得：，或，； 下面求从物块离开轨道到解除木板锁定的时间范围： 若，，炸裂后落地过程中的水平位移为，炸裂后落地过程中的水平位移为，木板右端到轨道底端的距离为； 运动轨迹分析如下： ； 为了保证、之一落在木板上，需要满足下列条件之一： I.若仅落在木板上，应满足，且； 解得： 若仅落在木板上，应满足，且； 无解。 若，，炸裂后落地过程中水平位移为，炸裂后落地过程中水平位移为，木板右端到轨道底端的距离为，运动轨迹分析如下： ； 为了保证、之一落在木板上，需要满足下列条件之一： Ⅲ若仅落在木板上，应满足，且； 解得： Ⅳ若仅落在木板上，应满足，且； 解得： 综合分析两种情况，为保证、之一一定落在木板上， 满足的条件为：或。 考点三 子弹打木块模型 【必备知识回顾】 1．模型图示(如图所示) 2．模型特点 (1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失。 3．两种情境 (1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞) 动量守恒：mv0＝(m＋M)v， 能量守恒：Q＝Ff·s＝mv－(M＋m)v2。 (2)子弹穿透木块 动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2， 能量守恒：Q＝Ff·d＝mv－mv＋Mv。 【重难模型精讲】 【典例3】(2025·江苏省镇江市·月考试卷)如图所示，两个质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上两矩形滑块、中，、质量相同但材料不同。子弹射入中的深度是射入中深度的两倍。上述两种射入过程相比较() A.滑块、对子弹的阻力大小之比为 B.子弹打入、滑块的时间之比为 C.子弹对、滑块的冲量大小之比为 D.两个过程中系统产生的热量之比为 【答案】B 【解析】A.设子弹的初速度为，共同速度为，子弹质量为，滑块质量为，则根据动量守恒定律，有：，解得， 损失的动能转变为内能，则有，其中为子弹射入滑块的深度。 因为子弹射入中的深度是射入中深度的两倍，所以滑块、对子弹的阻力大小之比为，故A错误； B.对滑块分析，根据动量定理，因为之比为，则时间之比为，故B正确； C.根据动量定理，子弹对、滑块的冲量等于、的动量变化量，即大小相同，故C错误； D.热量之比为，故D错误。 故选B。 【变式训练与拓展】 【变式7】（多选）(2026·湖北省黄冈市·月考试卷)如图所示，质量为、长为的木块静止在光滑水平面上，质量为的子弹可视为质点以初速度水平向右射向木块，穿出木块时速度减为。若再将另一相同木块固定在传送带上如图所示，使木块随传送带以的速度水平向左运动，相同的子弹仍以初速度水平向右射向木块，木块的速度始终不变。已知木块对子弹的阻力恒定。下列说法正确的是() A.第一次子弹穿过木块过程中，木块的位移大小为 B.第一次子弹穿过木块过程中，子弹克服阻力做的功为 C.子弹前后两次穿过木块的时间之比为 D.第二次子弹穿出木块时的速度为 【答案】AC 【解析】第一次子弹穿过木块过程中动量守恒 解得 对物块由动能定理 对子弹 即子弹克服阻力做的功为； 联立解得， 选项A正确，B错误； 第一次，对物块由动量定理，解得 第二次，子弹在木块没做匀减速运动，加速度为 子弹穿过木块时满足，解得 则子弹前后两次穿过木块的时间之比为 第二次子弹穿出木块时的速度为 选项C正确，D错误。 故选AC。 【变式8】(2025·湖南省常德市·其他类型)质量的子弹，以的速度射向质量、静止在光滑水平桌面上的木块，子弹穿过木块后的速度求： 子弹穿过木块后木块的速度大小 子弹穿过木块整个过程中木块对子弹的冲量大小． 【答案】解：根据动量守恒定律得， 代入数据得。 根据动量定理得， 代入数据得。 【变式9】(2025·湖南省怀化市·月考试卷)在军事装备设计中，经常需要对材料进行测试。如图甲所示，质量为、长度为的匀质防弹板静置在足够大的光滑水平地面上，质量为、可视为质点的子弹以水平速度射入防弹板，恰好不能从防弹板的右端射出，已知子弹受到防弹板的阻力恒定且远大于自身受到的重力。 求防弹板的最大速度； 求子弹受到防弹板的阻力大小； 现仅将防弹板均匀切割成块，如图乙所示，子弹以相同的速度射入防弹板后，恰好不能从第块防弹板射出，求与满足的关系。 【答案】防弹板与子弹共速时，防弹板的速度最大，根据动量守恒定律有 解得。 子弹射入防弹板过程中产生的热量等于系统损失的机械能，有 解得。 以防弹板为参考系，设子弹离开第块防弹板时的相对速度为，离开第块防弹板时的相对速度为，离开第块防弹板时的相对速度为，离开第块防弹板时的相对速度为，根据运动学公式有 以上等式左、右相加得 解得。 考点四 滑块—斜面(曲面)模型 【必备知识回顾】 1．模型图示(如图所示) 2．模型特点 (1)上升到最大高度：滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共，此时滑块的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，有mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。 (2)返回最低点：滑块与斜(曲)面分离点。系统水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，有mv＝mv＋Mv(相当于弹性碰撞)。 【重难模型精讲】 【典例4】（多选）(2026·四川省·模拟题)如图所示，质量的滑块静止在光滑水平面上，其上表面的左侧部分段为长的粗糙水平面、右侧部分段为半径为的光滑四分之一圆弧，与在点相切，点为圆弧最高点。一质量为的滑块以水平初速度从滑块的端滑入，能经点滑上圆弧段。已知重力加速度为，，滑块与滑块上表面段的动摩擦因数恒定，空气阻力不计，则下列说法中正确的是() A.若，则滑块能从的端飞出 B.滑块之间的动摩擦因数可能为 C.若，则最终、组成的系统损失的机械能为 D.滑块在整个运动过程中速度的最大值不可能超过 【答案】AC 【解析】A.若滑块恰好到达端，有， 联立解得 所以，若，则滑块能从的端飞出，故A正确； B.若滑块恰好到达端，有， 联立解得 所以，若，则滑块不能滑上圆弧轨道，故B错误； C.若，则滑块将冲上圆弧轨道，但不会从点飞出，假设滑块会返回端，则， 解得 由此可知，假设成立，且滑块返回到端时，二者恰好共速，之后一起做匀速直线运动，所以最终、组成的系统损失的机械能为，故C正确； D.由以上分析可知，当冲上圆弧轨道上升到最高点时，二者共速，此时速度为，故D错误。 故选AC。 【变式训练与拓展】 【变式10】(2026·广东省·月考试卷)如图所示，质量为的半圆弧槽静止在水平面上，左端紧靠竖直的墙壁，圆弧轨道位于竖直平面内且两端等高，半径为一质量为的小滑块从槽左端的正上方点处由静止释放，与点的高度差为，重力加速度为，不计空气阻力及一切摩擦．求： 滑块第一次到达槽最低点时的速度大小和受到的支持力大小； 滑块第一次离开槽右端后，还能上升的最大高度； 滑块第二次到达槽最低点时的速度和此时圆弧槽的速度． 【答案】解：由机械能守恒定律有 解得 由向心力公式有 解得。 设滑块恰好与圆弧槽相对静止时的速度为， 由动量守恒定律有 系统机械能守恒有 解得 设此时滑块的速度为，圆弧槽的速度，则有， 解得负号表示方向水平向左方向水平向右 【变式11】(2026·青海省西宁市·模拟题)如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长。小球质量。物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长。圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度取。 求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小； 求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小； 为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数的取值范围。 【答案】解：对小球摆动到最低点的过程中，由动能定理 解得 在最低点，对小球由牛顿第二定律 解得，小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小为 小球与物块碰撞过程中，由动量守恒定律和机械能守恒定律 、 解得小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小为 若物块恰好运动到圆弧轨道的最低点，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒 由能量守恒定律 解得 若物块恰好运动到与圆弧圆心等高的位置，此时两者共速，则对物块与小车整体由水平方向动量守恒 由能量守恒定律 解得 综上所述物块与水平轨道间的动摩擦因数的取值范围为 【变式12】(2026·江苏省·期末考试)如图，光滑水平面上有一弹簧，左端固定，右端与质量的小球接触。小球右侧静置一质量、半径的四分之一光滑圆弧轨道。现推动小球使其向左压缩弹簧，松手后，小球脱离弹簧，冲上右侧轨道，小球恰好能到达圆弧的最高点。取重力加速度大小，求： 小球脱离弹簧时的速度大小； 整个过程中，圆弧轨道最大速度的大小； 小球在下滑阶段，当其和圆心的连线与竖直方向的夹角时，轨道的速度大小。 【答案】解：设小球与轨道共速时的速度为， 水平方向上动量守恒，有， 根据机械能守恒定律，有， 解得。 小球运动到圆弧轨道最低点时，轨道速度最大，设此时小球的速度为，轨道的速度为， 由水平方向上动量守恒，有， 根据机械能守恒定律，有， 解得，， 经分析两者不会再次发生相互作用。 设小球在下滑阶段，和圆心的连线与竖直方向的夹角时，小球的速度大小为，轨道的速度大小为， 由系统水平方向上动量守恒有， 又， ， 由能量守恒定律有， 解得， 。 基础巩固练 1.(2025·山西省·单元测试)如图所示，质量均为的木块、与轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上处于静止状态，另有一个质量为木块以速度与木块碰撞并粘在一起碰撞时间极短，则从木块与木块碰撞到弹簧压缩到最短的整个过程中，下列说法正确的是() A.木块、、和弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒 B.木块与木块碰撞结束时，木块的速度为 C.木块与木块碰撞结束时，木块的速度为 D.弹簧的最大弹性势能等于木块、、和弹簧组成系统的动能减少量 【答案】C 【解析】A、木块、、和弹簧组成的系统所受合外力为零，所以系统动量守恒。木块与碰撞并粘在一起，此过程系统机械能有损失，故系统机械能不守恒，故A错误； 、木块与碰撞并粘在一起，以木块与木块组成的系统为研究对象，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律得，解得：，即木块与木块碰撞结束时，木块的速度为，故C正确，B错误； D、木块与碰撞过程中机械能有损失，之后粘合体在通过弹簧与物块作用过程中满足动量守恒和机械能守恒，但由于碰撞过程系统机械能有损失，所以弹簧的最大弹性势能小于木块、、和弹簧组成系统的动能减少量，故D错误； 故选：。 2.(2025·江苏省泰州市·月考试卷)如图所示，质量相同的物体、用轻弹簧连接，静止在光滑水平面上，其中靠在墙壁上．现用力推动压缩弹簧至点后再释放，当弹簧的长度最大时，弹性势能为则 A.释放后，、组成的系统机械能守恒 B.释放后，、组成的系统动量守恒 C.弹簧被压缩至点时的弹性势能为 D.释放后，的动能最大值为 【答案】D 【解析】A.释放后，弹簧弹力做功，、组成的系统机械能不守恒，故A错误； B.释放后，、受到墙壁的弹力，组成的系统动量不守恒，故B错误； C.当弹簧的长度最大时，弹性势能为此时动能相等，弹簧被压缩至点时的弹性势能，故C错误； D.开始时弹簧弹性势能为，弹簧恢复原长时，当弹簧的长度最大时，用动量守恒得，的动能之和为，由系统能量守恒得，即，释放后，的动能最大值时的动能为零，弹簧弹性势能为零，的最大动能，故D正确。 3.(2025·河南省·模拟题)某动画片中小猴子沿冰面抛出一个冰球，随即冰球滚上静止在冰面上的圆弧滑块，简化示意图如图所示，已知冰球质量为，初速度为，圆弧滑块质量为，半径为，不计一切摩擦和空气阻力，冰球可视为质点，则冰球最终离开圆弧滑块时的速度大小为() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】冰球最终从圆弧滑块底端离开圆弧滑块，根据动量守恒和系统机械能守恒有，，解得。 故选A。 4.(2024·陕西省·联考题)如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为的小球从槽高处开始自由下滑() A.在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒 B.在下滑过程中小球对槽的作用力始终不做功 C.被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动 D.被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高处 【答案】C 【解析】A、小球在槽上运动时，由于小球受重力，故两物体组成的系统外力之和不为零，故动量不守恒；当小球与弹簧接触后，小球受外力，故动量不再守恒，故A错误； B、下滑过程中两物体都有水平方向的位移，而力是垂直于球面的，故力和位移夹角不垂直，故两力均做功，故B错误； C、因两物体组成的系统在水平方向上合力为，则水平方向上动量守恒，由于质量相等，所以水平方向上速度相等，故小球脱离弧形槽后，槽向后做匀速运动，而小球反弹后也会做速度相等的匀速运动，故C正确； D、小球被反弹后，小球和槽都做匀速运动，系统的末动能不为零，所以小球不能回到槽高处，故D错误． 故选：． 5.(2026·天津市·月考试卷)如图所示，静止在光滑水平桌面上的物块和用一轻质弹簧拴接在一起，弹簧处于原长。一颗子弹沿弹簧轴线方向射入物块并留在其中，射入时间极短。下列说法中正确的是() A.子弹射入物块的过程中，子弹和物块的机械能守恒 B.子弹射入物块的过程中，子弹对物块的冲量大小大于物块对子弹的冲量大小 C.子弹射入物块后，两物块与子弹的动能之和等于射入物块前子弹的动能 D.两物块运动过程中，弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能 【答案】D 【解析】、子弹射入物块的过程中，要产生内能，则子弹和物块的机械能减少，故错误。 、子弹射入物块的过程中，根据牛顿第三定律可知，子弹对物块的作用力大小等于物块对子弹的作用力大小，而且两个力作用时间相等，由知，子弹对物块的冲量大小等于物块对子弹的冲量大小，故错误。 、由于子弹射入物块的过程中要产生内能，所以，子弹射入物块后，两物块与子弹的动能之和小于射入物块前子弹的动能，故错误。 、两物块运动过程中，弹簧最短时和弹簧最长时两物块速度相同，设两物块的共同速度为。取水平向右为正方向，由动量守恒定律得 可知，弹簧最短时和弹簧最长时两物块的共同速度相同，系统的总动能相同，由系统的机械能守恒定律知，弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能，故正确。 故选。 6.如图所示，一质量的木板放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量的小木块。现以的初速度向左运动，则的最终速度可能为() A. B. C. D. 【答案】A 【解析】若、能达到共同速度，设、达到的共同速度为，根据动量守恒定律，有，解得，故B的最大速度为； 若、未达到共同速度时就滑出的左端，则获得的速度小于。 故选：。 7.(2025·天津市·月考试卷)质量为的滑块由水平轨道和竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道组成，放在光滑的水平面上。滑块开始时静止，质量为的物块可视为质点以某初速度从水平轨道滑上滑块，恰好可以到达圆弧轨道的最高点，如果水平轨道的长度和圆弧轨道的半径均为，物块与水平轨道间的动摩擦因数为，，求物块滑上水平轨道时的初速度。 【答案】对整体整个过程根据动量守恒定律有， 根据能量守恒定律有， 代入数据解得。 8.(2024·北京市·期中考试)如图在光滑水平面上静止着两个木块和，、间用轻弹簧相连接，已知，。一质量为的子弹，以水平速度射入木块中未穿出，子弹与木块相互作用时间极短。求： 子弹射入后瞬间，木块和子弹共同运动的速度大小； 弹簧的弹性势能最大值是多少。 【答案】解：设子弹初速度方向为正方向，子弹射入木块中，由动量守恒定律，有 解得 当弹簧压缩量最大时，即子弹、木块与木块共速时，弹簧的弹性势能最大，在此过程中，系统动量守恒，以子弹的速度方向为正方向，由动量守恒定律得 解得 则弹性势能的最大值是 代入数据解得 9.(2026·河南省周口市·模拟题)如图所示，物块固定在水平面上，上表面带有半径为的光滑圆弧轨道，其圆心角为。右端与质量为的板紧靠在一起不粘黏，圆弧轨道末端与上表面平滑连接，的上、下表面均光滑。一轻弹簧的右端固定在上，另一端自由。质量为的小球从点自由下落，在点与挡板发生碰撞，间的距离也为，碰撞后小球速度变为碰前速度的倍，且与水平方向成角，经过一段时间，小球恰好从点沿切线方向进入圆弧轨道，最后滑上。重力加速度为，弹簧形变始终在弹性限度内，不计空气阻力。求： 与挡板碰撞过程中小球损失的机械能； 小球通过圆弧轨道末端点时对轨道的压力大小； 弹簧获得的最大弹性势能。 【答案】小球自由下落到点，碰前速度满足 碰后速度为 则损失的机械能为 得 碰后水平方向的分速度为 碰后小球斜抛运动到点，速度与圆弧轨道相切，在点有 从到轨道末端，根据动能定理 在轨道末端，牛顿第二定律 由牛顿第三定律可得 小球滑上后压缩弹簧，小球与组成的系统动量守恒，当二者共速时，弹簧的弹性势能最大，以的方向为正方向，则有 解得 10.(2025·河南省·联考题)如图，半径为的四分之一光滑圆弧轨道静止在水平面上，的末端在点与水平面相切，水平面上、点间距离为，水平面上右端有一固定挡板，挡板上安有一水平轻质弹簧。水平面上除了间粗糙外，其余部分均光滑。一小滑块从的最高点由静止开始释放。已知的质量为，的质量为，与水平面间的动摩擦因数，水平面足够长，弹簧的形变在弹性限度内，重力加速度大小。求： 第一次下滑到末端的瞬间，的速度大小 第一次下滑到水平面开始计时，经过多长时间滑到位置 、最终的速度。 【答案】解：第一次下滑，下滑到末端的瞬间、的速度分别设为、， 与组成的系统，根据水平方向动量守恒，有， 根据机械能守恒，有， 解得，， 由可得， 结合几何关系有 解得，， 滑到点的时间， 从点到点的过程，根据牛顿第二定律有， 由运动学公式，有， 解得，舍去 第一次下滑到水平面开始计时，滑到位置经过的时间， 从第一次经过点到返回点的过程，根据动能定理有， 解得，方向水平向左 将滑上再返回到的底端，设此时的速度分别为， 根据水平方向动量守恒，有， 根据机械能守恒，有， 解得，方向水平向左，，方向水平向左 11.(2026·广东省·月考试卷)在固定的光滑水平杆杆足够长上，套有一个质量的光滑金属圆环，一根长的轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量的木块，如图所示。现有一质量为的子弹以的水平速度射向木块，最后留在木块内不计空气阻力和子弹与木块作用的时间，取，求： 当子弹射入木块后瞬间，木块的速度大小； 木块向右摆动的最大高度； 木块向右摆动到最高点过程中绳子拉力对木块做的功。 【答案】子弹射入木块的过程中，子弹和木块组成的系统动量守恒，则 解得 子弹、木块和金属圆环组成的系统水平方向动量守恒，当木块向右摆动到最大高度时，有 联立解得， 对木块和子弹整体，根据动能定理可得 解得 12.(2025·安徽省·模拟题)如图所示，质量、半径的光滑圆弧轨道与平板小车紧挨着静止在光滑水平面上，点为圆弧轨道最低点，点为圆弧轨道最高点，小车质量，长度，小车的上表面与点等高，可视为质点的物块从小车最右端点以一定的初速度向左滑动，物块质量，取重力加速度大小。 若小车与圆弧轨道始终粘连在一起，物块恰好能到达圆弧轨道最高点，求物块与小车上表面间的动摩擦因数。 若仍然与中相同，当物块刚滑到圆弧轨道上时，小车立即与圆弧轨道分离，求物块和小车分离瞬间各自的速度。 【答案】物块从点滑到点的过程中，物块与小车及圆弧轨道系统水平方向动量守恒： 解得 由能量守恒： 解得 物块从点滑到点的过程中，物块与小车及圆弧轨道系统动量守恒： 由能量守恒： 解得另一解不符合题意，舍去 综合提升练 1．（多选）（2025·福建·高考真题）如图，物块A、B用轻弹簧连接并放置于水平传送带上，传送带以1m/s的恒定速率顺时针转动。t=0时，A的速度大小为2m/s，方向水平向右，B的速度为0，弹簧处于原长，t=t1时（t1为未知量），A第一次与传送带共速，弹簧弹性势能0.75J。已知A、B可视为质点，质量分别为1kg、2kg，与传送带的动摩擦因数为0.5、0.25；A与传送带相对滑动时会留下痕迹，重力加速度大小取，A、B始终在传送带上，弹簧始终在弹性限度内，则（　　） A．在t=时，A的加速度大小比B的小 B．t=t1时，B的速度大小为0.5m/s C．t=t1时，弹簧的压缩量为0.2m D．0﹣t1过程中，A在传送带上留下的划痕长度小于0.05m 【答案】BD 【详解】AB．根据题意可知传送带对AB的滑动摩擦力大小相等都为 初始时A向右减速，B向右加速，故可知在A与传送带第一次共速前，AB整体所受合外力为零，系统动量守恒有， 代入数值解得t=t1时，B的速度为 在A与传送带第一次共速前，对任意时刻对AB根据牛顿第二定律有， 由于，故可知 故A错误，B正确； C．在时间内，设AB向右的位移分别为，，由功能关系有 解得 故弹簧的压缩量为 故C错误； D．A与传送带的相对位移为 B与传送带的相对为 故可得 由于时间内A向右做加速度逐渐增大的减速运动，B向右做加速度逐渐增大的加速运动，且满足，作出AB的图像 可知等于图形的面积，等于图形的面积，故可得 结合 可知，故D正确。 故选BD。 2．（多选）（2024·湖北·高考真题）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f与射入初速度大小成正比，即（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小，若木块获得的速度最大，则（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块和子弹损失的总动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 【答案】AD 【详解】A．子弹和木块相互作用过程系统动量守恒，令子弹穿出木块后子弹和木块的速度的速度分别为，则有 子弹和木块相互作用过程中合力都为，因此子弹和物块的加速度分别为 由运动学公式可得子弹和木块的位移分别为 联立上式可得 因此木块的速度最大即取极值即可，该函数在到无穷单调递减，因此当木块的速度最大，A正确； B．则子弹穿过木块时木块的速度为 由运动学公式 可得 故B错误； C．由能量守恒可得子弹和木块损失的能量转化为系统摩擦生热，即 故C错误； D．木块加速过程运动的距离为 故D正确。 故选AD。 3．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 【答案】（1）10m/s；31.2；（2）0；（3）0.2m 【详解】（1）滑块a从D到F，由能量关系 在F点 解得 FN=31.2N （2）滑块a返回B点时的速度vB=1m/s，滑块a一直在传送带上减速，加速度大小为 根据 可得在C点的速度 vC=3m/s 则滑块a从碰撞后到到达C点 解得 v1=5m/s 因ab碰撞动量守恒，则 解得碰后b的速度 v2=5m/s 则碰撞损失的能量 （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，则ab碰后的共同速度 解得 v=2.5m/s 当弹簧被压缩到最短或者伸长到最长时有共同速度 则 当弹簧被压缩到最短时压缩量为x1，由能量关系 解得 同理当弹簧被拉到最长时伸长量为 x2=x1 则弹簧最大长度与最小长度之差 4．（2024·辽宁·高考真题）如图，高度的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量。A、B间夹一压缩量的轻弹簧，弹簧与A、B不栓接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离后停止。A、B均视为质点，取重力加速度。求： （1）脱离弹簧时A、B的速度大小和； （2）物块与桌面间的动摩擦因数μ； （3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能。 【答案】（1）1m/s，1m/s；（2）0.2；（3）0.12J 【详解】（1）对A物块由平抛运动知识得 代入数据解得，脱离弹簧时A的速度大小为 AB物块质量相等，同时受到大小相等方向相反的弹簧弹力及大小相等方向相反的摩擦力，则AB物块整体动量守恒，则 解得脱离弹簧时B的速度大小为 （2）对物块B由动能定理 代入数据解得，物块与桌面的动摩擦因数为 （3）弹簧的弹性势能转化为AB物块的动能及这个过程中克服摩擦力所做的功，即 其中 ， 解得整个过程中，弹簧释放的弹性势能 5．（2021·海南·高考真题）如图，一长木板在光滑的水平面上以速度v0向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m和2m，它们之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。 （1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小； （2）某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离； （3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功。 【答案】（1）v共=；（2）x=；（3）t=，W=mv02 【详解】（1）由于地面光滑，则木板与滑块组成的系统动量守恒，有 2mv0=3mv共 解得 v共= （2）由于木板速度是滑块的2倍，则有 v木=2v滑 再根据动量守恒定律有 2mv0=2mv木+mv滑 联立化简得 v滑=v0，v木=v0 再根据功能关系有 μmgx=×2mv木2+mv滑2×2mv02 经过计算得 x= （3）由于木板保持匀速直线运动，则有 F=μmg 对滑块进行受力分析，并根据牛顿第二定律有 a滑=μg 滑块相对木板静止时有 v0=a滑t 解得 t= 则整个过程中木板滑动的距离为 x′=v0t= 则拉力所做的功为 W=Fx′=mv02 6．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，） （1）若，求小物块①第一次经过C点的向心加速度大小； ②在上经过的总路程； ③在上向上运动时间和向下运动时间之比。 （2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。 【答案】（1）①16m/s2；②2m；③1∶2；（2）0.2m 【详解】（1）①对小物块a从A到第一次经过C的过程，根据机械能守恒定律有 第一次经过C点的向心加速度大小为 ②小物块a在DE上时，因为 所以小物块a每次在DE上升至最高点后一定会下滑，之后经过若干次在DE上的滑动使机械能损失，最终小物块a将在B、D间往复运动，且易知小物块每次在DE上向上运动和向下运动的距离相等，设其在上经过的总路程为s，根据功能关系有 解得 ③根据牛顿第二定律可知小物块a在DE上向上运动和向下运动的加速度大小分别为 将小物块a在DE上的若干次运动等效看作是一次完整的上滑和下滑，则根据运动学公式有 解得 （2）对小物块a从A到F的过程，根据动能定理有 解得 设滑块长度为l时，小物块恰好不脱离滑块，且此时二者达到共同速度v，根据动量守恒定律和能量守恒定律有 解得 7．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 【答案】(1) (2)， (3) (4) 【详解】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为 （2）设小球与弹簧刚接触时速度的大小为v0，由机械能守恒定律可知，其中 同时有 联立解得， （3）弹簧达到最大弹性势能时，小球与Q共速，设Q的质量为M，根据动量守恒定律和机械能守恒定律有，，其中 联立解得 （4）对Q和小球整体根据机械能守恒可知要使Q的最终动能最大，需满足小球的速度刚好为零时，此时弹簧刚好恢复原长；设此时Q的质量为M′，Q的最大速度为vm，根据动量守恒和机械能守恒有， 解得 8．（2023·湖南·高考真题）如图，质量为的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为和，长轴水平，短轴竖直．质量为的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系，椭圆长轴位于轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为。 （1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离； （2）在平面直角坐标系中，求出小球运动的轨迹方程； （3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用及表示）。 【答案】（1），；（2）；（3） 【详解】（1）小球运动到最低点的时候小球和凹槽水平方向系统动量守恒，取向左为正 小球运动到最低点的过程中系统机械能守恒 联立解得 因水平方向在任何时候都动量守恒即 两边同时乘t可得 且由几何关系可知 联立得 （2）小球向左运动过程中凹槽向右运动，当小球的坐标为时，此时凹槽水平向右运动的位移为，根据上式有 则小球现在在凹槽所在的椭圆上，根据数学知识可知此时的椭圆方程为 整理得 （） （3）将代入小球的轨迹方程化简可得 即此时小球的轨迹为以为圆心，b为半径的圆，则当小球下降的高度为时有如图 此时可知速度和水平方向的夹角为，小球下降的过程中，系统水平方向动量守恒 系统机械能守恒 联立得 9．（2023·海南·高考真题）如图所示，有一固定的光滑圆弧轨道，半径，一质量为的小滑块B从轨道顶端滑下，在其冲上长木板C左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，已知，B、C间动摩擦因数，C与地面间的动摩擦因数，C右端有一个挡板，C长为。 求： （1）滑到的底端时对的压力是多大？ （2）若未与右端挡板碰撞，当与地面保持相对静止时，间因摩擦产生的热量是多少？ （3）在时，B与C右端挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求从滑上到最终停止所用的时间。 【答案】（1）30N；（2）1.6J；（3） 【详解】（1）滑块下滑到轨道底部，有 解得 在底部，根据牛顿第二定律 解得 由牛顿第三定律可知B对A的压力是。 （2）当B滑上C后，对B分析，受摩擦力向左，根据牛顿第二定律得 解得加速度向左为 对C分析，受B向右的摩擦力和地面向左的摩擦力 根据牛顿第二定律 解得其加速度向左为 由运动学位移与速度关系公式，得B向右运动的距离 C向右运动距离 由功能关系可知，B、C间摩擦产生的热量 可得 （3）由上问可知，若B还末与C上挡板碰撞，C先停下，用时为，有 解得 B的位移为 则此刻的相对位移为 此时 由，一定是C停下之后，B才与C上挡板碰撞。设再经时间B与C挡板碰撞，有 解得 =0.8 碰撞时B速度为 碰撞时由动量守恒可得 解得碰撞后B、C速度为 之后二者一起减速，根据牛顿第二定律得 后再经后停下，则有 故从滑上到最终停止所用的时间总时间 10．（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1=1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k=20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2=4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g=10m/s2，结果可用根式表示。 （1）求木板刚接触弹簧时速度的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； （2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； （3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。 【答案】（1）1m/s；0.125m；（2）0.25m；；（3） 【详解】（1）由于地面光滑，则m1、m2组成的系统动量守恒，则有 m2v0=(m1＋m2)v1 代入数据有 v1=1m/s 对m1受力分析有 则木板运动前右端距弹簧左端的距离有 v12=2a1x1 代入数据解得 x1=0.125m （2）木板与弹簧接触以后，对m1、m2组成的系统有 kx=(m1＋m2)a共 对m2有 a2=μg=1m/s2 当a共=a2时物块与木板之间即将相对滑动，解得此时的弹簧压缩量 x2=0.25m 对m1、m2组成的系统列动能定理有 代入数据有 （3）木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，由于木板即m1的加速度大于木块m2的加速度，则当木板与木块的加速度相同时即弹簧形变量为x2时，则说明此时m1的速度大小为v2，共用时2t0，且m2一直受滑动摩擦力作用，则对m2有 －μm2g∙2t0=m2v3－m2v2 解得 则对于m1、m2组成的系统有 U=Wf 联立有 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题强化：碰撞模型四大拓展 目录 1 4 考点一 滑块—弹簧模型 4 考点二 滑块—木板模型 6 考点三 子弹打木块模型 8 考点四 滑块—斜面(曲面)模型 10 12 基础巩固练 12 综合提升练 16 核心考点 1.滑块—弹簧模型： 特点：系统动量守恒（通常地面光滑），机械能守恒（无摩擦生热）。弹簧压缩最短或拉伸最长时，两物体共速，弹性势能最大（动能损失最大，类似完全非弹性碰撞）。弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大（类似弹性碰撞）。 2.滑块—木板模型： 特点：系统在水平方向动量守恒（地面光滑）。系统内一对滑动摩擦力做功，将部分机械能转化为内能，故系统机械能不守恒。临界条件：滑块滑到木板另一端时两者共速（恰好不滑出），或滑块与木板达到共速后相对静止。内能Q=f·L（L为相对滑行距离）。 3.子弹打木块模型： 特点：属于完全非弹性碰撞的特殊形式。子弹射入木块（或穿过木块）过程，系统内力远大于外力，动量守恒。子弹和木块之间的摩擦力做功产生内能，系统机械能损失。内能Q=f·d（d为子弹相对木块的位移）。f常视为恒定阻力，是分析动能损失的关键。 4.滑块—斜面(曲面)模型： 特点：系统水平方向动量守恒（地面光滑，系统在水平方向不受外力）。系统机械能守恒（通常无摩擦）。当滑块上升到最高点时，两者水平方向共速。当滑块从斜面滑下时，系统机械能守恒，可类比弹性碰撞。需注意速度的分解与关联。 考情透析 1.题型与难度：以选择题和计算题（特别是压轴题）为主，难度高，是高考区分度的重要体现。 2.命题规律： 四大模型几乎必考其一或组合考查，是动量与能量综合应用的核心载体。 常与其他运动（圆周运动、平抛运动）结合，构成多过程、多物体的复杂综合题。 常以临界状态（弹簧最长/最短、恰好不滑出、滑块上升到最高点等）作为考点，考查学生的分析推理能力。 3.考查方向：侧重“找临界状态”（共速）是解决所有模型的关键、动量守恒与能量守恒（或功能关系）的综合列式、相对位移/路程在摩擦生热计算中的作用、系统初末状态的动量与能量对比分析。 素养对接 1.模型建构：将“碰撞”这一瞬时过程，通过弹簧、木板等媒介，拓展为持续一段时间的有相互作用的运动过程，培养模型辨析与迁移能力。 2.能量观念：能清晰判断系统机械能是否守恒，并能识别动能与弹性势能、内能之间的转化路径，培养对机械能与系统内能之间转化关系的深刻理解。 3.临界与极限思维：抓住“弹簧最长/最短”、“滑块恰好不滑出”、“共速”等临界状态作为解题突破口，培养在复杂运动中寻找关键点的能力。 4.系统性思维：坚持从系统整体（而不只是单个物体）出发，用动量守恒和能量守恒分析系统内部的相互作用过程，培养整体性科学思维。 学习目标 1.知识目标： 能准确写出四个模型动量守恒（系统合外力为零或其分量为零）和能量转化（是否涉及内能、弹性势能）的具体内容。 能说出每个模型的“临界条件”：弹簧模型（共速→Ep最大）、木板模型（共速→恰好不滑出）、子弹打木块（共速→嵌入）、斜面模型（上升到最高点共速）。 能写出内能计算公式Q=f·s相对。 2.能力目标： 模型识别能力：能根据题目描述的物理场景（含弹簧、木板、子弹、斜面），准确匹配对应的物理模型。 列综合方程能力：能根据模型特点，同时列出动量守恒和能量守恒（或功能关系）的方程组，并正确求解（如求解共速速度、弹簧最大弹性势能、产生内能、相对位移等）。 临界状态分析能力：能准确找到“共速”这一核心临界状态，并以此为节点列方程。 多过程衔接能力：能将四大模型与其他力学过程（如平抛、圆周）组合分析，确保各阶段物理规律的正确选用。 备考建议 1.牢牢抓住“共速”这一核心临界条件： 核心：在四个模型中，“共速”是出现重要物理量极值（弹性势能最大、内能最大、滑块上升到最高点）的标志。看到“弹簧最短/最长”、“木块不从木板上滑下”、“子弹刚好嵌入”、“滑块到达弧面最高点”等语言，立即想到“共速”。 2.死磕“动量守恒+能量守恒”的联合方程： 四大模型的通用列式框架： 动量守恒： 功能关系（能量守恒）： 3.重点突破“摩擦生热”的计算： 公式：Q=f·s相对。 滑块—木板模型：·s相对等于滑块与木板在相对滑动过程中的相对路程（若滑块未滑落，则等于木板的长度L；若滑块滑落，则需根据位移关系计算）。 子弹打木块模型：·s相对是子弹嵌入木块或穿过木块的深度（d）。解题时可画出v-t图，速度图线与时间轴围成的面积差即为s_相对。 4.注意模型的“变式”与“组合”： 变式：如“弹簧模型”的初速度方向不共线（需要分方向列动量守恒）；“木板模型”中木板粗糙但地面光滑（总动量守恒）；“打木块模型”中子弹未穿出或刚好穿出等。 组合：如“滑块在光滑曲面上滑动后与弹簧碰撞”，需要分析：滑块+曲面系统（水平动量守恒，机械能守恒，类比弹性碰撞）与滑块+弹簧系统（动量守恒，机械能守恒，滑块和弹簧的相互作用）的衔接。 5.强化易错点的专项训练： 易错点一：混淆“对系统”与“对单个物体”的动量守恒。四大模型只能对系统（如滑块+木板）列动量守恒，不能对单个物体列。 易错点二：错误判断系统机械能是否守恒。有无摩擦力是判断机械能是否守恒的关键。有摩擦生热的模型（木板、子弹打木块），系统机械能不守恒，必须使用功能关系或能量守恒定律。 易错点三：在打木块模型中，误以为子弹损失的动能全部转化为内能。实际上，子弹损失的动能大部分转化为木块的动能，只有转化的那部分Q=f·d才是内能。 易错点四：忽略“二维”碰撞中的动量矢量性。在斜面等涉及竖直方向运动的模型中，要注意系统在竖直方向动量不一定守恒，只能根据水平方向合力为零判断水平方向动量守恒。 考点一 滑块—弹簧模型 【必备知识回顾】 1．模型图示(如图所示) 2．模型特点 (1)动量守恒：两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为0，则系统动量守恒。 (2)机械能守恒：系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相同，弹性势能最大，系统动能通常最小(相当于完全非弹性碰撞，两物体减少的动能转化为弹簧的弹性势能)。 (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为0，系统动能最大(相当于刚完成弹性碰撞)。 【重难模型精讲】 【典例1】(2026·江苏省·单元测试)如图甲所示，物块、的质量分别是和，用轻弹簧拴接两物块放在光滑的水平地面上，物块的右侧与竖直墙面接触。另有一物块从时刻起，以一定的速度向右运动，在时与物块相碰，并立即与粘在一起不再分开，物块的图像如图乙所示。 物块的质量； 物块离开墙壁前，弹簧的最大弹性势能； 物块离开墙壁后，物块的最大速度值。 【变式训练与拓展】 【变式1】(2026·辽宁省·模拟题)如图所示，在足够长的光滑水平面上静止着两个物块和，物块与轻弹簧右端连接。一个小球被一根不可伸长的轻质细线悬挂于点正下方，轻靠在物块的左侧。现将细线拉直到与竖直方向夹角位置时，由静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生碰撞碰后将小球撤离，碰撞的恢复系数为定义式为，其中和分别是碰撞前两物体的速度，和分别是碰撞后两物体的速度。已知细线长，小球和物块的质量为，物块的质量为，小球、物块均可视为质点，弹簧始终处于弹性限度内，不计空气阻力，重力加速度取。求： 碰撞后物块的速度大小； 物块最大速度； 小球与物块碰撞后，试求物块最小速度。 【变式2】(2026·广东省中山市·其他类型)如图所示，两物块、之间拴接一轻弹簧，静止在光滑的水平地面上，弹簧恰好处于原长，物块的质量。现给物块一向右的初速度，并把此时记为时刻，规定向右为正方向，在时间内、物块运动的图像如图所示。已知时刻它们的加速度最大，此时的速度，位移。求： 物块的初速度的大小 时间内弹簧对物块做的功 内的位移大小和弹簧的劲度系数。 【变式3】(2026·江苏省南通市·其他类型)如图所示，倾角为的足够长光滑斜面固定在水平面上，一轻弹簧与小滑块、相连，被锁定在斜面顶端，在斜面上从弹簧原长位置由静止释放已知、的质量均为，重力加速度为，弹簧的劲度系数为，弹簧的形变在弹性限度内． 求滑块速度最大时弹簧的伸长量 求滑块运动至最低点时弹簧的弹力大小 若两滑块与斜面间的动摩擦因数均为，解除滑块的锁定，同时滑块从弹簧原长位置以初速度沿斜面向下运动，经过时间滑块、速度第一次相同求时刻滑块的速度大小以及时间内系统产生的内能． 考点二 滑块—木板模型 【必备知识回顾】 1．模型图示(如图所示) 2．模型特点 (1)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对位移的乘积等于系统减少的机械能。 (2)若滑块未从滑板上滑下，当两者速度相同时，滑板速度最大，相对位移最大。 3．求解方法 (1)求速度：根据动量守恒定律求解，研究对象为一个系统。 (2)求时间：根据动量定理求解，研究对象为一个物体。 (3)求系统产生的内能或相对位移：根据能量守恒定律Q＝FfΔx或Q＝E初－E末，研究对象为一个系统。 【重难模型精讲】 【典例2】(2026·福建省·单元测试)如图所示，质量的木板静止在光滑水平面上，一个质量可视为质点的小木块，以初速度冲上木板左端，小木块恰好未滑离木板，木块与木板间的动摩擦因数，。求： 小木块和木板达到的共同速度大小； 系统损失的动能； 木板的长度、木块在木板上滑行的时间。 【变式训练与拓展】 【变式4】(2026·江苏省南通市·其他类型)如图所示，一质量的长木板放在光滑水平地面上，在其右端放一质量可视为质点的小木块，现和以大小为的共同初速度向左运动。一与长木板等高，前端有胶，质量为，长度的短木板，以的初速度水平撞击长木板并粘为一体，撞击时间极短，始终没有滑离、，和、间的动摩擦因数均为，取。求： 与撞击后的速度大小及此时木块、的加速度大小； 从与撞击到、、具有共同速度所需的时间； 长木板至少要多长。 【变式5】(2026·天津市市辖区·模拟题)某生产线上的传送装置如图所示，质量为的零件先从点由静止释放，通过半径的圆弧轨道，然后进入一段水平轨道，运动了之后，从水平轨道末端点冲上静止在地面上且表面与水平轨道相切的传送小车，零件与小车相对静止后，小车到达挡板与挡板碰撞后立即停止运动，零件在小车上又滑行了恰好能被挡板处的工人接到，已知小车质量为，小车与地面间摩擦力很小可以忽略，已知零件与水平轨道和传送小车间的动摩擦因数均为，取，求： 传送小车的长度； 圆弧轨道的摩擦力对零件做的功。 【变式6】(2026·山东省·模拟题)如图，质量为的薄木板静置于光滑水平地面上，半径为的竖直光滑圆弧轨道固定在地面，轨道底端与木板等高，轨道上端点和圆心连线与水平面成角．质量为的小物块以的初速度从木板左端水平向右滑行，与木板间的动摩擦因数为当到达木板右端时，木板恰好与轨道底端相碰并被锁定，同时沿圆弧切线方向滑上轨道．待离开轨道后，可随时解除木板锁定，解除锁定时木板的速度与碰撞前瞬间大小相等、方向相反．已知木板长度为取取． 求木板与轨道底端碰撞前瞬间，物块和木板的速度大小； 求物块到达圆弧轨道最高点时受到轨道的弹力大小及离开轨道后距地面的最大高度； 物块运动到最大高度时会炸裂成质量比为的物块和物块，总质量不变，同时系统动能增加，其中一块沿原速度方向运动．为保证之一落在木板上，求从物块离开轨道到解除木板锁定的时间范围． 考点三 子弹打木块模型 【必备知识回顾】 1．模型图示(如图所示) 2．模型特点 (1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失。 3．两种情境 (1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞) 动量守恒：mv0＝(m＋M)v， 能量守恒：Q＝Ff·s＝mv－(M＋m)v2。 (2)子弹穿透木块 动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2， 能量守恒：Q＝Ff·d＝mv－mv＋Mv。 【重难模型精讲】 【典例3】(2025·江苏省镇江市·月考试卷)如图所示，两个质量和速度均相同的子弹分别水平射入静止在光滑水平地面上两矩形滑块、中，、质量相同但材料不同。子弹射入中的深度是射入中深度的两倍。上述两种射入过程相比较() A.滑块、对子弹的阻力大小之比为 B.子弹打入、滑块的时间之比为 C.子弹对、滑块的冲量大小之比为 D.两个过程中系统产生的热量之比为 【变式训练与拓展】 【变式7】（多选）(2026·湖北省黄冈市·月考试卷)如图所示，质量为、长为的木块静止在光滑水平面上，质量为的子弹可视为质点以初速度水平向右射向木块，穿出木块时速度减为。若再将另一相同木块固定在传送带上如图所示，使木块随传送带以的速度水平向左运动，相同的子弹仍以初速度水平向右射向木块，木块的速度始终不变。已知木块对子弹的阻力恒定。下列说法正确的是() A.第一次子弹穿过木块过程中，木块的位移大小为 B.第一次子弹穿过木块过程中，子弹克服阻力做的功为 C.子弹前后两次穿过木块的时间之比为 D.第二次子弹穿出木块时的速度为 【变式8】(2025·湖南省常德市·其他类型)质量的子弹，以的速度射向质量、静止在光滑水平桌面上的木块，子弹穿过木块后的速度求： 子弹穿过木块后木块的速度大小 子弹穿过木块整个过程中木块对子弹的冲量大小． 【变式9】(2025·湖南省怀化市·月考试卷)在军事装备设计中，经常需要对材料进行测试。如图甲所示，质量为、长度为的匀质防弹板静置在足够大的光滑水平地面上，质量为、可视为质点的子弹以水平速度射入防弹板，恰好不能从防弹板的右端射出，已知子弹受到防弹板的阻力恒定且远大于自身受到的重力。 求防弹板的最大速度； 求子弹受到防弹板的阻力大小； 现仅将防弹板均匀切割成块，如图乙所示，子弹以相同的速度射入防弹板后，恰好不能从第块防弹板射出，求与满足的关系。 考点四 滑块—斜面(曲面)模型 【必备知识回顾】 1．模型图示(如图所示) 2．模型特点 (1)上升到最大高度：滑块与斜(曲)面具有共同水平速度v共，此时滑块的竖直速度vy＝0。系统水平方向动量守恒，有mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，有mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于轨道的高度(相当于完全非弹性碰撞，系统减少的动能转化为滑块的重力势能)。 (2)返回最低点：滑块与斜(曲)面分离点。系统水平方向动量守恒，有mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，有mv＝mv＋Mv(相当于弹性碰撞)。 【重难模型精讲】 【典例4】（多选）(2026·四川省·模拟题)如图所示，质量的滑块静止在光滑水平面上，其上表面的左侧部分段为长的粗糙水平面、右侧部分段为半径为的光滑四分之一圆弧，与在点相切，点为圆弧最高点。一质量为的滑块以水平初速度从滑块的端滑入，能经点滑上圆弧段。已知重力加速度为，，滑块与滑块上表面段的动摩擦因数恒定，空气阻力不计，则下列说法中正确的是() A.若，则滑块能从的端飞出 B.滑块之间的动摩擦因数可能为 C.若，则最终、组成的系统损失的机械能为 D.滑块在整个运动过程中速度的最大值不可能超过 【变式训练与拓展】 【变式10】(2026·广东省·月考试卷)如图所示，质量为的半圆弧槽静止在水平面上，左端紧靠竖直的墙壁，圆弧轨道位于竖直平面内且两端等高，半径为一质量为的小滑块从槽左端的正上方点处由静止释放，与点的高度差为，重力加速度为，不计空气阻力及一切摩擦．求： 滑块第一次到达槽最低点时的速度大小和受到的支持力大小； 滑块第一次离开槽右端后，还能上升的最大高度； 滑块第二次到达槽最低点时的速度和此时圆弧槽的速度． 【变式11】(2026·青海省西宁市·模拟题)如图所示，一实验小车静止在光滑水平面上，其上表面有粗糙水平轨道与光滑四分之一圆弧轨道。圆弧轨道与水平轨道相切于圆弧轨道最低点，一物块静止于小车最左端，一小球用不可伸长的轻质细线悬挂于点正下方，并轻靠在物块左侧。现将细线拉直到水平位置时，静止释放小球，小球运动到最低点时与物块发生弹性碰撞。碰撞后，物块沿着小车上的轨道运动，已知细线长。小球质量。物块、小车质量均为。小车上的水平轨道长。圆弧轨道半径。小球、物块均可视为质点。不计空气阻力，重力加速度取。 求小球运动到最低点与物块碰撞前所受拉力的大小； 求小球与物块碰撞后的瞬间，物块速度的大小； 为使物块能进入圆弧轨道，且在上升阶段不脱离小车，求物块与水平轨道间的动摩擦因数的取值范围。 【变式12】(2026·江苏省·期末考试)如图，光滑水平面上有一弹簧，左端固定，右端与质量的小球接触。小球右侧静置一质量、半径的四分之一光滑圆弧轨道。现推动小球使其向左压缩弹簧，松手后，小球脱离弹簧，冲上右侧轨道，小球恰好能到达圆弧的最高点。取重力加速度大小，求： 小球脱离弹簧时的速度大小； 整个过程中，圆弧轨道最大速度的大小； 小球在下滑阶段，当其和圆心的连线与竖直方向的夹角时，轨道的速度大小。 基础巩固练 1.(2025·山西省·单元测试)如图所示，质量均为的木块、与轻弹簧相连，置于光滑水平桌面上处于静止状态，另有一个质量为木块以速度与木块碰撞并粘在一起碰撞时间极短，则从木块与木块碰撞到弹簧压缩到最短的整个过程中，下列说法正确的是() A.木块、、和弹簧组成的系统动量守恒，机械能守恒 B.木块与木块碰撞结束时，木块的速度为 C.木块与木块碰撞结束时，木块的速度为 D.弹簧的最大弹性势能等于木块、、和弹簧组成系统的动能减少量 2.(2025·江苏省泰州市·月考试卷)如图所示，质量相同的物体、用轻弹簧连接，静止在光滑水平面上，其中靠在墙壁上．现用力推动压缩弹簧至点后再释放，当弹簧的长度最大时，弹性势能为则 A.释放后，、组成的系统机械能守恒 B.释放后，、组成的系统动量守恒 C.弹簧被压缩至点时的弹性势能为 D.释放后，的动能最大值为 3.(2025·河南省·模拟题)某动画片中小猴子沿冰面抛出一个冰球，随即冰球滚上静止在冰面上的圆弧滑块，简化示意图如图所示，已知冰球质量为，初速度为，圆弧滑块质量为，半径为，不计一切摩擦和空气阻力，冰球可视为质点，则冰球最终离开圆弧滑块时的速度大小为() A. B. C. D. 4.(2024·陕西省·联考题)如图所示，弹簧的一端固定在竖直墙上，质量为的光滑弧形槽静止在光滑水平面上，底部与水平面平滑连接，一个质量也为的小球从槽高处开始自由下滑() A.在以后的运动过程中，小球和槽的动量始终守恒 B.在下滑过程中小球对槽的作用力始终不做功 C.被弹簧反弹后，小球和槽都做速率不变的直线运动 D.被弹簧反弹后，小球和槽的机械能守恒，小球能回到槽高处 5.(2026·天津市·月考试卷)如图所示，静止在光滑水平桌面上的物块和用一轻质弹簧拴接在一起，弹簧处于原长。一颗子弹沿弹簧轴线方向射入物块并留在其中，射入时间极短。下列说法中正确的是() A.子弹射入物块的过程中，子弹和物块的机械能守恒 B.子弹射入物块的过程中，子弹对物块的冲量大小大于物块对子弹的冲量大小 C.子弹射入物块后，两物块与子弹的动能之和等于射入物块前子弹的动能 D.两物块运动过程中，弹簧最短时的弹性势能等于弹簧最长时的弹性势能 6.如图所示，一质量的木板放在光滑水平地面上，在其右端放一个质量的小木块。现以的初速度向左运动，则的最终速度可能为() A. B. C. D. 7.(2025·天津市·月考试卷)质量为的滑块由水平轨道和竖直平面内的四分之一光滑圆弧轨道组成，放在光滑的水平面上。滑块开始时静止，质量为的物块可视为质点以某初速度从水平轨道滑上滑块，恰好可以到达圆弧轨道的最高点，如果水平轨道的长度和圆弧轨道的半径均为，物块与水平轨道间的动摩擦因数为，，求物块滑上水平轨道时的初速度。 8.(2024·北京市·期中考试)如图在光滑水平面上静止着两个木块和，、间用轻弹簧相连接，已知，。一质量为的子弹，以水平速度射入木块中未穿出，子弹与木块相互作用时间极短。求： 子弹射入后瞬间，木块和子弹共同运动的速度大小； 弹簧的弹性势能最大值是多少。 9.(2026·河南省周口市·模拟题)如图所示，物块固定在水平面上，上表面带有半径为的光滑圆弧轨道，其圆心角为。右端与质量为的板紧靠在一起不粘黏，圆弧轨道末端与上表面平滑连接，的上、下表面均光滑。一轻弹簧的右端固定在上，另一端自由。质量为的小球从点自由下落，在点与挡板发生碰撞，间的距离也为，碰撞后小球速度变为碰前速度的倍，且与水平方向成角，经过一段时间，小球恰好从点沿切线方向进入圆弧轨道，最后滑上。重力加速度为，弹簧形变始终在弹性限度内，不计空气阻力。求： 与挡板碰撞过程中小球损失的机械能； 小球通过圆弧轨道末端点时对轨道的压力大小； 弹簧获得的最大弹性势能。 10.(2025·河南省·联考题)如图，半径为的四分之一光滑圆弧轨道静止在水平面上，的末端在点与水平面相切，水平面上、点间距离为，水平面上右端有一固定挡板，挡板上安有一水平轻质弹簧。水平面上除了间粗糙外，其余部分均光滑。一小滑块从的最高点由静止开始释放。已知的质量为，的质量为，与水平面间的动摩擦因数，水平面足够长，弹簧的形变在弹性限度内，重力加速度大小。求： 第一次下滑到末端的瞬间，的速度大小 第一次下滑到水平面开始计时，经过多长时间滑到位置 、最终的速度。 11.(2026·广东省·月考试卷)在固定的光滑水平杆杆足够长上，套有一个质量的光滑金属圆环，一根长的轻绳一端拴在环上，另一端系着一个质量的木块，如图所示。现有一质量为的子弹以的水平速度射向木块，最后留在木块内不计空气阻力和子弹与木块作用的时间，取，求： 当子弹射入木块后瞬间，木块的速度大小； 木块向右摆动的最大高度； 木块向右摆动到最高点过程中绳子拉力对木块做的功。 12.(2025·安徽省·模拟题)如图所示，质量、半径的光滑圆弧轨道与平板小车紧挨着静止在光滑水平面上，点为圆弧轨道最低点，点为圆弧轨道最高点，小车质量，长度，小车的上表面与点等高，可视为质点的物块从小车最右端点以一定的初速度向左滑动，物块质量，取重力加速度大小。 若小车与圆弧轨道始终粘连在一起，物块恰好能到达圆弧轨道最高点，求物块与小车上表面间的动摩擦因数。 若仍然与中相同，当物块刚滑到圆弧轨道上时，小车立即与圆弧轨道分离，求物块和小车分离瞬间各自的速度。 综合提升练 1．（多选）（2025·福建·高考真题）如图，物块A、B用轻弹簧连接并放置于水平传送带上，传送带以1m/s的恒定速率顺时针转动。t=0时，A的速度大小为2m/s，方向水平向右，B的速度为0，弹簧处于原长，t=t1时（t1为未知量），A第一次与传送带共速，弹簧弹性势能0.75J。已知A、B可视为质点，质量分别为1kg、2kg，与传送带的动摩擦因数为0.5、0.25；A与传送带相对滑动时会留下痕迹，重力加速度大小取，A、B始终在传送带上，弹簧始终在弹性限度内，则（　　） A．在t=时，A的加速度大小比B的小 B．t=t1时，B的速度大小为0.5m/s C．t=t1时，弹簧的压缩量为0.2m D．0﹣t1过程中，A在传送带上留下的划痕长度小于0.05m 2．（多选）（2024·湖北·高考真题）如图所示，在光滑水平面上静止放置一质量为M、长为L的木块，质量为m的子弹水平射入木块。设子弹在木块内运动过程中受到的阻力不变，其大小f与射入初速度大小成正比，即（k为已知常数）。改变子弹的初速度大小，若木块获得的速度最大，则（　　） A．子弹的初速度大小为 B．子弹在木块中运动的时间为 C．木块和子弹损失的总动能为 D．木块在加速过程中运动的距离为 3．（2023·浙江·高考真题）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量的滑块a以初速度从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长，以的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数，其它摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能（x为形变量）。 （1）求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN； （2）若滑块a碰后返回到B点时速度，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能； （3）若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差。 4．（2024·辽宁·高考真题）如图，高度的水平桌面上放置两个相同物块A、B，质量。A、B间夹一压缩量的轻弹簧，弹簧与A、B不栓接。同时由静止释放A、B，弹簧恢复原长时A恰好从桌面左端沿水平方向飞出，水平射程；B脱离弹簧后沿桌面滑行一段距离后停止。A、B均视为质点，取重力加速度。求： （1）脱离弹簧时A、B的速度大小和； （2）物块与桌面间的动摩擦因数μ； （3）整个过程中，弹簧释放的弹性势能。 5．（2021·海南·高考真题）如图，一长木板在光滑的水平面上以速度v0向右做匀速直线运动，将一小滑块无初速地轻放在木板最右端。已知滑块和木板的质量分别为m和2m，它们之间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。 （1）滑块相对木板静止时，求它们的共同速度大小； （2）某时刻木板速度是滑块的2倍，求此时滑块到木板最右端的距离； （3）若滑块轻放在木板最右端的同时，给木板施加一水平向右的外力，使得木板保持匀速直线运动，直到滑块相对木板静止，求此过程中滑块的运动时间以及外力所做的功。 6．（2024·浙江·高考真题）某固定装置的竖直截面如图所示，由倾角的直轨道，半径的圆弧轨道，长度、倾角为的直轨道，半径为R、圆心角为的圆弧管道组成，轨道间平滑连接。在轨道末端F的右侧光滑水平面上紧靠着质量滑块b，其上表面与轨道末端F所在的水平面平齐。质量的小物块a从轨道上高度为h静止释放，经圆弧轨道滑上轨道，轨道由特殊材料制成，小物块a向上运动时动摩擦因数，向下运动时动摩擦因数，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。当小物块a在滑块b上滑动时动摩擦因数恒为，小物块a运动到滑块右侧的竖直挡板能发生完全弹性碰撞。（其它轨道均光滑，小物块视为质点，不计空气阻力，，） （1）若，求小物块①第一次经过C点的向心加速度大小； ②在上经过的总路程； ③在上向上运动时间和向下运动时间之比。 （2）若，滑块至少多长才能使小物块不脱离滑块。 7．（2025·全国卷·高考真题）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q连在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR，此时断开P和Q的连接，Q从静止开始向右滑动。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上、下表面均光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 (1)求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； (2)求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离； (3)欲使P和Q断开后，弹簧的最大弹性势能等于2.2mgR，Q的质量应为多大？ (4)欲使P和Q断开后，Q的最终动能最大，Q的质量应为多大？ 8．（2023·湖南·高考真题）如图，质量为的匀质凹槽放在光滑水平地面上，凹槽内有一个半椭圆形的光滑轨道，椭圆的半长轴和半短轴分别为和，长轴水平，短轴竖直．质量为的小球，初始时刻从椭圆轨道长轴的右端点由静止开始下滑．以初始时刻椭圆中心的位置为坐标原点，在竖直平面内建立固定于地面的直角坐标系，椭圆长轴位于轴上。整个过程凹槽不翻转，重力加速度为。 （1）小球第一次运动到轨道最低点时，求凹槽的速度大小以及凹槽相对于初始时刻运动的距离； （2）在平面直角坐标系中，求出小球运动的轨迹方程； （3）若，求小球下降高度时，小球相对于地面的速度大小（结果用及表示）。 9．（2023·海南·高考真题）如图所示，有一固定的光滑圆弧轨道，半径，一质量为的小滑块B从轨道顶端滑下，在其冲上长木板C左端时，给木板一个与小滑块相同的初速度，已知，B、C间动摩擦因数，C与地面间的动摩擦因数，C右端有一个挡板，C长为。 求： （1）滑到的底端时对的压力是多大？ （2）若未与右端挡板碰撞，当与地面保持相对静止时，间因摩擦产生的热量是多少？ （3）在时，B与C右端挡板发生碰撞，且碰后粘在一起，求从滑上到最终停止所用的时间。 10．（2023·辽宁·高考真题）如图，质量m1=1kg的木板静止在光滑水平地面上，右侧的竖直墙面固定一劲度系数k=20N/m的轻弹簧，弹簧处于自然状态。质量m2=4kg的小物块以水平向右的速度滑上木板左端，两者共速时木板恰好与弹簧接触。木板足够长，物块与木板间的动摩擦因数μ=0.1，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。弹簧始终处在弹性限度内，弹簧的弹性势能Ep与形变量x的关系为。取重力加速度g=10m/s2，结果可用根式表示。 （1）求木板刚接触弹簧时速度的大小及木板运动前右端距弹簧左端的距离x1； （2）求木板与弹簧接触以后，物块与木板之间即将相对滑动时弹簧的压缩量x2及此时木板速度v2的大小； （3）已知木板向右运动的速度从v2减小到0所用时间为t0。求木板从速度为v2时到之后与物块加速度首次相同时的过程中，系统因摩擦转化的内能U（用t0表示）。 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $