第13讲 认识一次函数（6类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新八年级数学新教材北师大版

第13讲 认识一次函数 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 正比例函数的定义 题型2 一次函数的识别 题型3 根据一次函数的定义求参数 题型4 求一次函数自变量或函数值 题型5 列一次函数解析式并求值 题型6 根据正比例函数的定义求函数表达式 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 一次函数、正比例函数、y=kx+b、 k≠0、b=0、建模。 1. 理解一次函数的概念，能识别形如y = kx + b（ k, b为常数， k≠0 ）的函数。 2. 掌握正比例函数是特殊的一次函数（b = 0），并能区分一次函数与正比例函数。 3. 能根据实际问题中的数量关系列出一次函数表达式，并确定自变量的取值范围。 4. 体会函数模型的广泛应用，感受数学与生活的紧密联系。 学习重点：一次函数的概念及其一般形式，正比例函数与一次函数的关系。 学习难点：理解一次函数中k和b的实际意义，以及从实际问题中抽象出一次函数模型并确定自变量的取值范围。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 一次函数的定义 一次函数：一般地，形如y=kx+b（k，b为常数，k≠0）的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 【易错提醒】 一次函数定义易错警示：形如y=kx+b（k≠0），自变量x次数为1。注意：b可为0（正比例函数），但k必须非零。若k=0，则为常函数，不是一次函数。表达式必须为整式。 即时即练1．下列函数中：①；②；③；④，其中是的一次函数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．根据一次函数的定义进行判断作答即可． 【详解】解：①，是一次函数，正确，故符合要求； ②，是一次函数，正确，故符合要求； ③，不是一次函数，错误，故不符合要求； ④，不是一次函数，错误，故不符合要求； 综上可知，是的一次函数有2个． 故选：B． 2．已知. (1)当m，n为何值时，是的一次函数？ (2)当m，n为何值时，是的正比例函数？ 【答案】(1) (2)， 【知识点】正比例函数的定义 【详解】解：（1）是的一次函数， 且，为任意实数，解得. （2）是的正比例函数， 且，， 解得， 知识点02 正比例函数的定义 正比例函数：特别地，当b=0时，y=kx（k为常数，k≠0），y叫做x的正比例函数. 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知一个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x，纵坐标代y，方程成立. 【易错提醒】 正比例函数定义易错警示：形如y=kx（k≠0），是特殊的一次函数。注意：x的指数必须为1；k为比例系数，不能为0。勿将y=kx+b（b≠0）误认为正比例函数。比例系数带符号。 即时即练1．下列函数中，正比例函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查正比例函数的定义，由正比例函数的表达式为，根据表达式特点对选项进行判断即可．牢记正比例函数的定义形式是解题的关键． 【详解】解：A、，是正比例函数，符合题意； B、，是反比例函数，不合题意； C、，是二次函数，不合题意； D、，是一次函数，不合题意； 故选：A． 2．写出下列各题中与之间的关系式，并判断是否为的一次函数，是否为的正比例函数． ①等边三角形的周长与边长之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量（升）与已行驶的距离（千米）之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用（元）与乘车距离（千米）（）之间的函数关系； ④设一长方体盒子高为，底面是正方形，求这个长方体的体积（）与底面边长（）之间的关系． 【答案】见解析 【知识点】识别一次函数、正比例函数的定义 【分析】本题考查了一次函数、正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解此题的关键． 根据三角形周长公式表示出与之间的关系式即可；②根据余油量耗油量原油量表示出与之间的关系式即可；③根据乘车费起步价燃油附加费加收的乘车费表示出与之间的关系式即可；④根据长方体的体积底面积高表示出与之间的关系式即可． 【详解】解：①，是一次函数，也是正比例函数． ②，是一次函数，不是正比例函数． ③是一次函数，不是正比例函数． ④，既不是一次函数，也不是正比例函数． 题型1 正比例函数的定义 【例1】下列函数中，是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，理解什么是正比例函数是解题的关键．根据正比例函数的定义进行判断：形如（是常数，）的函数叫作正比例函数． 【详解】A．是正比例函数，故本选项符合题意； B．不是正比例函数，故本选项不符合题意； C．是常值函数，故本选项不符合题意； D．，分母含有自变量，不是正比例函数，故本选项不符合题意． 故选：A． 【例2】下列函数关系式中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的定义，由（）进行判断即可． 【详解】解：A.是正比例函数，故符合题意； B.中是分式，不是正比例函数，故不符合题意； C.是一次函数，含有常数项，故不符合题意； D.自变量的次数不是，不是正比例函数，故不符合题意； 故选：A． 【技巧归纳】 正比例函数：y=kx（k≠0），自变量的指数为1。图象过原点(0,0)。判断时看是否可化为y=kx形式，且k不为0。k>0图象过一三象限，k<0过二四。实际问题中如单价固定总价与数量成正比。注意与其他函数区分。 【变式1-1】下列函数中是正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正比例函数的定义，形如为常数且的函数是正比例函数，需满足：①自变量的次数为1；②无常数项；③分母不含自变量．根据正比例函数的定义解答即可． 【详解】解：A．是正比例函数，符合题意； B．，是反比例函数，不符合题意； C．，未知数的次数是二次，不符合题意； D．，是一次函数，不是正比例函数，不符合题意． 故选：A． 【变式1-2】下列各函数中，是的正比例函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正比例函数的定义，形如（k为常数且）的函数是正比例函数．据此逐一分析各选项即可． 【详解】A． 含常数项1，不符合的形式，故不是正比例函数． B．中x的次数为2，不符合的形式，故不是正比例函数． C．符合的形式，故是正比例函数 D． 中x在分母，不符合的形式，故不是正比例函数． 故选：C 题型2 一次函数的识别 【例3】下列函数为一次函数的有（    ） ①；②；③；④． A．①②④ B．①③ C．①② D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，根据一次函数的定义：形如（是常数，且）的函数是一次函数，逐项判断即可求解，掌握一次函数的定义是解题的关键． 【详解】解：①是一次函数，符合题意； ②，即，则是一次函数，符合题意； ③不是一次函数，不符合题意； ④是一次函数，符合题意； ∴一次函数的有①②④， 故选：A． 【例4】下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的定义，正比例函数，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据一次函数的定义，（，为常数，），当时，函数为正比例函数，据此进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、不是一次函数，故该选项不符合题意； B、，变形为，是正比例函数，故该选项不符合题意； C、，不是一次函数，故该选项不符合题意； D、是一次函数但不是正比例函数，故该选项符合题意； 故选：D． 【技巧归纳】 一次函数：y=kx+b（k≠0），自变量的指数为1。判断依据：可化为该标准式，且k≠0。若b=0则为正比例函数。注意系数含参数时要保证k不为0。如y=2x+1是一次；y=3/x不是。分母含自变量或指数非1则不是。 【变式2-1】在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解． 【详解】解：一次函数的为：，，共有个， 故选：C． 【变式2-2】有下列五个式子：①；②；③；④；⑤．其中，表示y是x的一次函数的有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k，b为常数，，自变量次数为1．根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：①，变形为，符合一次函数的定义， ②不符合一次函数的定义， ③符合一次函数的定义， ④，变形为，符合一次函数的定义， ⑤不符合一次函数的定义， 综上，表示y是x的一次函数的有①③④，共3个， 故选：C． 题型3 根据一次函数的定义求参数 【例5】已知函数． （1）当 时，是的一次函数； （2）当 时，是的正比例函数． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． （1）根据一次函数的定义可知，求出的取值范围即可； （2）根据正比例函数的定义可知且，从而可求得m的值． 【详解】解：（1）根据一次函数的定义可知：， 解得：． （2）∵函数是正比例函数， ∴且， 解得：． 故答案为：；． 【例6】若是关于x的一次函数，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故答案为：2． 【技巧归纳】 化为y=kx+b形式，令自变量指数为1且系数k≠0。如y=(m-1)x+2是一次函数，则m-1≠0得m≠1。若还要求正比例，则b=0。列方程或不等式，解出参数，排除使k=0或分母为零的值。注意多个条件联立。 【变式3-1】当 时，函数 是一次函数． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义．熟练掌握一次函数的定义是解题的关键．注意自变量的指数为1，系数不为0的条件． 根据一次函数要求且，联立解答． 【详解】解：∵是一次函数， ∴， 解得． 故答案为：2． 【变式3-2】若函数是一次函数，则k的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如，、是常数）的函数，叫做一次函数． 根据一次函数的定义得到且，然后求解即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得． 故答案为：2． 题型4 求一次函数自变量或函数值 【例7】已知点在一次函数的图象上，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像与性质、代数式的化简与求值等知识点，解题的关键在于利用点在函数图像上的条件将未知数之间的关系建立起来．根据点在函数图象上，将b用a表示，再代入代数式化简即可． 【详解】解：将点坐标代入得， ， 则， 所以， 故答案为：． 【例8】已知点在一次函数的图象上，则的值是 ． 【答案】0 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标的特点，熟练掌握性质是本题的关键． 直接把点代入一次函数解析式得到，再整体代入求值即可． 【详解】解；∵点在一次函数的图象上， ∴ ∴ ∴ 故答案为：0． 【技巧归纳】 已知解析式y=kx+b，求函数值：代入x；求自变量：解方程y=kx+b。注意x的取值应在定义域内（实际问题有范围）。若给出图象，直接读取坐标。多个函数值比较时，直接代入计算或利用增减性（k>0增，k<0减）。 【变式4-1】若点在直线上，则代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，利用整体代入思想解题是关键．将点代入直线解析式，得到，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：点在直线上， ， ， ， 故答案为：． 【变式4-2】已知函数． (1)求当时，函数y的值； (2)求当时，自变量x的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了求自变量值或函数值，已知自变量值或求函数值或自变量，是基础题，准确计算是解题的关键． （1）把x的值分别代入函数关系式计算即可得解； （2）把函数值代入函数关系式，解关于x的一元一次方程即可． 【详解】（1）解：当时，； （2）解：当时，， 解得：． 题型5 列一次函数解析式并求值 【例9】已知点A（8，0）及在第一象限的动点P（x，y），且x+y=10，设△OPA的面积为S． (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围； (2)当S=12时，求P的坐标． 【答案】(1)S=-4x+40，0<x<10 (2)P（7，3） 【分析】（1）首先把x+y=10，变形为y=10-x，再利用三角形的面积求法：S=底×高÷2，可以得到S关于x的函数表达式，P在第一象限，故x＞0，再利用三角形的面积S＞0，可得到x的取值范围； （2）把S=12代入函数解析式即可． 【详解】（1）根据题意，得A（8，0），P（x，y），且x+y=10， ∴y=10-x， ∴OA=8，P（x，10-x） ∴S=×8(10-x)=-4x+40． 又∵x>0，且10-x>0， ∴0<x<10． （2）当S=12时，即12=40-4x， 解得x=7， ∴y=10-7=3， ∴S=12时，P点坐标（7，3）． 【例10】甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【技巧归纳】 先根据题意找等量关系，设y=kx+b。代入两组对应值，解方程组求k、b。写出解析式并注明自变量范围。求值时代入x或y。注意实际问题中变量关系可能为正比例（b=0），需代入验证。单位要统一。 【变式5-1】如图，甲、乙两地相距，现有一列火车从乙地出发，以的速度向丙地行驶． 设表示火车行驶的时间，表示火车与甲地的距离． （1）写出与之间的关系式，并判断是否为的一次函数； （2）当时，求的值． 【答案】（1），是的一次函数；（2）140 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距100km ∴火车与甲地的距离表示为：（100+80x）km ∴y=100+80x ∴y是x的一次函数； （2）当时，得：y=100+80×0.5=140． 【变式5-2】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某班准备购买钢笔和笔记本作为奖品．某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费．已知每支钢笔定价为15元，每本笔记本定价为4元．该班班长准备购买x支钢笔和本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为元，选择第二种方案购买所需费用为元． (1)请分别写出，与x之间的关系式； (2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优惠． 【答案】(1)与x之间的关系式为，与x之间的关系式为 (2)选择方案②更为优惠 【分析】（1）分别根据方案①和方案②列出关系式即可； （2）将分别代入、求出结果比较大小即可． 【详解】（1）解：方案①：， 方案②：， 与x之间的关系式为，与x之间的关系式为； （2）当时，；. ， 选择方案②更为优惠． 题型6 根据正比例函数的定义求函数表达式 【例11】已知与成正比例，且当时，． (1)求与之间的函数关系式； (2)若点在这个函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求正比例函数解析式，求自变量的值： （1）设出函数解析式，再代入已知的数据求解即可； （2）把代入（1）所求解析式中进行求解即可． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵点在这个函数的图象上， ∴， ∴． 【例12】已知与成正比例，且当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)设点在（1）中函数的图象上，求a的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是成正比例的含义，利用待定系数法求解函数解析式，掌握求解的方法是解本题的关键； （1）根据题意设设，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）把点代入（1）中的函数解析式即可得到答案． 【详解】（1）解：设， 当时， ， 解得：， 与x的函数关系式为， 即； （2）把代入得， ∴． 【技巧归纳】 正比例函数y=kx（k≠0）。若已知一对对应值（除原点），代入得k=y/x。也可由实际意义中“成正比”直接设，再通过已知条件求k。注意k的符号与图象象限对应。若题中给出比例系数，直接写出式。验证时过原点。 【变式6-1】已知y与成正比例，当时； (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了正比例函数定义，一次函数自变量等知识，熟练掌握求解析式的方法，一次函数的相关知识是解题的关键 （1）设解析式为，把，代入，可求，进而可得解析式； （2）将代入（1）的关系式，计算求解即可． 【详解】（1）解：设解析式为， 把，代入得：， 解得：， ∴解析式为； （2）解：将代入得：， 解得． ∴x的值为． 【变式6-2】已知与成正比例，当时，． (1)求出y与x的函数关系式； (2)设点在这个函数的图象上，求a的值． (3)试判断点是否在此函数图像上，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点不在此函数的图象上，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上的点的坐标特征、解一元一次方程，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． （1）设，将x、y值代入求出k值即可求解； （2）将点代入（1）中函数关系式中求解即可； （3）将代入（1）中函数关系式中求解判断即可． 【详解】（1）根据题意，设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴，即， ∴y与x的函数关系式为； （2）将点代入得：， 解得：； （3）当时，， 则点不在此函数的图象上． 一、单选题 1．下列y关于x的函数中，是正比例函数的是（     ） A．； B．； C．； D．． 【答案】A 【分析】本题根据正比例函数的定义判断各选项即可，正比例函数的定义为：形如（为常数，且）的函数是关于的正比例函数． 【详解】首先明确正比例函数定义：形如（为常数，）的函数叫做正比例函数， ∵ 选项A中，，符合的形式，且，∴A是正比例函数； ∵ 选项B中，是反比例函数，不符合正比例函数形式，∴B错误； ∵ 选项C中，是一次函数，常数项为，不是正比例函数，∴C错误； ∵ 选项D中，整理得，常数项为，是一次函数，不是正比例函数，∴D错误． 因此选A． 2．一次函数的图像经过点A，则点A的坐标可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一次函数图象上的点的坐标满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到对应值后，和点的纵坐标对比即可判断． 【详解】∵若点在一次函数的图象上，则点的坐标满足该解析式， 对选项A，当时，，∴A错误； 对选项B，当时，，与点的纵坐标相等，符合要求，∴B正确； 对选项C，当时，，∴C错误； 对选项D，当时，，∴D错误． 3．函数①；②；③；④；⑤，其中是一次函数的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：逐一判断各函数： ①中未说明，因此不一定是一次函数； ②，符合（，）的形式，是一次函数； ③的自变量在分母上，不符合一次函数定义，不是一次函数； ④，符合（，）的形式，是一次函数； ⑤中自变量的最高次数为2，不是一次函数； 综上，一次函数共有2个． 4．已知y是x的正比例函数，且当时，，当时，y的值为（   ） A．6 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】先根据正比例函数定义设出函数解析式，再利用已知条件求出比例系数，最后代入x的值计算y即可． 【详解】解：∵y是x的正比例函数， ∴设函数解析式为， 将代入解析式得：， 解得， ∴函数解析式为， 当时，． 5．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】先从表格中找出弹簧伸长量和重物质量的变化规律，得到与的函数关系式后，代入的值计算即可． 【详解】解：由表格数据可得，重物质量每增加，弹簧总长增加， ∴重物质量每增加，弹簧伸长， ∵弹簧原长为， ∴可得与的关系式为， 将代入得，． 二、填空题 6．已知点在一次函数的图象上，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：点在一次函数的图象上， 得． 7．函数是一次函数，则m的值为______． 【答案】 【分析】根据一次函数的定义，列出关于的方程和不等式，即可求解的值． 【详解】解：∵函数是一次函数， ∴且， 由可得， 由可得， ∴． 8．点在直线上，则代数式的值为________． 【答案】 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征，将点的坐标代入直线解析式，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：点在直线上， ， 移项整理得， 等式两边同乘得， ． 9．定义：对于函数（），将的值叫做该函数的特征值．若函数的特征值为，则______． 【答案】 【分析】根据题目给出的函数特征值的定义，列出关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解：对于函数，可得， ∵其特征值为， ∴由题意得，，解得． 10．新定义：为一次函数（为实数）的“关联数”．若“关联数”所对应的一次函数是正比例函数，则的值是___________． 【答案】5 【分析】根据新定义写出对应一次函数，利用正比例函数的定义得到常数项为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：根据新定义可知，“关联数”对应的一次函数为 ，其中，符合一次函数定义． ∵该一次函数是正比例函数， ∴， 解得：． 三、解答题 11．写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积与它的边长之间的关系； (2)某地居民用电收费标准是0.53元/（），应缴电费y（元）与用电量x（）之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y（元）与购买的黑色签字笔x（支）之间的关系． 【答案】(1)，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数 (2)，y是x的一次函数，也是x的正比例函数 (3)，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数 【详解】（1）解：由正方形的面积是边长的平方得，，y不是x的一次函数，也不是x的正比例函数． （2）解：由应缴电费y（元）是收费标准0.53元/（）与用电量x（）的乘积得，，y是x的一次函数，也是x的正比例函数． （3）解：由剩余的费用y（元）是总钱数减去用去的钱得，，y是x的一次函数，但不是x的正比例函数． 12．已知函数， (1)当时，求函数的值； (2)当x取何值时，函数的值为0． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：将代入，得； （2）解：令，解得． 13．已知y关于x的函数表达式为． (1)若y是x的正比例函数，求m的值； (2)若，通过计算判断点是否在该函数的图象上． 【答案】(1)3 (2)点不在该函数的图象上 【分析】（1）根据正比例函数的定义可得，即可求解； （2）把代入函数解析式，即可求解． 【详解】（1）解：∵y是x的正比例函数， ∴， ∴； （2）解：当时，该函数解析式为， 当时，， ∴点不在该函数的图象上． 14．已知与成正比例，且当时，； (1)求出与之间的函数关系式； (2)当时，求的值； (3)当时，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）利用待定系数法求函数的解析式即可； （）把代入解析式，便可求出的值； （）把代入解析式，便可求出的值． 【详解】（1）解：∵与成正比例， ∴设， ∴，解得：， ∴， ∴与之间的函数关系式； （2）解：把代入得，； （3）解：把代入得，， ∴． 15．在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足：，则称点的“美好点”为点．例如，点的美好点是． (1)点的美好点坐标是______，若点的美好点为，则点的坐标是______； (2)若点的美好点在直线上，求的值； (3)点在直线上且点的横坐标为，点为点的美好点，点______直线（填“在”或“不在”），请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)在，理由见解析 【分析】（1）根据“美好点”的定义进行求解即可； （2）若点的“美好点”在直线上，可得方程，解之可得； （3）先根据点Q为点P的“美好点”，求得点Q的坐标，再代入，求解即可． 【详解】（1）解： 根据题意可得：，， ∴点的“美好点”坐标是； 若点P的“美好点”为， 则， 解得，， 点P的坐标是； （2）解：点的“美好点”为，即， 若点的“美好点”在直线上， 得， 解得：， 所以的值为； （3）解：点在直线上且点的横坐标为， ， 点Q为点P的“美好点”， ， 将代入中，得， 与点的纵坐标相等， 在直线上． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第13讲认识一次函数 了内容号航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1正比例函数的定义 题型2一次函数的识别 题型3根据一次函数的定义求参数 题型4求一次函数自变量或函数值 题型5列一次函数解析式并求值 题型6根据正比例函数的定义求函数表达式 04过关检测→练考点·强落实：过关检测全面巩固 01预习航标 关键词 学习目标导航 1.理解一次函数的概念，能识别形如y=+b(kb为常数，0)的函 数。 一次函数、正比例函数、 2.掌握正比例函数是特殊的一次函数(b=0)，并能区分一次函数与正比例 y=c+b、k0、b=0、 函数。 建模。 3.能根据实际问题中的数量关系列出一次函数表达式，并确定自变量的取值 范围。 4.体会函数模型的广泛应用，感受数学与生活的紧密联系。 学习重点：一次函数的概念及其一般形式，正比例函数与一次函数的关系。 学习难点：理解一次函数中k和b的实际意义，以及从实际问题中抽象出一次函数模型并确定自变量 的取值范围。 02 教材全解 知识|框|架 1/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一般形式y=kx+b(k,b为常数kO) 忽略k+0条件 一次函数的定义 正比例函数是特殊一次函数y=kx(k+0) 待定系数法代入符号错误 高频易错点 自变量×指数为] 平移方向混淆 正比例函数是b=0的一次函数 一次函数判断 一次函数与正比例函数的关系 一次函数包含正比例函数 图象性质应用 高频考点 图象均为直线 解析式球法 是一条直线 平移规律 认识一次函数 找与坐标轴交点 画法两点法 左加右减自变量 一次函数的图象 平移规律 一次函数图象的平移 连线 上加下减常数项 k决定增减性 设一般式y=kx+b 图象特征 b决定与y轴交点 代入两组对应值 步骤 待定系数法求解析式 koO时y随x增大而增大 解方程组求k与b 一次函数的性质 k<0时y随x增大而减小 写出解析式 水相等时直线平行 知|识1精|讲 知识点01一次函数的定义 次函数：一般地，形如y=a+b(k,b为常数，0)的函数，叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的 函数 【易错提醒】 一次函数定义易错警示：形如y=+b(k0),自变量x次数为1。注意：b可为0（正比例函数），但k 必须非零。若k0,则为常函数，不是一次函数。表达式必须为整式。 即时即练1. 下列质数中：@=x+4:②y名，@)=9，①，F+2,其中y是的一次爵数有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.己知y=(m+1)x2-m+n+5. (1)当m,n为何值时，y是x的一次函数？ (2)当m,n为何值时，y是x的正比例函数？ 知识点02正比例函数的定义 正比例函数：特别地，当b=O时，y=(k为常数，0)，y叫做x的正比例函数 函数图象经过点的含义：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若己知一个 点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x,纵坐标代y,方程成立 【易错提醒】 2/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 正比例函数定义易错警示：形如y=(0),是特殊的一次函数。注意：x的指数必须为1；k为比例系数， 不能为0。勿将y-+b(b0)误认为正比例函数。比例系数带符号。 即时即练1.下列函数中，正比例函数是() A.y=-2x B.y=3 C.y=3x2 D.y=2x-4 x 2.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数，是否为x的正比例函数. ①等边三角形的周长y与边长x之间的关系； ②汽车行驶前，油箱中有油65升，已知汽车每行驶10千米耗油2升，油箱的余油量y(升)与已行驶的 距离x(千米)之间的关系； ③今年某市出租车收费方式全面调整，具体收费方式如下，行驶距离在3千米以内（包括3千米）付起步 价5元，超过3千米后，每多行驶1千米加收1.8元，另外每辆车加收3元的燃油附加费，求乘车费用y(元) 与乘车距离x(千米)(x>3)之间的函数关系： ④设一长方体盒子高为10cm,底面是正方形，求这个长方体的体积y(cm3)与底面边长x(cm)之间的 关系 03 题型突破 题型1正比例函数的定义 【例1】下列函数中，是正比例函数的是() A.y=-8x B.y=-8x+1 C.y=8 Dy=-8 【例2】下列函数关系式中，y是x的正比例函数的是() A.y=2x B.y=2 C.y=2+x D.y=x2 x 【技巧归纳】 正比例函数：y=x(k≠0)，自变量的指数为1。图象过原点(0,0)。判断时看是否可化为=x形式，且k不为0 。>0图象过一三象限，k<0过二四。头际问题中如单价固定总价与数量成正比。注意与其他函数区分。 【变式1-1】下列函数中是正比例函数的是() A.y=-2x B.y=I C.y=2x2-1 D.y=2x-1 【变式1-2】下列各函数中，y是x的正比例函数的是() 3/8 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.y=1-2x B.y=x2 C.y=-x 3 D.y= 题型2一次函数的识别 【例3】下列函数为一次函数的有() ①y=x+6;②y-x=-2(x+1;③y=-x2+4x-1;④y=4x. A.①②④ B.①③ C.①② D.②④ 【例4】下列函数中，是一次函数，但不是正比例函数的是() A.y=15x2 B.y=-)-2C.y= D.y=5x-1 2x 【技巧归纳】 一次函数：Jy=x+b(k≠0)，自变量的指数为1。判断依据：可化为该标准式，且≠0。若b-0则为正比例函数。 注意系数含参数时要保证k不为0。如y=2x+1是一次；Jy=3x不是。分母含自变量或指数非1则不是。 【变式2-1】右下列函数解所式中，①y=-5x:②y®y-3,:@y=-2+1,一定是一次函数的 3-x 有() A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【试22】有下列五个式千：①y=5@y:®y=x+1,④y=-:@y=2+1.其中， 2 表示y是x的一次函数的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 题型3根据一次函数的定义求参数 【例5】己知函数y=(m-1x+m2-1. (1)当m时，y是x的一次函数； (2)当m时，y是x的正比例函数 【例6】若y=3x-+6是关于x的一次函数，则k= 【技巧归纳】 化为)=x+b形式，令自变量指数为1且系数k0。如)y=(m-1)x+2是一次函数，则m-10得m≠1。若还要求 正比例，则b=0。列方程或不等式，解出参数，除使k=0或分母为委的值。注意多个条件联立。 【变式3-1】当m=时，函数y=(m+2)xm-3是一次函数. 【变式3-2】若函数y=(k+2)x+4是一次函数，则k的值是 4/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型4求一次函数自变量或函数值 【例7】已知点P(a,b)在一次函数y=2x+3的图象上，则3(2a+b)-6b的值为 【例8】已知点P(m,n)在一次函数y=4x-3的图象上，则4m-n-3的值是 【技巧归纳】 已知解析式)y=x+b,求函数值：代入x;求自变量：解方程y=x+b。注意x的取值应在定义域内（实际问题有 范围)。若给出图象，直接读取坐标。多个函数值比较时，直接代入计算或利用增减性(>0增，k<0减)。 【变式4-1】若点(m,n)在直线y=-2x+3上，则代数式2m+n-1的值是 【变式4-2】已知函数y=2x-3. (1)求当x=4时，函数y的值： (2)求当y=-5时，自变量x的值. 题型5列一次函数解折式并求值 【例9】已知点A(8,0)及在第一象限的动点P(x,y),且x+y=10,设△OPA的面积为S. (1)求出S关于x的函数解析式，并求出x的取值范围： (2)当S=12时，求P的坐标 【例10】甲、乙两地相距120m,现有一列火车从乙地出发，以80am/h的速度向甲地行驶.设x(h)表示 火车行驶的时间，y(a)表示火车与甲地的距离 (1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数： (2)当x=0.5时，求y的值. 【技巧归纳】 先根据题意找等量关系，设)y=x+b。代入两组对应值，解方程组求k、b。写出解析式并注明自变量范围。求值 时代入x或y。注意实际问题中变量关系可能为正比例(b=0),需代入验证。单位要统一。 【变式5-1】如图，甲、乙两地相距100km,现有一列火车从乙地出发，以80kmh的速度向丙地行驶 v=80 km/h 甲 丙 设x(h)表示火车行驶的时间，ykm)表示火车与甲地的距离. (1)写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； (2)当x=0.5时，求y的值. 【变式5-2】尊老爱幼是中华民族的传统美德，为鼓励在“争做孝心好少年”主题活动中表现优秀的同学，某 5/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 班准备购买钢笔和笔记本作为奖品.某文具商店给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送一本笔记本，多 于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费.已知每支钢笔定价为15元，每本笔 记本定价为4元.该班班长准备购买x支钢笔和(x+10)本笔记本，设选择第一种方案购买所需费用为？元， 选择第二种方案购买所需费用为元. (1)请分别写出头，乃与x之间的关系式： (2)若该班班长准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优 惠. 题型6根据正比例函数的定义求函数表达式 【例11】己知y与x成正比例，且当x=-2时，y=6. (1)求y与x之间的函数关系式： (2)若点(m,3)在这个函数的图象上，求m的值. 【例12】己知y-3与4x-2成正比例，且当x=1时，y=5. (1)求y与x的函数关系式： (2)设点(a,-2)在(1)中函数的图象上，求a的值 【技巧归纳】 正比例函数)=x(k≠0)。若已知一对对应值（除原点），代入得一yx。也可由实际意义中“成证比”直接设， 再通过已知条件求k。注意k的符号与图象象限对应。若题中给出比例系数，直接写出式。验证时过原点。 【变式6-1】己知y与x+2成正比例，当x=2时y=-5; (1)求y关于x的函数解析式： 2当)两，求：的位 【变式6-2】已知y-1与x+3成正比例，当x=-1时，y=3. (1)求出y与x的函数关系式： (2)设点(a,-2)在这个函数的图象上，求a的值， (3)试判断点(-2,5)是否在此函数图像上，说明理由。 6/8 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 04 过关检测 一、单选题 1.下列y关于x的函数中，是正比例函数的是() A.y=等： B.y=景： C.y x 3: D.y=劈 2.一次函数y=一x+1的图像经过点A,则点A的坐标可能是() A.(2,4) B.(-1,2) C.(-2,-1) D.(1,-2) 3.函数①y=kx+b:②y=3x:③y=-是：④y=写x+3:⑤y=-2x+1,其中是一次函数的有（) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.已知y是x的正比例函数，且当x=2时，y=-6，当x=-3时，y的值为() A.6 B.-6 C.9 D.-9 5.弹簧原长（不挂重物）12cm,弹簧总长L(cm)与重物质量x(kg)的关系如下表所示：当重物质量 为7.5kg(在弹性限度内)时，弹簧的总长L(cm)是() 弹簧总长L 13 14 15 16 17 (cm) 重物质量x(kg 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 A.27 B.27.5 C.20 D.19.5 二、填空题 6.己知点A1,a在一次函数y=-x+3的图象上，则a的值为， 7.函数y=(m一1)网+2是一次函数，则m的值为 8,点(a,b)在直线y=一2x-1上，则代数式4a+2b+3的值为 9,定义：对于函数y=kx+b(k≠0)，将+b的值叫做该函数的特征值.若函数y=2x十m的特征值 为-1，则m= 10.新定义：[a,b]为一次函数y=ax+b(a≠0，a,b为实数)的关联数.若“关联数[3，m-5所对应 的一次函数是正比例函数，则m的值是 三、解答题 11.写出下列各题中y与x之间的关系式，并判断：y是否为x的一次函数？是否为正比例函数？ (1)正方形的面积y(cm)与它的边长x(cm)之间的关系； 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)某地居民用电收费标准是0.53元/(kW·h)，应缴电费y(元)与用电量x(kW·h)之间的关系； (3)小华用50元去文具店买黑色签字笔，已知黑色签字笔的单价是2元，小华剩余的费用y(元)与购买的 黑色签字笔x(支)之间的关系 12.已知函数y=-2x+1, (1)当x=2时，求函数的值； (2)当x取何值时，函数的值为0， 13.己知y关于x的函数表达式为y=2x+m-3, (1)若y是x的正比例函数，求m的值； (2)若m=4,通过计算判断点A 28 33 是否在该函数的图象上· 14.已知y-1与x+2成正比例，且当x=3时，y=11; (1)求出y与x之间的函数关系式： (2)当x=一1时，求y的值； (3)当y=0时，求x的值. [m=2a 15.在平面直角坐标系中，对于点P(a,b)和点(m,n),若满足： n=2b-1'则称点P的美好点”为点Q.例 如，点(2，)的美好点是(4,1) (1)点P(-3,2)的美好点坐标是 ,若点P的美好点为（⑤，4），则点P的坐标是 (2)若点P(a,3)的美好点在直线y=3x-2上，求a的值； (3)点P在直线y=2x+1上且点P的横坐标为k,点Q为点P的美好点，点Q直线y=2x+1(填“在或“不 在”)，请说明理由， 8/8