精品解析：2026年广西壮族自治区玉林市陆川县初中学业水平考试数学练习试题（一）

2026年初中学业水平考试练习试题（一） 九年级 数学 （考试时间为120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】乘积为的两个数互为倒数. 【详解】解：， 的倒数是. 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：它的俯视图是， 故选：C． 3. 2026年春节期间，国内出游人次达3.86亿，用科学记数法表示3.86亿为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵1亿 ， ∴3.86亿 ． 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质得即可求解． 【详解】解：如图， 由题意， ， ， ， ，， ． 5. 下列计算中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、∵与不是同类项，不能合并，∴A错误； B、，运算正确，∴B正确； C、，∴C错误； D、∵，∴D错误． 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用统计量作决策，熟记平均数及方差的意义是解决问题的关键． 根据平均数和方差的意义，平均数高表示成绩好，方差小表示发挥稳定，结合表中数据，选择平均数最高且方差最小的同学即可得到答案． 【详解】解：由表中数据可知，乙和丁的平均数最高，甲和乙的方差最小， 乙同学平均数最高且方差最小， 因此选择乙， 故选：B． 7. 某水果店推出果切礼盒，礼盒由苹果、草莓按一定比例搭配，已知苹果每斤元，草莓每斤元，一个礼盒重斤，总价元，设礼盒中有苹果斤，草莓斤，列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题根据礼盒总重量和总价格两个等量关系，列二元一次方程组，即可选出正确选项． 【详解】∵设礼盒中有苹果斤，草莓斤，礼盒总重为斤， ∴总重量的等量关系为 ， ∵苹果每斤元，草莓每斤元，礼盒总价为元，苹果总价为 ，草莓总价为， ∴总价格的等量关系为， ∴综上，． 8. 如图，是圆的弦，过圆心作 于点，交于点，，点是上异于，的一点，连接， ，的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，圆周角定理，余弦函数的定义，熟练掌握相关知识是关键． 连接 ，设的半径为，由垂径定理和圆周角定理可得，在直角 中，使用余弦函数的定义进行计算即可． 【详解】解：如图，连接 ，设的半径为， ∵， ∴， ∵ ， 又∵ ， ∴， ∵， ∴， 在直角 中，， ∴． 故选：A． 9. 如图，在四边形中，，点在线段上，．则下列条件不能判定 成为等边三角形的是（ ） A. B. C. D. 平分 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平行线的性质和已知条件证明  是等腰三角形，再根据等边三角形的判定方法逐项判断即可． 【详解】解：        ，即  是等腰三角形 对于 A，若 ，则 ， 是等边三角形，故 A 不符合题意； 对于 B，若 ，有一个角是  的等腰三角形是等边三角形，故 B 不符合题意； 对于 C，若 ，则 ，有一个角是  的等腰三角形是等边三角形，故 C 不符合题意； 对于 D，若  平分 ，只能得到 ，无法推出  的内角为  或三边相等，故 D 符合题意． 10. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程变形，用表示，再根据 均为正整数的条件，列举所有符合条件的解，即可得到正整数解的个数． 【详解】解：∵ 方程为，且 为正整数， ∴ 变形得， ∵是正整数， ∴， 解得， 又∵是正整数， ∴的取值为，对应得到： 当时，； 当时， ； 当时，，均满足条件， 因此方程共有个正整数解． 11. 如图，菱形的顶点，分别在轴，轴上， 轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心，若菱形的面积为，则该反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由菱形的性质得，即得，求出的值再根据反比例函数的图象即可求解. 【详解】解：∵菱形的面积为8， ∴， ∵轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心， ∴， ∴， ∵反比例函数图象分布在二、四象限， ∴， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 12. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到 ，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形，相似三角形的判定和性质，坐标与图形变换—平移，熟练掌握相关知识点，添加辅助线构造相似三角形，是解题的关键．过点作 轴，作交的延长线于点 ，证明，得到，根据点的坐标，结合的值，求出，平移求出点坐标，进而得到平移规则，再求出点坐标即可． 【详解】解：过点作 轴，作交的延长线于点 ，则： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平移， ∴， ∴， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴将点先向右平移10个单位，再向下平移3个单位得到点， ∴； 故选B． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知某水库的水位变化：与时间构成了一次函数 的关系，当时，，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数未知系数的求解，解题思路是将已知的，对应值代入一次函数解析式，通过解一元一次方程得到的值，即可． 【详解】解：已知一次函数为，且当时， ； 将， 代入， ∴  ， 解得：． 14. 因式分解：____________． 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 15. 如图，在中，对角线与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：① ；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 【答案】 ①②或②③（填写一组即可） 【解析】 【分析】根据正方形，矩形，菱形的判定分析求解即可． 【详解】解：当选择①；② 时， ∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， ∵ ， ∴菱形是正方形； 当选择②；③时， ∵四边形是平行四边形，当， ∴四边形是菱形， ∵， ∴菱形是正方形； 当选择①；③， 由于四边形是平行四边形，若或， 均只能得到四边形是菱形，不能证明其为正方形，故不符合题意； ∴选择①②或②③均可以． 16. 如图，在四边形中， ，，，，是线段 的中点，是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到 （如图的所有点在同一平面内），连接，，则面积的最小值为________ ． 【答案】 【解析】 【分析】过点作 于点，可得四边形是正方形，从而得到，再利用勾股定理求出的长，从而得到当点到的距离最小时，面积最小，过点作交的延长线于点，即当最小时，面积最小，然后结合题意可得点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动，当点、、三点共线时，最小，此时面积最小，延长 、交于点，过点作于点，则，可得，即可求解． 【详解】解：如图，过点作 于点， ∵ ，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ， 当点到的距离最小时，面积最小， 过点作交的延长线于点， 即当最小时，面积最小， ∵是线段 的中点，， ， 由折叠的性质得：， ∴点在以点为圆心，1为半径的半圆上运动， ∴当点、、三点共线时，最小， 此时面积最小， 延长 、交于点， 过点作于点，则， ∴， ，， ， ∵ ， ， ， ∴ 是等腰直角三角形， ，， ，， ， ∵， ，即， ∴， ， ， ∴面积的最小值为． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算； （2）解方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 去分母， 移项合并同类项，， 系数化为“1”，． 18. 图形变换： （1）前段时间小明和同学结伴去逛了玉林湿地公园，他们想建立平面直角坐标系，从而分别标出人们最喜欢的湿地公园的三个景点：金鱼池、假山、凉亭的位置．经过数据的采集得到信息，金鱼池的坐标为，假山的坐标为，凉亭的坐标为．请你帮助小明在题中所给的网格内建立平面直角坐标系，并分别标出金鱼池、假山、凉亭的位置． （2）如将金鱼池、假山、凉亭所在的向右平移3个单位长度，得到，请画出，并写出的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）如图：金鱼池、假山、凉亭的位置即为所求， （2）如图：即为所求， 的坐标为； （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，再标出金鱼池、假山、凉亭的位置即可； （2）根据平移的性质作图即可； （3）利用三角形的面积公式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积． 19. 完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． （1）应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ （2）某店家以每副100元的价格购进镜架后提高 后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ （3）该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 【答案】（1）安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； （2） （3）剩余的镜架应打五折出售． 【解析】 【分析】（1）设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿，根据等量关系为：每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成，把相关数值代入即可； （2）根据店家提出的“提高后标价，在元旦假期期间，店家打七折销售”进行列式求解即可； （3）设剩余的镜架应打y折出售，再根据“销售完这100副镜架后总获利 ”进行列方程求解即可． 【小问1详解】 解：设安排x名工人生产镜框，则安排名工人生产镜腿， 解得 ， ， 答：安排15名工人生产镜框，20名工人生产镜腿，才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套； 【小问2详解】 根据题意得： 答：售出的每一副镜架的利润率是； 【小问3详解】 设剩余的镜架应打y折出售， 根据题意得：， 整理得 解得 ， 答：剩余的镜架应打五折出售． 20. 统计与概率： 某校初三（2）班奋进小组根据数学老师的要求做一项研学需求情况调研，调查信息如下表： 调查人员 初三（2）班奋进小组 调查方法 抽样调查 调研内容 该学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．玉林云天宫；B．玉林五彩田园；C．朱锡昂纪念馆；D．陆川猪产业园；E．玉林燕京啤酒厂．奋进小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，其中意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是____________； （2）若该校共有1200名学生，请你估算全校参加A研学基地的学生人数； （3）小欣从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，小强同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求小欣和小强两人选择相同研学基地的概率． 【答案】（1）补全统计图如图， ；； （2）估计全校参加A研学基地的学生人数为人； （3）两位同学选择相同研学基地的概率为． 【解析】 【分析】（1）用的人数除以其占比得到总人数，用的占比乘以总人数得到的人数，进而根据总人数减去其他组的人数求得的人数，进而补全统计图，用 的占比乘以即可得出意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数； （2）根据样本估计总体，用乘以样本中的占比，即可求解； （3）根据列表法求概率，即可求解． 【小问1详解】 解：总人数为 （人） 参加研学基地人数为（人）， ∴参加研学基地人数为：（人） 补全统计图见解析； 意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是． 【小问2详解】 解：（人） 答：估计全校参加A研学基地的学生人数为人； 【小问3详解】 解：列表如下： 共有种等可能结果，其中两位同学选择相同研学基地的结果数有 种， ∴两位同学选择相同研学基地的概率为． 21. 如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在上，当点P在上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与相切时，点B恰好落在上．请就图2的情形解答下列问题： （1）若，求的度数． （2）若线段与交于点C，， ，求的半径． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，标记点，由切线的性质可得，由题意可得，从而得出，再由圆周角定理计算即可得出结果； （2）设的半径为，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图，连接，标记点， ∵与相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由圆周角定理可得， ∴； 【小问2详解】 解：设的半径为，则， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴的半径为． 22. 【问题背景】综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 【外形参数】如图2，装置图案整体为轴对称图形，由上方抛物线、中间矩形 和下方抛物线组成： 【数学建模】抛物线的高度为，矩形的边长、，抛物线的高度为； 【解决问题】以矩形 的对称轴为y轴，矩形下底边 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线和的函数表达式； （2）装置内部安装矩形电子显示屏 ，点E、F在上，点H、G在上．设点F的横坐标为，用含m的代数式表示矩形 的面积； （3）若矩形 的高为，求此时点F的坐标． 【答案】（1）抛物线的函数表达式为，抛物线的函数表达式为 （2）矩形 的面积为 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件可得，，由题意设抛物线和的函数表达式的顶点式，分别代入点，的坐标，即可求解； （2）由条件可得点的坐标，则可得矩形 的长与宽，即可求解； （3）由（2）可知，，则，解方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵矩形的边长、 ， ∴， ∵以矩形的对称轴为y轴，矩形下底边所在直线为x轴，建立平面直角坐标系， ∴，， 由题意设抛物线的函数表达式为， 把代入，得， ∴， ∴抛物线的函数表达式为； 由题意设抛物线的函数表达式为， 把代入 ，得 ， ∴， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：由题意可知，矩形 关于y轴对称， ∴轴，轴， ∵点F的横坐标为， ∴点E的横坐标为， ∵点E、F在上，点H、G在上， ∴，，，， ∴， ， ∴矩形 的面积为 ． 【小问3详解】 解：由（2）可知，， ∴， 解得， ∵， ∴， 此时， ∴． 23. 我们学习了一些特殊的四边形，如：长方形、菱形、正方形等；它们都有一般的四边形没有的性质．我们再来探讨一种特殊的四边形：垂美四边形．定义：一组对边平行，另一组对边相等且互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）操作画图： 请你在平面直角坐标系中，画一个垂美四边形，（A、B、C、D的横纵坐标均为整数）； （2）性质探究：请你写出一个垂美四边形的特殊性质：__________________________________； （3）拓展应用：如图，四边形是垂美四边形，其中 ， ，且， ，点E、F分别是 、的中点， ． ①若，请你计算 的值； ②连接 ，则 ．这个结论____________________（填正确或错误）． 【答案】（1）如图，四边形即为所求． （2）垂美四边形是等腰梯形，两腰相等且互相垂直 （3）①20；②错误 【解析】 【分析】（1）由点，，，可得，，，则，过点作于点，过点作于点，延长 ，交于点，由图可知， ， ，则 ， ，则 ，则四边形是垂美四边形； （2）根据图形特点即可写出； （3）①连接，由条件可得四边形、 是平行四边形，则 ，，， ，由 ，，可得 ， ， ，在中，可得 ，则 ，由F是的中点，可得 ，则在 中，可得，再证明 ，即可求解； ②过点作 于点，由①可得 ， ， ， ，设 ，则 ， ，则由①可知，，再假设 ，则 ，可得，再分别计算，，可得，则假设不成立，即可判断结论是错误的． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①连接， ∵点E是 的中点， ， ∴， ∵ ， ∴四边形、 是平行四边形， ∴ ，，， ， ∵ ，， ∴ ， ， ， ∴ ， 在中，， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵F是的中点， ∴ ， 在 中，， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ． ②如图，过点作 于点， 由①可知， ， ， ， ， 设 ，则 ， ， ∴， 由①可知，， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， ∴ ， 在 中， ， ∴ ， ∴ ， 假设 ，则 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， 而，， ∴， ∴假设不成立，即 与不垂直， ∴结论是错误的． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试练习试题（一） 九年级 数学 （考试时间为120分钟，满分120分） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷、草稿纸上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题列出的四个备选项中，只有一项符合题目要求，错选、多选或未选均不得分．） 1. 2026的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具．如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 2026年春节期间，国内出游人次达3.86亿，用科学记数法表示3.86亿为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，一束平行于主光轴的光线经过凹透镜后，其折射光线的反向延长线交于主光轴的焦点F．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算中，运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某校七年级甲、乙、丙、丁四名同学参加分钟跳绳测试，每人次跳绳成绩的平均数（单位：个）及方差（单位：个）如下表所示；根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加比赛，应选择（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 205 217 208 217 方差 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 7. 某水果店推出果切礼盒，礼盒由苹果、草莓按一定比例搭配，已知苹果每斤元，草莓每斤元，一个礼盒重斤，总价元，设礼盒中有苹果 斤，草莓斤，列方程组正确的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，是圆的弦，过圆心作 于点，交 于点，，点是上异于， 的一点，连接，，的值是（ ）． A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，点 在线段上，．则下列条件不能判定 成为等边三角形的是（ ） A. B. C. D. 平分 10. 《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解，．类似地，方程的正整数解的个数是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，菱形的顶点， 分别在 轴，轴上， 轴，反比例函数的图象过菱形的对称中心 ，若菱形的面积为，则该反比例函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在平面直角坐标系中，将平移，得到 ，点在坐标轴上．若，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 已知某水库的水位变化：与时间构成了一次函数 的关系，当时，，则____________． 14. 因式分解：____________． 15. 如图，在中，对角线 与相交于点．小欣同学欲添加两个条件使四边形是正方形，现有三个条件可供选择：① ；②；③．则正确的组合是___________（只需填一种组合即可）． 16. 如图，在四边形中， ，，，， 是线段的中点， 是线段上的一个动点．现将沿所在直线翻折得到 （如图的所有点在同一平面内），连接， ，则面积的最小值为________ ． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 按要求完成下列计算： （1）计算； （2）解方程． 18. 图形变换： （1）前段时间小明和同学结伴去逛了玉林湿地公园，他们想建立平面直角坐标系，从而分别标出人们最喜欢的湿地公园的三个景点：金鱼池、假山 、凉亭的位置．经过数据的采集得到信息，金鱼池的坐标为，假山 的坐标为，凉亭的坐标为．请你帮助小明在题中所给的网格内建立平面直角坐标系，并分别标出金鱼池、假山 、凉亭的位置． （2）如将金鱼池、假山 、凉亭所在的向右平移3个单位长度，得到，请画出，并写出的坐标； （3）求的面积． 19. 完成如下项目式学习表 情境挖掘 眼镜是由镜片和镜架组合起来，用来改善视力、保护眼睛或作装饰用途的用品． 素材整合 某工厂需要生产一批镜架（如图），每副镜架由一个镜框和两个镜腿组装而成．工厂现共有35名工人，平均每人每天生产120个镜框或180个镜腿． （1）应如何安排工人才能使每天生产的镜框和镜腿恰好配套？ （2）某店家以每副100元的价格购进镜架后提高 后标价．在元旦假期期间，店家打七五折销售，售出的每一副镜架的利润率是多少？ （3）该店家购进了100副镜架，元旦假期期间售出了80副，若想在销售完这100副镜架后总获利5%，则剩余的镜架应打几折出售？ 20. 统计与概率： 某校初三（2）班奋进小组根据数学老师的要求做一项研学需求情况调研，调查信息如下表： 调查人员 初三（2）班奋进小组 调查方法 抽样调查 调研内容 该学校计划组织学生前往以下5个研学基地中的一个基地进行研学，5个研学基地分别为：A．玉林云天宫；B．玉林五彩田园；C．朱锡昂纪念馆；D．陆川猪产业园；E．玉林燕京啤酒厂．奋进小组对本校学生的意向目的地展开抽样调查，并为学校出具了调查报告（每位学生只能选1个研学基地） 统计数据 请阅读上述材料，解决下列问题： （1）请将条形统计图补充完整，其中意向参加B研学基地人数对应的扇形圆心角度数是____________； （2）若该校共有1200名学生，请你估算全校参加A研学基地的学生人数； （3）小欣从B，C，D三个基地中随机选择一个参加研学，小强同学从C，D两个基地中随机选择一个参加研学，请用列表或画树状图的方法，求小欣和小强两人选择相同研学基地的概率． 21. 如图为古代劳动人民发明的“石磨”，其原理为在磨盘的边缘连接一个固定长度的“连杆”，推动“连杆”带动磨盘转动将粮食磨碎，物理学上称这种动力传输工具为“曲柄连杆机构”．小军受“石磨”的启发设计了一个“双连杆机构”，设计图如图1，两个固定长度的“连杆”，的连接点P在 上，当点P在 上转动时，带动点A，B分别在射线，上滑动，．如图2，当与 相切时，点B恰好落在 上．请就图2的情形解答下列问题： （1）若，求的度数． （2）若线段与 交于点C，， ，求 的半径． 22. 【问题背景】综合与实践课上，老师让同学们设计一个家电装置图案，某小组设计的效果图如图1所示． 【外形参数】如图2，装置图案整体为轴对称图形，由上方抛物线、中间矩形 和下方抛物线组成： 【数学建模】抛物线的高度为，矩形的边长、，抛物线的高度为； 【解决问题】以矩形 的对称轴为y轴，矩形下底边 所在直线为x轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线和的函数表达式； （2）装置内部安装矩形电子显示屏，点E、F在上，点H、G在上．设点F的横坐标为，用含m的代数式表示矩形的面积； （3）若矩形的高为，求此时点F的坐标． 23. 我们学习了一些特殊的四边形，如：长方形、菱形、正方形等；它们都有一般的四边形没有的性质．我们再来探讨一种特殊的四边形：垂美四边形．定义：一组对边平行，另一组对边相等且互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”． （1）操作画图： 请你在平面直角坐标系中，画一个垂美四边形，（A、B、C、D的横纵坐标均为整数）； （2）性质探究：请你写出一个垂美四边形的特殊性质：__________________________________； （3）拓展应用：如图，四边形是垂美四边形，其中，，且， ，点E、F分别是、的中点， ． ①若，请你计算 的值； ②连接 ，则 ．这个结论____________________（填正确或错误）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $