2026年湖北省武汉市中考数学冲刺模拟试卷(三)【对标四调】

**基本信息** 2026年武汉中考数学冲刺模拟卷，以“金榜题名”地域文化、知识产权数据等真实情境为载体，通过项目式探究（如快餐店利润）和动态几何（如圆中点运动）题，覆盖代数几何统计核心知识，适配中考四调难度，提升数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|图形性质、概率统计、代数运算|第1题结合汉字轴对称渗透文化，第4题以知识产权数据考查科学记数法| |填空题|6/18|函数性质、解直角三角形|第14题通过测角仪测量博物院高度，体现几何直观与空间观念| |解答题|8/72|方程不等式、几何证明、统计应用、函数综合|第22题以快餐店为背景构建成本-售价函数模型，第24题抛物线综合题融合动态几何与定点探究，发展推理能力与模型意识|

2026年湖北省武汉市中考数学冲刺模拟试卷(三)【对标四调】 (考试时间：120分钟 试卷满分：120分) 一、单选题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.祝武汉学子2026年金榜题名.以下4个汉字属于轴对称图形的是(    ) A.金 B.榜 C.题 D.名 2.下列事件中，属于必然事件的是(    ) A.2026年2月16日是我国除夕，这一天会下雨 B.掷一枚骰子，向上一面的点数是6 C.任意画一个三角形，其内角和是 D.在班上任选13名同学，至少有2人的生日在同一个月份 3.如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是(    ) A. B. C. D. 4.根据国家知识产权局数据，我国成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超5000000件的国家，国际专利申请量连续6年位居全球第一，数据“5000000”用科学记数法表示为(     ) A. B. C. D. 5.下列运算中正确的是(    ) A. B. C. D. 6.如图①是健身器材上肢牵引器，在某种状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，②是其简单示意图，其中.若，，则的度数为(    ) A. B. C. D. 7.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1，2，3.小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.小林赢的概率为(    ) A. B. C. D. 8.如图所示的是某网约车的收费(单位：元)与所行驶的路程(单位：)之间的函数关系.小明通过该网约车从家到机场共支出64元.若网约车平均速度为，则他从家到机场需要(     ) A. B. C. D. 9.如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是(     ) A. B. C. D. 10.某同学利用计算机软件绘制函数 (m，n为常数)的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结论中选项正确的是(    ) A. B. C.该函数自变量x的取值范围为一切实数 D.方程有两个不等实数根 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.为响应“体重管理年”有关倡议，小明对自己的体重进行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作________. 12.已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______. 13.化简：_______. 14.综合实践小组想要测量某博物院主楼的高度，绘制出如图所示的示意图，在测点处安置测角仪(已知测角仪的高度为1米，即米)，测得楼顶的仰角为，在与测点相距26米的测点处安置等高的测角仪，测得楼顶的仰角为，图中各点均在同一竖直平面内，且点，，在同一条直线上，则博物院主楼的高度约为______米(结果保留根号). 15.如图，在中，，点D，E分别在，上，连接，，，，若，，则的面积为________.    16.已知二次函数(a，b，c为常数，)图象的顶点坐标是，且经过，两点，.有下列结论：①关于x的一元二次方程()有两个不相等的实数根；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④；⑤对于任意实数t，总有.以上结论正确的有________.(填序号) 三、解答题(共8个小题，共72分) 17. (8分)解不等式组： 18. (8分)已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形.   (1)你添加的条件是：________；(填序号) (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形. 19. (8分)某校为了学生身心健康发展，保证学生每天的运动时间不低于2小时，开展了丰富多彩的体育社团活动课，开设了5种球类运动社团活动课：A.篮球，B.足球，C.排球，D.羽毛球，E.乒乓球.为了解学生最喜欢以上哪种球类运动社团活动课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据整理后，绘制了如下两幅统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题： (1)本次一共调查了________人，_________； (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校最喜欢“C.排球和D.羽毛球”的学生共有多少人. 20. (8分)如图，为的直径，D为上一点，连接，，过D点作交于点C，过点A作交延长线于点E. (1)求证：； (2)若，，求长. 21. (8分)如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度直尺在给定网格内完成下列两个问题，每个问题的画线不得超过三条. (1)在图①中，先将线段绕点C逆时针旋转得到线段； (2)在图①中，在上画一点E，使得； (3)在图②中，先画点B关于的对称点F； (4)在图②中，在上画点G，使得. 22. (10分)【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题. 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业.综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集. 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x(单位：千克)的范围是. 小冉：该菜品每千克的生产成本(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间的关系如下表所示. 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为(其中). 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完(每日销售量＝每日生产量). 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间是一次函数关系.若小敏绘制的图中. (1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式. (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量. (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润. 23. (10分)如图，在中，点，分别在，上，且.     (1)【问题背景】如图1，若，求证：； (2)已知，. ①【变式运用】如图2，若，，求证：； ②【拓展创新】如图3，若，，直接写出的长. 24. (12分)如图1，抛物线交x轴于、B两点(点A在B的左侧)，交y轴于点C，且. (1)直接写出抛物线的解析式__________； (2)如图2，射线绕点C顺时针方向旋转，交抛物线于点D，求点D的横坐标； (3)如图3，点，点F在抛物线上，平移线段至HG，使H、G分别与E、F对应，且H、G均落在抛物线上，连，求证：直线经过一个定点. 学科网（北京）股份有限公司 $2026年湖北省武汉市中考数学冲刺模拟试卷（三）【对标四调】 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.祝武汉学子2026年金榜题名.以下4个汉字属于轴对称图形的是( 金榜题 名 2.下列事件中，属于必然事件的是() A.2026年2月16日是我国除夕，这一天会下雨 B.掷一枚骰子，向上一面的点数是6 C.任意画一个三角形，其内角和是360° D.在班上任选13名同学，至少有2人的生日在同一个月份 3.如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是() 正面 B D 4.根据国家知识产权局数据，我国成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超5000000件的国家，PCT国际专利申 请量连续6年位居全球第一，数据“5000000'用科学记数法表示为() A.50×10° B.5×10 C.5×106 D.0.5×10 5.下列运算中正确的是() A(3a)）'=9a B.(a）'=a C.a2.a=as D.a+a'=as 6如图①是健身器材上肢牵引器，在某种状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，②是其简单示意图，其中AB∥EF 若∠A=105°，∠P=135°，则∠E的度数为() A.100° B.110° C.120° D.130° 7.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1,2,3.小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小 球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号若两次 抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢：若标号之和为偶数，则小华赢小林赢的概率为( ) A 81 5 9 8.如图所示的是某网约车的收费y(单位：元)与所行驶的路程x(单位：k)之间的函数关系.小明通过该网约车从家 到机场共支出64元.若网约车平均速度为60km/h,则他从家到机场需要() Ay/元 34 13 10 x/km A.10min B.15min C.18min D.20min 9.如图，在平面直角坐标系中，以P(2,2)为圆心作圆P,使其经过原点O和点A,若点B是圆P上异于A的一点， 点C是弦AB的中点，则OC长度的最小值是() ●P A.2 B.0 c.10-2 D.V5-5 2 10,某同学利用计算机软件绘制函数y=心m,n为常数)的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结 2+nx 论中选项正确的是() 2 5-4-3-2-1O12345x -2 3 5 A.<0 B.n>0 C.该函数自变量x的取值范围为一切实数 D.方程x2-2x-4=0有两个不等实数根 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.为响应“体重管理年”有关倡议，小明对自己的体重进行了跟踪统计为方便记录，他将体重增加2g记作+2kg, 那么体重减少5g应记作 12.已知反比例函数y=2a+1若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值： 13化简：+6x-9 x-33-x 14综合实践小组想要测量某博物院主楼的高度，绘制出如图所示的示意图，在测点B处安置测角仪（已知测角仪的 高度为1米，即AB=1米)，测得楼顶E的仰角为30°，在与测点B相距26米的测点D处安置等高的测角仪，测得 楼项E的仰角为45°，图中各点均在同一竖直平面内，且点B,D,F在同一条直线上，则博物院主楼的高度EF约 为米（结果保留根号）， 45、30°7 C D 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在AC,AB上，连接DE,BD,∠BDE=2∠CBD,AD=BD, 若DE=5,BC=8,则△ADE的面积为 D 16.已知二次函数y=m2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n),且经过(1,0)，(0，m)两点，3<l<4. 有下列结论：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根；②当x<-1时，y的值随 x值的增大而减小，国4-2b+c>0:①-<a<-1:⑤对于任意实数1，总有+1)(@-a+b)≤0，以上结论正确的 4 交 (填序号) 三、解答题（共8个小题，共72分） x≥3(x-2)+4① 17.(8分)解不等式组： 2x-1x+1② (5 2 l8.(8分)已知四边形ABCD中，AB=DC,AC,BD相交于点O,将AC两端延长，使AE=CF,连结BE,DE, DF,BF,添加下列条件之一①BE=DF,②BE∥DF,③OB=OD,使四边形ABCD为平行四边形. (1)你添加的条件是： ；(填序号) (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形. A 19.(8分)某校为了学生身心健康发展，保证学生每天的运动时间不低于2小时，开展了丰富多彩的体育社团活动课， 开设了5种球类运动社团活动课：A.篮球，B.足球，C排球，D.羽毛球，E.乒乓球为了解学生最喜欢以上哪种球类 运动社团活动课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数 据整理后，绘制了如下两幅统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题： (1)本次一共调查了 人，m= (2)请补全条形统计图： (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校最喜欢“C.排球和D.羽毛球”的学生共有多少人. 人数 60 52 50- 50 40 40 28 B 26% 30 20 E D 10 m% 04 B C D E项目 20.(8分)如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，连接AD,BD,过D点作DC⊥AB交⊙O于点C,过点A作 AE∥BD交BC延长线于点E. (I)求证：AE=BE; (2)若tan∠ADC=2,CE=6,求AB长， 21.(8分)如图是由小正方形组成的5×4的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的三个顶点都是格点.仅用无 刻度直尺在给定网格内完成下列两个问题，每个问题的画线不得超过三条， (I)在图①中，先将线段CB绕点C逆时针旋转90°得到线段CD: 2在图D中，在BD上画一点B,使得S=28c: 1 (3)在图②中，先画点B关于AC的对称点F; (4)在图②中，在AC上画点G,使得FG∥BC. 图① 图② 22.(10分)【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题. 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业综合实践小组的同学到 该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x(单位：千克)的范围是30≤x≤120 小冉：该菜品每千克的生产成本（单位：元）与每日生产量x(单位：千克)之间的关系如下表所示 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价y,(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中 的线段AB表示，AB所在直线与纵轴的交点为(0，m)(其中>70). 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（每日销售量=每日生产量） 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本y(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间是一次函数关系. 若小敏绘制的图中m=90. (1)任务一：请分别求出”，y2与每日生产量x之间的函数关系式 (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量 (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润. 2/元 50 B 030 120x/千克 23.(10分)如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC上，且∠ADE=∠B 四【向腰背景】如图1，若B=2C,求证：绍：了 (2)知AB=5,BC=13. ①【变式运用】如图2，若BD=1,DE=2AD,求证：∠ABC=2∠C; ②【拓展创新】如图3，若∠ABC=2∠C,BD- CE-9 2,直接写出BD的长. A 图1 图2 图3 24.(12分)如图1，抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(-2,0)、B两点（点A在B的左侧），交y轴于点C,且OC=OA. (1)直接写出抛物线的解析式■ (2)如图2，射线CA绕点C顺时针方向旋转60°，交抛物线于点D,求点D的横坐标： 3)如图3，点 2引点F在抛物线上，平移线段EF至HG,使H、G分别与瓜、F对应，且H、G均落在抛 11 物线上，连FH,求证：直线FH经过一个定点. 图1 图2 图32026年湖北省武汉市中考数学冲刺模拟试卷（三）【对标四调】解析 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、单选题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.祝武汉学子2026年金榜题名.以下4个汉字属于轴对称图形的是( 金榜题 名 【答案】A 【详解】解：“金榜题名”4个汉字属于轴对称图形的是金： 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这 样的图形叫做轴对称图形 2.下列事件中，属于必然事件的是() A.2026年2月16日是我国除夕，这一天会下雨 B掷一枚骰子，向上一面的点数是6 C.任意画一个三角形，其内角和是360° D.在班上任选13名同学，至少有2人的生日在同一个月份 【答案】D 【分析】必然事件指一定会发生的事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是指不可能发生 的事件，根据定义逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：A、2026年除夕下雨可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意： B、掷一枚骰子，向上一面的点数为6可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意： C、任意三角形的内角和为180°，不是360°，该事件一定不发生，属于不可能事件，不符合题意： D、一年共有12个月份，任选13名同学，若前12名同学的生日分别在不同月份，第13名同学的生日一定与其中 1人在同一个月份，故事件一定发生，属于必然事件，符合题意。 3.如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是() 正面 A 【答案】D 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案， 【详解】解：该几何体由4个小正方体组成，从上方看时，其布局如图所示. 4.根据国家知识产权局数据，我国成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超5000000件的国家，PCT国际专利申 请量连续6年位居全球第一，数据“5000000'用科学记数法表示为() A.50×106 B.5×10 C.5×106 D.0.5×10 【答案】C 【分析】科学记数法表示为ax10的形式，其中1≤a<10,n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小 数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同 【详解】解：5000000=5×10， ∴.数据5000000用科学记数法表示为5×10 5.下列运算中正确的是() A.（3a4)=9a8 B.(a2）=a C.a2.a=as D.a+a=as 【答案】A 【分析】根据相关幂的运算法则逐一判断选项即可得到结果 试卷第1页，共17页 【详解】解：对于选项A,根据积的乘方法则，可得(3a)=32.(a)=9a2-9,运算正确，符合题意； 对于选项B,根据幂的乘方法则，可得(a2)=a2s=d°≠a',运算错误： 对于选项C,根据同底数幂乘法法则，可得d·d=d23=d≠d,运算错误； 对于选项D,a2与a4不是同类项，不能合并，运算错误 6如图①是健身器材上肢牵引器，在某种状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，②是其简单示意图，其中AB∥EF. 若∠A=105°，∠P=135°，则∠E的度数为() B ① ② A.100° B.110° C.120° D.130° 【答案】C 【分析】过点P作PC∥AB,由平行线的判定与性质，数形结合求解即可. 【详解】解：过点P作PC∥AB,如图所示： D AB∥EF, B ② .AB//PC∥EF, .∠A+∠APC=180°①，∠E+∠EPC=180②， ∴.①+②得∠A+(∠APC+∠EPC)+∠E=360°， ∠A=105°，∠APE=135°=∠APC+∠EPC, .∠E=360°-105°-135°=120° 7.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1,2,3.小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小 球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次 抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢小林赢的概率为() A分 B. 9 【答案】D 【分析】本题考查列举法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 3 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 共9种等可能的结果，其中和为奇数的结果有4种， “小林赢的概率为) 故选D 8.如图所示的是某网约车的收费y(单位：元)与所行驶的路程x(单位：k)之间的函数关系.小明通过该网约车从家 到机场共支出4元.若网约车平均速度为60km/h,则他从家到机场需要() 试卷第2页，共17页 Ay/元 34 13 03 10 x/km A.10min B.15min C.18min D.20min 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键. 利用待定系数法可得当x>3时，y与x的函数关系式，再把y=4代入函数关系式求出x的值，然后根据网约车的 速度可得答案. 【详解】解：根据图象可知，收费64元，行程己超过3千米， 设当x>3时，y与x的函数关系式为y=x+b(k≠0)， 3k+b=13, 根据题意，得 10k+b=34, k=3, 解得 b=4, .y=3x+4(x>3), 当y=64时，3x+4=64, 解得x=20, 20÷60×60=20(min) 即他从家到机场需要的时间是20min. 故选：D. 9.如图，在平面直角坐标系中，以P(2,2)为圆心作圆P,使其经过原点O和点A,若点B是圆P上异于A的一点， 点C是弦AB的中点，则OC长度的最小值是() A.2 B.V10 C.10-√2 D.5-2 2 【答案】C 【分析】连接AP、OP,过点P作PD⊥OA交OA于点D,过点D作DE⊥AP交AP于点E,过点E作EF⊥OA交 OA于点F,连接OE,根据垂径定理得出AD=DP=2,根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出AE=√2， OE=√10，根据两点之间，线段最短可得点O、C、E三点共线时，OC的值最小，即可求解. 【详解】解：连接AP、OP,过点P作PD⊥OA交OA于点D,过点D作DE⊥AP交AP于点E,过点E作EF⊥OA 交OA于点F,连接OE,如图： 点P的坐标是(2,2)，PD⊥OA, ∴.PD=0D=2,A0=2D0=4, 试卷第3页，共17页 .'AD=DP=2, 故△ADP是等腰直角三角形： ∴.∠DAP=45°，AP=√AD2+DP2=V22+22=2√2， 故AB=BP=AP=5, 又：DE⊥AP,∠DAP=45°， ∴.△AED是等腰直角三角形， :AF=FD=LAD=1, 2 EF⊥OA,∠DAP=45°， ∴.△AEF是等腰直角三角形， .AF=EF=1, .OF=OA-AF=4-1=3, 在Rt△EF0中，OE=√EF2+OF2=V12+32=10, :点C是弦AB的中点， ∴.PC⊥AB, 故点C是在以点E为圆心的圆上， 当点O、C、E三点共线时，OC的值最小： 此时OC=OE-CE=√10-√2 故选：C. 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点 C是在以点E为圆心的圆上是解题的关键 10,某同学利用计算机软件绘制函数y=x,n为常数)的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结 2+x 论中选项正确的是() 5 4 2 5-4-3-2-1012345 -3 -4 -5 6 A.<0 B.n>0 C.该函数自变量x的取值范围为一切实数 D.方程x2-2x-4=0有两个不等实数根 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像的性质，y随x的变化趋势，方程根的问题；解题的关键是通过观察函数间断点和变 化趋势来判断，正负，根据分式分母不为0判断函数值域，代入具体函数值来将方程变形化简， 【详解】解：A由图像可知，当x=1时，y=,心 2+n ,分子是一个常数，要使得y的值达到正无穷，只能是分母为0， 故n=-2<0,当x<0时，y随x的减小而增大且y>0,分母2+>0，故分子也大于0，故>0，A选项错误 B.由A的分析可知B选项错误 C由分式的性质知分母不能为0，故2+≠0，x≠-2，C选项错误 D.由图可知当y=2时，函数与y=2有两个不同交点，即m=2,化简得-2-4=0，故方程 2+x x2-2x-4=0有两个不同实数根，D选项正确， 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 试卷第4页，共17页 11.为响应“体重管理年'有关倡议，小明对自己的体重进行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加2g记作+2kg, 那么体重减少5g应记作 【答案】-5g 【分析】正数与负数表示具有相反意义的量，体重增加记为正，则体重减少记为负. 【详解】将体重增加2kg记作+2kg, 那么体重减少5kg应记作-5kg 2a+1 12.已知反比例函数y= 若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值： 【答案】-1（答案不唯一） 【详解】解：：反比例函数y=2+1若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大， .∴.2a+1<0 as月 .写出一个符合条件的a的值为-1（答案不唯一） 13化简：+5r-9」 x-33-x 【答案】 x-3 【分析】先利用分式的基本性质将原式化为同分母分式，再根据同分母分式的加法法则计算，对分子因式分解后 约分即可得到结果. 【详解】解，+6-9-69-(6x-9)-6+9_任--x-3 x-33-x=x-3x-3=-3 x-3X-3 14综合实践小组想要测量某博物院主楼的高度，绘制出如图所示的示意图，在测点B处安置测角仪（已知测角仪的 高度为1米，即AB=1米)，测得楼顶E的仰角为30°，在与测点B相距26米的测点D处安置等高的测角仪，测得 楼顶E的仰角为45°，图中各点均在同一竖直平面内，且点B,D,F在同一条直线上，则博物院主楼的高度EF约 为 米（结果保留根号）. Es- 4530°7 C F D 【答案】13√5+14 【分析】过点A作AG⊥EF交EF于点G,设CG=x米，则AG=AC+CG=(x+26)米，易得到△CEG是等腰直角 三角形，则EG=CG=x,在Rt△ABG中，tan30°= EG3 据此列出方程，求解EG长，利用EF=EG+FG求 AG 3 解即可. 【详解】解：如图，过点A作AG⊥EF交EF于点G, E 4530°14 C D B 由题意知，AC=BD=26米，AB=CD=FG=1米， 设CG=x米，则AG=AC+CG=(x+26)米， 在Rt△ECG中，∠ECG=45°， .∠CEG=90°-∠ECG=90°-45°=45° ∴.∠CEG=∠ECG ∴EG=CG=x米， 在Rt△AEG中，∠EAG=30°， 试卷第5页，共17页 .tan30°= EG√3 AG 3 即、x 3 x+263 解得：x=13√3+13， .EF=EG+FG=13W3+13+1=(13W3+14)米 15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D,E分别在AC,AB上，连接DE,BD,∠BDE=2∠CBD,AD=BD, 若DE=5,BC=8,则△ADE的面积为 【答案】20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是过点A作AF⊥DE,垂 足为F,设∠CBD=x,∠ABD=y,利用等边对等角求出∠BAD=∠ABD=y,利用三角形内角和证明∠CDB=∠ADF, 证明△CBD≌△FAD(AAS),得到AF=BC=8,再利用三角形面积公式计算. 【详解】解：如图，过点A作AF⊥DE,垂足为F, 设∠CBD=x,∠ABD=y,则∠BDE=2x, AD=BD, .∠BAD=∠ABD=y, 在△ABC中，∠BAC+∠ABC=90°，即x+2y=90°，则2y=90°-x, 在△ABD中，∠BAD+∠ABD+∠ADB=180°， 即2y+2x+∠ADF=180°， ∴.∠ADF=180°-2x-2y=180°-2.x-(90°-x)=90°-x, 在△BCD中，∠BDC=180°-∠C-∠CBD=90°-x, ,∴.∠CDB=∠ADF, 在△CBD和△FAD中， ∠CDB=∠ADF ∠C=∠AFD BD=AD ∴.△CBD≌△FAD(AAS), ∴AF=BC=8, 6ADE的面积为×DE×AF-5x8=20, 2 故答案为：20. 16.己知二次函数y=2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)图象的顶点坐标是(-1，n),且经过(1,0)，(0，m)两点，3<m<4, 有下列结论：①关于x的一元二次方程ax2+bx+c-n+1=0(a≠0)有两个不相等的实数根；②当x<-1时，y的值随 x值的增大而减小：国4a-2b-c>0:①-专as-1:回对于任意实数1总有+1(a-a+b)s0以上结论正确的 有」 .(填序号) 【答案】①③④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的顶点式、对称性以及不 等式的求解是解题的关键. 先根据顶点坐标得出对称轴和b与a的关系，再代入己知点求出、m与a的关系，结合m的范围确定a的范围， 然后逐一分析每个结论. 【详解】解：，二次函数顶点坐标是(-1，)， 试卷第6页，共17页 六对称轴为直线x=-1,即- -=-1, 2a .b=2a, :二次函数经过(1,0)，设顶点式为y=a(x+1)2+n,代入(1,0)得0=a(+1)2+n, ∴.n=-4a, .二次函数经过(0，m),代入得m=a(0+1)2+n=a+n=a-4a=-3a, .:3<m<4, .3<-3a<4, 3<a<-1,故④正确。 对于结论①，方程ax2+br+c-n+1=0可化为ax2+br+c=n-1, :a<0,二次函数最大值为n,且n-1<n, ∴.方程有两个不相等的实数根，①正确。 对于结论②，，α<0，抛物线开口向下，对称轴为x=-1, ∴.当x<-1时，y随x增大而增大，②错误 对于结论③，由对称性，点(1,0)关于x=-1的对称点为(-3,0)， .函数与x轴交于(1,0)和(-3,0)，当x=-2时，函数值大于0，即4a-2b+c>0,③正确. 对于结论⑤，b=2a, .at-a+b=at-a+2a=a(t+1), .(t+1)(t-a+b)=at+1)2, a<0,t+1)220, .(t+1)2≤0恒成立，⑤正确 故答案为：①③④⑤. 三、解答题共8个小题，共72分) x≥3(x-2)+4① 17.(8分)解不等式组： {2x-1x+1@ 5 2 【答案】-7<x≤1 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集 【详解】解：解不等式①得：x≤1， 解不等式②得：x>-7, 所以不等式组的解集为-7<x≤1. 18.(8分)已知四边形ABCD中，AB=DC,AC,BD相交于点O,将AC两端延长，使AE=CF,连结BE,DE, DF,BF,添加下列条件之一①BE=DF,②BE∥DF,③OB=OD,使四边形ABCD为平行四边形. D 0 E (1)你添加的条件是： ；(填序号) (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形. 【答案】(1)① (2)见解析. 【分析】(I)根据己知条件可知AB=DC,再添加DE=BF即可证明△EAB=△FCD(SSS),进而可证得CD∥AB,根 据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； (2)证明△EAB=△FCD(SSS),进而可证得CD∥AB,根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可. 【详解】(1)解：添加的条件是①：BE∥DF; 而②BE∥DF,③OB=OD,根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：① (2)证明：在△EAB和△FCD中， 试卷第7页，共17页 「AE=AF AB=CD, BE=DF ∴.△EAB=△FCD(SSS) ∴.∠EAB=∠FCD .∠CAB=∠ACD .CD∥AB, AB=DC, ∴.四边形ABCD是平行四边形. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理 19.(8分)某校为了学生身心健康发展，保证学生每天的运动时间不低于2小时，开展了丰富多彩的体育社团活动课， 开设了5种球类运动社团活动课：A.篮球，B.足球，C排球，D.羽毛球，E.乒乓球为了解学生最喜欢以上哪种球类 运动社团活动课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数 据整理后，绘制了如下两幅统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题： 人数 60 52 50 50- A 40 40 26% 0 28 0 E D 10 m% 0 A B C DE (1)本次一共调查了 人， I= (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校最喜欢“C.排球和D.羽毛球”的学生共有多少人. 【答案】(1)200,25 (2)见解析 (3)1200人 【分析】(1)根据最喜欢“A篮球”的人数除以占比得出调查人数，再根据最喜欢D.羽毛球”的学生人数求出m; (2)求出最喜欢“℃.排球”的学生人数，再补全条形统计图： (3)用学校总人数乘以最喜欢“C.排球和D.羽毛球”的学生占比求解。 【详解】(1)解：52÷26%=200（人）， m%= 50×100%=25%,即m=25: 200 (2)解：最喜欢“C.排球的学生人数为200-52-28-50-40=30， 补全条形统计图如图所示： 个人数 60F 52 50 50- 40 40 28 30 30 20 10 0 A B C DE项目 (3)解：3000×30+50 1200(人)， 200 答：估计该校最喜欢“C.排球和D.羽毛球”的学生共有1200人 20.(8分)如图，AB为⊙O的直径，D为⊙O上一点，连接AD,BD,过D点作DC⊥AB交⊙O于点C,过点A作 AE∥BD交BC延长线于点E. 试卷第8页，共17页 B C (1)求证：AE=BE; (2)若tan∠ADC=2,CE=6,求AB长. 【答案】(1)见解析 (2)4V5 【分析】(1)根据圆周角定理，垂径定理以及平行线的性质进行解答即可； (2)根据圆周角定理以及直角三角形的边角关系列方程求解即可. 本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，直角三角形的边角关系是正确解答的关键 【详解】(I)证明：，AB为⊙O的直径，DC⊥AB, .AD=AC,BD=BC,∠ADB=90°， ∴.∠ABD=∠ABC,∠BCD=∠BDC, .BD AE, ∴.∠ADB+∠DAE=90°， ∴.∠DAE=90°，即∠BAE+∠BAD=90°， ∠BCD+∠ABE=90°，∠BCD=∠BAD, '.∠ABE=∠BAE, .'AE=BE; (2)解：如图，连接AC, ,AB为⊙O的直径， ∴.∠ACB=90°， 在Rt△ABC中，∠ABC=∠ADC, .tam∠ABC=tan∠ADC=2, 设BC=x,则AC=2x,AB=√AC2+BC2=V5x, .AE=BE=BC+CE=x+6, 在Rt△ACE中，由勾股定理得，AE2=AC2+CE2, 即(x+6)=(2x)+62, 解得x=4或x=0(舍去)： ∴.AB=V5x=4V5 B 21.(8分)如图是由小正方形组成的5×4的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，△ABC的三个顶点都是格点.仅用无 刻度直尺在给定网格内完成下列两个问题，每个问题的画线不得超过三条. B 图① 图② (I)在图①中，先将线段CB绕点C逆时针旋转90°得到线段CD; Q)在图①中，在BD上画一点B,使得SAs三2Sc: (3)在图②中，先画点B关于AC的对称点F; (4在图②中，在AC上画点G,使得FG∥BC 【答案】(1)见解析 (2)见解析 试卷第9页，共17页 (3)见解析 (4)见解析 【分析】(1)利用格点进行旋转即可： (2)主要是构造△ABC的中位线，取BC与网格的交点M,AC与网格的交点N,连接MN,与BD的交点即为点E (3)主要的思路是连接CK,通过格点三角形构造AC∥HK,再利用直角三角形斜边中线的性质可知构造HK⊥BT即 可，简化步骤为分别连接格点H、K和格点B、T,HK与BT的交点即为点F. (4)主要思路是同(3)构造点C关于BF的对称点G,多补两行，同(3)的思想构造出IS⊥AC,由此可知R、W、Z共 线，则只需连接格点R、W,延长RW即可找到点Z,简化步骤为分别连接格点R、W，延长RW交格线于点Z, 连接ZS,AC与SZ的交点为G,连接GF,点G即为所求. 【详解】(1)解：如图， B D (2)解：如图，取BC与网格的交点M,AC与网格的交点N,连接N,与BD的交点即为点E 理由：由平行线分线段成比例可得BM=CM,AN=CN, .MN为△ABC的中位线， ..N∥AB, .S△BE=S△ABM, BM=CM, SAABM=SMIC 2 1 SA-AC (3)解：如图，分别连接格点H、K和格点B、T,HK与BT的交点即为点F, 理由：如下图，连接CK,CF,AH, B ,BJ=KO,TJ=HO,∠BJT=∠KOH=90°， .△BJT≌△KOH(SAS), .∠TBJ=∠HKO, .∠TBJ+∠BTJ=90°， 试卷第10页，共17页 ∴.∠HKO+∠BTJ=90°， .∠TFK=90°，即BT⊥HK, 设小方格边长为1，则AH=CK=V12+22=√5，AC=HK=V1?+4=√7， ∴.四边形AHKC是平行四边形， .AC∥HK, AC⊥BT, 由图可知B、C、K共线，且BC=CK=V1+22=√5， 又，∠BFK=∠TFK=90°， .'BC=CF, .BP=PF, .AC垂直平分BF,即点F是B关于AC的对称点； (4)解：如图，分别连接格点R、W,延长RW交格线于点Z,连接ZS,AC与SZ的交点为G,连接GF,点G即 为所求 B A亚G R:--H-- K 理由：如下图，连接B,Z,ST, G O T 由图可得RH∥QZ, ∴.△RHW∽△ZQW, RH WH oZ ow 阳0m2 RH_QZ。1 OVT OZ 1 ∴.Qz=ZV, 又，∠Z0S=∠Zm=90°，QS=I, ∴△ZQS≌△ZI(SAS), ∴.∠Z0S=∠zI, .点s、Z、I共线， 设小方格边长为1，由图可知S=BT=√P+4?=7,ST=BI=2+22=√5， .四边形BIST是平行四边形， .IS∥BT, 由图可知点C、B、I共线，且BC=BI=V+22=√5， 试卷第11页，共17页 .CB Cp =1, BI PG ..CP=GP, .IG=2BP=BF, ∴.四边形BIGF是平行四边形， .GF∥BC. 22.(10分)【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题. 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业综合实践小组的同学到 该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集. 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x(单位：千克)的范围是30≤x≤120. 小冉：该菜品每千克的生产成本y(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间的关系如下表所示 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产 成本y 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价y2(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中 的线段AB表示，AB所在直线与纵轴的交点为(0，m)(其中>70). 2/元 m、A 50 B 030 120x/千克 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完（侮每日销售量=每日生产量）， 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本y(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间是一次函数关系， 若小敏绘制的图中=90. (1)任务一：请分别求出”，y2与每日生产量x之间的函数关系式 (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量。 (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润， 【答案】0①%=-x+60,4=-3+90 1 6 3 (2)30千克 (3)当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系是解题的 关键， (1)利用待定系数法即可解答： (2)根据题意列方程，即可解答： 6)设该菜品日销售利润为0元.0=-（x-90+1350.,根据二次函数的性质即可解答。 6 【详解】(1)解：设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 将(30,55)，(60,50)代入， 55=30k+b, 得 50=60k+b, 1 解得 k=-6 b=60, 与x之间的函数关系式为y三+60 当m=90时，设y2与x之间的函数关系式为y2=k2x+90, 将(120,50)代入，得50=120k2+90, 试卷第12页，共17页 解得无一子 1 y,与x之间的函数关系式为y2=-二x+90 3 包篇：根据题，符(gx江750，可+90-（合1小=0， 解得x1=30,x2=150(不合题意，舍去). 答：当日该菜品的生产量为30千克. (3)解：设该菜品日销售利润为ω元. w=(y2-y)x= 、3 60, .当x=90时，o有最大值，最大值为1350. 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元 23.(10分)如图，在△ABC中，点D,E分别在BC,AC上，且∠ADE=B A B B D 图1 图2 图3 (四【问题背景】如图1，若∠B=∠C,求证：1D=18 DE DC (2)已知AB=5,BC=13. ①【变式运用】如图2，若BD=1,DE=2AD,求证：∠ABC=2∠C; ②【拓展创新】如图3，若∠ABC=2∠C,BD- ,直接写出BD的长 【答案】(1)见解析 (20见解析：②BD=1 5 【分析】(I)根据外角的性质得到∠ADC=∠B+∠BAD,由∠ADC=∠ADE+∠EDC,∠ADE=∠B,得出 ∠BAD=∠EDC,结合已知条件，证明△ABD∽△DCE,即可得出结论； (2)①在CD上取一点F,使得∠EFD=∠B,同(1)可得△ABD∽△DFE,得出EF=2,DF=10,进而得出FC=EF, 进而可得2c-∠c号BD,即a=2c: ②延长CB至G,使得BG=AB,则∠ABC=2∠G=2∠C,过点A作AH⊥BC于点H,勾股定理求得AH,在CD 上取一点F,使得∠EFD=∠ABC,同(I)可得△ABD∽△DFE,进而得出∠FEC=∠C,FE=FC,过点F作FM⊥CE 于点M,为1=CM,求得B-心-C,根拼己知0，可得职号设0-2，则-0=， 6 CE 9 根据040号、符出8c=2x号43x15,解方程即可求 【详解】(I)证明：，∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,∠ADE=∠B, .∠BAD=∠EDC 又∠B=∠C, .△ABD∽△DCE ÷88 (2)①证明：如图所示，在CD上取一点F,使得∠EFD=∠B, 试卷第13页，共17页 E BD 图2 同(I)可得△ABD∽△DFE, .AB=BD_AD 1 DF EF DE 2 .EF=2BD=2,DF =2AB=10, ∴.FC=BC-BD-DF=2, .'FC=EF, :∠C=∠mC=∠BD, 2 ∴.∠B=2∠C: ②延长CB至G,使得BG=AB,则CG=AB+BC=5+13=18,∠ABC=2∠G=2∠C, A E M G BD H 图3 ..AG=AC, 过点A作AH⊥BC于点H, 则CH=GH=9,BH=4, ∴.AH=√AB2-BH2=3, 在CD上取一点F,使得∠EFD=∠ABC, 同(I)可得△ABD∽△DFE, ∴.∠ABC=∠DFE=2∠C=∠C+∠FEC, ∴.∠FEC=∠C, ∴.FE=FC, 过点F作FM⊥CE于点M,则EM=CM, 'tan∠c=BM-AH_1 CM CH3' .cos∠C= CM 3 FC-o EF=FC=O CE, 6 又：BD= V10 CE, 9 .BD_2 ·EF-3 设BD=2x,则EF=FC=3x, AB=BD-2 ·DFEF3 :DF=34B=15 2 2 15 ∴.BC=2x+ 2+3x=13, 11 解得：X=10 试卷第14页，共17页 即BD= U 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定，利 用好(1)中的相似模型是解题的关键。 24.(12分)如图1，抛物线y=x2+bx+C交x轴于A(-2,0)、B两点（点A在B的左侧），交y轴于点C,且OC=OA 图1 图2 图3 (1)直接写出抛物线的解析式」 (2)如图2，射线CA绕点C顺时针方向旋转60°，交抛物线于点D,求点D的横坐标： (11) (3)加图3，点2，点F在抛物线上，平移线段P至C,使瓜G分别与尽F对应，且队、G均落在抛物 线上，连FH,求证：直线FH经过一个定点 【答案】(1)y=x2+x-2 (2)1+V3 (3)见解析 【分析】(1)结合题意得到C(0,-2)即c=-2,将A(-2,0)代入即可求解； (2)如图，CD与AB交于点F,过点F作FE⊥AC,交AC于点E,结合题意得到∠AFC=75°及∠EFC=30°，设F(x,0), 则4#2,4=8-9+2C8=万9，由m30g解狗：=4-25得4250，设c0 解析式为：y=x+b,代入法求得y=(2+V3)x-2,由(2+V5)x-2=x2+x-2可求解： ⑧庄想意可，G为平有四边6，引等合设+-2小，P化+气-小，则 G++分+4-2++-2习在二淡函数上，代入整理得：2+与%= 1 星设那解折式为。 y=+,由产+-2=+负得=2-，名店1，可得6各即y=付）注[片 得证. 【详解】(1)解：A(2,0),OC=OA, C(0,-2), .c=-2, 将A(-2,0),c=-2代入y=x2+bx+c, 解得：b=1, .y=x2+x-2, 故答案为：y=x2+x-2; (2)解：如图，CD与AB交于点F,过点F作FE⊥AC,交AC于点E, ∴.∠ACF=60°， .OC=OA, .∠CAB=45°， .∠AFC=75°， 又FE⊥AC, .∠AFE=45°， .∠EFC=30°， 试卷第15页，共17页 设F(x,0),则AF=x+2, AB=阳= AR 2 2(r+2), Cg-4c8=25-9a42=5 CE .tan30°= 2一 EF 3 解得：x=4-2√3， ∴F(4-23,0), 设CD解析式为：y=+b, 则有： [(4-25)k+b=0 b=-2 解得： k=2+V3 b=-2 y=(2+V3)x-2, 由(（2+VB)x-2=x2+x-2, 解得x=0,x2=1+V3, 当x=1+√3时， y=(2+3)1+V3)-2=4+3W5, D1+V5,4+3W3): D (3)油题意可知，EFGH为平行四边形， 可》 结合(1)设H(3,2+x-2),F(x,x,2+x-2), 则c+名+2+-2+x+-22】 1 则有5*%++5)2=名2+42片 13 整理得：2x,++为=一4 设HF解析式为：y=kx+b, 由x2+x-2=kx+b, 得x2+(1-)x-2-b=0, .x2=-2-b,x+x2=k-1, 22-40+6-)号 试卷第16页，共17页 .b=- 228 ∴y=kx+ 2 P 当x+=0即x=- 即： 直线H经过定点28 17 【点睛】本题考查了代入法求二次函数、一次函数解析式，一次函数和二次函数的综合应用，解直角三角形：解题 的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的综合应用. 试卷第17页，共17页 2026年湖北省武汉市中考数学冲刺模拟试卷(三)【对标四调】解析 (考试时间：120分钟 试卷满分：120分) 一、单选题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分) 1.祝武汉学子2026年金榜题名.以下4个汉字属于轴对称图形的是(     ) A.金 B.榜 C.题 D.名 【答案】A 【详解】解：“金榜题名”4个汉字属于轴对称图形的是金； 故选：A 【点睛】本题考查了轴对称的定义：在平面内，如果一个图形沿一条直线对折，对折后的两部分都能完全重合，这样的图形叫做轴对称图形 2.下列事件中，属于必然事件的是(   ) A.2026年2月16日是我国除夕，这一天会下雨 B.掷一枚骰子，向上一面的点数是6 C.任意画一个三角形，其内角和是 D.在班上任选13名同学，至少有2人的生日在同一个月份 【答案】D 【分析】必然事件指一定会发生的事件，随机事件是指可能发生也可能不发生的事件，不可能事件是指不可能发生的事件，根据定义逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：A、2026年除夕下雨可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； B、掷一枚骰子，向上一面的点数为6可能发生也可能不发生，属于随机事件，不符合题意； C、任意三角形的内角和为，不是，该事件一定不发生，属于不可能事件，不符合题意； D、一年共有12个月份，任选13名同学，若前12名同学的生日分别在不同月份，第13名同学的生日一定与其中1人在同一个月份，故事件一定发生，属于必然事件，符合题意. 3.如图是由4个完全相同的小正方体搭成的几何体，其俯视图是(   ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案. 【详解】解：该几何体由4个小正方体组成，从上方看时，其布局如图所示. 4.根据国家知识产权局数据，我国成为世界上首个国内有效发明专利拥有量超5000000件的国家，国际专利申请量连续6年位居全球第一，数据“5000000”用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】科学记数法表示为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 【详解】解：， ∴数据“5000000”用科学记数法表示为. 5.下列运算中正确的是(   ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据相关幂的运算法则逐一判断选项即可得到结果. 【详解】解：对于选项A，根据积的乘方法则，可得，运算正确，符合题意； 对于选项B，根据幂的乘方法则，可得，运算错误； 对于选项C，根据同底数幂乘法法则，可得，运算错误； 对于选项D，与不是同类项，不能合并，运算错误. 6.如图①是健身器材上肢牵引器，在某种状态下，两条拉绳自然下垂并保持平行，②是其简单示意图，其中.若，，则的度数为(   ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】过点作，由平行线的判定与性质，数形结合求解即可. 【详解】解：过点作，如图所示： ， ， ， ①②得， ，， . 7.一个不透明的布袋中有完全相同的三个小球，标号分别为1，2，3.小林和小华做一个游戏，按照以下方式抽取小球：先从布袋中随机抽取一个小球，记下标号后放回布袋中搅匀，再从布袋中随机抽取一个小球，记下标号.若两次抽取的小球标号之和为奇数，则小林赢；若标号之和为偶数，则小华赢.小林赢的概率为(   ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查列举法求概率，根据题意，列出表格，利用概率公式进行计算即可. 【详解】解：由题意，列表如下： 1 2 3 1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 共9种等可能的结果，其中和为奇数的结果有4种， ∴小林赢的概率为； 故选D. 8.如图所示的是某网约车的收费(单位：元)与所行驶的路程(单位：)之间的函数关系.小明通过该网约车从家到机场共支出64元.若网约车平均速度为，则他从家到机场需要(    ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的应用，求出相关函数关系式是解答本题的关键. 利用待定系数法可得当时，与的函数关系式，再把代入函数关系式求出的值，然后根据网约车的速度可得答案. 【详解】解：根据图象可知，收费元，行程已超过千米， 设当时，与的函数关系式为， 根据题意，得 解得 ∴， 当时，， 解得， . 即他从家到机场需要的时间是. 故选：D. 9.如图，在平面直角坐标系中，以为圆心作圆，使其经过原点和点，若点是圆上异于的一点，点是弦的中点，则长度的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，根据垂径定理得出，根据等腰直角三角形的性质和勾股定理求出，，根据两点之间，线段最短可得点、、三点共线时，的值最小，即可求解. 【详解】解：连接、，过点作交于点，过点作交于点，过点作交于点，连接，如图： ∵点的坐标是，， ∴，， ∴， 故是等腰直角三角形， ∴，， 故， 又∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，， ∵点是弦的中点， ∴， 故点是在以点为圆心的圆上， 当点、、三点共线时，的值最小； 此时. 故选：C. 【点睛】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，垂径定理等，根据垂径定理得出点是在以点为圆心的圆上是解题的关键. 10.某同学利用计算机软件绘制函数 (m，n为常数)的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结论中选项正确的是(   ) A. B. C.该函数自变量x的取值范围为一切实数 D.方程有两个不等实数根 【答案】D 【分析】本题考查了函数图像的性质，y随x的变化趋势，方程根的问题；解题的关键是通过观察函数间断点和变化趋势来判断m，n正负，根据分式分母不为0判断函数值域，代入具体函数值来将方程变形化简. 【详解】解：A.由图像可知，当时， ，分子是一个常数，要使得y的值达到正无穷，只能是分母为0，故，当时，y随x的减小而增大且，分母，故分子也大于0，故， A选项错误. B.由A的分析可知B选项错误. C.由分式的性质知分母不能为0，故，C选项错误. D.由图可知当时，函数与有两个不同交点，即 ，化简得 ，故方程 有两个不同实数根，D选项正确. 二、填空题(本大题共6个小题，每小题3分，共18分) 11.为响应“体重管理年”有关倡议，小明对自己的体重进行了跟踪统计.为方便记录，他将体重增加记作，那么体重减少应记作________. 【答案】 【分析】正数与负数表示具有相反意义的量，体重增加记为正，则体重减少记为负. 【详解】将体重增加记作， 那么体重减少应记作. 12.已知反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大，写出一个符合条件的a的值：_______. 【答案】(答案不唯一) 【详解】解：∵反比例函数若它的图象在每个象限内y随x的增大而增大， ∴ ∴ ∴写出一个符合条件的a的值为(答案不唯一). 13.化简：_______. 【答案】 【分析】先利用分式的基本性质将原式化为同分母分式，再根据同分母分式的加法法则计算， 对分子因式分解后约分即可得到结果. 【详解】解：. 14.综合实践小组想要测量某博物院主楼的高度，绘制出如图所示的示意图，在测点处安置测角仪(已知测角仪的高度为1米，即米)，测得楼顶的仰角为，在与测点相距26米的测点处安置等高的测角仪，测得楼顶的仰角为，图中各点均在同一竖直平面内，且点，，在同一条直线上，则博物院主楼的高度约为______米(结果保留根号). 【答案】 【分析】过点作交于点，设米，则米，易得到是等腰直角三角形，则，在中，，据此列出方程，求解长，利用求解即可. 【详解】解：如图，过点作交于点， 由题意知，米，米， 设米，则米， 在中，， 米， 在中，， ， 即， 解得：， 米. 15.如图，在中，，点D，E分别在，上，连接，，，，若，，则的面积为________.    【答案】20 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，等边对等角，解题的关键是过点A作，垂足为F，设，，利用等边对等角求出，利用三角形内角和证明，证明，得到，再利用三角形面积公式计算. 【详解】解：如图，过点A作，垂足为F， 设，，则， ∵， ∴， 在中，，即，则， 在中，， 即， ∴， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：20.    16.已知二次函数(a，b，c为常数，)图象的顶点坐标是，且经过，两点，.有下列结论：①关于x的一元二次方程()有两个不相等的实数根；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④；⑤对于任意实数t，总有.以上结论正确的有______.(填序号) 【答案】①③④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、一元二次方程根的判别式，熟练掌握二次函数的顶点式、对称性以及不等式的求解是解题的关键. 先根据顶点坐标得出对称轴和与的关系，再代入已知点求出、与的关系，结合的范围确定的范围，然后逐一分析每个结论. 【详解】解：∵ 二次函数顶点坐标是， ∴ 对称轴为直线，即， ∴ ， ∵ 二次函数经过，设顶点式为，代入得， ∴ ， ∵ 二次函数经过，代入得， ∵ ， ∴ ， ∴ ，故④正确. 对于结论①，方程可化为， ∵ ，二次函数最大值为，且， ∴ 方程有两个不相等的实数根，①正确. 对于结论②，∵ ，抛物线开口向下，对称轴为， ∴ 当时，随增大而增大，②错误. 对于结论③，由对称性，点关于的对称点为， ∴ 函数与轴交于和，当时，函数值大于，即，③正确. 对于结论⑤，∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ，， ∴ 恒成立，⑤正确. 故答案为：①③④⑤. 三、解答题(共8个小题，共72分) 17. (8分)解不等式组： 【答案】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集. 【详解】解：解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集为. 18. (8分)已知四边形中，，，相交于点，将两端延长，使，连结，，，，添加下列条件之一①，②，③，使四边形为平行四边形.    (1)你添加的条件是：______；(填序号) (2)添加条件后求证四边形ABCD为平行四边形. 【答案】(1)① (2)见解析. 【分析】(1)根据已知条件可知，再添加即可证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可； (2)证明，进而可证得，根据平行四边形的判定定理，一组对边平行且相等证明即可. 【详解】(1)解：添加的条件是①：； 而②，③，根据已有条件无法证明三角形全等，无法判断四边形ABCD为平行四边形， 故答案为：①. (2)证明：在和中， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形. 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和三角形全等判定和性质，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理. 19. (8分)某校为了学生身心健康发展，保证学生每天的运动时间不低于2小时，开展了丰富多彩的体育社团活动课，开设了5种球类运动社团活动课：A.篮球，B.足球，C.排球，D.羽毛球，E.乒乓球.为了解学生最喜欢以上哪种球类运动社团活动课，要求每位学生必须参加且限报一项，该校从全体学生中随机抽取部分学生进行调查，将收集的数据整理后，绘制了如下两幅统计图，请你结合图中所给的信息解答下列问题： (1)本次一共调查了___________人，___________； (2)请补全条形统计图； (3)若该校共有3000名学生，请你估计该校最喜欢“C.排球和D.羽毛球”的学生共有多少人. 【答案】(1)200，25 (2)见解析 (3)1200人 【分析】(1)根据最喜欢“A.篮球”的人数除以占比得出调查人数，再根据最喜欢“D.羽毛球”的学生人数求出； (2)求出最喜欢“C.排球”的学生人数，再补全条形统计图； (3)用学校总人数乘以最喜欢“C.排球和D.羽毛球”的学生占比求解. 【详解】(1)解：(人)， ，即； (2)解：最喜欢“C.排球”的学生人数为， 补全条形统计图如图所示： (3)解：(人)， 答：估计该校最喜欢“C.排球和D.羽毛球”的学生共有1200人. 20. (8分)如图，为的直径，D为上一点，连接，，过D点作交于点C，过点A作交延长线于点E. (1)求证：； (2)若，，求长. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】(1)根据圆周角定理，垂径定理以及平行线的性质进行解答即可； (2)根据圆周角定理以及直角三角形的边角关系列方程求解即可. 本题考查圆周角定理，解直角三角形，掌握圆周角定理，直角三角形的边角关系是正确解答的关键. 【详解】(1)证明：∵为的直径，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴； (2)解：如图，连接， ∵为的直径， ∴， 在中，， ∴， 设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得，， 即， 解得或(舍去)， ∴. 21. (8分)如图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都是格点.仅用无刻度直尺在给定网格内完成下列两个问题，每个问题的画线不得超过三条. (1)在图①中，先将线段绕点C逆时针旋转得到线段； (2)在图①中，在上画一点E，使得； (3)在图②中，先画点B关于的对称点F； (4)在图②中，在上画点G，使得. 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】(1)利用格点进行旋转即可； (2)主要是构造的中位线，取与网格的交点，与网格的交点，连接，与的交点即为点E. (3)主要的思路是连接，通过格点三角形构造，再利用直角三角形斜边中线的性质可知构造即可，简化步骤为分别连接格点、和格点、，与的交点即为点. (4)主要思路是同(3)构造点C关于的对称点G，多补两行，同(3)的思想构造出，由此可知、、共线，则只需连接格点、，延长即可找到点，简化步骤为分别连接格点、，延长交格线于点，连接，与的交点为，连接，点G即为所求. 【详解】(1)解：如图， (2)解：如图，取与网格的交点，与网格的交点，连接，与的交点即为点E. 理由：由平行线分线段成比例可得，， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； (3)解：如图，分别连接格点、和格点、，与的交点即为点， 理由：如下图，连接，，， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 设小方格边长为1，则，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 由图可知、、共线，且， 又∵， ∴， ∴， ∴垂直平分，即点F是B关于的对称点； (4)解：如图，分别连接格点、，延长交格线于点，连接，与的交点为，连接，点G即为所求. 理由：如下图，连接，，， 由图可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴点、、共线， 设小方格边长为1，由图可知，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由图可知点、、共线，且， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴. 22. (10分)【项目主题】探究商品生产、销售过程中的数学问题. 【问题情境】某品牌快餐店发源于安徽合肥，是一家以中式快餐为特色的全国连锁餐饮企业.综合实践小组的同学到该品牌快餐店研学，了解到该店研发了一种新的菜品，他们对该菜品的生产和销售情况进行了数据收集. 【信息展示】小华：该店这种菜品每日生产量x(单位：千克)的范围是. 小冉：该菜品每千克的生产成本(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间的关系如下表所示. 每日生产量x 30 60 90 120 每千克的生产成本 55 50 45 40 小敏：该菜品每千克的售价(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间的关系可用如图所示的平面直角坐标系中的线段表示，所在直线与纵轴的交点为(其中). 小安：该店每日生产的这种菜品全部售完(每日销售量＝每日生产量). 【问题解决】 根据小冉收集的信息可知，该菜品每千克的生产成本(单位：元)与每日生产量x(单位：千克)之间是一次函数关系.若小敏绘制的图中. (1)任务一：请分别求出，与每日生产量x之间的函数关系式. (2)任务二：若该菜品某日的销售利润为750元，求当日该菜品的生产量. (3)任务三：问当日该菜品的生产量为多少千克时，日销售利润最大？并求出最大日销售利润. 【答案】(1)， (2)30千克 (3)当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元 【分析】本题考查了二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，正确找到相关的等量关系是解题的关键. (1)利用待定系数法即可解答； (2)根据题意列方程，即可解答； (3)设该菜品日销售利润为元..，根据二次函数的性质即可解答. 【详解】(1)解：设与x之间的函数关系式为， 将，代入， 得 解得 与x之间的函数关系式为. 当时，设与x之间的函数关系式为， 将代入，得， 解得， 与x之间的函数关系式为. (2)解：根据题意，得，即， 解得，(不合题意，舍去). 答：当日该菜品的生产量为30千克. (3)解：设该菜品日销售利润为元. . ， 当时，有最大值，最大值为1350. 答：当日该菜品的生产量为90千克时，日销售利润最大，最大日销售利润为1350元. 23. (10分)如图，在中，点，分别在，上，且.      (1)【问题背景】如图1，若，求证：； (2)已知，. ①【变式运用】如图2，若，，求证：； ②【拓展创新】如图3，若，，直接写出的长. 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；② 【分析】(1)根据外角的性质得到，由，，得出，结合已知条件，证明，即可得出结论； (2)①在上取一点，使得，同(1)可得，得出，进而得出，进而可得，即； ②延长至，使得，则，过点作于点，勾股定理求得，在上取一点，使得，同(1)可得，进而得出，，过点作于点，则，求得，根据已知，可得，设，则，根据，得出，解方程即可求解. 【详解】(1)证明：∵，，， ∴ 又， ∴ ∴； (2)①证明：如图所示，在上取一点，使得，      同(1)可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②延长至，使得，则，，      ∴， 过点作于点， 则，， ∴， 在上取一点，使得， 同(1)可得， ∴， ∴， ∴， 过点作于点，则， ∵， ， ， 又， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， 即. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的性质与判定，利用好(1)中的相似模型是解题的关键. 24. (12分)如图1，抛物线交x轴于、B两点(点A在B的左侧)，交y轴于点C，且. (1)直接写出抛物线的解析式______； (2)如图2，射线绕点C顺时针方向旋转，交抛物线于点D，求点D的横坐标； (3)如图3，点，点F在抛物线上，平移线段至，使H、G分别与E、F对应，且H、G均落在抛物线上，连，求证：直线经过一个定点. 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】(1)结合题意得到即，将代入即可求解； (2)如图，与交于点F，过点F作，交于点E，结合题意得到及，设，则，，，由解得：得，设解析式为：，代入法求得，由可求解； (3)由题意可知，为平行四边形，，结合(1)设，，则在二次函数上，代入整理得：，设解析式为：，由，得，，可得即，过点得证. 【详解】(1)解：，， ， ， 将，代入， 解得：， ， 故答案为：； (2)解：如图，与交于点F，过点F作，交于点E， ， ， ， ， 又， ， ， 设，则， ， ， ， 解得：， ， 设解析式为：， 则有：， 解得：， ， 由， 解得，， 当时， ， ； (3)由题意可知，为平行四边形， ， 结合(1)设，， 则， 则有， 整理得：， 设解析式为：， 由， 得， ，， ， ， ， 当即时恒过点， 即：直线经过定点. 【点睛】本题考查了代入法求二次函数、一次函数解析式，一次函数和二次函数的综合应用，解直角三角形；解题的关键是熟练掌握一次函数和二次函数的综合应用. 试卷第14页，共17页 试卷第15页，共17页 学科网（北京）股份有限公司 $