第10章二元一次方程组 期末综合复习优生辅导训练题 2025-2026学年人教版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦二元一次方程组解法与应用，以整体思想为统领，系统整合概念辨析、解法迁移及实际建模，形成“概念-方法-应用”三阶逻辑链，培养抽象能力与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1-3、填空8-10|解的意义分析、参数问题转化|从解的定义到参数对解的影响| |解法深化|单选4、解答15-16、19|代入/加减消元、整体思想|基本解法到技巧优化的递进| |实际应用|单选5-7、解答17-18、20|古代问题建模、经济方案设计|数学建模解决跨情境问题|

2025-2026学年人教版七年级数学下册《第10章二元一次方程组》 期末综合复习优生辅导训练题（附答案） 一、单选题 1．根据二元一次方程组，判断x与y的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则k的值为（  ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．定义一种新运算：☆=，若☆=0，且关于的二元一次方程，当取不同值时，方程都有一个公共解，那么公共解为（　　） A． B． C． D． 4．如图，大长方形是由7个形状大小完全相同的小长方形组成的，大长方形的周长为，则小长方形的两边长分别为（   ） A．3、4 B．2、5 C．3、6 D．4、5 5．福耀中学为了打造“书香校园”，培养学生的阅读能力，学校开展了“读书伴我成长”为主题的演讲比赛，为奖励优秀的学生，学校计划用200 元钱购买A，B，C三种奖品，其中A种每个10元，B种每个20元，C种每个30元，在C种奖品不超过两个且钱全部用完的情况下（三种奖品均购买），则有购买方案（   ） A．12种 B．15种 C．16种 D．14种 6．某家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，要使1张桌面配套4条桌腿，应如何分配工人，才能使每天生产的桌面和桌腿刚好配套？设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 7．我国古典数学文献《增删算法统宗·六均输》中有一个“隔沟计算”问题：“甲乙隔沟牧放，二人暗里参详．甲云得乙九只羊，多乙一倍之上．乙云得甲九只，两家之数相当”．其大意如下：甲、乙两人放羊，二人心里数羊．如果乙给甲9只羊，那么甲拥有的羊数就是乙的2倍；如果甲给乙9只羊，那么两人拥有的羊数相等．问甲、乙各有多少只羊？若设甲有x只羊，乙有y只羊，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 8．已知关于x，y的二元一次方程组的解为，小玲因为看错了t而得到的解为，则的值为______． 9．已知，满足方程组，则的值为_____________． 10．已知关于，的二元一次方程组的解为，则关于，的二元一次方程组的解为________． 11．我国古代数学名著《张丘建算经》中有这样一题：一只公鸡值5钱，一只母鸡值3钱，3只小鸡值1钱，现花100钱买了100只鸡．若公鸡有8只，则母鸡有_________只． 12．关于x，y的方程组，下列说法正确的是________（填序号）． ①x，y，m的和为定值； ②当x为整数时，m和y也为整数； ③当y为整数时，m和x也为整数． 13．已知关于x，y的方程组的解满足，其中m，n都是实数，且．若a，b均为正整数，则符合条件的整数n的值为____________． 14．某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 三、解答题 15．解方程组 (1)； (2)． 16．已知方程组和有相同的解，求的值． 17．随着“体重管理年”三年行动的实施，全民体重管理意识和技能逐步提升．某健身中心要采购甲、乙两种型号的健身器材以满足群众的健身需求．据了解，甲型号健身器材的单价比乙型号健身器材的单价的一半贵1100元．购买28台甲型号健身器材的费用是购买5台乙型号健身器材费用的5倍，求甲、乙两种型号的健身器材的单价各是多少元． 18．在校园足球邀请赛中，比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．阳光队在本赛季共赛了10场，负了3场，总共获得21分．那么这个队胜了几场？平了几场？ (1)用一元一次方程求解，可设这个队胜了场，由题意，可列方程为_____________； (2)请用二元一次方程组求解； (3)对比两种解法，说说你发现的一元一次方程与二元一次方程组之间的联系（写出1条即可）． 19．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，解二元一次方程组时，将看成一个整体，则②可变为，从而解得．请用整体思想完成： (1)已知关于，，的三元一次方程组，则_______； (2)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为_____________； (3)已知关于，的方程组：，求，的值． 20．某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 参考答案 1．C 【分析】本题无需分别求出和的值，只需将方程组中两个方程作差，得到的结果，即可判断和的大小关系． 【详解】解： ，得 整理得 ∴ 即． 2．A 【分析】本题先通过代入消元法得到原方程组中,关于的表达式，再将,代入公共解满足的方程，即可求出的值． 【详解】解：， ①代入②得 ， 化简得， 即， 代入①得， ， ∵原方程组的解也是的解， 把，， 代入得， 解得． 3．B 【分析】本题考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是根据题意，得到二元一次方程组． 根据题意可得，，即，代入二元一次方程可得，化简可得，根据题意可得，求解即可． 【详解】解：根据题意可得，，即， 将代入二元一次方程可得， 化简可得， 由题意可得，，解得，B选项符合题意． 4．B 【分析】设小长方形的长为，宽为，再结合长方形的性质可得方程组，再解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 根据题意得，， 解得：， ∴小长方形的两边长分别为，． 5．D 【分析】本题考查三元一次方程的实际应用，设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，根据题意列出方程，简化得．分和两种情况求解，分别得到8种和6种方案，共计14种，即可． 【详解】解：设购买A、B、C三种奖品的数量分别为，由题意， ， ∴， ∵C种奖品不超过两个且钱全部用完（三种奖品均购买）， ∴均为正整数， 当时，， ∴，， 共8种方案； 当时，则， ∴，， 共6种方案； 总方案数：种． 故选D． 6．D 【分析】根据家具厂有60名工人，每人每天平均能生产桌面3张或桌腿8条，使1张桌面配套4条桌腿，建立二元一次方程组即可． 【详解】解：设生产桌面的工人为x人，生产桌腿的工人为y人， 根据题意可得方程组：． 7．C 【分析】根据题意得到不同条件下甲乙的羊数，找准等量关系列方程． 【详解】解：乙给甲9只羊后，甲现有羊数为，乙现有羊数为，此时甲的羊数是乙的2倍，得到方程， 甲给乙9只羊后，甲现有羊数为，乙现有羊数为，此时两人羊数相等，得到方程， 因此所列方程组为． 8． 【分析】将和分别代入方程，得到关于m和n的二元一次方程组并求解，将代入，得到关于t的一元一次方程并求解；将m、n、t的值分别代入计算即可． 【详解】解：将和分别代入方程，得， 解得， 将代入，得， 解得， ∴． 9．1 【分析】观察方程组中两个方程的系数，将两个方程作差，整理后可直接得到的值． 【详解】解： 得： 整理得： 10． 【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，利用等式的基本性质将待求方程组变形，使其结构与已知解的原方程组一致，再对应得到关于的方程，求解即可． 【详解】解：两边同时除以， 得， 方程组的解为， ， 解得：， 关于，的二元一次方程组的解为． 11．11 【分析】根据总只数为只，总钱数为钱，建立二元一次方程组，求解方程组得到母鸡的数量． 【详解】解：设母鸡有只，小鸡有只， 根据题意，得 整理①得， 整理②得， 得，解得， 把代入③得，解得， ∴原方程组的解为，符合题意， ∴母鸡有11只． 12．①③ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤． 先按照解二元一次方程组的一般步骤，解方程组，求出x，y，再求出，从而判断①的正误；根据①中求出的，x为整数，判断是否为整数，再判断m，y是否为整数，从而判断②的正误；根据①中求出的，y为整数，判断m，x是否为整数，从而判断③的正误即可． 【详解】解：， ①＋②得：， ， 把代入①得： ， ， ， ①的说法正确； ，x为整数， 为整数， 当时，也是整数， 当x为整数时，m和y不一定为整数， ②的说法错误； ，y为整数， 为整数， 为整数， ， 也是整数， ③的说法正确； 综上可知：说法正确的是①③， 故答案为：①③． 13．0或或 【分析】先求出方程组的解，再结合已知条件得到，然后根据a，b均为正整数最后得出答案即可． 【详解】解方程组得： ∵方程组的解满足 ∴， ∴， ∵ ∴ 整理得，， ∴， ∵a，b均为正整数 ∴当时，，此时； 当时，，此时； 当时，，此时； ∴n的值为0，，． 14． 180 【详解】解：设1只鸡1只兔1只鸭的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得， ∴；即他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元. 15．(1) (2) 【分析】（1）由加减消元法解二元一次方程组即可； （2）由代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， ①得③， ②得④， ③＋④得，解得， 把代入②得，解得， 方程组的解为； （2）解：， 由②得③， 将③代入①得， 解得， 将代入③得， 方程组的解为． 16．0 【分析】先解方程组得到，再把代入方程组中得到关于a、b的方程组，解方程组即可得到答案． 【详解】解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组和有相同的解， ∴， 得，解得， 把代入③得，解得， ∴方程组的解为， ∴． 17．甲型号健身器材的单价为2500元，乙型号健身器材的单价为2800元 【分析】设甲型号健身器材的单价为x元，乙型号健身器材的单价为y元，根据“甲型号健身器材的单价比乙型号健身器材的单价的一半贵1100元．购买28台甲型号健身器材的费用是购买5台乙型号健身器材费用的5倍”，列方程组求解． 【详解】解：设甲型号健身器材的单价为x元，乙型号健身器材的单价为y元， 根据题意，得， 解得， 答：甲型号健身器材的单价为2500元，乙型号健身器材的单价为2800元． 18．(1) (2)这个队胜了7场，平了0场，解题过程见解析 (3)见解析 【分析】（1）设这个队胜了场，则平了场，再根据得分列方程即可； （2）设这个队胜了场，平了场，可得，再进一步求解即可； （3）结合列方程的过程或解方程组的方法可得答案． 【详解】（1）解：设这个队胜了场，则平了场， 由题意，可列方程为． （2）解：设这个队胜了场，平了场．由题意，得 ， 解得． 答：这个队胜了7场，平了0场． （3）解：二元一次方程组通过消元可以转化为一元一次方程； 或二元一次方程组中的对应一元一次方程中的“”； 两种解法的本质都是利用等量关系建立方程，用一元一次方程求解，只不过是先应用了问题中的一个等量关系（答案不唯一） 19．(1) (2) (3)， 【分析】（1）三个式子相加即可求解； （2）根据方程组的结构可得，再加减消元即可； （3）利用整体法结合加减消元即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程组的解为， 且关于p，q的二元一次方程组为 ∴， 解得； （3）解：由题可得， 得：， 解得， 把代入，得， 解得， ，． 20．(1)m的值为80，n的值为60； (2)该商场可获利1100元； (3)该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个， 根据题意得：， 整理得：， 又∵a、b均为正整数， ∴或或或， ∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个； 答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 学科网（北京）股份有限公司 $