精品解析：山东省实验中学2025-2026学年高一下学期6月学情检测数学试题

山东省实验中学高一6月学情检测 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在四边形中，若，则四边形的形状一定是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量相等和平行四边形定义判断可得答案. 【详解】四边形中，所以，且， 所以四边形为平行四边形. 而邻边不一定相等、且不一定垂直， 所以四边形不是梯形，也不一定是菱形、矩形. 2. 已知复数（其中i为虚数单位），则 （ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复数的四则运算并结合复数的模即可求解. 【详解】， 则. 3. 如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 4. 半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由正方体截得的二十四等边体的体积为，则这个二十四等边体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设原正方体的棱长为 ， 由题意可知，截去的八个三棱锥是全等的，且每个三棱锥的三条侧棱两两垂直，长度均为 ， 则截去的八个三棱锥的体积之和为， 所以二十四等边体的体积 为，解得， 该二十四等边体的表面由 6 个正方形和 8 个正三角形组成，且边长均为， 故该二十四等边体的表面积为. 5. 在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，求得，设，得到，转化为点到直线的距离为，进而求得的长. 【详解】在中，由，所以，则， 设，所以， 所以的最小值为点到直线的距离， 因为的最小值为1，所以. 6. 在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下： 甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012 乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013 则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（ ） A. 甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B. 甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数 C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差 【答案】C 【解析】 【详解】甲组平均数， 乙组平均数， 故，选项A错误， 两组数据均已按从小到大排序，共5个数据，中位数为第3个数据， 甲组中位数为，乙组中位数为，二者相等，选项B错误， 甲组方差， 乙组方差， 得到，选项C正确， 甲组极差为，乙组极差为， 故甲组极差小于乙组极差，选项D错误. 7. 甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 8. 已知的面积为，内角，，的对边分别为，，，满足，为三角形外心，且，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】先根据平面向量数量积的概念，结合三角形外心的性质，由可得，再利用三角形的面积公式结合正弦定理，根据可得，即可作出判断. 【详解】因为， 所以， 所以， 因为为外心，所以，， 所以，可得. 又，所以， 将代入，可得， 由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为为三角形内角，所以，故，所以. 所以为直角三角形. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 10. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，是锐角，，则为锐角三角形 【答案】ACD 【解析】 【分析】由正弦定理，可得，可判定A正确；求得或，可判定B错误；由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，可判定C正确；由，结合正弦函数的单调性，求得，可判定D正确. 【详解】对于A，因为，由正弦定理，可得，则，所以A正确； 对于B，由，可得或， 所以或，所以为等腰三角形或直角三角形，所以B错误； 对于C，因为，由正弦定理得， 又因为，可得， 所以， 即，可得， 因为为三角形的内角，所以，可得， 所以为等腰三角形，所以C正确； 对于D，由，可得， 因为，可得， 又因为 在上为单调递增函数，可得，所以， 因为，所以为锐角，所以为锐角三角形，所以D正确. 11. 已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 侧棱与底面的夹角正弦值为 C. 平面平面 D. 若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由异面直线判定定理可判断A，通过 平面于上的点 ，于点， 结合底面与侧面所成角即可判断B，通过平面平面得到，可判断C，记上下底面中心分别为，通 过且垂直于的平面截该棱台得一等腰梯形，结合这个截面图形即可判断D. 【详解】对于A，因为平面， 平面，故与是异面直线，A正确， 对于B，由正四棱台，可知在底面的投影在对角线上， 如图，作于上的点 ，则 平面， 再作于点， 因为 平面，平面， 则，由平面，， 则平面，又平面， 则，则即为正四棱台侧面与底面夹角， 不妨设，则， 侧面与底面所成夹角的平面角， 故，， 所以，B正确； 对于C，若平面平面， 由面面平行的性质定理可得：， 又， 则四边形为平行四边形， 则，又为的中点， 所以，从已知条件中无法得到这个信息，故平面平面不成立，故C错误， 对于D，先将问题转化为平面几何问题： 记上下底面中心分别为， 过且垂直于的平面截该棱台得一等腰梯形，其一半为如图所示直角梯形， 若存在球与该正四棱台每个面都相切，不妨记该内切球球心为，半径为， 因为正四棱台侧面与底面夹角为，即， 由，得， ，又， 即，解得，D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 【答案】－2＋i 【解析】 【分析】由题设可得点B对应坐标，据此可得B对应复数. 【详解】由题设可得对应坐标为，则，从而对应复数为. 13. 如图，是的斜二测画法的直观图，，，则原平面图形的周长为________. 【答案】 【解析】 【详解】如图，在中，作于点. 因为，，所以，. 又因为，所以，，. 将直观图还原为原平面图形， 由斜二测画法，可得，，， 所以，， 则原平面图形的周长为. 14. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，则__________. 【答案】4 【解析】 【分析】建立直角坐标系，将几何点转化为坐标，从而利用向量的数量积公式求解. 【详解】以为原点，以为轴，为轴，建立平面直角坐标系， 则， ，， 因为为的中点，所以， 因为为边上靠近的三等分点，，所以， 的横坐标与相同，即， 又因为，所以， 所以， 设，所以， 设，所以， 所以， ，则， 则，所以， ，， . 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求角； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理边角互化，然后借助辅助角公式化简三角函数式，结合内角范围即可求出角； （2）先用正弦定理把边化为角的正弦，然后利用三角恒等变换化简，再由锐角三角形约束的范围，最后结合正弦函数的单调性即可得出的取值范围. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得： ， 因为，所以，则， 即，， 因为，则，所以，即. 【小问2详解】 因为，，所以， 所以，， 所以 ， 因为为锐角三角形，所以，即， 所以， 所以， 所以． 16. 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 【答案】（1） （2） （3）平均值为89.5，方差为21． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可. （2）根据分层抽样法，结合古典概型的概率公式求解即可. （3）根据平均数、方差及标准差的性质计算即可. 【小问1详解】 由题意知，， 解得. 【小问2详解】 结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中，2人成绩在中，4人成绩在中． 从6人中选取2人的方法数为种，即样本空间中有15个样本点． 至少有1人成绩在中有两种情况：恰有一人成绩在该区间中，共有种；两人成绩都在该区间，共有1种； 根据加法原理，该事件对应的样本空间的子集中有9个样本点． 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为． 【小问3详解】 剩余8人成绩的平均值为． 由10个人成绩的标准差，则，即， 于是剩下8人的成绩的方差为． 17. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． （1）若为中点，求证：平面； （2）若，求证； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于点，先证明，再由线面平行判定定理证明结论； （2）取的中点，连接，再由线面垂直判定定理可证 平面，从而得证； （3）取的中点，结合异面直线夹角定义证明为异面直线与所成角（或其补角），解三角形求其余弦值； 【小问1详解】 连接交于点，连接， 因为是正方形，所以为中点， 所以在中，为中位线，， 又平面，平面，平面； 【小问2详解】 取的中点，连接， 因为为正三角形，所以， 又，则， 因为平面， 所以 平面，又平面， 所以； 【小问3详解】 取的中点，因为为中点， 所以在中， 为中位线，所以，， 所以为异面直线与所成角（或其补角）， 在中，，，， 由余弦定理可得， 又，所以为锐角， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度．如图（1）龙城大道沿线的水平路面上有两点、其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的、两点，测得， ，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是正确的． （1）通过计算说明百度地图测距是否正确？（ ） （2）如图（2），小组在处测得现代传媒大厦楼顶在西偏北方向上，且仰角，在处测得楼顶在正北方向上，通过计算．若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度（精确到1米） 【答案】（1）百度地图测距是正确的 （2） 【解析】 【分析】（1）设，利用正弦定理可得，然后在中，利用余弦定理求出，进而可求出，结合判断规则判断即可. （2）在中，得到，在中，，代入求解即可. 【小问1详解】 设， 在中，， ， 所以为等腰直角三角形，所以. 在中，， ，，所以. 由正弦定理得，解得. 在中，由余弦定理得， 所以. 因为，所以， 因为，所以百度地图测距是正确的. 【小问2详解】 由题意知，，. 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以. 在中，， 在中，， 故传媒大厦的高度约为. 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）如图，已知在三棱锥中，平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为. ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点在棱PB上运动，求直线 CQ与平面 ABC所成的角的最大值. 【答案】（1）2 （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据离散曲率的定义分别表示三棱锥在各个顶点处的离散曲率，根据三角形内角和为 ，求得三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）①根据异面直线所成角的定义，作出直线与直线所成的角，根据余弦定理求得直线与直线所成角的余弦值；；②设，用直线 与平面 所成角的正弦值，结合二次函数的最值求法，求得直线与平面所成的角的最大值. 【小问1详解】 由离散曲率的定义得：， ， ， ， 四个式子相加得： . 【小问2详解】 ①如图，分别取的中点，连接， 则，，所以为异面直线与所成角或其补角. 设 ，因为，所以，所以. 因为平面平面，所以，， 因为，所以平面，又因为平面，所以，所以. 由三棱锥在顶点处的离散曲率为，得. 所以. 所以，. 所以， 所以直线与直线所成的角为的补角，其余弦值为. ②设 由，且平面，得到平面的距离为， . 设直线 与平面所成的角为，则， 当且仅当，即 ，即与重合时，等号成立. 因为，所以，所以直线 与平面所成角的最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省实验中学高一6月学情检测 数 学 试 题 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在四边形中，若，则四边形的形状一定是（ ） A. 梯形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 矩形 2. 已知复数（其中i为虚数单位），则 （ ） A. 5 B. 3 C. D. 3. 如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 半正多面体，亦称“阿基米德多面体”，是以边数不全相同的正多边形为面的多面体．如图，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，如此共截去八个三棱锥，得到一个有十四个面的半正多面体，这样的半正多面体也称为二十四等边体．由正方体截得的二十四等边体的体积为，则这个二十四等边体的表面积为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角所对的边分别为，已知，且当时，的最小值为1，则（ ） A. B. C. D. 6. 在2026年春节联欢晚会《武BOT》节目中，机器人的集群表演实现了0.001秒级响应.节目组随机抽取了甲、乙两组各5台机器人，记录其完成“空中转体”动作的响应时间（单位：秒）数据如下： 甲组：0.008，0.009，0.010，0.011，0.012 乙组：0.007，0.009，0.010，0.011，0.013 则下列关于两组数据的统计结论，正确的是（ ） A. 甲组数据的平均数大于乙组数据的平均数 B. 甲组数据的中位数小于乙组数据的中位数 C. 甲组数据的方差小于乙组数据的方差 D. 甲组数据的极差大于乙组数据的极差 7. 甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知的面积为，内角，，的对边分别为，，，满足，为三角形外心，且，则的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 等腰三角形 C. 等边三角形 D. 直角三角形 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 10. 在中，下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则为等腰三角形 C. 若，则是等腰三角形 D. 若，是锐角，，则为锐角三角形 11. 已知正四棱台侧面与底面夹角为，，分别是，的中点，则下列说法正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 侧棱与底面的夹角正弦值为 C. 平面平面 D. 若存在球与该正四棱台每个面都相切，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在复平面内，O是原点，向量对应的复数是2＋i，若点A关于虚轴的对称点为点B，则点B对应的复数是______. 13. 如图，是的斜二测画法的直观图，，，则原平面图形的周长为________. 14. 如图，中，，为边靠近的三等分点，为中点，过作垂线交于点，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知分别为三个内角的对边，且 （1）求角； （2）已知，为锐角三角形，求的取值范围． 16. 义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图． （1）求实数的值； （2）用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； （3）样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 17. 如图所示，四棱锥，底面为正方形，，为正三角形，，点在上． （1）若为中点，求证：平面； （2）若，求证； （3）求异面直线与所成角的余弦值． 18. 现代传媒大厦是我市最高的标志性建筑．某学习小组要完成两个实习作业：验证百度地图测距的正确性及测算传媒大厦的高度．如图（1）龙城大道沿线的水平路面上有两点、其中指向正西方向，首先利用百度地图测距功能测出长度为，接着在飞龙路沿线选定水平路面上可直接测距的、两点，测得， ，，，学习小组根据上述条件计算出长度，并将其与的实际长度进行比较，若误差介于米米之间，则认为百度地图测距是正确的． （1）通过计算说明百度地图测距是否正确？（ ） （2）如图（2），小组在处测得现代传媒大厦楼顶在西偏北方向上，且仰角，在处测得楼顶在正北方向上，通过计算．若百度地图测出的是准确的，请根据以上数据测算出传媒大厦的高度（精确到1米） 19. 离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标.设为多面体的一个顶点，定义多面体在点处的离散曲率为，其中为多面体的所有与点相邻的顶点，且平面，平面，平面和平面为多面体的所有以为公共点的面. （1）求三棱锥在各个顶点处的离散曲率的和； （2）如图，已知在三棱锥中，平面，三棱锥在顶点处的离散曲率为. ①求直线PC与直线AB所成角的余弦值； ②若点在棱PB上运动，求直线 CQ与平面 ABC所成的角的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $