期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量、二面角最值与范围问题专项训练-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦二面角三类核心问题，以递进式题型构建训练体系，强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求二面角问题|2例+2变式|结合垂直证明求二面角三角函数值|从二面角定义出发，通过线面垂直转化，构建空间角计算基础| |已知二面角求其他量|2例+2变式|翻折/距离/长度等逆向求解|以二面角为已知条件，运用性质推导空间量关系，深化逻辑推理| |二面角最值与范围问题|2例+2变式|动态变化中探究取值范围|综合空间几何与函数思想，实现从静态计算到动态分析的认知提升|

期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量、二面角最值与范围问题专项训练 期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量、二面角最值与范围问题专项训练 考点目录 求二面角问题 已知二面角求其他量 二面角最值与范围问题 考点一 求二面角问题 例1．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)若与所成角的余弦值为，求的值． 【答案】(1)证明：如图，过作，垂足为． 因为平面平面，平面平面，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，为中点，所以， 因为，，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． (2) (3)或 【分析】（1）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理即可得证； （2）由定义可得为二面角的平面角，从而，求出可得结果； （3）依题意有，，分别讨论在线段上和在线段的延长线上即可求解. 【详解】（1）略. （2）因为平面，平面，所以， 因为，所以为二面角的平面角． 因为三棱锥的体积为， 所以，解得， 所以二面角的正弦值为． （3）因为平面，平面，平面平面，所以，故与所成角等于与所成角． 由（2）知，所以． 由题意得，则． ①如图，当在线段上时， 因为，， 所以 ． 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，故． ②如图，当在线段的延长线上时， 因为，， 由图知， 则， 在中，由正弦定理得，，即， 解得，所以，． 综上得，或． 例2．（25-26高一下·浙江·阶段检测）如图，已知三棱锥，，，，，， (1)求证：平面； (2)求三棱锥外接球的表面积； (3)若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值． 【答案】(1)由，则是的中点， 又，则， 又，，则，且， 所以在中，有，， 所以在中，有， 又，则在中，有，所以， 又，且，平面，所以平面． (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，三角函数的定义，及勾股定理推出，且，进而结合线面垂直的判定即可证明； （2）结合（1），先根据三角形外接圆的定义，及正弦定理求出该外接圆的半径，再根据外接球的定义，及勾股定理求出外接球的半径，进而即可求出该外接球的表面积； （3）法一：根据面积射影定理公式即可求解； 法二：先作出平面与平面的交线，再找出平面与平面的平面角，进而求出该平面角的余弦值即可． 【详解】（1）略 （2）设外接圆的半径为，为该外接圆圆心，则在直线上， 由正弦定理可得，则， 结合（1）有，则， 设三棱锥外接球的半径为，为该外接球的球心， 则在过圆的圆心且垂直于平面的直线上， 结合（1）有平面，则在平面内，所以平面， 设，过作，且在上，则，，， 在中，有， 在中，有， 即，解得，所以， 所以三棱锥外接球的表面积为． （3）法一：结合（2）可知在平面的投影三角形为， 又结合（1）（2）有，，所以， 又结合（2）有，，则为等腰三角形， 则边上的高为，所以， 所以平面与平面所成角的余弦值为． 法二：如图延长与相交于点，则平面与平面的交线为， 过作，且在上， 结合（1）有平面，又平面，则， 又，且，平面，所以平面， 又平面，所以， 所以是平面与平面所成角， 结合（1）（2）有，，，， 则，即 ，解得，则， 所以在中，有， 所以， 又平面，又平面，则， 所以平面与平面所成角的正切值为， 故平面与平面所成角的余弦值为． 变式1．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 【答案】(1)因为圆O直径，则， 又，，平面， 则平面，结合平面，则平面平面； (2) 【分析】（1）通过证明平面，结合题设可完成证明； （2）取中点为，连接DF，再作，由题可得为二面角平面角，据此可得答案. 【详解】（1）略 （2）取中点为，连接，因是正三角形，则， 又平面平面．平面平面，平面， 则平面，结合平面，可得. 如图，作，因，平面，则平面， 结合平面，可得，从而可得为二面角平面角. 因正三角形边长为2，则.因，则, 作，则，注意到，为AC中点，从而. 又易得，则. 变式2．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． (1)证明：平面； (2)过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； (3)求二面角大小的正切值． 【答案】(1)因为平面，平面，所以. 又，，所以. 因为，平面，所以平面， 又平面，所以. 因为，为的中点，所以. 又，平面，所以平面 (2) 如图，过E作，交于F，连接，则截面为四边形， 理由如下： 因为，，所以，所以，，，四点共面， 从而过，，的截面为四边形. 截面面积为； (3) 【分析】（1）由，，结合线面垂直的判定证明即可； （2）作，得出，从而得出截面，再由梯形的面积公式得出截面面积； （3）过作于，过作于，连接，进而可证为二面角的平面角，计算求解即可. 【详解】（1）略. （2）由（1）知平面，所以， 又，，，所以四边形为直角梯形， 其面积. （3）过作于，过作于，连接. 因为平面，平面，所以平面平面， 又平面平面，所以平面， 又平面，所以， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以， 所以为二面角的平面角. 因为四边形是直角梯形，且， 所以四边形为矩形，所以，， 在直角三角形中，，由勾股定理得， 所以， 因为，所以， 在直角三角形中，，所以， 在直角三角形中，，所以， 所以二面角大小的正切值为． 考点二 已知二面角求其他量 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形的边长为6，点为边的中点，将沿着折起，使点到的位置，此时点在平面内的射影在上，是线段上一点. (1)求点到平面的距离； (2)求证：； (3)当二面角的余弦值为时，求. 【答案】(1)2 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）设点在平面内的射影为，则平面；过点作，交于，连接，，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质得到，即三点共线；以点为原点，以，为轴，轴建立平面直角坐标系，结合直线与直线相交求出点、点坐标，得到，，结合勾股定理即可求出. （2）设对角线，的交点为，连接，根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质得到，结合勾股定理及勾股定理逆定理证出，进而得到线面垂直，即可得证. （3）过点作，交于，连接，结合二面角定义得到为二面角的平面角，即，利用勾股定理求出，根据点到直线的距离公式求出直线方程，与方程联立求得点，利用两点间距离公式即可求出. 【详解】（1）设点在平面内的射影为，则平面. 又平面，所以. 过点作，交于，连接，，则. 又，平面，所以平面. 又平面，所以，所以三点共线，即. 在平面中，以点为原点，以，为轴，轴建立平面直角坐标系， 则，，，，. 所以直线：；直线：， 因为，所以，则直线：. 联立，解得，即，所以. 联立，解得，即，所以. 又平面，平面，所以. 在中，. 所以点到平面的距离为2. （2）设对角线，的交点为，连接， 所以，，所以，，. 又平面，平面，所以，. 又，平面，所以平面. 又平面，所以. 在中，，，所以. 在中，，，所以. 在中，，所以. 又，平面，所以平面. 因为是线段上一点，所以平面，所以. （3）过点作，交于，连接. 因为平面，平面，所以. 又，平面，所以平面. 又平面，所以. 所以即为二面角的平面角，所以. 在中，，则，又， 由勾股定理得，，即，解得. 设直线：，则， 所以，整理得，解得或， 即直线：或. 又直线：， 联立，解得；联立，解得，即或， 当时，； 当时，， 所以或. 例2．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，． (1)若，平面平面，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的长度． 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由平面得，，进而根据边角关系证明，进而证明平面，平面，再根据线面垂直性质定理得，即可证明平面，最后根据线面平行性质定理即可证明结论； （2）过点作于，再过点作于，连接，确定即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，进而解方程即可得. 【详解】（1）证明：因为平面，平面，平面，平面， 所以，，， 因为，，，所以， 因为， 所以在中，由余弦定理得，即， 所以，即， 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 又，，平面， 所以平面，又平面，所以 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面，平面平面， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）解：如图所示，过点作于，再过点作于，连接， 因为平面，平面，所以平面平面， 而平面平面，平面 所以平面，平面，， 又，，平面，平面， 又平面，， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 由二面角的余弦值为，即， 所以，． 因为，设，则， 由等面积法可得，， 又， 而为等腰直角三角形，所以， 所以，解得， 所以 变式1．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）先根据勾股定理得出，进而应用平面平面BCD的性质定理证明线面垂直； （2）先根据线面平行性质定理得出，结合边长关系得出比例关系； （3）根据二面角定义得出即为二面角的平面角，再结合边长关系得出，最后应用三棱锥体积公式计算求解. 【详解】（1）在三角形ABO中，，，， 因此，可得 由于平面平面BCD，AO在平面ABD内，平面平面， 因此平面BCD； （2） 连接PE，平面，平面ABD，平面平面， 因此因为，， 因此，，因此； （3）设四面体的体积为V， 由（2）得，则， 由于平面平面BCD，平面平面，，平面BCD， 因此平面ABD， 又平面BCD，平面BCD，则， 过O作于点F， ，FO，平面AFO，则平面AFO， 又平面AFO，因此， 因此即为二面角的平面角， 因为，，，则， 又，在中由勾股定理得，又， 由，得， 因此 变式2．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）应用面面垂直性质定理得出线面垂直，再应用线面垂直判断定理证明即可； （2）先应用二面角余弦值求出,再求异面直线所成角的正切即得. 【详解】（1）在四棱锥中，由底面为矩形，得， 由侧面底面，侧面底面，平面， 得平面， 又平面，则， 又侧面是正三角形，是的中点，则， 又，平面，平面，所以平面． （2）如图，    在正三角形内，过点作，垂足为，∴， ∵，侧面底面，面面，面， ∴底面，底面，则， 过作，垂足为，连接，， ，平面，则平面，而平面，∴， 则即为二面角的平面角，即 ∴， ∴ 在中，，∴， 由，，得四边形为平行四边形，∴， 由，得为异面直线与所成角， 由（1）知平面，则为直角三角形，， 所以异面直线与所成角的正切值为． 考点三 二面角最值与范围问题 例1．（25-26高一下·广东深圳·月考）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 【答案】(1)已知底面为矩形，故， 平面平面，为两平面的交线， 又平面，且， 平面， 平面，且平面， 平面平面． (2) 【分析】（1）根据四棱锥的性质，利用面面垂直的性质定理，结合面面垂直的判定定理证明结论； （2）过作于，过作交于，根据面面垂直的性质定理，得出即为平面与平面所成锐二面角，根据三角形的几何性质结合均值不等式求出的最大值，进而计算二面角余弦的最大值． 【详解】（1）略 （2） 记平面与平面的交线为， 已知底面为矩形，故， 又平面平面， 平面， 已知平面，且平面平面， 由线面平行的性质定理得，．故 过作于， 平面平面，平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理得，平面， 过作，交于，是矩形， 则，且， 又平面， 平面，平面，故， ， ， ， ， ，平面， 平面，平面，故， 综上，，，即，， 故即为平面与平面所成锐二面角； 设，则，在中，， 则， ，当且仅当时等号成立， ， 在中，， ， 设，令， 当增大时，减小，故增加， 随着增大而递增， 故时，取最大值，最大值为 ． 例2．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，已知矩形，，M是AD的中点，现将沿着BM翻折至．    (1)若，求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，再根据面面垂直的判定定理即可证明结论； （2）先求出平面平面时的二面角的正弦值，再求出翻折到越过平面平面时的位置后的二面角平面角的正弦值的最大值，比较可得答案. 【详解】（1）由题意矩形中，，M是AD的中点， 可知, ， 设O为中点，连接，则，    又，， 故， 又    ，O为中点，故，而， 故，故， 而平面，故平面， 平面，故平面平面； （2）由（1）可知，将沿着BM翻折至平面平面时， 二面角逐渐增大， 当平面平面时，作，垂足为E，连接，    因为O为中点，则E为中点，此时; 由于平面，平面，故， 平面，故平面， 则为二面角的平面角，而, 故； 下面考虑翻折到越过平面平面时的位置后的情况： 设Q为中点，连接，则四边形为正方形， 连接，则O在上，则，    平面，故平面， 平面，故平面平面， 平面平面，作，垂足为F， 则平面，平面，故,， 作，垂足为G，连接， 平面，故平面， 故为二面角的平面角， 设，当时，二面角的正弦值为0； 当时，， 作，垂足为H，则四边形为矩形， 则，故， 故 ， 由于，故，故， 当且仅当，即时等号成立， 即二面角的正切值的最大值为， 此时二面角的正弦值的最大值， 由于，故二面角的正弦值的最大值. 变式1．（25-26高一下·福建泉州·月考）在矩形ABCD中，．点E，F分别在AB，CD上，且，沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE． (1)若平面⊥平面BCFE，求三棱锥的体积； (2)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求tan的最大值． 【答案】(1) (2)1 【分析】（1）在平面内作交于，根据面面垂直的性质得到⊥平面，再过点作交于，即可求出线段的长度，最后根据计算可得． （2）作辅助线找到二面角的平面角，设，利用勾股定理求出，则，再换元，利用二次函数的性质计算可得； 【详解】（1）解：在平面内作交于． ∵平面⊥平面，平面平面，平面， ∴⊥平面． ∴即点到平面的距离． 在梯形中，过点作交于，则， ∴，． 在中， ∴三棱锥的体积 （2）如图，在平面内作直线交FE延长线于点O，交CB延长线于点K． ∵，，，平面， ∴平面，又∵平面， ∴平面⊥平面， 作交OK于点M． ∵平面⊥平面，平面平面，，平面， ∴⊥平面， ∴． 作交BC于点N，连接． ∵，∴BC⊥平面， ∴，又∵，∴为二面角的平面角． ∵在中，， ∴， 设， 则， ∴ 令，则， 当且仅当时，取到最大值1，综合可知的最大值为1 变式2．（25-26高一下·吉林·期中）如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 【答案】(1)由题意知，平面，因为平面，所以. 又，，平面，，所以平面. (2) (3)存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为 【分析】（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理得到平面，在中求得，结合等体积法可得到当三棱锥的体积最大时，在中求解即可. （3）根据线面垂直的性质得到，，进而得到，，，四点共圆，圆心为中点；取中点，连接，可得到平面，结合勾股定理即可判断点即为所求的点；作，交于点，连接，证明平面，则即为二面角的平面角，在中求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）得，平面，因为，平面，所以，. 又，，平面，，所以平面. 因为，平面，所以，. 设过的一个轴截面交底面圆周于，点，则为等腰直角三角形， 所以，为等腰直角三角形，则， 又是的中点，所以，且. 因为，平面，，所以平面. 在中，. ， 当且仅当时，等号成立， 即当三棱锥的体积最大时，. 在中，，平面图如图： 在中，，，所以， 在中，. 故当三棱锥的体积最大时，的长为. （3）在四棱锥中， 由（2）得，平面，平面，所以，即. 又，即，所以，，，四点共圆，圆心为中点，记为. 取中点，连接，则， 由（2）得，平面，所以平面. 由，得， 故点即为所求的点. 作，交于点，连接， 因为平面，，平面，所以，. 又，平面，，所以平面. 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角，记为. 在等腰中，，所以为中点，又为中点，所以. 在中，， 而，则，所以，故. 所以存在点满足条件，二面角的余弦值的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量、二面角最值与范围问题专项训练 期末培优：求二面角问题、已知二面角求其他量、二面角最值与范围问题专项训练 考点目录 求二面角问题 已知二面角求其他量 二面角最值与范围问题 考点一 求二面角问题 例1．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）如图，在三棱锥中，为中点，平面平面，，，，三棱锥的体积为．，分别是直线，上一点，且平面，记平面平面． (1)证明：平面平面； (2)求二面角的平面角的正弦值； (3)若与所成角的余弦值为，求的值． 例2．（25-26高一下·浙江·阶段检测）如图，已知三棱锥，，，，，， (1)求证：平面； (2)求三棱锥外接球的表面积； (3)若点为三棱锥外接球的球心，求平面与平面所成角的余弦值． 变式1．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）如图，在三棱锥中，是圆的直径，在圆上，侧面是边长为2的正三角形，，． (1)证明：平面平面． (2)求二面角的正切值． 变式2．（24-25高一下·江苏连云港·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，且，，为的中点． (1)证明：平面； (2)过，，作四棱锥的截面，请写出作法和理由，并求截面的面积； (3)求二面角大小的正切值． 考点二 已知二面角求其他量 例1．（25-26高一下·黑龙江哈尔滨·期中）已知正方形的边长为6，点为边的中点，将沿着折起，使点到的位置，此时点在平面内的射影在上，是线段上一点. (1)求点到平面的距离； (2)求证：； (3)当二面角的余弦值为时，求. 例2．（25-26高二上·广东广州·期末）如图，四棱锥中，平面，，，，． (1)若，平面平面，证明：平面； (2)若，且二面角的余弦值为，求的长度． 变式1．（25-26高一上·江苏南通·期中）如图，在三棱锥中，，点E为BD中点，，平面平面BCD，点O在BD上，且，，，点P在AD上，且满足平面 (1)求证：平面BCD； (2)求的值； (3)若二面角的大小为，求四面体的体积. 变式2．（25-26高一下·江苏南京·阶段检测）如图，在四棱锥中，已知底面为矩形，侧面是正三角形，侧面底面，是棱的中点，．    (1)证明：平面； (2)若二面角的余弦值为，求异面直线与所成角的正切值． 考点三 二面角最值与范围问题 例1．（25-26高一下·广东深圳·月考）在四棱锥中，底面为矩形，平面平面． (1)求证：平面平面； (2)若，求平面与平面所成锐二面角的余弦值的最大值． 例2．（25-26高一下·福建福州·月考）如图，已知矩形，，M是AD的中点，现将沿着BM翻折至．    (1)若，求证：平面平面； (2)求二面角的正弦值的最大值． 变式1．（25-26高一下·福建泉州·月考）在矩形ABCD中，．点E，F分别在AB，CD上，且，沿EF将四边形AEFD翻折至四边形，点平面BCFE． (1)若平面⊥平面BCFE，求三棱锥的体积； (2)在翻折的过程中，设二面角的平面角为，求tan的最大值． 变式2．（25-26高一下·吉林·期中）如图，顶点为的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，是底面圆周上的点，是底面圆内的点，为底面圆圆心，，垂足为，，垂足为，且，是的中点． (1)证明：平面； (2)当三棱锥的体积最大时，求的长； (3)是否存在一个点，满足点到点，，，，的距离均相等？若存在，求出二面角的余弦值的取值范围，若不存在，说明理由． 2 学科网（北京）股份有限公司 $