复习专题4 统计（14类必考点）讲义-2026年高一升高二暑期数学人教A版必修第二册

复习专题4 统计 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 9.1 随机抽样 【知识点1 简单随机抽样】 1．抽样调查相关概念 名称 定义 全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法. 抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 总体 调查对象的全体. 个体 总体中的每一个调查对象. 样本 从总体中抽取的那部分个体. 样本量 样本中包含的个体数. 2．简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 3．两种常见的简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也 可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回 地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中 的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. (3)两种抽样方法的优缺点 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形. 随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形. 4．总体平均数与样本平均数 (1)概念 名称 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. 【知识点2 分层随机抽样】 1．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个 子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (3)比例分配 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即 ①=； ②=. (4)分层随机抽样的步骤 ①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层. ②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比. ③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和 为n. ④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本. (5)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 2．分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量 分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 又==， 所以. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 9.2 用样本估计总体 【知识点1 总体取值规律的估计】 1．频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图 条形图 折线图 扇形图 特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 图例 【知识点2 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计】 1．总体百分位数的估计 (1)概念 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个 值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p 百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 2．总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度 刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平 均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即. 中 位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众 数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 3．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差 . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中出 现的频数为，则总体方差为. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则 标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 4．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用 中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分 布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【考点1：随机抽样】 1．（26-27高二·全国·暑假作业）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由于每个个体被抽到的概率相等，所以每个个体被抽到的概率是. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 【答案】AD 【详解】选项A，. 选项B，方法一抽取时零件之间没有区别，抽取概率为. 方法二抽取时各分层概率也均为，因此两方法每一个零件被抽取概率相同. 选项C，方法二的分层抽样按照比例从不同级别的样品中抽取比随机抽样更能反映总体的特征. 选项D，和C同理. 3．（24-25高一下·河南平顶山·期末）随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由频率分布直方图可知， ， 解得． 因为的频率为，且为最后一组， 所以评分数据的第75百分位数位于区间中， 所以上四分位数为：． （2）评分在与两组的频率分别为，， 采用分层随机抽样的方法，在内抽取人数为，在内抽取人数为， 故4人中评分等级不良好的有1人（记为），评分等级良好的有3人（记为，，），试验的样本空间， 设事件“选取2人的评分等级都为良好”， 则， 所以． 4．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）为了提高快递网点派件效率，某快递公司统计了辖区内一批驿站上周的日均派件量，将统计数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中 的值； (2)估计这批驿站上周日均派件量的中位数（结果保留整数）； (3)现采用分层抽样的方法从上周日均派件量在内的驿站中抽取15家驿站进行调研，求上周日均派件量在内的驿站被抽取的数量． 【答案】(1) (2)207件 (3)6家 【分析】（1）根据频率分布直方图列出方程即可； （2）由中位数的意义及计算公式即可求解； （3）根据分层抽样即可求解． 【详解】（1）由图可得 ， 解得 ． （2）因为 ， 所以这批驿站上周日均派件量的中位数在 内． 设这批驿站上周日均派件量的中位数的估计值为m，则 ， 解得 （件），故这批驿站上周日均派件量的中位数约为207件． （3）由频率分布直方图可知上周日均派件量在 内和 内的频率分别为0.24和0.16， 则上周日均派件量在 内的驿站被抽取的数量为 （家）． 【考点2：频率分布直方图】 1．（25-26高二上·河北·阶段检测）下图是2010—2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法正确的是（     ）. A．2010年以来我国考研报名人数逐年增多 B．这11年来考研报名人数的极差超过260万人 C．2015年是这11年来报考人数最少的一年 D．2015年的报录比最低，2020年的报录比最高 【答案】D 【分析】选项A，需对比每年报考人数的变化趋势；选项B，先找出11年中报考人数的最大值和最小值，再根据极差公式计算并与260万人比较；选项C，需找出11年中报考人数的最小值对应的年份；选项D，直接从统计图的报录比折线中找出最低和最高的年份. 【详解】选项A，观察柱状图，2014年报考人数少于2013年，2015年报考人数少于2014年，并非逐年增多，A错误； 选项B，由图可知：最小报考人数约为145万（2010年），最大报考人数约为330万（2020年），差值约为185万，小于260万，B错误； 选项C，由柱状图可知，报考人数最少的是2010年，不是2015年，C错误； 选项D，观察报录比的虚线点，2015年的报录比是11年中最低的，此后报录比持续上升，2020年报录比为最高， D正确. 2．（25-26高二上·上海黄浦·期末）以下是“我国2019-2024年居民人均服务性消费支出（单位：元）统计图”.关于2020-2024年的数据，下列说法错误的是（   ）. A．2021年是这五年中居民人均服务性消费支出增长率最高的年份 B．2020年和2022年居民人均服务性消费支出增长率为负，其余年份为正 C．2024年居民人均服务性消费支出的增长率高于2023年 D．居民人均服务性消费支出增长率有增有减 【答案】C 【分析】根据给定的柱状图，求出2020-2024各年居民人均服务性消费支出增长率，再逐项判断即得. 【详解】由柱状图得， 2020年居民人均服务性消费支出增长率， 2021年居民人均服务性消费支出增长率， 2022年居民人均服务性消费支出增长率， 2023年居民人均服务性消费支出增长率， 2024年居民人均服务性消费支出增长率， 对于A，2021年是这五年中居民人均服务性消费支出增长率最高的年份，A正确； 对于B，2020年和2022年居民人均服务性消费支出增长率为负，其余年份为正，B正确； 对于C，2024年居民人均服务性消费支出的增长率低于2023年，C错误； 对于D，居民人均服务性消费支出增长率有增有减，D正确. 故选：C 3．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）（多选）2021至2025年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（     ） A．2021至2025年我国快递业务量逐年增长 B．2021至2025年我国快递业务量增长速度逐年增长 C．2021至2025年我国快递业务量每年增长量超过200亿件 D．估计我国2020年的快递业务量小于650亿件 【答案】AD 【详解】 选项A：由柱状图数据可知，2021至2025年我国快递业务量分别为（亿件），数值逐年增大， 说明业务量在逐年增加，故选项A正确； 选项B：由折线图数据可知，2021至2025年我国快递业务量增长速度分别为，呈现先减后增的趋势，并非逐年增长，故选项B错误； 选项C：2023年的快递业务量增长量为（亿件），显然，不满足每年增长量超过200亿件，故选项C错误； 选项D：设我国2020年的快递业务量为亿件，根据2021年的业务量为亿件且增长率为， 可得，解得. 因为，所以估计我国2020年的快递业务量小于650亿件，故选项D正确. 4．（2026·安徽安庆·一模）（多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 【答案】CD 【详解】对于A，由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元）， 4月的地方一般公共预算收入为（亿元），故A错误； 对于B，8月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），故B错误； 对于C，由图表可知，2025年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元）， 而2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长， 所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），比2025年9月少，故C正确； 对于D，由C选项可知，2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为（亿元），故D正确． 5．（2026·广东佛山·二模）（多选）地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【答案】BCD 【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的正误，判断结果. 【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公共预算收入为（亿元），可知选项A错误； 9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确； 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确； 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为，所以D正确； 故选：BCD. 【考点3：其他统计图】 1．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 【答案】D 【分析】对于A，不知道“80后”从事技术岗位的人数的比例，故无法比较；由图1可判断B；求出芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占比即可判断C；求出“90后”从事市场岗位的人数占比可判断D. 【详解】对于A，芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”人数占比为， 芯片、软件行业从业者中“80后”占总人数的，但不知道从事技术岗位的人数的比例，故无法比较，故A不一定正确； 对于B，由图1知芯片、软件行业从业者中，“90后”占比为，超过，故B错误； 对于C，芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数占从事这两个行业总人数的， 没有超过从事这两个行业总人数的，故C错误； 对于D，芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数占比为， 因为， 所以芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事芯片、软件行业的总人数多，故D正确. 故选：D. 2．（25-26高三·上海·一轮复习）某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到饼图： 四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中错误的是（ ） A．精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少 B．精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【答案】A 【分析】设精准扶贫及新农村建设前和后的经济收入分别为和，根据饼状图依次验证各项收入是否满足选项中的要求，由此可得结论. 【详解】设精准扶贫及新农村建设前，经济收入为，则精准扶贫及新农村建设后，经济收入为； 对于A，精准扶贫及新农村建设前，种植收入为； 精准扶贫及新农村建设后，种植收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，种植收入增加，A错误； 对于B，精准扶贫及新农村建设前，其他收入为； 精准扶贫及新农村建设后，其他收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上，B正确； 对于C，精准扶贫及新农村建设前，养殖收入为； 精准扶贫及新农村建设后，养殖收入为； ，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍，C正确； 对于D，精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入之和的占比为，超过了总收入的一半，D正确. 故选：A. 3．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）（多选）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙,理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：      用样本估计总体，以下四个选项正确的（    ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30～41周岁参保人数最多 【答案】ABD 【分析】利用条形图、折线图、扇形图一一分析选项即可. 【详解】对于A，由条形图可知丁险种参保比例最高，即A正确； 对于B，由折线图可知，参保费用随年龄增长而增长，即B正确； 对于C，由扇形图可知，30周岁以下参保人数占总参保人数的20%， 所以30周岁以上参保人数占总参保人数的80%，即C错误； 对于D，由扇形图可知，30～41周岁参保人数占比最多，即D正确. 故选：ABD 4．（2026·甘肃兰州·一模）（多选）某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．艺术社的学生人数有120人 B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D．调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 【答案】ABD 【详解】对于A，因为文学社有60人占比为，所以五类社团总人数为人， 辩论社有90人，占比应为，所以体育社和艺术社共占比为， 又因为体育社和艺术社的人数相等，所以两社团分别占比为， 可知艺术社的学生人数有人，即A正确； 对于B，文学社和辩论社共人，分层抽样比为， 因此文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有人，即B正确； 对于C，根据已有分析可知该学生不是文学社成员的概率为，又因为是科创社成员的概率为， 因此在该学生不是文学社成员的条件下，该学生是科创社成员的概率为，即C错误； 对于D，依题意可知社团活动总体满意率为，即D正确. 5．（25-26高一下·浙江·开学考试）（多选）某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高二学生总数为800 B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 【答案】ACD 【分析】根据扇形图和条形图，读取相应选考组合的人数与占比，依题意逐一判断各选项即可. 【详解】对于A，因政史地有200人，占比25%，故该校高二学生总数为，故A正确； 对于B，因选考物化地和物化政组合的人数相等，故物化地组合的人数为，故B错误； 对于C，由题意，分层随机抽样的抽样比为，则生史地组合应抽取的人数为，故C正确； 对于D，因选考物化生、物化地、物化政组合的学生占比分别为，则学生选考物理的概率为； 而选考政史地、物化地、生史地组合的学生占比分别为，则学生选考地理的概率为，故D正确. 【考点4：众数】 1．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）某专卖店某天销售的7双运动鞋的尺码依次为38，39，40，39，41，39，42，则这组数据的众数是______． 【答案】39 【详解】因为这组数据中39出现3次，其他数据都只出现1次，所以这组数据的众数是39． 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为______. 【答案】 【分析】设丢失的数据为，对的取值进行分类讨论，求出这七个数的平均数、众数和中位数，根据题意可得出关于的方程，解之即可. 【详解】设丢失的数据为，则这七个数的平均数为，众数为， 因为这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，分以下几种情况讨论： 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得； 若，则中位数为，此时，，解得. 综上可知，丢失数据所有可能取值构成的集合为. 故答案为：. 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为（   ） A．81.5 B．75 C．81.25 D．85 【答案】CD 【分析】根据频率分布直方图，结合中位数、众数的求法求得正确答案. 【详解】因为， ， 所以该班学生这次数学测试成绩的中位数落在之间． 设中位数为，因为， 所以所求中位数为． 众数在之间，为85． 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）． (1)求的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数（结果保留两位小数）； 【答案】(1) (2)众数为，中位数为 【分析】（1）由频率之和为计算即可得； （2）利用众数与中位数定义计算即可得. 【详解】（1）由题意可得， 解得； （2）由频率分布直方图可得众数为， 设中位数为，由， ，故， 则有，解得. 5．（2025高二上·河南·学业考试）为全面落实“健康第一”教育理念，引导学生养成良好锻炼习惯和健康生活方式，某所大学依据《国家学生体质健康标准》对录取的新生进行体质健康监测，依据各单项评分和指标权重得出每名学生的体质健康综合指标评分．现从这所大学新生中随机抽取200名学生，将他们的综合指标评分数据分成5组：，，画出了如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这所大学新生体质健康综合指标评分的众数和平均数． 【答案】(1) (2)众数为75，平均数为72 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形的面积之和为1即可求出. （2）众数：频率分布直方图中，最高矩形对应的区间中点即为众数；平均数：用每个区间的中点值乘以对应频率，再求和. 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形的面积之和为1，已知组距为10， 所以， 即，解得. （2）其中最高矩形对应区间[70,80)，该区间的中点为，因此众数为. 平均数：， 所以平均数为. 【考点5：中位数】 1．（2026·湖南长沙·三模）某班12名学生某次数学测验成绩（单位：分）如下：72，75，78，80，82，85，88，90，92，94，96，98．则这组数据的中位数为（    ） A．85 B．86.5 C．88 D．87 【答案】B 【分析】根据中位数的概念即可求解. 【详解】数据共12个（偶数个），中位数取第6、第7个数的平均数． 第6个数：85，第7个数：88， 所以中位数为. 2．（2026·福建福州·三模）某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数. 故此题选D. 3．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）（多选）某小区住户10月份的用电量（单位：）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．用电量的中位数约为198 C．用电量的众数约为190 D．用电量不低于的频率为0.32 【答案】ABD 【分析】先根据频率分布直方图可得各组频率，结合频率和为1求的值，即可判断A；根据中位数、众数的定义分析判断BC；结合频率直接运算即可判断D. 【详解】由图可知各组频率依次为， 对于选项A：因为，解得，故A正确； 对于选项B：因为，， 可知用电量的中位数位于内，设为， 则，解得， 所以用电量的中位数约为，故B正确； 对于选项C：因为频率的最大一组为， 所以用电量的众数约为200，故C错误； 对于选项D：用电量不低于的频率为，故D正确. 故选：ABD. 4．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计本次数学测试成绩的平均分和中位数．（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】(1) (2)平均分约为分，中位数约为分 【详解】（1）由频率分布直方图可知每组频率依次为：，，，，，， 则，解得. （2）由（1）可知每组频率依次为：，，，，，， 估计本次数学测试成绩的平均分为（分）； 因为，所以估计本次数学测试成绩的中位数为分. 5．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 【答案】(1)0.01 (2)中位数为78，平均数为76.5 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小长方形面积之和等于1求出的值； （2）用各组的组中值分别乘对应人数，再除以总人数，求得平均数，利用面积和为0.5可得中位数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，，解得. （2）由（1）知.因此各组的频率分别为， 对应这100名学生各组的人数分别为10，20，25，35，10， 各组的组中值分别为55，65，75，85，95， 则， 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为. 由可得中位数位于，设为， 则，即中位数为78. 【考点6：平均数】 1．（2026·福建·三模）已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】根据样本数据的平均数得出，再用中位数的定义计算求解. 【详解】样本数据7，8，9，10，a的平均数为8， 则，所以， 则样本数据从小到大排列， 则该样本的中位数为. 2．（2026·云南·模拟预测）某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批次），得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌·天），传统现炒餐厅的平均翻台率为2.4次/（桌·天）．已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为______次/（桌·天）． 【答案】2.72 【详解】全市餐厅的平均翻台率约为次/（桌·天）． 3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 【答案】 13 【详解】由题可得：甲组年龄平均数为：，乙组年龄平均数为：， 要想使甲组的1人调到乙组后甲、乙两组人员的平均年龄都变大，只需保证甲里面调出的1人年龄小于，大于即可， 所以调出的人年龄为13岁. 4．（25-26高二下·浙江·阶段检测）某校为了调查学生的身体素质情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均体育锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计全校学生周平均体育锻炼时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)根据此数据，估计该校全体2000名学生中每周平均体育锻炼超过7小时的人数． 【答案】(1)，7.92小时 (2)1200名． 【分析】（1）频率分布直方图所有矩形的面积之和为1计算得出，再应用平均数公式计算求解； （2）应用频率计算得出人数. 【详解】（1）因为频率分布直方图所有矩形的面积之和为1， 所以，解得． 估计全校学生周体育锻炼时间的平均数为： 小时． （2）由频率分布直方图可知， 每周平均体育锻炼超过7小时的学生占比为， 用频率估计概率可知， 该校全体2000名学生中每周平均体育锻炼超过7小时的学生约为名． 5．（25-26高一下·山西忻州·阶段检测）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 【答案】(1)0.010 (2)76.5 (3)6 【分析】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，所以用各组组距乘以对应​的和等于1列方程，即可求解； （2）先确定每组的组中值，再计算每组频率，加权求和即可； （3）首先计算和两组的人数，结合总抽取人数，按比例计算组的抽取人数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是10． 各组对应的小长方形面积之和等于1，所以． 化简得，即，即，即． 所以图中． （2）由第（1）问可得． 因此各组的频率分别为，，，， 对应这100名学生的人数分别为10，20，25，35，10． 各组的组中值分别为55，65，75，85，95． 所以这100名学生竞赛成绩的平均数估计为． 计算得． 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5分． （3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为35， 成绩在内的人数为10， 所以成绩在内的总人数为． 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为． 所以这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6． 【考点7：极差、方差、标准差】 1．（河南省部分名校2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）已知一组数据的极差为，则（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】C 【详解】因为数据的极差为，且， 所以的最大值为，最小值为． 2．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）某农业合作社种植甲、乙两个品种的葡萄，为评估收成情况，随机抽取8株甲品种葡萄，测得单株产量（单位：千克）分别为4.5，4.7，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0． (1)求抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数与方差； (2)已知随机抽取的12株乙品种葡萄单株产量的平均数，方差，求抽取的这20株葡萄单株产量的总体平均数和方差． 【答案】(1)平均数为4.8千克，方差为0.02 (2)总体平均数为4.77千克，方差为0.023 【分析】（1）运算平均数和方差的公式进行求解即可； （2）运用总体平均数和方差的公式进行求解即可. 【详解】（1）设抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数为，方差为， 则， ． （2）设这20株葡萄单株产量的总体平均数为，方差为， 则， ． 3．（25-26高二下·上海·期中）义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图．    (1)求实数的值； (2)用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； (3)样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 【答案】(1) (2) (3)平均值为89.5，方差为21． 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求解即可. （2）根据分层抽样法，结合古典概型的概率公式求解即可. （3）根据平均数、方差及标准差的性质计算即可. 【详解】（1）由题意知，， 解得. （2）结合频率分布直方图可知，成绩位于与位于的比例为，因此选取的6人中，2人成绩在中，4人成绩在中． 从6人中选取2人的方法数为种，即样本空间中有15个样本点． 至少有1人成绩在中有两种情况：恰有一人成绩在该区间中，共有种；两人成绩都在该区间，共有1种； 根据加法原理，该事件对应的样本空间的子集中有9个样本点． 根据古典概型中概率的定义，该事件发生的概率为． （3）剩余8人成绩的平均值为． 由10个人成绩的标准差，则，即， 于是剩下8人的成绩的方差为． 4．（河南省部分名校2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中．    (1)求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） (2)根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； (3)若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求落在中的样本数据的平均数和方差． 【答案】(1)，众数为 (2)分． (3)； 【分析】（1）由概率之和为以及即可求解，由频率分布直方图的众数计算方法计算即可； （2）先分析一等奖所在区间，根据题意建立方程求解即可； （3）由分层随机抽样的平均数和方差公式计算即可. 【详解】（1）依题意可知，， 又，解得，   由图可知样本数据的众数落在区间内， 所以估计样本数据的众数为125． （2）由（1）可知，即成绩落在中的频率为， 成绩落在中的频率为0.25， 则获得一等奖学生的最低分应落在中．     设获得一等奖学生的最低分为x，则有， 解得，即估计获得一等奖学生的最低分约为138分． （3），     . 5．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六组：、、…、，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【答案】(1) (2)平均数为74，中位数为75 (3)， 【详解】（1）由题意得，解得． （2）平均数为 设中位数为； 因为成绩落在内的频率为， 落在内的频率为，所以， 则，解得，故中位数为75． （3）由题意得，成绩在有 人，成绩在有 人， 则这两组成绩的总平均数为， 总方差为． 【考点8：总体百分位数的估计】 1．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．7 B．9 C．10 D．11 【答案】C 【详解】将这组数据按从小到大的顺序排列为5，6，7，7，8，8，9，9，9，11，11，12． 因为，所以这组数据的第75百分位数是． 2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）一组数据从小到大排列为：，，，，，．若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第80百分位数是（  ） A．4 B．12 C．13 D．14 【答案】D 【分析】由题意先求出的值，再根据百分位数的定义求解即可. 【详解】由题意可得， 且中位数为，极差为， 所以， 解得， 所以此组数据为，，，，，．共6个数， 又因为， 所以此组数据的第80百分位数是第5个数，为14. 3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）温州园博园是温州新晋人气网红打卡胜地，相关部门统计了开园后50天的日游客数量（单位：万人），将样本数据分成，，，，，，七组，绘制频率分布直方图如图所示．估计日游客数量的第75百分位数为____________． 【答案】9 【分析】根据频率分布直方图及百分位数的定义求解. 【详解】由频率分布直方图可知， ，，，，，，各组的频率分别为： ， 所以日游客数量少于万人的频率为，日游客数量少于万人的频率为， 所以日游客数量第75百分位数落在这个区间内， 设第75百分位数为，则， 即. 4．（2026高二下·浙江·学业考试）某校从初一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，⋯，，得到如图的频率分布直方图． (1)求图中实数的值，并估计这40名学生的平均成绩； (2)若规定成绩排名前为等，请估计等的成绩应不低于多少分． 【答案】(1)；74分； (2)88分 【分析】（1）利用频率分布直方图中“所有矩形面积和为1”的性质，即可求，再通过每组组中值乘以对应频率求和，即可求平均成绩； （2）A等对应成绩排名前，即累计频率需达到，通过计算累计频率即可求得结果. 【详解】（1）由题意知： ，解得； 40名学生的平均成绩为： 分. （2）由题意，A等对应成绩排名前，即成绩由低到高累计频率需达到， 因为前4组频率和为， 而前5组频率和， 所以频率为的位置落在内， 所以等的成绩应不低于分. 5．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值． (2)估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数． (3)若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 【答案】(1) (2) (3)平均亩产量为kg，地是邢麦的优秀种植地 【分析】（1）根据频率分布直方图所有矩形面积和为1，列出等式求出即可； （2）先根据各组频率判断70%分位数落在，设70%分位数为，建立频率为的等量关系，即可求出70%分位数； （3）求平均亩产量即求出加权平均数，从而判断A地是否是邢麦43的优秀种植地. 【详解】（1）解：由频率分布直方图所有矩形面积和为1可得，， 解得； （2）由（1）知，则的频率为， 的频率为，的频率为， 的频率为，又， ，所以70%分位数落在内， 设70%分位数为，则，又，代入得， 解得，所以70%分位数为； （3）各组区间中点值分别为：，，，， 由（2）知各组的频率分别为：，，，， 则平均亩产量， 因为，所以A地是邢麦43的优秀种植地. 【达标检测】 一、单选题 1．（25-26高一下·江西宜春·月考）从编号依次为的人中选取人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为（    ） 5308 3395 5502 6215 2702 4369 3218 1826 0994 7846 5887 3522 2468 3748 1685 9527 1413 8727 1495 5656 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取，舍去不在范围内和重复的数字，即可得到答案． 【详解】解：从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，依次读取： 08，33（舍，95（舍，55（舍，02，62（舍，15，27（舍，02（舍，43（舍，69（舍，32（舍，18，18（舍，26（舍，09， 则第五个编号为09． 故选：C． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表． 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性是0.19．现用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（    ） A．24 B．18 C．16 D．12 【答案】C 【分析】由已知条件可求，可得一、二年级的学生总数，再确定三年级的学生人数，根据分层抽样的原则即可求三年级抽取的学生人数. 【详解】由题意知，x＝2000×0.19＝380， ∴一、二年级男、女生共有1500人， ∴三年级共有学生500人， ∴应在三年级抽取的学生人数为. 故选：C. 3．（24-25高一下·湖北黄石·期末）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，.其中，，则（   ） A．新样本数据的平均数变小 B．新样本数据的标准差变大 C．两组数据中位数不变 D．两组数据极差不变 【答案】D 【分析】由平均数，方差，极差，中位数的计算逐一判断可得. 【详解】对于选项A，因为原样本数据的样本平 均数， 新样本数据的样本平均数， 所以新样本的平均数变大，故A错误； 对于选项B，新样本数据的样本标准差 ，所以B选项错误； 对于选项C：设样本数据，，…，的中位数为， 则样本数据，，…，的中位数为， 所以两组样本数据的样本中位数不相同，故C错误 ； 对于选项D：设样本数据，，…，中，最大，最小， 因为，所以样本，，…，中，最大，最小， 极差，故D正确. 故选：D. 4．（25-26高一下·山东·阶段检测）已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（     ） A．平均数不变 B．方差不变 C．极差变大 D．中位数不变 【答案】B 【分析】求出新数据的平均数，即可判断A；求出新数据的方差即可判断B；求出两组数据的极差，即可判断C；举反例判断D. 【详解】对于A，设新数据的平均数为， 则，故A错误； 对于B，设新数据的方差为，原数据的方差为， 则 ，故B正确； 对于C，假设原数据中最大的数为，最小的数为，则原数据的极差为； 则新数据中最大的数为，最小的数为， 则新数据的极差为，即极差不变，故C错误； 对于D，假设原数据为1，2，3，则平均数为2，中位数为2； 则新数据为3，4，5，中位数为4， 所以两组数据的中位数不等，故D错误. 5．（2026·全国·模拟预测）某超市负责人统计了该超市2016－2023年的年营业额（单位：万元）如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．2016－2023年的年营业额的极差为2200万元 B．2016－2019年的年营业额波动性比2020－2023年的年营业额波动性小 C．2016－2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势 D．2016－2023年的年营业额的中位数与2019年和2020年的年营业额的平均数相等 【答案】D 【分析】选项A：由极差定义求解；选项B：由条形图判断；选项C：由条形图判断；选项D：利用中位数和平均数的定义判断 【详解】选项A：2016－2023年的年营业额的最大值为3400万元，最小值为1200万元，所以极差为3400－1200=2200（万元），故A正确． 选项B：2016－2019年的年营业额波动性比2020－2023年的年营业额波动性小，故B正确． 选项C：2016－2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势，故C正确． 选项D：2016－2023年的年营业额按从小到大的顺序排列如下，1200万元，2000万元，2100万元，2200万元，2400万元，2800万元，3200万元，3400万元， 所以年营业额的中位数是2200万元和2400万元的平均数， 即2017年和2018年的年营业额的平均数，故D错误． 故选：D 6．（25-26高二上·山东·期中）若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（    ） A． B． C． D．6 【答案】C 【分析】根据题意，由平均数以及方差的计算公式，代入计算，即可得到结果 【详解】设原来4个数据依次为a、b、c、d，则， 由方差为5，所以， 即， 所以， 则， 现加入数据8和10，则其平均数为， 则这6个数据的方差为 . 故选：C. 二、多选题 7．（24-25高三上·山西晋城·期末）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，下列说法正确的是（    ） A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为 C．该单位职工平均体重61千克 D．单位职工体重的方差为169 【答案】BCD 【分析】利用样本的相关概念判断AB；利用分层抽样的平均数和方差公式计算判断CD. 【详解】样本为该单位抽取的80名职工的体重，A错误； 每一位职工被抽中的可能性为，B正确； 单位职工平均体重为，C正确； 单位职工体重的方差为，D正确. 故选：BCD 8．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为75分 C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76 【答案】ABC 【分析】根据频率之和为1即可求解A，根据众数，中位数以及平均数的计算即可分别求解BCD． 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，由图可知，70－80段的频率/组距值最大，所以众数为，故B正确； 对于C，前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35=0.6＜0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9＞0.75，则75%分位数，故，所以C正确； 对于D，，故D错误； 故选：ABC. 三、填空题 9．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数（AQI），分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为__________． 【答案】89 【分析】根据百分位数的计算即可求解. 【详解】将这组数据从小到大排序依次为65，67，71，78，89，91，102，因为，所以这组数据的第70百分位数为第5个数据，即89． 故答案为：89 10．（24-25高一下·福建福州·期末）某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为___________. 【答案】25.1 【分析】结合分层随机抽样的方差公式可得答案 【详解】学校高三年级男生共有人，所占比例为，女生个，所占比例为， 故该校高三年级全体学生的年龄方差为：， 当时，，， 故答案为：25.1. 四、解答题 11．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）为了提高快递网点派件效率，某快递公司统计了辖区内一批驿站上周的日均派件量，将统计数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中 的值； (2)估计这批驿站上周日均派件量的中位数（结果保留整数）； (3)现采用分层抽样的方法从上周日均派件量在内的驿站中抽取15家驿站进行调研，求上周日均派件量在内的驿站被抽取的数量． 【答案】(1) (2)207件 (3)6家 【分析】（1）根据频率分布直方图列出方程即可； （2）由中位数的意义及计算公式即可求解； （3）根据分层抽样即可求解． 【详解】（1）由图可得 ， 解得 ． （2）因为 ， 所以这批驿站上周日均派件量的中位数在 内． 设这批驿站上周日均派件量的中位数的估计值为m，则 ， 解得 （件），故这批驿站上周日均派件量的中位数约为207件． （3）由频率分布直方图可知上周日均派件量在 内和 内的频率分别为0.24和0.16， 则上周日均派件量在 内的驿站被抽取的数量为 （家）． 12．（25-26高一下·山西忻州·阶段检测）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 【答案】(1)0.010 (2)76.5 (3)6 【分析】（1）因为频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，所以用各组组距乘以对应​的和等于1列方程，即可求解； （2）先确定每组的组中值，再计算每组频率，加权求和即可； （3）首先计算和两组的人数，结合总抽取人数，按比例计算组的抽取人数. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，各组的组距都是10． 各组对应的小长方形面积之和等于1，所以． 化简得，即，即，即． 所以图中． （2）由第（1）问可得． 因此各组的频率分别为，，，， 对应这100名学生的人数分别为10，20，25，35，10． 各组的组中值分别为55，65，75，85，95． 所以这100名学生竞赛成绩的平均数估计为． 计算得． 所以估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为76.5分． （3）由第（2）问可知，成绩在内的人数为35， 成绩在内的人数为10， 所以成绩在内的总人数为． 现从这45人中采用分层随机抽样的方法抽取27人， 则成绩在内被抽取的人数为． 所以这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数为6． 学科网（北京）股份有限公司 $ 复习专题4 统计 【思维导图】 【考点分类】 【知识梳理】 9.1 随机抽样 【知识点1 简单随机抽样】 1．抽样调查相关概念 名称 定义 全面调查（普查） 对每一个调查对象都进行调查的方法. 抽样调查 根据一定目的，从总体中抽取一部分个体进行调查，并以此为依据对总体的情况作出估计和推断的调查方法. 总体 调查对象的全体. 个体 总体中的每一个调查对象. 样本 从总体中抽取的那部分个体. 样本量 样本中包含的个体数. 2．简单随机抽样 (1)简单随机抽样的概念 一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽取n个个体作为样本，如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. (2)（不放回）简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取样本的总体中所含个体的个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析. ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作. ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算. ④等可能性：简单随机抽样中各个个体被抽到的可能性(机会)都相等(与第几次抽取无关)，从而保证了抽样的公平性. 3．两种常见的简单随机抽样方法 (1)抽签法 一般地，抽签法就是把总体中的N个个体编号，然后把所有编号写在外观、质地等无差别的小纸片(也 可以是卡片、小球等)上作为号签，并将这些号签放在一个不透明的盒，充分搅拌，最后从盒中不放回 地逐个抽取号签，使与号签上的编号对应的个体进入样本，直到抽足样本所需要的数量. (2)随机数法 先把总体中的N个个体编号，用随机数工具产生1~N范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中 的编号，使与编号对应的个体进入样本.重复上述过程，直到抽足样本所需要的数量.如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的数量. (3)两种抽样方法的优缺点 抽样方法 优点 缺点 适用范围 抽签法 简单易行. 总体量较大时，操作起来比较麻烦. 适用于总体中个体数不多的情形. 随机数法 简单易行，它很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题. 总体量很大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍不方便. 总体量较大，样本量较小的情形. 4．总体平均数与样本平均数 (1)概念 名称 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有N个个体，它们的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的N个变量值中，不同的值共有k（k≤N）个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为fi（i=1，2，…，k），则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为n的样本，它们的变量值分别为y1，y2，…，yn，则称为样本均值，又称样本平均数. 说明：(1)在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数； (2)总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； (3)一般情况下，样本量越大，估计越准确. 【知识点2 分层随机抽样】 1．分层随机抽样 (1)分层随机抽样的概念 一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个 子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层. (3)比例分配 在分层随机抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配.即 ①=； ②=. (4)分层随机抽样的步骤 ①分层：根据已经掌握的信息，将总体分成互不重叠的层. ②求比：根据总体中的个体数N和样本容量n计算抽样比. ③定数：确定第i层应该抽取的个体数为ni=Ni·k(Ni为总体中第i层所包含的个体数)，使得各ni之和 为n. ④抽样：按“定数”步骤中确定的个体数在各层中随机地抽取个体，合在一起便得到容量为n的样本. (5)分层随机抽样的特点 ①适用于由差异明显的几部分(即层)组成的总体； ②分成的各层互不重叠； ③各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量; ④分层随机抽样使样本具有较强的代表性，而且在各层抽样时，又可灵活地选用不同的随机抽样方法. 2．分层随机抽样的平均数计算 在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量 分别为m和n，第1层、第2层的总体平均数分别为，第1层、第2层的样本平均数分别为，总体平均数为，样本平均数为，则. 由于用第1层的样本平均数可以估计第1层的总体平均数，用第2层的样本平均数可以估计第2层的总体平均数，因此可以用估计总体平均数. 又==， 所以. 因此，在比例分配的分层随机抽样中，我们可以直接用样本平均数估计总体平均数. 9.2 用样本估计总体 【知识点1 总体取值规律的估计】 1．频率分布表与频率分布直方图的制作步骤 与画频数分布直方图类似，我们可以按以下步骤制作频率分布表、画频率分布直方图. 第一步，求极差 极差为一组数据中最大值与最小值的差. 第二步，决定组距与组数 第三步，将数据分组 通常对组内数据取左闭右开区间，最后一组数据取闭区间. 第四步，列频率分布表 计算各小组的频率，作出频率分布表. 第五步，画频率分布直方图 画图时，以横轴表示分组，纵轴（小长方形的高度）表示. 2．其他几类常用统计图——条形图、折线图、扇形图 条形图 折线图 扇形图 特 点 一般地，条形图中，一条轴上显示的是所关注的数据类型，另一条轴上对应的是数量、个数或者比例，条形图中每一长方形都是等宽的. 用一个单位长度表示一定的数量，用折线的起伏表示数量的增减变化. 用整个圆表示总体，扇形图中，每一个扇形的圆心角以及弧长，都与这一部分表示的数据大小成正比. 作用及选用情景 能清楚地表示每个项目的具体数量，便于相互比较大小. 能清楚地看出数量增减变化的情况及各部分数量的多少.常用来表示随时间变化的数据，当然，也可以用在其他合适的情形中. 可以形象地表示出各部分数据在全部数据中所占的比例情况. 图例 【知识点2 总体百分位数、集中趋势与离散程度的估计】 1．总体百分位数的估计 (1)概念 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个 值，且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值. (2)求解步骤 可以通过下面的步骤计算一组n个数据的第p百分位数： 第1步，按从小到大排列原始数据. 第2步，计算i=n×p%. 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p 百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数. 2．总体集中趋势的估计 在初中的学习中我们已经了解到，平均数、中位数和众数等都是刻画“中心位置”的量，它们从不同角度 刻画了一组数据的集中趋势.具体概念回顾如下： 名称 概念 平 均 数 如果有n个数x1，x2，…，xn，那么就是这组数据的平均数，用表示，即. 中 位 数 将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据（当数据个数是奇数时）或最中间两个数据的平均数（当数据个数是偶数时）称为这组数据的中位数. 众 数 一组数据中出现次数最多的数据（即频数最大值所对应的样本数据）称为这组数据的众数. 3．总体离散程度的估计 (1)方差和标准差 假设一组数据是，，，，用表示这组数据的平均数，则我们称为这组数据的 方差.有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式. 我们对方差开平方，取它的算数平方根，称为这组数据的标准差. (2)总体（样本）方差和总体标准差 ①一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则总体方差 . ②加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为，其中出 现的频数为，则总体方差为. 总体标准差：S=. (3)标准差与方差的统计意义 ①标准差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小. ②在刻画数据的分散程度上，方差与标准差是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差. ③标准差(方差)的取值范围为[0,+∞).若样本数据都相等，表明数据没有波动幅度，数据没有离散性，则 标准差为0.反之，标准差为0的样本，其中的数据都相等. 4．频率分布直方图中的统计参数 (1)频率分布直方图中的“众数” 根据众数的意义可知，在频率分布直方图中最高矩形中的某个(些)点的横坐标为这组数据的众数.一般用 中点近似代替. (2)频率分布直方图中的“中位数” 根据中位数的意义，在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数. 因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可估计中位数的值. (3)频率分布直方图中的“平均数” 平均数是频率分布直方图的“重心”.因为平均数可以表示为数据与它的频率的乘积之和，所以在频率分 布直方图中，样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替. 【考点1：随机抽样】 1．（26-27高二·全国·暑假作业）采用简单随机抽样的方法，从含有25个个体的总体中抽取1个容量为10的样本，则某个个体被抽到的概率为（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）（多选）在100个零件中，有一级品20个，二级品30个，三级品50个，从中抽取20个作为样本. 方法一：采用简单随机抽样的方法，将零件编号为00，01，…，99，用抽签法抽取20个. 方法二：采用分层抽样的方法，从一级品中随机抽取4个，从二级品中随机抽取6个，从三级品中随机抽取10个. 对于上述问题，下列说法中正确的有（    ） A．不论采用哪种抽样方法，这100个零件中每个零件被抽到的概率都是 B．采用不同的方法，这100个零件中每一个零件被抽到的可能性各不相同 C．在上述两种抽样方法中，方法一抽到的样本比方法二抽到的样本更能反映总体的特征 D．在上述两种抽样方法中，方法二抽到的样本比方法一抽到的样本更能反映总体的特征 3．（24-25高一下·河南平顶山·期末）随着暑假的临近，某市A景区将再次成为旅游的热门目的地．为更好地提升旅游品质，该市文旅局随机选择100名青年游客对该景区出行体验进行满意度评分（满分100分），80分及以上为良好等级，根据评分数据，制成如图所示的频率分布直方图． (1)求直方图中的值，并估计评分数据的第75百分位数； (2)若采用分层随机抽样的方法从评分在，的两组中共抽取4人，再从这4人中随机抽取2人进行单独交流，求选取2人的评分等级都为良好的概率． 4．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）为了提高快递网点派件效率，某快递公司统计了辖区内一批驿站上周的日均派件量，将统计数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中 的值； (2)估计这批驿站上周日均派件量的中位数（结果保留整数）； (3)现采用分层抽样的方法从上周日均派件量在内的驿站中抽取15家驿站进行调研，求上周日均派件量在内的驿站被抽取的数量． 【考点2：频率分布直方图】 1．（25-26高二上·河北·阶段检测）下图是2010—2020年这11年我国考研人数统计图，则关于这11年考研人数下列说法正确的是（     ）. A．2010年以来我国考研报名人数逐年增多 B．这11年来考研报名人数的极差超过260万人 C．2015年是这11年来报考人数最少的一年 D．2015年的报录比最低，2020年的报录比最高 2．（25-26高二上·上海黄浦·期末）以下是“我国2019-2024年居民人均服务性消费支出（单位：元）统计图”.关于2020-2024年的数据，下列说法错误的是（   ）. A．2021年是这五年中居民人均服务性消费支出增长率最高的年份 B．2020年和2022年居民人均服务性消费支出增长率为负，其余年份为正 C．2024年居民人均服务性消费支出的增长率高于2023年 D．居民人均服务性消费支出增长率有增有减 3．（25-26高一下·山西晋中·阶段检测）（多选）2021至2025年我国快递业务量及其增长速度如图所示，则（     ） A．2021至2025年我国快递业务量逐年增长 B．2021至2025年我国快递业务量增长速度逐年增长 C．2021至2025年我国快递业务量每年增长量超过200亿件 D．估计我国2020年的快递业务量小于650亿件 4．（2026·安徽安庆·一模）（多选）某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的统计图表如下（条形图为月累计值，折线图为与上年同月累计值的环比增长率）： 月份 2月 3月 4月 5月 6月 7月 8月 9月 10月 累计收入（亿元） 43.88 66.57 83.96 96.87 134.69 150.09 161.05 191.67 213.39 同比增长率（%） 2 2.1 2.1 3 1 4.2 4.8 根据图表，下列说法正确的是（    ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年8月该地区的地方一般公共预算收入超过22亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前9个月，该地区地方一般公共预算收入平均数高于20亿元 5．（2026·广东佛山·二模）（多选）地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【考点3：其他统计图】 1．（25-26高三上·河南信阳·期末）某机构对我国若干大型科技公司调查统计后，得到了芯片、软件两个行业从业者的年龄分布的饼图（图1）和“90后”从事这两个行业岗位的分布雷达图（图2），则下列说法中一定正确的是（   ） A．芯片、软件行业从事技术岗位的人中，“90后”比“80后”多 B．芯片、软件行业从业者中，“90后”占比不超过 C．芯片、软件行业中从事技术和设计岗位的“90后”人数和超过从事这两个行业总人数的 D．芯片、软件行业中，“90后”从事市场岗位的人数比“80前”从事这两个行业的总人数多 2．（25-26高三·上海·一轮复习）某中学四位同学利用假期到一贫困村参加社会实践活动，感受年该村精准扶贫及新农村建设的变化.经过实地调查显示，该村年的经济收入增加了一倍．实现翻番，精准扶贫取得惊人成果．为更好地了解该村的经济收入变化情况，为后期精准扶贫方向提供决策参考，四位同学统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到饼图： 四位同学依据上述饼图，分别得出以下四个结论，其中结论中错误的是（ ） A．精准扶贫及新农村建设后，种植收入减少 B．精准扶贫及新农村建设后，其他收入增加了一倍以上 C．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入增加了一倍 D．精准扶贫及新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 3．（25-26高二上·宁夏中卫·开学考试）（多选）某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙,理财类保险；丁，定期寿险；戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔．该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查，得出如下的统计图：      用样本估计总体，以下四个选项正确的（    ） A．丁险种最受参保人青睐 B．随着年龄的增长人均参保费用越来越高 C．30周岁以上的参保人数约占总参保人数的20% D．30～41周岁参保人数最多 4．（2026·甘肃兰州·一模）（多选）某校高一年级开设了文学社､科创社､体育社､艺术社､辩论社五类社团，每名同学最多参加一个社团，对参加社团活动的情况进行统计调查，统计信息如图（1），（2），其中参加体育社和艺术社的人数相等，为了解社团活动开展情况，采用分层抽样的方法在参加社团活动的学生中任意抽取20名学生做问卷调查. 根据以上信息，下列说法正确的是（    ） A．艺术社的学生人数有120人 B．文学社和辩论社参加问卷调查的学生人数共有5人 C．从参加社团的学生中任选1人，已知该学生不是文学社成员，则该学生是科创社成员的概率为 D．调查结果显示文学社､科创社的满意率均为0.7，其他社团的满意率均为0.9，则社团活动总体满意率为0.81 5．（25-26高一下·浙江·开学考试）（多选）某学校对高二学生选科情况进行了统计，发现学生选科仅有政史地、物化生、物化地、物化政、生史地五种组合，其中选考物化地和物化政组合的人数相等，并绘制得到如下的扇形图和条形图，则下列说法正确的是（    ） A．该校高二学生总数为800 B．该校高二学生中选考物化地组合的人数为70 C．用分层随机抽样的方法从该校高二学生抽取80人，则生史地组合抽取16人 D．该校高二学生随机抽取一学生，该学生选考物理的概率与选考地理的概率相等 【考点4：众数】 1．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）某专卖店某天销售的7双运动鞋的尺码依次为38，39，40，39，41，39，42，则这组数据的众数是______． 2．（24-25高一上·辽宁沈阳·期末）已知一组数据丢失了其中一个，剩下的六个数据分别是、、、、、，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的倍，则丢失数据的所有可能值构成的集合为______. 3．（2026高三·全国·专题练习）（多选）（多选）某班进行了一次数学测试，全班学生的成绩都落在区间内，其成绩的频率分布直方图如图所示，则该班学生这次数学测试成绩的中位数和众数的估计值为（   ） A．81.5 B．75 C．81.25 D．85 4．（25-26高二上·浙江杭州·期末）为了解某校高一年级学生数学学习的阶段性表现，年级组织了一次阶段测试．已知此次考试共有450名学生参加，考试成绩的频率分布直方图如图所示（同一组中的数据以该区间的中点值为代表）． (1)求的值； (2)估计这次数学考试成绩的众数、中位数（结果保留两位小数）； 5．（2025高二上·河南·学业考试）为全面落实“健康第一”教育理念，引导学生养成良好锻炼习惯和健康生活方式，某所大学依据《国家学生体质健康标准》对录取的新生进行体质健康监测，依据各单项评分和指标权重得出每名学生的体质健康综合指标评分．现从这所大学新生中随机抽取200名学生，将他们的综合指标评分数据分成5组：，，画出了如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这所大学新生体质健康综合指标评分的众数和平均数． 【考点5：中位数】 1．（2026·湖南长沙·三模）某班12名学生某次数学测验成绩（单位：分）如下：72，75，78，80，82，85，88，90，92，94，96，98．则这组数据的中位数为（    ） A．85 B．86.5 C．88 D．87 2．（2026·福建福州·三模）某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（    ） A．   B．   C．   D．   3．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）（多选）某小区住户10月份的用电量（单位：）的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（    ） A． B．用电量的中位数约为198 C．用电量的众数约为190 D．用电量不低于的频率为0.32 4．（25-26高一下·湖南长沙·阶段检测）为了调查假期期间数学网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了数学测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成6组，其频率分布直方图如图所示． (1)求图中的值； (2)估计本次数学测试成绩的平均分和中位数．（每一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 5．（25-26高一下·安徽阜阳·阶段检测）2026年5月25日至5月31日将是第四届全国城市生活垃圾分类宣传周，为提高同学们的垃圾分类意识．某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的中位数与平均数． 【考点6：平均数】 1．（2026·福建·三模）已知样本数据7，8，9，10，a的平均数为8，则该样本的中位数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 2．（2026·云南·模拟预测）某市开展餐饮消费调查，比较预制菜餐厅与传统现炒餐厅的翻台率（每天每桌接待顾客批次），得到预制菜餐厅的平均翻台率为3.2次/（桌·天），传统现炒餐厅的平均翻台率为2.4次/（桌·天）．已知该市餐饮协会数据显示，全市营业餐厅中，预制菜餐厅约占40%，其余的都是传统现炒餐厅，据此估计，全市餐厅的平均翻台率约为______次/（桌·天）． 3．（25-26高二下·上海杨浦·期末）某社区开展青少年实践活动，现有人在线报名，在线平台根据报名先后顺序将这人分为两组，两组成员的年龄（单位：岁）如下： 甲组：12、10、17、16、16、13、15、11； 乙组：13、15、11、10、11、16、14． 社区计划将甲组的人调到乙组，使得甲、乙两组人员的平均年龄都变大，则应该将甲组年龄为_________岁的成员换到乙组． 4．（25-26高二下·浙江·阶段检测）某校为了调查学生的身体素质情况，从全校学生中随机抽取100名学生，将他们的周平均体育锻炼时间（单位：小时）数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并根据频率分布直方图估计全校学生周平均体育锻炼时间的平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值为代表）； (2)根据此数据，估计该校全体2000名学生中每周平均体育锻炼超过7小时的人数． 5．（25-26高一下·山西忻州·阶段检测）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 【考点7：极差、方差、标准差】 1．（河南省部分名校2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）已知一组数据的极差为，则（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最大值为 2．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）某农业合作社种植甲、乙两个品种的葡萄，为评估收成情况，随机抽取8株甲品种葡萄，测得单株产量（单位：千克）分别为4.5，4.7，4.8，4.8，4.8，4.9，4.9，5.0． (1)求抽取的这8株甲品种葡萄单株产量的平均数与方差； (2)已知随机抽取的12株乙品种葡萄单株产量的平均数，方差，求抽取的这20株葡萄单株产量的总体平均数和方差． 3．（25-26高二下·上海·期中）义卖活动中，某班举行有奖射击，共有10次机会，每次满分为10（单位：环），成绩满分为100．从参与学生的成绩中抽取部分成绩（所有成绩均为整数，且不小于40，不大于100）作为样本进行统计，将成绩整理后分为六组，绘制如图所示频率分布直方图．    (1)求实数的值； (2)用分层抽样的方法从成绩在和的学生中选取6人，再从这6人中选取2人送出鼓励奖，求这2人中至少有1人成绩在中的概率； (3)样本中有10名学生的成绩（记为，，2，…，10）平均值为，标准差．若删除其中的和这两个数据，求剩余8名学生成绩的平均值与方差． 4．（河南省部分名校2025-2026学年高一下学期6月期末数学试题）某市组织数学建模大赛，从参加比赛的名学生中随机抽取名学生的成绩进行样本分析（满分为分，按照，，…，分成六组），并绘制成如图所示的频率分布直方图，其中．    (1)求图中的值，并估计样本数据的众数；（同一组数据用该组区间的中点值作代表） (2)根据成绩，准备给成绩较高的的学生颁发一等奖，估计获得一等奖学生的最低分； (3)若落在中的样本数据的平均数是，方差是，落在中的样本数据的平均数是，方差是，求落在中的样本数据的平均数和方差． 5．（25-26高一下·福建厦门·阶段检测）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均不低于40分）分成六组：、、…、，得到如图所示的频率分布直方图.    (1)求频率分布直方图中的值； (2)试估计样本成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中间值代替）和中位数； (3)已知落在的平均成绩是54，方差是7，落在的平均成绩为66，方差是4，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【考点8：总体百分位数的估计】 1．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）某城市文旅部门统计了今年“五一”假期12家网红露营地的单日接待游客数量（单位：百人），其数据为5，7，9，8，12，8，6，9，11，7，9，11，则这组数据的第75百分位数是（   ） A．7 B．9 C．10 D．11 2．（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）一组数据从小到大排列为：，，，，，．若该组数据的中位数是极差的，则该组数据的第80百分位数是（  ） A．4 B．12 C．13 D．14 3．（2026高二下·浙江温州·学业考试）温州园博园是温州新晋人气网红打卡胜地，相关部门统计了开园后50天的日游客数量（单位：万人），将样本数据分成，，，，，，七组，绘制频率分布直方图如图所示．估计日游客数量的第75百分位数为____________． 4．（2026高二下·浙江·学业考试）某校从初一年级学生中随机抽取40名学生作为样本，将他们的期中考试数学成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六组：，，⋯，，得到如图的频率分布直方图． (1)求图中实数的值，并估计这40名学生的平均成绩； (2)若规定成绩排名前为等，请估计等的成绩应不低于多少分． 5．（25-26高一下·河北邢台·阶段检测）邢麦43是邢台市农业科学研究院选育的半冬性、高产抗病、中强筋小麦新品种，是冀中南水地区域主推优质高产品种之一、某研究机构对A地100亩邢麦43的亩产量（单位：）进行了统计调查，将得到的数据按，，，分为4组，画出频率分布直方图，如图所示． (1)求的值． (2)估计A地100亩邢麦43的亩产量的70%分位数． (3)若某地100亩邢麦43的平均亩产量不低于，则认为该地是邢麦43的优秀种植地．请估计A地100亩邢麦43的平均亩产量，并以此为依据，判断A地是否是邢麦43的优秀种植地．（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） 【达标检测】 一、单选题 1．（25-26高一下·江西宜春·月考）从编号依次为的人中选取人，现从随机数表的第一行第3列和第4列数字开始，由左向右依次选取两个数字，则第五个编号为（    ） 5308 3395 5502 6215 2702 4369 3218 1826 0994 7846 5887 3522 2468 3748 1685 9527 1413 8727 1495 5656 A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课后作业）某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如下表． 一年级 二年级 三年级 女生 373 x y 男生 377 370 z 已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的可能性是0.19．现用分层随机抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（    ） A．24 B．18 C．16 D．12 3．（24-25高一下·湖北黄石·期末）有一组样本数据，，…，，由这组数据得到新样本数据，，…，.其中，，则（   ） A．新样本数据的平均数变小 B．新样本数据的标准差变大 C．两组数据中位数不变 D．两组数据极差不变 4．（25-26高一下·山东·阶段检测）已知一组数据，，，…，的平均数为，将这组数据分别加上它们的平均数，得到一组新数据，，，…，，则新数据与原数据相比（     ） A．平均数不变 B．方差不变 C．极差变大 D．中位数不变 5．（2026·全国·模拟预测）某超市负责人统计了该超市2016－2023年的年营业额（单位：万元）如图所示，则下列说法错误的是（    ） A．2016－2023年的年营业额的极差为2200万元 B．2016－2019年的年营业额波动性比2020－2023年的年营业额波动性小 C．2016－2020年的年营业额逐年上升，2021年跌落低谷，之后每年又呈上升趋势 D．2016－2023年的年营业额的中位数与2019年和2020年的年营业额的平均数相等 6．（25-26高二上·山东·期中）若4个数据的平均值为6，方差为5，现加入数据8和10，则这6个数据的方差为（    ） A． B． C． D．6 二、多选题 7．（24-25高三上·山西晋城·期末）某单位为了解职工体重情况，采用分层随机抽样的方法从800名职工中抽取了一个容量为80的样本．其中，男性平均体重为64千克，方差为151；女性平均体重为56千克，方差为159，男女人数之比为5:3，下列说法正确的是（    ） A．样本为该单位的职工 B．每一位职工被抽中的可能性为 C．该单位职工平均体重61千克 D．单位职工体重的方差为169 8．（25-26高一下·江西南昌·阶段检测）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为75分 C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76 三、填空题 9．（25-26高二上·河北保定·阶段检测）某环境监测部门收集了当地一周内的空气质量指数（AQI），分别为65，71，67，89，78，91，102，则这组数据的第70百分位数为__________． 10．（24-25高一下·福建福州·期末）某学校高一年级男生共有490人，女生共有510人，为调查该年级学生的身高情况，通过按比例分配的分层抽样，得到男生和女生样本数据的平均数和方差分别为和.若，则该校高一年级全体学生身高的方差为___________. 四、解答题 11．（河北邢台市卓越联盟2025-2026学年高一下学期6月阶段测评数学试题）为了提高快递网点派件效率，某快递公司统计了辖区内一批驿站上周的日均派件量，将统计数据按，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求频率分布直方图中 的值； (2)估计这批驿站上周日均派件量的中位数（结果保留整数）； (3)现采用分层抽样的方法从上周日均派件量在内的驿站中抽取15家驿站进行调研，求上周日均派件量在内的驿站被抽取的数量． 12．（25-26高一下·山西忻州·阶段检测）某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数； (3)在这100名学生中，从这次竞赛成绩在内的学生中采用分层随机抽样的方法抽取27名学生进行调查，求这100名学生这次竞赛成绩在内被抽取的人数． 学科网（北京）股份有限公司 $