25.1 一元二次方程的概念 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及根，通过雕像比例、矩形铁皮制作方盒、排球邀请赛等现实问题导入，衔接一元一次方程回顾，搭建从旧知到新知的学习支架，引导学生建立模型观念。 其亮点在于以现实情境培养模型意识（数学语言），通过对比一元一次方程“三要素”辨析概念，强化推理思维（数学思维），例题与练习注重抽象能力（数学眼光）。如例2将方程化为一般形式，当堂小练结合实际列方程，助力学生发展数学思维，教师可高效开展教学。

第二十五章 一元二次方程 25.1 一元二次方程的概念 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 一元二次方程的概念 7. 课堂小结 8. 当堂小练 CONTENTS 10. 拓展与延伸 3. 新课导入 9. 对接中考 2. 知识回顾 5. 知识点2 一元二次方程的一般形式 6. 知识点3 一元二次方程的解（根） 1. 能根据具体问题中的数量关系列一元二次方程，经历由具体问题列一元二次方程的过程，建立模型观念. 2. 理解一元二次方程的定义及其一般形式，会将一元二次方程化为一般形式，并能说出各项的名称. 3. 理解一元二次方程的根的意义，会检验一个数是不是一元二次方程的根. 学习目标 知识回顾 一般地，如果方程中只含有一个未知数(元)，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数都是1，这样的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程的定义 判断下列式子是否是一元一次方程： 一元一次方程 (1) 只有一个未知数 (2) 未知数的指数是一次 (3) 方程的两边都是整式 新课导入 在设计人体雕像时，使雕像的腰部以上与腰部以下的身长比，等于腰部以下与全身的身长比，可以增加视觉美感. 如果某人体雕像全身长为5m，按照上述比例，雕像腰部以下为多长？ 解：雕像腰部以上的身长AC与腰部以下的身长BC满足如下等量关系： AC∶BC=BC∶5，即BC2=5AC. 设雕像腰部以下的身长BC为x m， 根据上述等量关系，可以列出方程 x2=5(5-x)， 整理得 x2+5x-25=0. 解这个方程就可以得出雕像腰部以下的身长. A C B 5-x x 新课讲解 知识点1 一元二次方程的概念 问题1 如图，有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形? 分析：要制作一个无盖的方盒，四角都要剪去一个相同的正方形，我们设正方形边长为 cm，则盒底的宽为 cm，盒底的长为 cm，根据矩形的面积公式及方盒的底面积3600 cm2，可列方程为 . (50-2x) x (100-2x) (100-2x)(50-2x)=3600 你能把它整理成形如x2+bx+c=0的形式吗？ (100-2x)(50-2x)=3600 5000－100x－200x+4x2=3600 4x2－300x+1400=0 x2－75x+350=0 先去括号 移项、合并同类项 系数化为1 新课讲解 要组织一次排球邀请赛，赛制为单循环形式(每两支球队之间比赛1场).根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，组织者应邀请多少支球队参赛？ 设应邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛1场， 则此次邀请赛共需进行x(x-1)场， 所以可列得方程x(x-1)=28. 整理并化简，得x2-x-56=0. 由方程可以得出应邀请的球队数. 为什么需进行 x(x-1) 场？ 邀请x支球队参赛，每支球队要与其他(x-1)支球队各赛一场，因为甲队对乙队的比赛和乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以全部比赛共(x-1)场. 问题2 思考 新课讲解 思考 (1)方程中含有未知数的式子都是整式； (2)方程中只含有一个未知数； (3)方程中未知数的最高次数是2. 以下方程有什么共同点？ x2+5x-25=0， x2-75x+350=0， x2-x-56=0. 新课讲解 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的定义 一是只含有一个未知数； 二是整式方程； 三是未知数的最高次数是 2． 分母或根号内不含未知数 整理后 一元二次方程的“三要素” 最高次数是2的项的系数的取值范围不明确的方程不一定是一元二次方程，如(m-2)x2+3x-8=0不一定是一元二次方程. 新课讲解 例 1. 下列方程中，一定是一元二次方程的有 ( ) ① ； ② ； ③ ； ④ ； ⑤ ； ⑥  (m是常数)； ⑦ ； ⑧ . A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 符合一元二次方程的概念； 整理，得x2+2x−1=0，符合一元二次方程的概念； 含有两个未知数； 含有未知数的式子不都是整式； 未知数的最高次数是 3； 当 m=0 时，未知数的最高次数是 1； 整理，得x=0； 含有未知数的式子不都是整式； B 新课讲解 判断一元二次方程，厘清“是”“否”是关键 观察含有未知数的式子是否为整式 不是一元二次方程 使方程的右边为0，左边合并同类项 观察是否满足“一元”和“二次” 不是一元二次方程 是一元二次方程 是 是 否 否 新课讲解 练一练 1. 下列方程：① 7+6=3； ② =7； ③ －x=0； ④ 2－5y=0；⑤(x+1)(x-1)=x2+x； ⑥ a+2x-3=0. 其中一定是一元二次方程的是________(填序号). ③ 2. 如果方程(m－3)xm2－7－x ＋3＝0是关于x一元二次方程，那么m的值为(　 　) A. ±3 B. 3 C. －3 D. 以上都不对 C 新课讲解 知识点2 一元二次方程的一般形式 一元二次方程的一般形式是 ax²+bx+c=0 (a≠0)，其中 ax²是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 一元二次方程的一般形式 指出方程各项的系数时要带上前面的符号． 示例 注意 新课讲解 当 a = 0 时 bx＋c = 0 当 a ≠ 0 ， b = 0时 ax2＋c = 0 当 a ≠ 0 ， c = 0时 ax2＋bx = 0 当 a ≠ 0 ，b = c =0时 ax2 = 0 为什么一般形式ax2+bx+c=0中要限制a≠0，b、c 可以为零呢？ 当b ≠ 0时，为一元一次方程 一元二次方程 思考 若ax2+bx+c=0是一元二次方程只要满足a ≠ 0 ，b ， c 可以为任意实数. 注意 新课讲解 例 2. 将方程 3x(x-1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3x2-3x=5x+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2-8x-10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为-8，常数项为-10. 新课讲解 例 3. 已知关于 x 的一元二次方程 ax2－2x+a2－3x2 =9 的常数项是 0，求 a 的值 . 解：将原方程化为一般形式， 得(a－3) x2－2x+a2－9=0. 因为 (a－3) x2－2x+a2－9=0是一元二次方程， 所以 a － 3≠ 0，即 a≠ 3. 因为常数项为 0，所以a 2 － 9=0， 即a 2 =9， 得a=3或a= － 3.又由a≠ 3可知， a 的值为 － 3. 新课讲解 练一练 1. 将方程2x2=－3x+5 化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别是(     ) A. 2， 3， －5 B. －2， 3， 5 C. 2， －3， 5 D. 2， 3， 5 A 2. 关于x的一元二次方程(m － 3) x 2+ m2x =9x+5 化为一般形式后不含一次项，则 m 的值为(     ) A. 0 B. ± 3 C. 3 D. － 3 D 新课讲解 1. 如果明确指出方程ax2+bx+c=0是关于x的一元二次方程，那么隐含条件a≠ 0．否则，a的取值不确定是否为0． 2. 确定一元二次方程的各项和各项系数时，不要漏掉各项前面的符号． 3. 通常情况下，方程整理为一般形式时，将二次项系数化为正数. 注意 原方程 一般形式 确定各项及各项系数(不要漏掉符号) 去分母、去括号、 移项、合并同类项 通常将二次项系数化为正数 确定一元二次方程各项及各项系数的一般步骤 特别地，当没有一次项或常数项时，其对应项的系数为0. 新课讲解 知识点3 一元二次方程的解（根） 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根. 一元二次方程的解（根） 若一元二次方程有解，则解一定有两个 新课讲解 例 4. 下列哪些数是一元二次方程  的解？ -1，0，1，3. 解：当x=-1时，左边=(-1)2-4×(-1)+3=8， ∵左边≠右边， ∴-1不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=0时，左边=0-0+3=3， ∵左边≠右边， ∴0不是方程x2-4x+3=0的解； 当x=1时，左边=12-4×1+3=0， ∵左边=右边， ∴1是方程x2-4x+3=0的解； 当x=3时，左边=32-4×3+3=0， ∵左边=右边， ∴3是方程x2-4x+3=0的解. 综上可知，1和3是一元二次方程x2-4x+3=0的解. 新课讲解 例 5. 已知a是方程 x2+2x-2=0 的一个实数根，求3a2+6a+ 2019的值. 解：由题意，得a2+2a-2=0，即a2+2a=2. ∴ 3a2+6a+2 019 =3(a2+2a) +2 019 =3×2 +2 019 =2 025. 已知方程的解求代数式的值，一般先把已知解代入方程，得到等式，将所求代数式的一部分看作一个整体，再用整体思想代入求值． 点拨 新课讲解 练一练 1. 下列各数中，是一元二次方程 的根的是 ( ) A A. B.0 C.2 D.3 新课讲解 练一练 （答案不唯一） 2. 已知一个一元二次方程有一个根是1，且它的一次项系数是 ，写出一个符合要求的方程：_______________________________. 解：由题意可设方程为， 将 代入，得， 该方程可为 . 课堂小结 解(根) 一元二次方程 定义 表示 方程中只含有一个未知数，且含有未知数 的式子都是整式，未知数的最高次数是2 一般形式：ax2+bx+c=0（a≠0) 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值 当堂小练 把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： (1) 5x2−1=4x； (2) 4x2=81； (3) 4x(x+2)=25； (4) (3x−2)(x+1)=5x−2. 解：(1)一般形式为5x2-4x-1=0.二次项系数为5；一次项系数为-4；常数项为-1. (2)一般形式为4x2-81=0.二次项系数为4；一次项系数为0；常数项为-81. (3)一般形式为4x2+8x-25=0.二次项系数为4；一次项系数为8；常数项为-25. (4)一般形式为3x2-4x=0.二次项系数为3；一次项系数为-4；常数项为0. 当堂小练 2. 若关于x的方程 (m-2)x-2－4mx+3(m+2)=0 是一元二次方程，则m=_______. 解：∵一元二次方程未知数的最高次数为2， ∴ m2-2=2，解得m=±2. ∵二次项系数不为0， ∴m-2≠0，即m≠2. ∴m=﹣2. ﹣2 当堂小练 3. 根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： (1) 4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； (2) 一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； (3) 把长为1m的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的 平方，求较短一段的长. 解：(1)设正方形的边长为x，根据题意，得4x2=25，一般形式为4x2-25=0. (2)设矩形的长为x，则宽为x-2，根据题意，得x(x-2)=100， 一般形式为x2-2x-100=0. (3)设较短一段的长为x m，则较长一段的长为(1-x) m，根据题意，得x=(1-x)2，一般形式为x2-3x+1=0. 当堂小练 4. 如图，一张长方形照片长21 cm，宽10 cm，配一个相框，相框的四条边宽度都相等，且相框边的面积是照片面积的四分之一，求相框边的宽度.设相框边的宽度为x cm，依题意可列方程为______________. (化为一般形式) 8x2+124x-105=0 当堂小练 5. 若(m－3)x|m－1|－x－5 = 0 是关于 x 的一元二次方程，求 m 的值. 解：由题意可知， m－3≠ 0且|m－1|=2， 所以m-1=±2 且m≠ 3， 解得m=3 或m=-1，且m≠ 3. 所以 m=－1. 当堂小练 6. 已知 m 为方程x2+x－3=0的一个根，则代数式m3+2m2－2m+6的值为____ . 9 解：∵ m 为方程 x 2+x－3=0 的一个根， ∴ m 2+m－3=0. ∴ m 2+m=3． ∴ m 3+2m 2－2m+6 =m3+m 2+m 2+m－3m+6 =m(m 2+m) +(m 2+m) －3m+6 =3m+3－3m+6 =9． 方法二：∵ m为方程x2+x－3=0的一个根， ∴ m2+m－3=0． ∴ m2=3－m， m2+m=3． ∴ m3+2m2－2m+6 =m(3－m)+2m2－2m+6 =3m－m2+2m2－2m+6 =m2+m+6 =3+6 =9． 7. 若一元二次方程 化为一般形式后为，则一次函数 的图象不经过 ( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 当堂小练 D 解：一元二次方程 化为一般形式后为 ∵ 一元二次方程 化为一般形式后为 ， 解得 ， 一次函数 的图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限. 当堂小练 8. 已知关于 x 的方程(m+1) xm ² +1+(m－2) x－1=0. (1) 当m取何值时，它是一元一次方程？求出此方程的根 . (2) 当m取何值时，它是一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项 . 解：(1) 当m－2≠0，m+1=0时，解得m=-1； 当m2+1=1，m+1+(m－2)≠0时，解得m=0. 故当m=-1或m=0时，原方程为一元一次方程. 当m=-1时，方程为-3x-1=0，解得x=-13； 当m=0时，方程为-x-1=0，解得x=-1. (2) 根据题意，得m2+1=2，m+1≠0，解得m=1. 故当m=1时，原方程即为2x2-x-1=0，是一元二次方程， 它的二次项系数是2，一次项系数是-1，常数项是-1. 对接中考 1. 已知一元二次方程x2 － 3x+m=0 的一个根为 1，则 m= ____. 2 解：将 x=1 代入一元二次方程，得1－3+m=0，解得 m=2． 对接中考 2. 若关于 x 的一元二次方程 ax2+ bx－1=0(a ≠ 0)有一根为 x=1，则一元二次方程 a(x－1) 2+b(x－1)－1=0 必有一根为 __________． x=2 解：因为一元二次方程 a(x－1) 2+b(x－1)－1=0与 ax2+bx－1=0(a≠0) 的结构相同，且一元二次方程ax2+bx－1=0(a ≠ 0) 有一根为x=1， 所以 x－1=1，解得 x=2. 两个方程的结构相同，将第二个方程中含x的代数式看作一个整体，可以得到其取值与第一个方程的解相同，进而求出第二个方程的解． 点拨 拓展与延伸 1. 已知三个关于x 的一元二次方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0， cx2+ax+b=0 恰有一个公共实数根，则 的值为( ) A.0 B.1 C.2 D.3 D 解：设是它们的一个公共实数根， ，， . 把上面三个式子相加，整理，得()(). 因为， 所以，即． 由题易知，， 于是． 拓展与延伸 解：把代入方程，得，即 . 由题意得，即 ， . 易知 ， ， . 2. 如图，四边形 是证明勾股定理时用到的一个图形，，，是 和的三边长，易知 ，这时我们把关于的形如 的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”，比如 是“勾系一元二次方程”.请解决下列问题： (1) 方程 ____“勾系一元二次方程”(填“是”或“不是”)； (2) 若是“勾系一元二次方程” 的一个根，且四边形的周长是12，求 的面积. 是 $