精品解析：河南郑州市第四初级中学2025－2026学年七年级下学期期中试卷 数学

七年级下期期中试卷 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，根据科学记数法：（ ，为正整数），先确定的值，再根据小数点移动的数位确定的值即可解答，根据科学记数法确定和的值是解题的关键． 【详解】解：， 故选： ． 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式，完全平方公式，合并同类项和积的乘方运算，解题的关键是掌握以上运算法则． 根据平方差公式，完全平方公式，合并同类项和积的乘方运算法则逐项求解判断即可． 【详解】解：A、，正确，符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意． 故选：A． 3. 如图，① ，② ，③ ，④ 可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】平行线的判定定理主要有：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行；如果内错角相等，那么这两条直线平行；如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．根据平行线的判定定理逐个排查即可． 【详解】解：①由于和 是同位角，则由 可判定； ②由于和 是内错角，则由 可判定； ③由于和 既不是同位角、也不是内错角，则由 不能判定； ④由于和是同旁内角，则由 可判定； 即①②④可判定． 4. 某兴趣小组想用3根木棍组成一个三角形，3根木棍的长度不可能是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 2，5，7 D. 4，7，7 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，能够成三角形，故本选项不符合题意； B、，能够成三角形，故本选项不符合题意； C、，不能够成三角形，故本选项符合题意； D、，能够成三角形，故本选项不符合题意； 故选：C 【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键． 5. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了几何概率，用频率估计概率，解题的关键是掌握大量反复试验下频率的稳定值即为概率值。根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到点落在黑色阴影的概率为，即黑色阴影的面积占整个面积的，据此求解即可． 【详解】解：∵经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右， ∴点落在黑色阴影的概率为， ∴黑色阴影的面积占整个面积的， ∴黑色阴影的面积为． 故选：A． 6. 如图，若一块长方形广场的原长为15米，宽为10米，现因施工改造，将广场的长和宽各增大x米．广场面积增加了150平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃，计算花圃的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式变形求几何图形面积；设扩大后的广场的长为米，宽，可得，，进而可得，再由两个圆面积相加计算即可． 【详解】解：设扩大后的广场的长为米，宽米，依题意得：， ， ∴ ∵花圃的总面积， 故选：A． 7. 现有4张不透明卡片，正面分别标有数字“2”、“4”、“5”、“6”，卡片除正面的数字外，其余均相同．现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被2整除”的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】4张卡片代表4个数字，4个数字中能被整除的有“2、4、6”3个，再根据概率的定义作答即可． 【详解】4张卡片上的数字“2”、“4”、“6”，能被2整除， 故随机抽取一张卡片，“能被2整除”的概率为． 故选：C． 【点睛】本题考查概率的求解，解决本题的关键是正确理解概率的定义． 8. 如图，在中，， ．若是的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高、角平分线，三角形内角和定理，解题的关键是熟记三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．先由三角形内角和定理求出，根据角平分线得到，再由三角形的高得到，再根据三角形内角和定理求出，最后由邻补角的定义即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分 ， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 9. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知 ，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线和角的计算，根据 ，得 ，所以，再根据 ，得，即可得． 【详解】解：如图， ∵ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选：B． 10. 如图，在中，是高，是中线，是角平分线，交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①，根据三角形内角和定理求出 根据三角形的外角性质即可推出②，根据三角形内角和定理求出 根据角平分线定义即可判断③，根据等腰三角形的判定判断④即可． 本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键． 【详解】解：∵是中线， ∴ ， ∴的面积的面积，故①符合题意； ∵是角平分线， ∴ ， ∵为高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴，故②符合题意； ∵为高， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵是 的平分线， ∴， ∴， 即，故③符合题意； 根据已知条件不能推出，即不能推出，故④不符合题意； 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，是一张三角形纸板，其中，一只蚂蚁在这张纸板上自由爬行，则蚂蚁爬到阴影部分的概率为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等底同高的三角形面积相等的概念，将分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是面积的，所以蚂蚁爬到阴影部分的概率是． 【详解】解：连接． ， ，， 利用三角形中线的性质可得， 被分为7个面积相同的三角形，中间阴影部分的三角形的面积是的， 所以蚂蚁踩到阴影部分的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形中线的性质以及几何概率等知识，利用三角形中线的性质得出面积相等的三角形是解题关键． 12. 若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 _____． 【答案】11或−13##-13或11 【解析】 【分析】根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵（2x±3）2＝4x2±12x＋9， ∴m＋1＝±12， ∴m＝11或m＝−13． 故答案为：11或−13． 【点睛】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式，本题属于基础题型． 13. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，， ，点在直线上，，，则的度数为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，根据平行线的性质得出，，再由角的和差计算即可得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴，， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，点E在线段BD上，且AE平分∠BAC，若∠B=40°，∠C=78°，则∠EAD=____°． 【答案】19°． 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理求得∠BAC，再由AE平分∠BAC，可求得∠EAC，最后由∠ADC=90°，∠C=78°，可求得∠DAC，即∠EAD可求． 【详解】解：∵∠B=40°，∠C=78° ∴∠BAC=180°-∠B-∠C=62° ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAC=， ∵AD是BC边上的高 ∴∠ADC=90° ∴∠DAC=90°-78°=12° ∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=19° 故答案为：19°． 【点睛】本题考查三角形内角和定理；三角形角平分线性质． 15. 点为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点旋转一周，当的度数是________时，直线与直线互相平行． 【答案】 或 【解析】 【分析】根据，利用平行线的性质可知直线与直线的夹角等于直线与直线的夹角，即．由于三角板绕点旋转一周，需分点在直线上方和下方两种情况进行讨论，结合三角形的外角性质求出的度数． 【详解】解：设直线与直线交于点． 分两种情况讨论： （1）当点在直线上方时，如图，   ，  ．   ；  （2）当点在直线下方时，如图，  ，  ．  ．  ． 综上所述，当的度数是 或时，直线与直线互相平行． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16. 计算： （1）． （2） （3）； 【答案】（1）0 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先利用有理数乘方、零次幂、绝对值、负整数次幂化简，然后再计算即可； （2）先利用同底数幂乘法、幂的乘方、单项式除法计算，然后再合并同类项即可； （3）先利用积的乘方、幂的乘方计算，然后按照整式的乘除混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： = ． 【小问3详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的混合运算−化简求值，原式利用平方差公式，多项式除以单项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把m的值代入计算即可求出值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： 当 时，原式 18. 如图，已知，点D是上一点． （1）尺规作图：过点D作，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，且平分 ，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图——作已知角的等角，角平分线的性质，平行线的判定和性质等内容，解题的关键是掌握以上性质，并灵活应用． （1）利用作已知角的等角的步骤进行作图即可； （2）根据同位角相等两直线平行得出，根据平行的性质和角平分线的性质得出角的度数，然后再根据两直线平行内错角相等即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图， 即为所求； 【小问2详解】 解：如图所示， 由（1）得，， ， ∴， ∵平分 ， ∴， ， ． 19. 如图，直线 相交于点O，平分 ， 于点O． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ，求 的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由对顶角相等、邻补角性质可得 ，利用角平分线的定义可得 ，再利用角的和差求解即可； （2）由题意可知 ， ，即 ，据此列方程求得 ，进而求得 ，再利用角平分线的定义即可解答． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 解：∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ，解得： ． ∴ ∵平分 ， ∴ ． 20. 如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求 和的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线定义、三角形外角性质．关键是利用角平分线的性质解出，再运用三角形外角性质求出．先利用三角形内角和定理可求，在直角三角形 中，易求 ；再根据角平分线定义可求可得 的度数；然后利用三角形外角性质，可先求，再次利用三角形外角性质，容易求出． 【详解】解：∵ ∴ 又∵是高， ∴ ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴ 故 21. 【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留 ) 【答案】（1）0.305，0.3；（2）估计整个封闭图形的面积是平方米 【解析】 【分析】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握概率公式是解题的关键． （1）根据概率公式计算即可； （2）根据圆的面积公式得到圆的面积（平方米），利用圆的面积频率值 圆的面积即可得到结论． 【详解】解：（1）， 随着投掷次数增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.3附近， 故答案为：0.305，0.3； （2）∵圆的面积（平方米）， ∴整个封闭图形的面积（平方米）， 答：估计整个封闭图形的面积是平方米． 22. 【知识技能】 已知： ；； 填空：（1）①______；②______． 【数学理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则， ∴． 【解决问题】 （2）①若x满足，则______； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形 与为正方形，若 ，，四边形的面积为6，求正方形，的面积． 【答案】（1）① ，② ；（2）①，②，③ 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的几何背景掌握完全平方公式的结构特征是正确解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）①设，，由题意得 ， ，根据 进行计算即可； ②设，，由题意得，，根据代入计算即可； ③设 ，，根据题意得，，，由，代入计算即可． 【详解】解：（1）① ， ， 故答案为： ； ② ；； ， 故答案为： ； （2）①设，， ，， ； ②设，， ，， ； ③由题意得，， 设 ，， ，，， ． 23. 如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线 上，连接 ． （1）如图1 ， 若 ，则 ， （2）如图2 ， 的角平分线与 的角平分线相交于点F． ． 若 ， 求 的度数，并说明理由； 将直线绕点 N 以每秒 的速度顺时针旋转，同时射线 绕点 P 以每秒 的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过 t秒后直线恰好平行． 请直接写出所有满足的条件的t的值． 【答案】（1）100，80 （2）；或 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质和判定求解即可； （2）①如图，延长交于点G，设 交于点H．设 ，则 ，根据可表示出 ，进而根据三角形内角和推论表示出 ，进而表示出 ，然后结合 和 内角和得出关系式，进一步得出结果；②根据题意分两种情况讨论，然后分别表示出各角，然后利用平行线的性质列方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴ ， 如图，过点E作， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【小问2详解】 解：①如图，延长交于点G，设 交于点H．设 ． ∵平分 ， ∴ ， ∵， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ 在 和 中， ∵ ， ， ∴ ，即 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ②∵ ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∵平分 ， ∴ ， 如图1，当时，设 交于点I． ∵， ∴ ， ∴ ， ∵直线绕点 N 以每秒 的速度顺时针旋转，同时射线 绕点 P 以每秒 的速度逆时针旋转， ∴ ， ∴ ∴ ，解得：． 如图2，当时，设 交于点K． ∵， ∴ ， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ，解得：． 综上所述，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级下期期中试卷 数学 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在科幻小说《三体》中，有一种高强度的纳米材料“飞刃”．根据描述，纳米材料“飞刃”的直径约为，则数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，① ，② ，③ ，④ 可以判定的条件有（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①②③④ 4. 某兴趣小组想用3根木棍组成一个三角形，3根木棍的长度不可能是（　　） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 2，5，7 D. 4，7，7 5. 二维码已成为广大民众生活中不可或缺的一部分，小亮将二维码打印在面积为的正方形纸片上，如图，为了估计黑色阴影部分的面积，他在纸内随机掷点，经过大量重复实验，发现点落在黑色阴影的频率稳定在左右，则据此估计此二维码中黑色阴影的面积为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，若一块长方形广场的原长为15米，宽为10米，现因施工改造，将广场的长和宽各增大x米．广场面积增加了150平方米，同时以长方形的四边分别向外修建半圆形花圃，计算花圃的总面积为（ ） A. B. C. D. 7. 现有4张不透明卡片，正面分别标有数字“2”、“4”、“5”、“6”，卡片除正面的数字外，其余均相同．现将4张卡片正面向下洗匀，小王同学从中随机抽取一张卡片，则抽出的卡片数字“能被2整除”的概率为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在中，， ．若是 的高，与角平分线相交于点．则的度数为（ ）． A. B. C. D. 9. 如图①，汉代的《淮南万毕术》中记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法．为了探清一口深井的底部情况，如图②，在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线与地面所成夹角时，已知 ，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜与地面的夹角（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，是高，是中线， 是角平分线， 交于点G，交于点H，下面说法正确的是（　　） ①的面积的面积；②；③；④． A. ①②③④ B. ①②③ C. ②④ D. ①③ 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，是一张三角形纸板，其中，一只蚂蚁在这张纸板上自由爬行，则蚂蚁爬到阴影部分的概率为______． 12. 若代数式4x2﹣（m+1）x+9是完全平方式，m的值为 _____． 13. 仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好的锻炼腹部的肌肉，如图是小美同学做仰卧起坐运动某一瞬间的动作及其示意图，， ，点在直线上，，，则的度数为________________． 14. 如图，已知△ABC中，AD是BC边上的高，点E在线段BD上，且AE平分∠BAC，若∠B=40°，∠C=78°，则∠EAD=____°． 15. 点为直线上一点，一副三角板如图摆放，其中，，．将直角三角板绕点旋转一周，当的度数是________时，直线与直线互相平行． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分） 16. 计算： （1）． （2） （3）； 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，点D是上一点． （1）尺规作图：过点D作，交于点E；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，连接，若，且平分 ，求的度数． 19. 如图，直线 相交于点O，平分 ， 于点O． （1）若 ，求 的度数； （2）若 ，求 的度数． 20. 如图，中，是高，是角平分线，它们相交于点O，，求 和的度数． 21. 【综合实践】如图，学校劳动基地有一个不规则的封闭菜地 ，为求得它的面积，学习小组设计了如下的一个方案： ①在此封闭图形内画出一个半径为 1米的圆． ②在此封闭图形外闭上眼睛向封闭图形内掷小石子(可把小石子近似地看成点) ，记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数(含外沿) 100 200 500 1000 …… 小石子落在圆内(含圆上)的次数 m 32 63 153 305 …… 小石子落在圆外的阴影部分(含外沿)的次数 n 68 137 347 695 …… 小石子落在圆内(含圆上)的频率 0.320 0.315 0.306 x …… 【数学发现】（1）若以小石子所落的有效区域为总数(即 )，则表格中的数据x = ； 随着投掷次数增大，小石子落在圆内(含圆上)的频率值稳定在 附近(结果精确到 )； 【结论应用】（2）请你利用（1）中所得的频率值，估计整个封闭图形的面积是多少平方米？(结果保留 ) 22. 【知识技能】 已知： ；； 填空：（1）①______；②______． 【数学理解】 若x满足，求的值． 解：设，， 则， ∴． 【解决问题】 （2）①若x满足，则______； ②若x满足，求的值； ③如图，已知正方形被分割成4个部分，其中四边形 与为正方形，若 ，，四边形的面积为6，求正方形，的面积． 23. 如图，已知，直线交于点M，交于点N．点E是线段上一点，P，Q分别在射线 上，连接 ． （1）如图1 ， 若 ，则 ， （2）如图2 ， 的角平分线与 的角平分线相交于点F． ． 若 ， 求 的度数，并说明理由； 将直线绕点 N 以每秒 的速度顺时针旋转，同时射线 绕点 P 以每秒 的速度逆时针旋转，当直线首次落到上时，整个运动停止．在运动过程中，经过 t秒后直线恰好平行． 请直接写出所有满足的条件的t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $