2.2 函数的单调性与最值（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数单调性与最值核心考点，按定义、性质、常用结论到应用的逻辑架构梳理知识，通过知识复习系统整合概念，典型例题分九类覆盖求单调区间、参数求解等高考高频题型，助力学生构建完整知识体系。 讲义采用分层典例设计与方法提炼策略，如复合函数单调性用“同增异减”法则培养逻辑推理能力，恒成立问题转化为最值问题强化数学思维，设置选择、填空、解答题梯度训练，帮助学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供精准教学路径。

2.2 函数的单调性与最值（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有f(x)≤M； ②∃x0∈D，使得f(x0)＝M ①∀x∈D，都有f(x)≥M； ②∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减. 2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同， 若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关，简记为“同增异减”． 3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处． 第二部分：典型例题 典例一：求函数的单调区间 1．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 【答案】CD 【详解】将函数去掉绝对值得， 画出函数的图象，如图，观察图象可知， 函数的图象关于原点对称， 故函数为奇函数，且在上单调递减，在上单调递增，故CD正确． 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，，此时函数单调递增， 当时,，此时函数单调递减， 即函数的单调递减区间为. 3．（25-26高三上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 【答案】 6 【分析】根据对勾函数的图像及基本不等式即可求解． 【详解】因为，所以，当且仅当，即时等号成立， 由对勾函数的图像可知，函数在上的单调增区间是，最小值是6． 4．（25-26高三上·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间． 【答案】 【分析】结合余弦型函数的单调性求解即可. 【详解】． 由，解得， 所以函数的单调递增区间为． 典例二：根据函数的单调性求参数 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为___________． 【答案】和 【分析】先根据题意，得当时，函数的单调性，再根据奇偶性得当时，函数的单调性即可求解． 【详解】当时，，二次函数开口向上，对称轴为， 所以当时，在上单调递减，单调递增， 又因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，在单调递减，在单调递增， 综上，函数在上的单调增区间为和． 故答案为：和． 6．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】函数的单调递增区间为， 依题意，，则，解得， 因此的可能取值是，ABD是，C不是. 7．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】条件可转化为函数在R上单调递增，结合一次函数单调性、二次函数单调性列不等式可求的范围. 【详解】由题意知，在R上单调递增， 当时，，满足题意； 当时，需满足，解得，所以. 综上，. 8．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 9．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得在上恒成立，即在上恒成立，令，利用对勾函数的性质求解即可. 【详解】因为， 所以， 由题意可得在上恒成立， 即，在上恒成立， 令， 由对勾函数的性质可知在上单调递增， 所以， 所以， 所以实数的取值范围为. 10．（2026高三·全国·专题练习）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 【答案】 【详解】，定义域为， 因为函数在区间上是增函数， 所以，解得， 故的取值范围是. 典例三：复合函数的单调性 11．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数函数的定义域、单调性以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】函数有意义，则，解得. 令，开口向下，对称轴为. 则函数在上单调递增，在上单调递减. 函数关于是单调递减，根据复合函数"同增异减"，要求原函数的增区间，等价于求内层 的减区间， 即. 12．（25-26高三上·全国·期末）（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 【答案】 和 【详解】（1）因为， 令，解得， 则的单调递减区间为， 令，，则， 所以在上的单调递减区间为和. （2）令，解得， 可知的定义域为， 因为在定义域内单调递增，且在内单调递增， 在内单调递减， 可得在内单调递增，在内单调递减， 所以函数的单调递减区间为. 13．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的单调递增区间是______． 【答案】和. 【分析】根据复合函数的单调性即可求出答案. 【详解】令， 函数在上单调递减，在上单调递增， 当时， 函数在上单调递减， 在上单调递增， 当时， 函数在上单调递增， 在上单调递减， 所以函数的单调递增区间为和. 14．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）函数的单调递减区间为________ 【答案】 【分析】先求得函数的定义域，根据复合函数单调性求解. 【详解】，解得， 函数的定义域为， 令， 当时，单调递减，单调递增， 函数在上单调递减， 函数的单调递减区间为． 15．（25-26高三上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 【答案】 【分析】设，分别判断函数与的单调性，利用复合函数的同增异减原则即得原函数的单调增区间. 【详解】设，因是上的减函数， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数的同增异减原则，可得该函数的单调增区间为. 故答案为：. 16．（25-26高三上·全国·期末）函数的单调递增区间为______________ 【答案】 【分析】首先求出定义域，然后根据复合函数单调性同增异减，最后根据三角函数整体法求单调区间. 【详解】设，即，在上单调递增， 故取， 即， 解这个不等式，得，即， 根据复合函数同增异减，所以的单调递增的部分，可求出的递增区间， 可得 ，即 ， 解得 ，所以所求递增区间为. 故答案为： 典例四：根据函数单调性解不等式 17．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合函数单调性得，再结合对数函数单调性解不等式即可. 【详解】因为函数是定义在上的增函数， 所以， 所以，解得，即x的取值范围是. 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 19．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的单调性解不等式，偶函数在对称区间内单调性相反，可以利用到对称轴的距离列不等式判断． 【详解】因为是定义域为的偶函数，则， 故关于对称； 因为在上单调递减，故在上单调递减； 则在上单调递增； 则等价于 即，左右两边平方可得， 即，解得， 故不等式的解集为． 20．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 【答案】 【详解】因为函数是上的减函数，且， 根据减函数的性质：自变量越大，函数值越小，可得，故①处填. 由，且是上的减函数， 可得自变量满足，同时分式有意义需. 解不等式，即，等价于且， 解得或，故②处填. 21．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的奇偶性，结合已知条件判断函数的单调性，再分类讨论解不等式即可. 【详解】因为对任意且， 都有，则在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则在上单调递减， 又，则，即， 当或时，，当或时，， 对于不等式，当时，则，即， 当时，则，即， 所以不等式的解集是. 22．（25-26高二下·湖南长沙·期中）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______． 【答案】 【分析】构造函数 ，利用导数结合条件可证明 在 上单调递增，原不等式等价于，利用函数的定义域以及单调性即可求解. 【详解】构造函数 ，其定义域为 ， 由题知：，且 ，因此 ，即 在 上单调递增. 已知 ，得 ， 原不等式 等价于： ， 根据 的单调性和定义域得，解得 ， 即不等式的解集为 . 典例五：利用函数单调性求最值 23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 24．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数，则函数的值域为____________． 【答案】 【详解】由函数有意义，需使，解得：， 因为在R上单调递增，由可得，所以， 所以，所以， 所以函数的值域为. 25．（25-26高二·全国·暑假作业）在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 【答案】 4 3 【分析】根据基本不等式求的最小值，再结合二次函数性质求结论. 【详解】，当且仅当时取等号， 因此，即也在处取得最小值， 所以，解得，即， 所以在区间上的最大值为，最小值为. 26．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于函数进行变形得，再利用基本不等式求最值即可． 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当时，取等号， 所以的最大值为． 27．（2026高三·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】显然， 若，则函数在区间上是减函数， 则，解得，不满足，舍去； 若，则函数在区间上是增函数，则，解得. 综上，. 28．（25-26高三上·山东日照·阶段检测）已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【分析】求出函数的单调区间及对应的函数值集合，再由给定条件列出不等式组求解. 【详解】函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为，在上单调递减，函数值集合为， 由函数在上既有最大值，也有最小值，得， 因此，解得，所以实数a的取值范围是. 典例六：根据函数最值求参数 29．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】分、、、四种情况讨论，分别求出每段的值域即可求最值. 【详解】①若，则， 因为的图象的对称轴为， 故该函数在上单调递增，所以， 若，则，当时，，则有最小值； 若，因为在上单调递减，所以， 若存在最小值，则，得，舍去； 若，因为在上单调递增，所以， 若存在最小值，则，得； ②若，因为在上单调递增，所以， 因为，则的最小值必在上取得，符合题意； 综上，的取值范围是. 故答案为：. 30．（25-26高三上·安徽合肥·期末）设函数． (1)判断函数的单调性，并求不等式的解集； (2)若在上的最小值为11，求实数m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单调性的性质判断函数的单调性，分析可知函数是奇函数，结合单调性和奇偶性整理可得，运算求解即可； （2）换元令，可得，结合二次函数性质讨论最值，进而分析求解. 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为R， 且在定义域R上单调递增，则函数在定义域R上单调递增， 又因为，所以函数是奇函数， 则不等式可化为， 可得，即，解得， 所以不等式的解集为. （2）因为， 则， 又因为，则， 令，可得， 因为的图象开口向上，对称轴为直线， 当，即时，则在内单调递增， 可得，解得m＝； 当，即时，则， 整理得到，无解； 综上所述：当m＝时，在上的最小值为11. 31．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）若函数存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的单调性，以及函数最值即可求得结果. 【详解】由题知，函数在上单调递减，故，无最值， 当时，， 当时，在单调递减，，此时无最大值， 当时，， 当时，在上单调递增，， 由函数存在最大值，故最大值必为，则. 综上，实数的取值范围为. 故选：D. 32．（25-26高三上·四川绵阳·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．存在，使得为偶函数 B．若是R上的减函数，则的取值范围是 C．若存在最大值，则的取值范围是 D．若存在最小值，则的取值范围是 【答案】BC 【分析】分析函数图像即可判断选项A；由函数单调性列关于a的不等式组即可求解判断选项B；由的单调性求出函数的取值范围即可分析判断选项C；由C选项即可分析求解判断选项D． 【详解】选项A：当时，图象为指数函数部分图象， 当时，图象为一条射线， 所以图象不关于y轴对称，故不存在使得为偶函数，故A错误； 选项B：是R上的减函数，所以. 所以若是R上的减函数，则的取值范围是，故B正确； 选项C：当时，. 若即时，在上单调递增，此时， 所以若在R上存在最大值，则； 若即，在上恒有， 则函数在R上有最大值为6，故； 若，在上单调递减，此时， 则函数在R上无最大值，不符合. 存在最大值的条件是，即，故C正确； 选项D：由C可知时，无最小值； 时，在R上值域为，无最小值； ，要使在R上有最小值，则，即； 存在最小值时，的取值范围是，故D错误． 故选：BC． 典例七：函数不等式恒成立问题 33．（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分段函数的单调性可得,再由函数的单调性可得出 ，将参数m分离,即可求出的取值范围. 【详解】因为函数和均是增函数， 所以是上的增函数，只需要满足， 即，解得. 由得 ，即 恒成立. 因为，即. 所以实数的取值范围是. 34．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据奇函数定义域关于原点对称，可以求得，再根据根据奇函数定义可知，化简整理，从而问题得到求解； （2）对问题时，恒成立进行转化，转化为当时，恒成立，通过构造函数，再利用函数的单调性求出实数m的取值范围. 【详解】（1）因为函数为定义域为的奇函数， 所以，即， 所以，整理得，解得， 因为函数的定义域为，则，解得. 所以，. （2）由（1）可知， 当时，即恒成立， 可得恒成立，即当时，恒成立， 所以，， 令，，则， 令，，根据对勾函数性质知在区间上单调递增， 所以，所以，则， 则实数m的取值范围为. 35．（25-26高三上·江西景德镇·期中）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的取值范围求出的范围，再根据正弦函数的性质求出的值域，即可得到，从而得解. 【详解】当，则， 所以，则， 因为对于，不等式恒成立， 所以，解得，所以实数的取值范围为. 36．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】因为对，，都有，所以，解得单调性求出，从而得到的取值范围. 【详解】因为对，，都有，所以， 因为在上是单调递减函数， 所以， 因为在上是单调递增函数，是单调递增函数， 所以在上是单调递增函数， 所以时，， 因为，得，．即实数的取值范围为． 典例八：函数不等式能成立(有解)问题 37．（2026·天津北辰·二模）若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 【答案】 【分析】把不等式化为，先由右侧非负得到，从而，从而原不等式恒成立问题可转化为在上恒成立，.通过分析函数的最大值和最小值可求参数的取值范围. 【详解】不等式整理为.因，两边同除以得. 该式成立要求，即.故，否则在时无解. 故在上恒成立， 即存在实数，使得在上恒成立（▲）， 设，，其中， 因单调递增，故 . 在处取得最小值，在单调递减，在单调递增. ①时， . 由▲可得，解得，即，故. ②时， . 由▲可得，化简得，解得. 结合，得. 综上，实数的取值范围为 38．（25-26高三上·广东湛江·期中）设为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 【答案】(1)，证明见解析 (2)或 【详解】（1）由函数是定义在上的奇函数，得， 则，即，所以，则， 设，且，则， 由，得，则， 所以在上单调递减. （2）依题意，， 而函数在上单调递减， 则， 因此， 当时，，解得，则； 当时，，解得，则， 所以m的取值范围是或． 39．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数．若在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式分离常数得到，再利用导数分析函数的单调性求出最值，进而得到的取值范围. 【详解】，即，整理得. 不等式在上有解，等价于，其中. . 当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 因此在处取得最小值，最小值为. 由，所以的取值范围是. 40．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 【答案】 【分析】利用导数分别求函数和的值域，再根据不等式，转化为子集问题，即可列不等式求解. 【详解】，得或， 因为，所以，得， 当，，单调递减，当，，单调递增， ，，，所以函数在区间的值域是， ，在区间恒成立，所以在区间单调递增， 所以在区间的值域为， 由条件可知函数在区间的值域是在区间的值域的子集， 即是的子集， 即，解得：， 所以实数的取值范围是. 41．（25-26高二下·四川乐山·期中）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (2). 【分析】（1）对函数求导，按分类讨论的符号，进而确定的单调性. （2）由（1）确定在上的单调性并求出最大值，问题化为在上最大值大于等于，即可求出参数范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，时，在上单调递增，在上单调递减，所以， 由存在使，得在上的最大值大于等于， 所以有或，解得， 所以b的取值范围是. 42．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求b的值与函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性（只要求写出单调性，不需要证明过程）； (3)若，使成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1)，且 (2)函数在上为增函数 (3) 【分析】（1）根据奇函数的定义求解； （2）由复合函数的单调性判断，并用定义证明； （3）由奇偶性变形，结合单调性化简，然后分离参数转化求函数最值，即可得参数范围． 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以， 即，整理得恒成立，即， 所以，则，且； （2）函数在上是增函数， 证明如下： 由（1）可得，函数， 任取，， ， 因为，所以，又，，所以， 即，所以函数在上是增函数； （3）因为存在，使成立， 又因为函数是定义在上的奇函数， 所以不等式可转化为， 因为函数在上是增函数，故， 所以，使成立， 因为， 因为，所以有最小值0，所以， 故的取值范围为. 典例九：复合函数的最值 43．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】B 【分析】利用特殊值和对称性求出的解析式，再令，结合一元二次函数求最值. 【详解】因为关于直线对称，所以，即， 得， 则， 此时，满足题意； 令，则， 因为，且的对称轴为， 则， 故的最小值为. 44．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数及二次函数的值域求解方法求解； （2）根据复合函数的单调性判断方法，结合二次函数在给定区间上的最小值求法，可求得函数的解析式. 【详解】（1）若，则. 因为，所以， 所以，所以， 所以若，则的值域为. （2）. 令，. 当时，在上单调递增， 因为是增函数，所以在上单调递增. 所以. 当时，在上单调递减， 因为是增函数，所以在上单调递减. 所以. 当时，在上单调递减，在上单调递增. 因为是增函数， 所以当时，取得最小值，即. 综上，. 45．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 【答案】(1)最小值为，； (2) 【分析】（1）令，结合二次函数性质求解即可； （2）利用复合函数的单调性列不等式求解可得. 【详解】（1）因为的定义域为， 所以， 令，，则， 当，即，即时，取得最小值，最小值为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 令，解得， 所以的单调递减区间为. 46．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数 (1)当时，求函数的值域； (2)当]时，求函数的最小值； (3)若，存在实数，使f，求b的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用换元法可求复合函数在给定区间上的值域； （2）利用换元法，将求函数的最小值问题转化为求含参二次函数在给定区间上的最值问题，通过讨论对称轴与给定区间的关系可得； （3）分离参数，利用换元法构造新函数，根据新函数的单调性，求的取值范围，从而求得b的取值范围. 【详解】（1）当时，， 令，则，则在上单调递减，在上单调递增. 所以当时，取得最小值，最小值为；当时最大值为9，故函数的值域为. （2）令，则，对称轴为. 当时，，则在上单增，所以函数的最小值为； 当时，，则在上单减，在上单增，所以函数的最小值为； 当时，有，则在上单减，所以函数的最小值为. 综上所述，. （3）由有. 即，所以. 因为，所以. 令当且仅当，即时，等号成立； 因为所以. 令，则是增函数， 所以，所以， 即实数的取值范围为. 47．（25-26高三上·新疆和田·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围. (2)求的单调区间. (3)当时，求的最值. 【答案】(1). (2)单调递增区间为：，单调递减区间为：. (3)最小值4，最大值64. 【分析】（1）由，得，根据指数函数的单调性可得，即可求解的取值范围； （2）由二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增；又指数函数在上单调递增，根据复合函数单调性即可求解； （3）当，，所以，即可求解函数的最值. 【详解】（1）因为，所以，根据指数函数的单调性可得，即，解得或. 所以的取值范围为. （2）已知函数的对称轴：，由二次函数的性质可得在上单调递减，在上单调递增； 又指数函数在上单调递增，所以根据复合函数单调性可知 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当，，所以， 所以当时，取得最小值； 当时，取得最大值. 48．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据基本初等函数定义域，列出一元二次不等式，求出解集即可； （2）根据复合函数单调性，判断二次函数在区间上的单调性和值域，列出不等式，求出参数范围即可； （3）根据双变量恒成立的问题，判断函数最值之间的关系，根据复合函数单调性求出函数最值，进而列出不等式，求出参数范围. 【详解】（1）由题意得，因式分解得，解得或， 即函数定义域为. （2）因为在上单调递增，所以当 在上单调递增时，函数在单调递增且， 因为是对称轴为直线，开口向上的二次函数， 则，解得， 所以的取值范围为. （3）对任意，存在，使得不等式成立，即任意，恒成立， 由， 当时，，则，所以， 可得任意，恒成立，即恒成立， 等价于恒成立； 因为在上单调递增，即在恒成立即可， 即在恒成立， 由对勾函数可知在上单调递减，所以； 可得时在恒成立； 所以的取值范围为. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2 函数的单调性与最值（精讲） 第一部分：知识复习 1．函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间I⊆D，如果∀x1，x2∈I 当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减．特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y＝f(x)在区间I上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做y＝f(x)的单调区间． 【注意】若函数有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结． 2．函数的最值 前提 一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足 条件 ①∀x∈D，都有f(x)≤M； ②∃x0∈D，使得f(x0)＝M ①∀x∈D，都有f(x)≥M； ②∃x0∈D，使得f(x0)＝M 结论 M为最大值 M为最小值 [常用结论] 1．函数单调性的两个等价结论 设∀x1，x2∈D(x1≠x2)，则 (1)>0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0)⇔f(x)在D上单调递增； (2)<0(或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0)⇔f(x)在D上单调递减. 2．若函数f(x)，g(x)在区间D上具有单调性，则在区间D上具有以下性质： (1)当f(x)，g(x)都是增(减)函数时，f(x)＋g(x)是增(减)函数； (2)若k＞0，则kf(x)与f(x)单调性相同， 若k＜0，则kf(x)与f(x)单调性相反； (3)函数y＝f(x)(f(x)≠0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反； (4)复合函数y＝f(g(x))的单调性与y＝f(u)和u＝g(x)的单调性有关，简记为“同增异减”． 3．最值定理：闭区间上的连续函数必有最值，最值产生于区间端点或极值点处． 第二部分：典型例题 典例一：求函数的单调区间 1．（25-26高二·全国·暑假作业）（多选）已知函数，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数，递增区间是 B．是偶函数，递减区间是 C．是奇函数，递减区间是 D．是奇函数，递增区间是 2．（2026高三·全国·专题练习）函数的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·浙江杭州·期中）函数在上的单调递增区间是________，最小值是________． 4．（25-26高三上·全国·课堂例题）求函数的单调递增区间． 典例二：根据函数的单调性求参数 5．（25-26高三上·上海·阶段检测）函数是定义在上的偶函数，当时，，则函数在上的单调增区间为___________． 6．（2026·河北沧州·模拟预测）（多选）已知函数在区间上单调递增，则的可能取值是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高三上·贵州毕节·期中）已知在R上满足，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·黑龙江·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数，则“在上单调递减”的充要条件是（    ） A． B． C． D． 10．（2026高三·全国·专题练习）设函数在区间上是增函数，那么的取值范围是________． 典例三：复合函数的单调性 11．（25-26高三上·甘肃兰州·期中）函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·全国·期末）（1）在上的单调递减区间为________； （2）的单调递减区间为__________. 13．（25-26高三上·辽宁沈阳·阶段检测）函数的单调递增区间是______． 14．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）函数的单调递减区间为________ 15．（25-26高三上·天津河东·期末）已知函数则函数的单调增区间为______ 16．（25-26高三上·全国·期末）函数的单调递增区间为______________ 典例四：根据函数单调性解不等式 17．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 19．（25-26高二下·黑龙江大庆·阶段检测）已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递减，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 20．（2026高三·全国·专题练习）已知函数为R上的减函数，若，则______；若，则实数x的取值范围是______． 21．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，对任意且，都有，且，则不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 22．（25-26高二下·湖南长沙·期中）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，，并且，则不等式的解集为______． 典例五：利用函数单调性求最值 23．（25-26高三·全国·一轮复习）已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 24．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知函数，则函数的值域为____________． 25．（25-26高二·全国·暑假作业）在区间上，函数与在同一个点取得相同的最小值，那么在区间上的最大值为________，最小值为________． 26．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）函数的最大值为（    ） A． B． C． D． 27．（2026高三·全国·专题练习）函数在区间上的最大值为4，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 28．（25-26高三上·山东日照·阶段检测）已知函数，若在上既有最大值，也有最小值，则实数a的取值范围是______． 典例六：根据函数最值求参数 29．（25-26高三上·湖北·期末）已知函数有最小值，则的取值范围是__________. 30．（25-26高三上·安徽合肥·期末）设函数． (1)判断函数的单调性，并求不等式的解集； (2)若在上的最小值为11，求实数m的值． 31．（25-26高三上·山东临沂·阶段检测）若函数存在最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 32．（25-26高三上·四川绵阳·期末）（多选）已知函数，则下列说法正确的有（    ） A．存在，使得为偶函数 B．若是R上的减函数，则的取值范围是 C．若存在最大值，则的取值范围是 D．若存在最小值，则的取值范围是 典例七：函数不等式恒成立问题 33．（2026·山东济宁·三模）设函数是上的增函数，且关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 34．（25-26高三上·湖南·阶段检测）已知奇函数的定义域为. (1)求实数a，b的值； (2)当时，恒成立，求实数m的取值范围. 35．（25-26高三上·江西景德镇·期中）已知函数，若对于，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 36．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，，若对，，都有，则实数的取值范围是______． 典例八：函数不等式能成立(有解)问题 37．（2026·天津北辰·二模）若存在实数，对任意的都有恒成立，则实数n的取值范围是______. 38．（25-26高三上·广东湛江·期中）设为实数，已知是定义在上的奇函数. (1)求的值，并用定义证明函数在上的单调性； (2)若对任意都存在，使得成立，求实数的取值范围； 39．（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）已知函数．若在上有解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 40．（2026·四川成都·模拟预测）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围为__________． 41．（25-26高二下·四川乐山·期中）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围. 42．（25-26高三上·浙江杭州·期末）已知定义域为的函数是奇函数． (1)求b的值与函数的解析式； (2)判断函数在上的单调性（只要求写出单调性，不需要证明过程）； (3)若，使成立，求实数k的取值范围. 典例九：复合函数的最值 43．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．0 44．（25-26高三上·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)若，求的值域； (2)若时，的最小值为，求函数的解析式． 45．（25-26高三上·江西南昌·阶段检测）已知函数． (1)求的最小值，并求出当取得最小值时的值； (2)求的单调递减区间． 46．（25-26高三上·河南南阳·期中）已知函数 (1)当时，求函数的值域； (2)当]时，求函数的最小值； (3)若，存在实数，使f，求b的取值范围. 47．（25-26高三上·新疆和田·期末）已知函数. (1)若，求的取值范围. (2)求的单调区间. (3)当时，求的最值. 48．（25-26高三上·安徽六安·阶段检测）已知函数． (1)若，求的定义域； (2)若在上单调递增，求的取值范围； (3)设，若对任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $