精品解析：河南南阳市方城县第一高级中学2025-2026学年高二下学期6月期末冲刺（一）数学试题

2026年春期高二年级期末冲刺（一） 数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 3. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 4. 已知则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 6. 设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 当时，的最小值是 C. 当时，的最大值是 D. 若正数满足，则的最小值为 11. 已知定义域为的函数在上单调递增，且，图象关于点对称，则以下说法正确的有（ ） A. B. 的周期为4 C. 在上单调递减 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 13. 已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___． 14. 已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 16. 在等差数列中，已知公差，是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，记，求. 17. 已知函数在处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围. 18. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． （1）求，的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 19. 已知函数. （Ⅰ）当时，求的极值； （Ⅱ）设若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期高二年级期末冲刺（一） 数学学科 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为集合，，所以集合，， 所以. 2. 已知函数，若，则实数的值为（ ） A. 3 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解法一：根据导数的定义及极限的运算得，求解即可； 解法二：求出导函数，根据导数的定义及极限的运算得，求解即可. 【详解】解法一：函数， 则， 所以，解得． 解法二：，而， 所以，解得． 故选：A 3. 记为等比数列的前n项和.若，，则（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目条件可得，，成等比数列，从而求出，进一步求出答案. 【详解】∵为等比数列的前n项和，， ∴，，成等比数列 ∴， ∴， ∴. 故选：A. 4. 已知则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由指数函数和对数函数的单调性，通过中间量0和1即可比较大小. 【详解】函数在上单调递增，故， 在上单调递减，故， 在上单调递减，故， 故. 故选：C. 5. 已知函数（）的图象如图，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由的图象得到的单调性，从而得到的正负，即可得解. 【详解】由的图象可知，在和上单调递增，在上单调递减， 则当时，，时，， 时，，所以不等式的解集为. 故选：C. 6. 设集合，，函数，已知实数，且，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数解析式，函数的定义域、值域等知识求得正确答案. 【详解】依题意：， 由即，所以， 所以. 依题意. 又，所以. 故选：C 【点睛】对于含有多层函数符号的函数的取值范围问题，可从最里面的函数符号来进行求解，如本题中的，则可从来开始求解.求解函数值域的问题，可根据函数的定义域和解析式的结构，选择恰当的方法来进行求解. 7. 若关于的不等式的解集为，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式解集的性质求出，再由分式不等式的解法求出解集即可； 【详解】由题意可得，即， 所以即，等价于， 解得， 所以不等式的解集为， 故选：D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，求导分析，可得在上单调递减，不等式可等价转化为，根据单调性可得答案． 【详解】令， ， ， 在上单调递减， 又， ， 不等式可化为， ， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 数列的公差为3 B. 数列是递增数列 C. 数列中的最小项为 D. 成等差数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列的前项和公式，即可求出公差及前项和，从而可判断各选项. 【详解】设等差数列的首项为，公差为； 由可得，解得， 所以数列的公差为3，即A正确； 依题意可得， 所以，即B正确； 由，由二次函数性质以及可得，当时，，所以C错误； 由 ，所以成等差数列，故D正确. 故选：ABD 10. 下列命题中正确的是（ ） A. 的最小值是 B. 当时，的最小值是 C. 当时，的最大值是 D. 若正数满足，则的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本不等式，并结合其取等条件依次判断各个选项即可. 【详解】对于A，， ，即无解，取等条件不成立，A错误； 对于B，当时，，（当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，B正确； 对于C，当时，（当且仅当，即时取等号）， 的最大值为，C正确； 对于D，，，， （当且仅当，即时取等号）， 的最小值为，D正确. 故选：BCD. 11. 已知定义域为的函数在上单调递增，且，图象关于点对称，则以下说法正确的有（ ） A. B. 的周期为4 C. 在上单调递减 D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知确定函数的周期性，结合对称性得单调性，然后判断各选项. 【详解】在中，令，得；令，得． 因为函数的图象关于点对称，所以， 故，所以，即， 所以，所以的周期为4， 所以，所以，故A、B正确． 因为在上单调递增，且周期，所以在上单调递增， 又的图象关于点对称，所以在上单调递增． 因为，所以的图象关于直线对称，所以在上单调递减， 又因为的图象关于点对称，所以函数在上单调递减，故C正确． 根据的周期，得，，， 由A选项的分析知，，即，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. ______． 【答案】 【解析】 【详解】原式化为 . 13. 已知命题p：，，若命题p为假命题，则实数a的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知中“，”为假命题，可以得到否定命题:“，”为真命题，则问题可转化为一个函数恒成立问题，对二次项系数a分类讨论后，综合讨论结果，即可得到答案． 【详解】解：“，”为假命题， 其否定“，”为真命题， 当时，显然成立； 当时，恒成立可化为： 解得 综上实数a的取值范围是. 故答案为. 【点睛】本题考查的知识点是命题真假判断与应用，其中根据原命题与其否定命题之间真假性相反，写出原命题的否定命题，并将问题转化为一个函数恒成立问题是解答本题的关键． 14. 已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解； 若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数（其中a，b为常量，且，，）的图象经过点，． （1）求函数的解析式； （2）若不等式在区间上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用代入法得到关于的方程组，解之即可； （2）利用恒成立问题的解决方法，结合复合函数与指数函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 把，代入， 得，结合且，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知可化为， 故在上恒成立， 则在上的最小值不小于. 由指数函数的单调性可知函数在上为减函数， 所以当时，有最小值2，故， 故的取值范围为. 16. 在等差数列中，已知公差，是与的等比中项. （1）求数列的通项公式； （2）设，记，求. 【答案】（1）.（2）. 【解析】 【详解】试题分析：（1）由题意知， 解得，即得所求. （2）由题意知. 从而得到. 由于.因此应分n为偶数、n为奇数讨论求和 具体的，当n为偶数时， 当n为奇数时， . 试题解析：（1）由题意知， 即， 解得， 所以数列的通项公式为. （2）由题意知. 所以. 因为. 可得，当n为偶数时， 当n为奇数时， 所以. 考点：等差数列、等比数列，数列的求和，分类讨论思想. 17. 已知函数在处的切线方程为. （1）求的解析式； （2）若方程（m为常数）有两个根，求实数m的范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得函数的导数，根据切线方程为，得到切点坐标，列出方程组，求得的值，即可求得函数的解析式； （2）根据题意转化为与图象有两个交点问题，利用导数求得函数的单调性和最值，即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又因为已知函数在处的切线为，即切点为， 所以，解之得，， 所以函数的解析式为. 【小问2详解】 因为，所以， 令，解得， 当，，在为增函数， 且时，，时，， 当，，在为减函数， 且时，，当时，， 若方程（m为常数）有两个根，则. 故实数m的范围为. 18. 设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为，已知，，，． （1）求，的通项公式； （2）记，求数列的前项和． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意列方程组，解出和即可求得，从而得出和求得； （2）写出数列的通项公式，利用错位相减法求和. 【小问1详解】 由题意知，解得或（舍去）， 所以， 则，所以. 【小问2详解】 由（1）知． 因为， 所以， 两式相减得 ， 故． 19. 已知函数. （Ⅰ）当时，求的极值； （Ⅱ）设若对于任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围； （Ⅲ）当时，若在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（Ⅰ）当时，有极大值，且极大值=，当时，有极小值，且极小值=—2. （Ⅱ）.（Ⅲ） 【解析】 【详解】（I）当时，函数. 令得. 当变化时，的变化情况如表： 1 0 0 + 增 极大 减 极小 增 当时，有极大值，且极大值=，当时，有极小值，且极小值=—2. （Ⅱ）对任意恒成立 由，则，令，解得； 令，解得， 所以在上是减函数，在上是增函数，即最小值=. 因此问题转化为：对任意恒成立， 对求导： ， 若，当时，，不满足恒成立，舍去； 若，，令，解得；令，解得， 所以在上是增函数，在上是减函数， 即最大值，满足条件； ，恒成立，时，递增； 时，递减，故，即， 综上，的取值范围是 （Ⅲ）由题意知：在上恒成立. 令， ①当时，，所以恒成立， 所以在上单调递增，所以在上恒成立， 所以均符合要求. ②当时，在上单调递增， 满足且，故在上存在唯一零点， 当时，，所以在上单调递减， 从而，所以在上单调递减，从而当时， ，即，不合题意.综上，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $