精品解析：福建省福州市鼓楼区文博中学2025-2026学年七年级 下学期期中数学试卷

2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若点P的坐标为，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ） A. 4的算术平方根 B. 4的立方根 C. 8的算术平方根 D. 8的立方根 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 5. 如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：① ；② ；③ ；④ ．其中能判断的是（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ②③ D. ①③ 6. 下列说法正确的是（ ） A. 64的立方根是8 B. 的算术平方根是 C. 的算术平方根是3 D. 0.01的平方根是 7. 如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（ ） A. 1长 B. 2长 C. 3长 D. 一样长 8. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 在台球桌上有 四个球，通过观察，球与球之间的角度关系如图所示，已知直线与直线平行，则 的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 若点，点，点，点，且轴， 轴，那么到x轴距离一定为3的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若点在y轴上，则______． 12. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为______． 13. 已知：若 ≈1.910，≈6.042，则≈_____． 14. 如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为，则叶柄末端C点的坐标为______． 15. 若的整数部分是a，小数部分是b，则_______． 16. 已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②可能存在某个a值，使得x，y的值互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则．正确的序号为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程组： （1）； （2）． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为．若三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点的对应点分别是． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）若三角形内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为______； （3）求三角形的面积． 20. 有块长a米，宽b米的长方形空地，（其中，的立方根是3，的算术平方根是），沿着平行于长方形空地各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求小长方形花圃的长和宽． 21. 如图，点D，E分别为三角形的边上的点，点F，G分别在， ， ， ．求证： ． 22. 对于有理数x，y，定义新运算：，a、b是常数．已知． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 23. 北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2 辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请你设计出所有的租车方案． 24. 在平面直角坐标系中，点，，，且． （1）若，求点，点的坐标 （2）在（1）下，过点作平行轴，交于点，求点的坐标； （3） ，且，求的值． 25. 如图1，E点在上， ，． （1）求证：； （2）如图2，，平分 ，与 的平分线交于H点，若 比大，请直接写出 的度数． （3）保持（2）中所求的 的度数不变，如图3，平分平分 ，作，则 的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：（本大题共10小题，每小题4分，共40分．） 1. 下列实数为无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了无理数的定义，根据无理数是无限不循环小数求解即可． 【详解】解：A．∵ π是无理数，且3是有理数，∴ 是无理数（有理数除以非零有理数仍为有理数，但π是无理数，故是无理数）； B．是分数，属于有理数； C．，是整数，属于有理数； D．是有限小数，属于有理数． ∴ 无理数是A． 故选：A． 2. 若点P的坐标为，则点P在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵平面直角坐标系中各象限内点的坐标符号为：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限， 又∵点的坐标为，横坐标为负，纵坐标为正， 符合第二象限点的坐标特征， ∴点在第二象限． 3. 如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（ ） A. 4的算术平方根 B. 4的立方根 C. 8的算术平方根 D. 8的立方根 【答案】C 【解析】 【详解】解：由题意可知4的算术平方根是2，4的立方根是 <2, 8的算术平方根是， 2<<3，8的立方根是2， 故根据数轴可知, 故选C 4. 下列判断不正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】C 【解析】 【分析】注意不等式两边乘除同一个数时，该数的符号会影响不等号的方向，符号不确定时无法确定变形结果． 【详解】解：根据不等式的基本性质逐一判断： A选项，∵ ，不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴ ，A判断正确； B选项，∵ ，不等式两边同加，不等号方向不变， ∴ ，B判断正确； C选项，∵ ，当时可得 ，当 时可得，当 时 ， 故的符号不确定，无法推出 ，C判断不正确； D选项，∵ ， ∴ ， ∵ ，不等式两边同乘正数 ，不等号方向不变， ∴ ，D判断正确． 5. 如图，点E在的延长线上，对于给出的四个条件：① ；② ；③ ；④ ．其中能判断的是（ ） A. ①②③④ B. ①④ C. ②③ D. ①③ 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的判定定理逐一判断即可． 【详解】解：由 ，可以根据内错角相等，两直线平行得到，故①符合题意； 由 ， 可得 ，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 ，不能得到，故②不符合题意； 由 ，可以根据同位角相等，两直线平行得到 ，不能得到，故③不符合题意； 由 ，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到，故④符合题意； 故选B． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 64的立方根是8 B. 的算术平方根是 C. 的算术平方根是3 D. 0.01的平方根是 【答案】D 【解析】 【详解】解：选项A ， 的立方根是，A错误； 选项B 负数没有算术平方根， 不存在算术平方根，B错误； 选项C 先化简得 ， 的算术平方根是， 的算术平方根是，不是，C错误； 选项D ， 的平方根是 ，D正确． 7. 如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道（ ） A. 1长 B. 2长 C. 3长 D. 一样长 【答案】D 【解析】 【分析】2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到，根据平移的性质，作答即可 ． 【详解】解：由题意，2，3两个分水器可以看作1分水器向右，向上平移得到， 故三个散热片所用管道一样长 ． 8. 《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，一共重1斤（古代1斤两），雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两、y两，下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设每只雀重量为两，每只燕重量为两，根据五只雀、六只燕，一共重1斤可得第一个方程，根据互换其中一只，恰好一样重可得第二个方程，据此可得答案． 【详解】解：设每只雀重量为两，每只燕重量为两， ∵五只雀、六只燕一共重1斤，即16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一边剩余4只雀，得到1只燕，另一边剩余5只燕，得到1只雀，此时两边重量相等， ∴可得第二个方程， 因此所列方程组为． 9. 在台球桌上有 四个球，通过观察，球与球之间的角度关系如图所示，已知直线与直线平行，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线求角的度数，过点作，则，再利用平行线的性质得出、的度数，即可得解． 【详解】解：如图，过点作， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， 故选：D． 10. 若点，点，点，点，且轴， 轴，那么到x轴距离一定为3的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题利用平行于坐标轴的直线上点的坐标特征，结合点到x轴距离的定义求解，先推导出已知量，再判断选项即可． 【详解】解：∵ 轴，平行于x轴的直线上所有点的纵坐标相等， ∴ ， ∵ 轴，平行于y轴的直线上所有点的横坐标相等， ∴ ， ∵ 点到x轴的距离等于该点纵坐标的绝对值，要求距离为，即， 逐一判断选项： A选项坐标为，纵坐标为，不一定等于，不符合； B选项坐标为，纵坐标为 ，，不符合； C选项坐标为，纵坐标为，，符合要求； D选项坐标为，纵坐标为，不一定等于，不符合． 二、填空题：（本大题共6小题，每小题4分，共24分．） 11. 若点在y轴上，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据平面直角坐标系中y轴上点的坐标特征，可知y轴上的点的横坐标为， 点在轴上， ， ∴． 12. 已知是二元一次方程的一个解，则a的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的应用，根据题意得出关于a的方程，即可解题． 【详解】解：将， 代入， 得：， 解得：， 故答案为：2． 13. 已知：若 ≈1.910，≈6.042，则≈_____． 【答案】604.2 【解析】 【分析】根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 【详解】解：若≈1.910，≈6.042，则≈604.2， 故答案为604.2． 14. 如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为，则叶柄末端C点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据点A和点B的坐标可确定坐标轴和原点的位置，据此建立平面直角坐标系，再根据点C的位置即可得到答案． 【详解】解：根据题意可建立如下平面直角坐标系，则叶柄末端C点的坐标为． 15. 若的整数部分是a，小数部分是b，则_______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查了实数的加减运算，估算无理数大小的知识，解答本题的关键是求出、的值． 根据，可得出，，代入运算即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵的整数部分是，小数部分是， ∴，， ∴ ． 故答案为：16． 16. 已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②可能存在某个a值，使得x，y的值互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则．正确的序号为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用消元法解二元一次方程组，得到，再逐个判断每个结论的正误即可． 【详解】解： 得，解得， 把代入②得，解得， ∴原方程组的解为， ∴， 当时，， ∴当时，，故①正确； ∵， ∴， ∴不存在某个a值，使得x，y的值互为相反数，故②错误； ∵， ∴， 若x、y都为自然数，则当时，， 当时，， 当时，， 当 时，， ∴x，y都为自然数的解有4对，故③错误； ∵， ∴， ∴当时，， ∴，故④正确． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或． 18. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为； 【小问2详解】 解： 整理得， 得，解得， 把代入①得，解得， ∴原方程组的解为． 19. 如图，在平面直角坐标系中，三角形的三个顶点的坐标分别为．若三角形先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点的对应点分别是． （1）画出三角形，并写出点的坐标； （2）若三角形内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为______； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）画图见解析； （2） （3）15 【解析】 【分析】本题考查的是画平移图形，平移的性质，求解网格三角形的面积； （1）分别确定点的对应点，再顺次连接可得三角形，再根据的位置可得其坐标； （2）根据平移的性质可得点的坐标为：； （3）利用割补法求解三角形的面积即可. 【小问1详解】 解：如图，三角形即为所求； ∴. 【小问2详解】 解：三角形内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为：. 【小问3详解】 解：三角形的面积为. 20. 有块长a米，宽b米的长方形空地，（其中，的立方根是3，的算术平方根是），沿着平行于长方形空地各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求小长方形花圃的长和宽． 【答案】小长方形花圃的长和宽分别为4米，2米 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据立方根和算术平方根求原数，先根据算术平方根和立方根的定义得到，据此可得，设小长方形花圃的长和宽分别为x米，y米，根据图形之间的关系建立方程组求解即可． 【详解】解；∵的立方根是3，的算术平方根是， ∴， ∴， 设小长方形花圃的长和宽分别为x米，y米， 由题意得，， 解得， 答：小长方形花圃的长和宽分别为4米，2米． 21. 如图，点D，E分别为三角形的边上的点，点F，G分别在， ， ， ．求证： ． 【答案】证明： ， ， ， ， ， ， ， 又 ， ， ， ． 【解析】 【分析】先由 证得 ，进而得到 ，再结合 证得 ，最后利用 及平行线的性质得出 ． 【详解】略 22. 对于有理数x，y，定义新运算：，a、b是常数．已知． （1）求a，b的值； （2）若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据新定义可得方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据（1）所求可得，解方程组可得，再由得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵，且， ∴ 得，解得， 把代入①得，解得 ， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴ 得，解得 ， 把 代入①得，解得， ∴原方程组的解为， ∵关于x，y的方程组的解也满足方程， ∴， 解得． 23. 北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2 辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人． （1）每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？ （2）若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请你设计出所有的租车方案． 【答案】（1）每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生 （2）租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆 【解析】 【分析】（1）设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）①根据“一次运送400名学生，且恰好每辆车都坐满”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出各租车方案； 【小问1详解】 设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生． 根据题意，得：． 解得：． 答：每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生． 【小问2详解】 根据题意，得． ∴． ∵a，b为正整数，两种客车均租用且恰好每辆车都坐满 ∴或． 答：租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 24. 在平面直角坐标系中，点，，，且． （1）若，求点，点的坐标 （2）在（1）下，过点作平行轴，交于点，求点的坐标； （3） ，且，求的值． 【答案】（1），； （2） ； （3） 【解析】 【分析】（1）利用乘方和二次根式的性质，求出，即可； （2）求出直线的解析式，即可求解； （3）过点作轴，根据 列出方程，联立，求解即可． 【小问1详解】 解：由题意可得：， 解得， 所以，， 【小问2详解】 设直线的解析式为 将，代入得， 解得 即直线的解析式为 由题意可得：点的横坐标为，则纵坐标为 即 【小问3详解】 过点作轴，如图 则：， ，， 联立得，，解得 故答案为： 【点睛】此题考查了一次函数的图象与性质，涉及了二次根式的非负性，三角形面积的求解，待定系数法求解析式，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质． 25. 如图1，E点在上， ，． （1）求证：； （2）如图2，，平分 ，与 的平分线交于H点，若 比大，请直接写出 的度数． （3）保持（2）中所求的 的度数不变，如图3，平分平分 ，作，则 的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 的度数不变，理由见解析 【解析】 【分析】（1）先根据同角的补角相等得再根据“内错角相等，两直线平行”得，然后根据平行线的性质说明，最后根据“同旁内角互补，两直线平行”得出答案； （2）作，根据平行线的性质得,再结合角平分线的定义和平行线的性质说明，然后推导出，接下来设，再结合题意可得最后联立求出答案即可； （3）作设直线和直线相交于点G，先根据角平分线的定义得，再根据平行线的性质得，然后由（2）可知，即可得出，接下来根据平行线的性质得，最后根据得出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴ ∴， ∴． ∵ ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：作， ∵， ∴， ∴, ∴平分 ， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平分 ， ∴， ∴， ∴． 设． ∵ 比大， ∴ ∴， 解得， 所以 的度数是 ； 【小问3详解】 解： 的度数不变，理由如下： 如图，过点E作设直线和直线相交于点G， ∵平分， 平分 ， ∴． ∵， ∴， ∴． 由（2）可知， ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $