福建福州市鼓楼区文博中学2025-2026学年七年级（下）期中数学试卷

**基本信息** 2025-2026学年福州鼓楼区文博中学七年级下期中数学试卷，以实数、坐标、平行线、方程组为核心，通过地暖管道平移、《九章算术》方程问题等真实情境，融合数学抽象、推理与模型意识，实现基础巩固与能力提升的梯度考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|无理数判断、坐标象限、平行线判定|数轴表示数结合图形直观，考查几何直观| |填空题|6/24|坐标特征、二元一次方程解、算术平方根|桑叶标本坐标确定，体现空间观念| |计算题|2/16|实数运算、方程组求解|基础运算与方法应用结合| |解答题|7/70|平移变换、几何证明、实际应用（租车方案）|冬奥会志愿租车方案考查模型意识，几何综合题（25题）融合推理与创新|

2025-2026学年福建省福州市鼓楼区文博中学七年级（下）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列实数为无理数的是(    ) A. B. C. D. 2.若点P的坐标为，则点P在(    ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是(    ) A. 4的算术平方根 B. 4的立方根 C. 8的算术平方根 D. 8的立方根 4.下列判断不正确的是(    ) A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5.如图，点E在BC的延长线上，对于给出的四个条件：①；②；③；④其中能判断的是(    ) A. ①②③④ B. ①④ C. ②③ D. ①③ 6.下列说法正确的是(    ) A. 64的立方根是8 B. 的算术平方根是 C. 的算术平方根是3 D. 的平方根是 7.如图，小明家的三个地暖散热片分别接入1，2，3三个分水器，分水器与散热片之间用管道相连，竖直管道之间的距离相等，且相邻管道对应平行排列，则三个散热片所用管道(    ) A. 1长 B. 2长 C. 3长 D. 一样长 8.《九章算术》中的方程问题：“五只雀、六只燕，共重1斤等于16两，雀重燕轻．互换其中一只，恰好一样重，问：每只雀、燕的重量各为多少？”设每只雀、燕的重量各为x两，y两，列方程组为(    ) A. B. C. D. 9.在台球桌上有A、B、C、D四个球，通过观察，球与球之间的角度关系如图所示，已知直线a与直线b平行，则的度数是(    ) A. B. C. D. 10.若点，点且轴，点，点且轴，则到x轴距离为3的点的坐标为(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.若点在y轴上，则        . 12.已知是二元一次方程的一个解，则a的值为      . 13.已知：若，，则______. 14.如图是一片桑叶标本，完整叶片呈宽卵形，顶端微尖，边缘有锯齿.将其放在平面直角坐标系中，若表示叶片顶端A、边缘B两点的坐标分别为、，则叶柄末端C点的坐标为        . 15.若的整数部分是a，小数部分是b，则        . 16.已知关于x，y的方程组，给出下列结论：①当时，方程组的解也是的解；②可能存在某个a值，使得x，y的值互为相反数；③x，y都为自然数的解有3对；④若，则正确的序号为        . 三、计算题：本大题共2小题，共16分。 17.计算： ； 18.解方程组： ； 四、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 19.本小题8分 如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC的三个顶点的坐标分别为，，若三角形ABC先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度得到三角形，点A，B，C的对应点分别是，， 画出三角形，并写出点的坐标； 若三角形ABC内有一点经过以上平移后的对应点为，则点的坐标为 ______； 求三角形ABC的面积. 20.本小题8分 有块长a米，宽b米的长方形空地，其中，的立方根是3，的算术平方根是，沿着平行于长方形空地各边的方向分割出三个完全一样的小长方形花圃，其示意图如图所示，求小长方形花圃的长和宽. 21.本小题8分 如图，点D，E分别为三角形ABC的边AB，AC上的点，点F，G分别在BC，AB上，，，求证： 22.本小题10分 对于有理数x，y，定义新运算：，，其中a，b是常数.已知， 求a，b的值； 若关于x，y的方程组的解也满足方程，求m的值. 23.本小题10分 北京冬奥会期间，大批的志愿者秉承“奉献、友爱、互助、进步”的志愿精神参与服务工作．某高校组织400名学生参加志愿活动，已知用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人；用4辆小客车和1辆大客车每次可运送学生125人． 每辆小客车和每辆大客车各能运送多少名学生？ 若学校计划租用小客车a辆，大客车b辆，若两种客车均租用且恰好每辆车都坐满，一次运送完，请你设计出所有的租车方案． 24.本小题12分 在平面直角坐标系中，点，，且 若，求点A，点B的坐标． 如图1，在的条件下，过点B作BD平行y轴交AC于点D，求点D的坐标． 若，且，求b的值． 25.本小题14分 如图1，E点在BC上，， 求证：； 如图2，，BG平分，与的平分线交于H点，若比大，求的度数． 保持中所求的的度数不变，如图3，BM平分，DN平分，作，则的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 答案和解析 1.【答案】A  【解析】解：是无限不循环小数，它是无理数； 是分数，是整数，是有限小数，它们不是无理数； 故选： 无理数即无限不循环小数，据此即可求得答案． 本题考查无理数的识别，熟练掌握其定义是解题的关键． 2.【答案】B  【解析】解：平面直角坐标系象限划分：第一象限：， 第二象限：， 第三象限：， 第四象限：， 点，横坐标为负，纵坐标为正，符合第二象限特征， 故选： 根据平面直角坐标系各象限的点坐标的特征判断即可． 本题考查了点的坐标，熟练掌握该知识点是关键． 3.【答案】C  【解析】解：根据数轴可知点A的位置在2和3之间，且靠近3， 而，，，， 只有8的算术平方根符合题意． 故选 先根据数轴判断A的范围，再根据下列选项分别求得其具体值，选取最符合题意的值即可． 此题主要考查了利用数轴确定无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法． 4.【答案】C  【解析】解：若，则，故选项A正确； B.若，则，故选项B正确； C.若，当时，则；当时，则；当时，则，故选项C不正确； D.若，由，得， ，故选项D正确． 故选： 根据不等式的性质对各选项进行判断即可． 本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 5.【答案】B  【解析】解：由题知， 因为， 所以； 因为，， 所以， 所以； 因为， 所以； 因为， 所以， 所以①④符合题意． 故选： 根据平行线的判定定理，对所给条件依次进行判断即可． 本题主要考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解题的关键． 6.【答案】D  【解析】解：根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐项分析判断如下： A、64的立方根是因为，而非8，故本选项错误，不符合题意； B、算术平方根仅针对非负数，是负数，无算术平方根，故本选项错误，不符合题意； C、，3的平方根是，故本选项错误，不符合题意； D、的平方根是因为，故本选项正确，符合题意； 故选： 根据平方根、算术平方根、立方根的定义逐一分析各选项即可． 本题考查平方根、算术平方根、立方根的定义，准确掌握以上知识点是解题的关键． 7.【答案】D  【解析】解：由图形可知，三个分水器可以看作一个分水器平移得到， 故三个散热片所用管道一样长． 故选： 根据平移的性质，作答即可． 本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键． 8.【答案】C  【解析】解：由题意可得， ， 故选： 根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题． 本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 9.【答案】D  【解析】解：如图，过点C作， ， ， ，， ， 故选： 过点C作，则，再利用平行线的性质得出、的度数，即可得解． 本题考查了利用平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 10.【答案】C  【解析】解：点，点且轴，  ，  点，点且轴，  ，  点的纵坐标，到x轴的距离等于3，  故选： 利用平行于坐标轴的直线上的点的特点求得b和d的值，然后利用点的坐标到坐标轴上的点的特点确定正确的选项即可． 考查了坐标与图形的性质，解题的关键是确定题目中有关未知数的值，难度不大． 11.【答案】  【解析】解：点在y轴上， ， 解得：， 故答案为： 根据y轴上的点横坐标为0可得，然后进行计算即可解答． 本题考查了点的坐标，熟练掌握y轴上的点横坐标为0是解题的关键． 12.【答案】2  【解析】解：把代入方程中，可得：， 解得：， 故答案为： 把代入方程得出关于a的方程，求出即可． 本题考查了二元一次方程的解和解一元一次方程的应用，关键是能根据题意得出关于a的方程． 13.【答案】  【解析】解：若，，则， 故答案为： 根据被开方数扩大100倍，算术平方根扩大10倍，可得答案． 本题考查了算术平方根，利用被开方数与算术平方根的关系是解题关键． 14.【答案】  【解析】解：由题意可得：坐标轴如图所示位置： 故答案为： 根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，点C的坐标可得． 本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键． 15.【答案】16  【解析】解：，的整数部分是a，小数部分是b， ，， 故答案为： 根据，可得出，，代入运算即可． 本题考查了实数的加减运算，估算无理数大小的知识，解答本题的关键是求出a、b的值． 16.【答案】①④．  【解析】解：①将代入原方程组，得 解得， 将，，代入方程的左右两边， 左边，右边， 当时，方程组的解也是的解，①正确； ②解原方程组，得 ， 无论a取何值，x，y的值不可能是互为相反数，②错误； ③ 、y为自然数的解有，，，， 故③错误； ④，， 解得，④正确． 故答案为：①④． ①根据消元法解二元一次方程组，然后将解代入方程即可求解； ②根据消元法解二元一次方程组，用含有字母的式子表示x、y，再根据互为相反数的两个数相加为0即可求解； ③根据试值法求二元一次方程的自然数解即可得结论； ④根据整体代入的方法即可求解． 本题考查了消元法解二元一次方程组，确定二元一次方程的自然数解，解题关键是用含字母的式子表示方程组的解． 17.【答案】  或  【解析】解： ； ， ， ， ， 或 先化简各式，然后再进行计算即可解答； 利用平方根的意义进行计算，即可解答． 本题考查了实数的运算，平方根，准确熟练地进行计算是解题的关键． 18.【答案】解：， ①，得③， ②+③，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为； 把原方程组变形为：， ①+②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， 方程组的解为：   【解析】利用加减消元法解方程组即可； 把原方程组变形为：，然后再利用加减消元法解方程即可． 本题考查了解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 19.【答案】解：如图，三角形即为所求．    由图可得，    三角形ABC的面积为  【解析】解：见答案．  由题意得，的坐标为，  故答案为：  见答案 根据平移的性质作图，即可得出答案．  根据平移的性质可得答案．  利用割补法求三角形的面积即可． 本题考查作图-平移变换、三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解答本题的关键． 20.【答案】小长方形花圃的长和宽分别为4米，2米．  【解析】解：由条件可知，  ，，  设小长方形花圃的长和宽分别为x米，y米，  由题意得，  解得，  答：小长方形花圃的长和宽分别为4米，2米． 先根据算术平方根和立方根的定义得到，据此可得，，设小长方形花圃的长和宽分别为x米，y米，根据图形之间的关系建立方程组求解即可． 本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，根据立方根和算术平方根求原数，熟练掌握以上知识点是关键． 21.【答案】证明：， ， ， ， ， ， ，   【解析】根据平行线的判定与性质即可得到结论． 本题考查了平行线的性质与判定及垂直的定义，掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 22.【答案】解：由定义新运算：，， 可得， 解得：； 由定义新运算：，， 可得， 解得：， 由条件可知， ， 解得：   【解析】根据定义新运算得出关于a、b的二元一次方程组，再解方程组即可； 根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 本题考查了二元一次方程组的解，新定义问题，理解新定义的运算规则是解题的关键． 23.【答案】解：设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生． 根据题意得：， 解得： 答：每辆小客车能运送20名学生，每辆大客车能运送45名学生； 根据题意得： ，b为正整数， 或 答：租车方案为：小客车11辆，大客车4辆或小客车2辆，大客车8辆．  【解析】设每辆小客车能运送x名学生，每辆大客车能运送y名学生，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果； 根据题意列出二元一次方程，找出整数解即可． 此题考查了二元一次方程组的应用，以及二元一次方程的应用，弄清题意是解本题的关键． 24.【答案】解：， ，且， ，， 点，； 根据题意，点D的横坐标， 可知点D为AC中点， 点，， 点D的坐标为 分两种情况： ①点B在第一象限时，过B作轴，如下图1所示： 则轴，四边形OCBE是直角梯形， 直角梯形OCBE的面积的面积的面积， ， 整理得：， ， ； ②点B在第四象限时，过B作轴，过C作，交直线BE于F，如下图2所示： 则轴，四边形ACFE是直角梯形， 直角梯形ACFE的面积的面积的面积， ， 整理得：， ， ； 综上所述，若，且，b的值为3或  【解析】本题考查了三角形的面积、偶次方和算术平方根的非负性质、坐标与图形性质、梯形面积公式、方程组的解法以及分类讨论等知识；本题综合性强，有一定难度． 由偶次方和算术平方根的非负性质得出，，得出，，即可得出答案； 根据题意可知点D为AC中点，即可得出点D的坐标． 分两种情况讨论，由直角梯形的面积减去两个直角三角形的面积得出方程，即可得出答案． 25.【答案】证明：如图1，延长DE交AB于点F，    ，，  ，  ，  ，  ，  ，  ；  如图2，作，，    ，  ，  ，，  平分，  ，  ，  ，  ，  ，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  设，  ，  比大，  ，    解得  的度数为；  的度数不变，理由如下：  如图3，过点E作，设直线DF和直线BP相交于点G，    平分，DN平分，  ，  ，  ，，  ，  ，  ，  ，  由可知：，  ，  ，  ，  ，  ，            【解析】如图1，延长DE交AB于点F，根据，，可得，所以，可得，又，进而可得结论；  如图2，作，，根据，可得，根据平行线的性质得角之间的关系，再根据比大，列出等式即可求的度数；  如图3，过点E作，设直线DF和直线BP相交于点G，根据平行线的性质和角平分线定义可求的度数． 本题考查了平行线的判定与性质，解决本题的关键是掌握平行线的判定与性质． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $