精品解析：辽宁省锦州市第八初级中学2025-2026学年九年级下学期 中考考前模拟数学试题

锦州市第八中学2025-2026学年度第二学期 九年级适应性测试数学试卷 考试时间共120分钟试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”．如果气温为“零上”记作“”，那么气温“”可表示为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 上升 D. 下降 【答案】B 【解析】 【分析】根据：正负数可以表示一对相反意义的量．已知零上记为正，即可得出答案． 【详解】解：∵“零上”记作“”， ∴“”可表示为零下． 2. 复旦大学成功研制全球首款基于二维半导体材料的32位架构微处理器“无极”，使我国在新一代芯片材料研制中占据先发优势，该芯片在仅有纳米（1纳米米）厚度的二维半导体材料上，通过原子层精准刻蚀技术，实现了5900个晶体管的高密度集成．将数据纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法，将数据纳米用科学记数法表示，需将其转化为米的形式，其中，为负整数，据此进行作答即可． 【详解】解：∵1纳米米． ∴纳米米米， 即将数据纳米用科学记数法表示为米， 故选：B 3. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据俯视图是从上边看到的图形求解即可． 【详解】解：从上面看这个几何体，看到的图形为：． 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、合并同类项，同类项系数相加，字母和指数不变，，运算正确，不符合题意； B、幂的乘方，底数不变，指数相乘，，运算正确，不符合题意； C、同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，运算正确，不符合题意； D、同底数幂相除，底数不变，指数相减，，运算错误，符合题意． 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查真假命题的判断，解决本题的关键是正确辨析命题的条件与结论． 根据平行线的性质、垂线段最短、垂线的性质等逐项分析即可． 【详解】解：A选项，相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角相等但不是对顶角，故A是假命题； B选项，连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故B是真命题； C选项，两条直线被第三条直线所截，内错角相等的前提是两直线平行，故C是假命题； D选项，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，没有强调“在同一平面内”，故D是假命题． 故选：B． 6. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据频率与总球数的关系列出方程求解即可． 【详解】解：设盒子中红球有个 ∵ 口袋中总球数为，大量试验后摸到红球的频率稳定为，即摸到红球的概率为 ∴ 列方程得 得， 解得： 经检验，是原方程的解，符合题意， 因此估计盒子中大约有红球2个． 7. 如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，先根据垂直的定义得到，再根据平行线的性质即可得解．熟记性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ，， ， ， ， 故选：B． 8. 如图，菱形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，点关于原点对称的特点．根据菱形的性质，可得点A和点C关于原点对称，即可求解． 【详解】解：∵菱形的对角线交点在原点， ∴点A和点C关于原点对称， ∵， ∴点C的坐标是． 故选：B 9. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 10. 如图，已知中，，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先由平行四边形的性质得到，，，然后结合角平分线的定义得到，进而得到，同理可得，，求出，然后证明出，利用相似三角形的性质求解． 【详解】解：∵中，，， ∴，， ∴ 由作图得，平分，平分 ∴， ∴ ∴ 同理可得， ∴ ∵ ∴ ∴． 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个关于x的一元二次方程；并且方程有两个相等的实数根．则这个一元二次方程可以是_____________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的特点，根据方程有两个相等的实数根写出符合题意得方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴符合题意的一元二次方程可以是，即 故答案为：（答案不唯一）． 12. 若点在轴上，则的值为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴． 13. 某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据工作效率的关系表示出原计划每天生产零件个数，再根据工作时间=工作总量÷工作效率，分别得到原计划与实际完成任务所需时间，最后利用“实际比原计划提前5天完成”的等量关系列方程． 【详解】解：设实际每天生产零件个，则原计划每天生产零件个，原计划完成所需时间为天，实际完成所需时间为天，根据实际提前5天完成任务，列方程得． 14. 圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为_____cm2． 【答案】． 【解析】 【详解】试题分析：因为圆内接正六边形的两条半径与正六边形边长组成等边三角形，由边心距可求得正六边形的边长是，把正六边形分成6个这样的三角形，则这个正六边形的面积为4×÷2×6=． 考点：圆内接正多边形面积计算． 15. 如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点作于点，设，根据折叠的性质得，，，，，推出，根据含的直角三角形的性质及勾股定理得，，，，，，最后在中，根据建立关于方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点，设， ∵将沿折叠得，沿折叠得，， ∴，， ∴，，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， 在中，， ∴， 解得：， 即． 三、解答题（本大题共8个题，共75分） 16. 计算及解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）1 （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， 解得，． 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 【答案】（1）该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为 （2）最多可购买电脑8台. 【解析】 【分析】（1）设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x，根据题意，三月份投入图书购置经费为元，即可列方程求解； （2）设购买电脑y台，则购买实物投影仪台，当月图书购置经费的为元，再根据题意列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为x， 根据题意，得， 解得，（不合题意，舍去）， 答：该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设购买电脑y台，则购买实物投影仪台， 根据题意，得， 解得， 答：最多可购买电脑8台． 18. 学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为分，评分均为整数）．规定：评分大于等于分为“通过面试”，评分大于等于分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表． ．甲、乙得分折线统计图 ．甲、乙得分统计如下表： 平均数分 中位数分 方差 通过率 优先录取率 甲 （） 乙 根据以上信息，回答下列问题。 （1）填空：______，______，______． （2）根据折线统计图判断，______（填“”“”或“”），通过计算得出______． （3）甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由． 【答案】（1），，； （2），； （3） 第一条：乙得分的方差为，低于甲得分的方差，因此评委对乙的评分更稳定，乙的表现更优； 第二条：乙得分的通过率为，高于甲得分的通过率，因此乙的表现更优． 【解析】 【分析】（）根据中位数，平均数定义即可求出，的值，然后利用即可求出的值； （）根据折线统计图判断甲乙的方差大小，然后通过方差的计算公式即可求出乙的方差； （）通过得分的方差和通过率即可求解． 【小问1详解】 解：甲位评委的得分按从小到大排序为：，共个数据，中位数为第个数的平均数， ∴， 乙位评委的得分依次为：， ∴平均分， ∵乙得分中大于等于分的只有个， ∴优先录取率， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：根据折线统计图判断，， ∵乙的平均分为分， ∴ ， 故答案为：，； 【小问3详解】 略 19. 如图，在中，，，点为线段上一点（点除外），过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请求出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值精确到个位） 【答案】（1），； （2）见解析；当时的取值范围为． 【解析】 【分析】（）由，得，则，的周长与的周长之比为，然后代入即可求解； （）先画出函数图象，再根据图象即可求出时的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴，的周长与的周长之比为， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 解：列表， 描点： 连线，如图， 由函数图象可知，当时的取值范围为． 20. 综合与实践 在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线，如图1，以小宇在地面上所站的位置为点，地面为轴，过点且与地面垂直的直线为轴建立平面直角坐标系．已知弹力球从点位置弹出，运动到距点的水平距离为的位置时达到最高点，此时弹力球距地面的竖直高度为．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） （1）求弹力球运动时，该抛物线的函数表达式． （2）保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点正上方的点处弹出，落地点为，求弹射点与落地点的水平距离的长． （3）如图2，在（2）的基础上，若在距原点的位置有一个长为，高为的长方体障碍物，若要使弹力球能越过障碍物（不能碰到障碍物），求障碍物高度的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得到顶点坐标，设抛物线顶点式，根据待定系数法求解即可； （2）由题意得到平移后的表达式，令，解一元二次方程求解即可； （3）由（2）中得到的表达式，令求出值，根据题意即可确定范围． 【小问1详解】 解：由题意知该抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意得抛物线向上平移个单位长度， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， 解得，（负值，舍去）， ∴弹射点与落地点的水平距离的长为； 【小问3详解】 解：由（2）知，抛物线的函数表达式为， 当时，， ∵弹力球要越过障碍物， ∴， 答：障碍物高度的取值范围为． 21. 如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 【答案】（1）证明：连接OF， ， ， ， 是的半径，是的切线， ∴， ∴ ， ， ∴， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用等腰三角形的性质可得，由切线的性质得，继而得到，即可解答； （2）连接，根据已知可得，，从而在中，利用勾股定理求出，然后利用直径所对的圆周角是直角可得，从而可证，进而利用相似三角形的性质可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ， ， 是的中点， ， ， 在中，， ， 是的直径， ， ， ∵， ， ， ， ． 22. 平面直角坐标系中，抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，其顶点为A，，相交于点B，过点A作轴于点C，连接交于点D． （1）点A的坐标是________； （2）如图，求面积与面积的比值； （3）在y轴上有两点，，过点E作x轴的平行线交直线于点F，以，为邻边作矩形，直线分别交抛物线，于点P，Q．若抛物线C在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线，在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而减小，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数图象平移的性质直接求解即可； （2）先求出直线解析式为，求出点，过点作交于点，得出，证明，得出即可； （3）当点恰好落在抛物线上时，满足抛物线在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值随的增大而增大，再向上移动时，即可满足题意；直至当点恰好与异于A点的点重合时，满足题意，因此计算两个端点时对应的长度即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，其顶点为， ∴新的抛物线，顶点为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，设直线解析式为， 图象经过点， ， 解得：， 直线解析式为， ， 令， 解得：， ， ， 过点作交于点， ， ， ， ， ， ， 设边上的高为， ． 【小问3详解】 解：①如图所示，当点恰好落在抛物线上时，满足抛物线在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值随的增大而增大， ∵，， ∴点的纵坐标为，代入直线的解析式， 解得点的纵坐标为，即：， ∵，轴， ∴， 将代入， 解得：或， ∵此时点在点A左侧，点右侧， ∴， ∴， 此时，直线分别交抛物线，于点，，则的坐标即为， 将代入，得：，即：的坐标即为， ∴此时； ②如图所示，当点恰好和A点重合时， 即：此时点的坐标为，也即点的坐标为， 将代入，得：，即：的坐标即为， ∴此时； ③如图所示，当点为直线与抛物线的另一交点时，满足题意； 联立， 解得：或， ∴此时点的坐标为，也即点的坐标为， 将代入，得：， 即：的坐标即为， ∴此时； 综上，的取值范围为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，理解二次函数的基本性质，以及平移法则，掌握矩形相关性质是解题关键． 23. 已知 ，点D，E分别在边上． （1）如图1，当 ， 时，连接，过点E作的垂线交于点F，垂足为G，若 且． ①求证：； ②判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，连接，当 ，平分时，若 ， ，，求的长． 【答案】（1）①证明：， ， ，． ， ． ． 又， ． ， ． ． ②． 理由：连接， ， ， ． ， ． ∴， ， ， ． ． ． 由（1）知 ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）①先根据互余关系得到，再由证明，即可求证； ②连接，先证明，则，再由可得，即可证明； （2）作 于H，设，导角证明，则设，则，，然后在中，运用勾股定理求解，再由勾股定理求解即可． 【小问1详解】 ①略；②略 【小问2详解】 解：作 于H， 平分 ， ， ， 设， 则，，， ， ∵，， ， ∴设， ，， ， ， ， 中，有， 即， ． ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 锦州市第八中学2025-2026学年度第二学期 九年级适应性测试数学试卷 考试时间共120分钟试卷满分120分 ※考生注意：请在答题卡各题目规定的区域内作答，答在本试卷上无效． 一、选择题（本题包括10道小题，每题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，每小题只有一个最符合题目要求的选项．） 1. 《九章算术》中注有“今两算得失相反，要令正负以名之”，意思是“今有两数若其意义相反，则分别叫做正数和负数”．如果气温为“零上”记作“”，那么气温“”可表示为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 上升 D. 下降 2. 复旦大学成功研制全球首款基于二维半导体材料的32位架构微处理器“无极”，使我国在新一代芯片材料研制中占据先发优势，该芯片在仅有纳米（1纳米米）厚度的二维半导体材料上，通过原子层精准刻蚀技术，实现了5900个晶体管的高密度集成．将数据纳米用科学记数法表示为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图为一个乐高积木示意图，这个几何体的俯视图为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题是真命题的是（ ） A. 相等的角是对顶角 B. 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 C. 两条直线被第三条直线所截，内错角相等 D. 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 6. 在一个不透明的口袋中，装有若干个红球，3个蓝球，5个黄球，除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球实验发现，摸到红球的频率是0.2，则估计盒子中大约有红球（ ）个． A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 如图，在一个建筑工地有两根平行的钢梁和，它们分别固定在建筑物的不同位置，用于支撑结构．工人师傅需要在钢梁上安装两根互相垂直的支架，，以确保钢梁的稳定性和安全性．经测量发现，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的对角线交点在原点．若，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 9. 如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，已知中，，，小明用尺规作图画了和交于点，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题包括5道小题，每题3分，共15分） 11. 请写出一个关于x的一元二次方程；并且方程有两个相等的实数根．则这个一元二次方程可以是_____________________． 12. 若点在轴上，则的值为______． 13. 某工厂计划生产个零件，而在实际生产时，每天比原计划多生产个，结果提前5天完成，设实际每天生产零件个，可得方程：___________． 14. 圆内接正六边形的边心距为2，则这个正六边形的面积为_____cm2． 15. 如图，在中，，，，分别是，边上一点，将沿折叠得，沿折叠得，若，则_____． 三、解答题（本大题共8个题，共75分） 16. 计算及解方程： （1）计算：； （2）解方程：． 17. 习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定加大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元． （1）求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率． （2）如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？ 18. 学校辩论社团招新，对甲、乙两个面试者从“逻辑表达”“临场反应”“团队适配”三个维度综合评分（满分为分，评分均为整数）．规定：评分大于等于分为“通过面试”，评分大于等于分为“优先录取”．统计评分后得到如下统计图表． ．甲、乙得分折线统计图 ．甲、乙得分统计如下表： 平均数分 中位数分 方差 通过率 优先录取率 甲 （） 乙 根据以上信息，回答下列问题。 （1）填空：______，______，______． （2）根据折线统计图判断，______（填“”“”或“”），通过计算得出______． （3）甲认为自己的平均分、优先录取率更高，因此表现更优，但乙不认同．请写出两条支持乙观点的理由． 19. 如图，在中，，，点为线段上一点（点除外），过点作交于点．设的长度为，点，的距离为，的周长与的周长之比为． （1）请求出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；并结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值精确到个位） 20. 综合与实践 在一次趣味实验中，小宇将弹力球从弹球筐内弹出，其运动轨迹可抽象成抛物线，如图1，以小宇在地面上所站的位置为点，地面为轴，过点且与地面垂直的直线为轴建立平面直角坐标系．已知弹力球从点位置弹出，运动到距点的水平距离为的位置时达到最高点，此时弹力球距地面的竖直高度为．（本次实验只研究弹力球在第一次落地前的运动过程） （1）求弹力球运动时，该抛物线的函数表达式． （2）保持弹力球的运动轨迹形状不变，若弹力球从点正上方的点处弹出，落地点为，求弹射点与落地点的水平距离的长． （3）如图2，在（2）的基础上，若在距原点的位置有一个长为，高为的长方体障碍物，若要使弹力球能越过障碍物（不能碰到障碍物），求障碍物高度的取值范围． 21. 如图，是的直径；点D在直径上（D与不重合）；且；连接；与交于点F；在上取一点E；使与相切． （1）求证：； （2）若D是的中点，，求的长． 22. 平面直角坐标系中，抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到新的抛物线，其顶点为A，，相交于点B，过点A作轴于点C，连接交于点D． （1）点A的坐标是________； （2）如图，求面积与面积的比值； （3）在y轴上有两点，，过点E作x轴的平行线交直线于点F，以，为邻边作矩形，直线分别交抛物线，于点P，Q．若抛物线C在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而增大，且抛物线，在矩形内部（不含边界）的部分对应的函数值y随x的增大而减小，求的取值范围． 23. 已知 ，点D，E分别在边上． （1）如图1，当 ， 时，连接，过点E作的垂线交于点F，垂足为G，若 且． ①求证：； ②判断与的数量关系，并说明理由； （2）如图2，连接，当 ，平分时，若 ， ，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $