浙江湖州市2025-2026学年高一下学期数学期末自编阶段练习（一）

**基本信息** 以人教A版必修内容为核心，融合2022-2026年高考真题及模拟题，通过帆船风速向量、基建零件几何等真实情境，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|集合、向量、统计、三角|第5题结合帆船视风风速，考查向量加法实际应用| |多选题|3题18分|概率、函数性质、三角|第10题以太极图定义“太极函数”，渗透数学对称美| |填空题|3题15分|圆锥、向量、不等式|第14题正实数条件下求最值，考查不等式应用| |解答题|5题77分|统计直方图、解三角形、立体几何、函数性质、数学文化|第19题引用《九章算术》鳖臑模型，融合线面垂直与面积最值，体现文化传承与逻辑推理|

浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末阶段练习（参考答案及详解详细） 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 评分标准：(不选，多选，错选均不得分） 1．D 【难度】0.85 【知识点】复数代数形式的乘法运算 【分析】利用复数的乘法可求. 【详解】，故选：D. 2．D 【难度】0.85 【知识点】交集的概念及运算 【分析】求出集合后可求. 【详解】，故，故选：D 3．B 【难度】0.85 【知识点】余弦定理解三角形、用基底表示向量、数量积的运算律、数量积的坐标表示 【分析】【方法一】以为基底向量表示，再结合数量积的运算律运算求解；【方法二】建系，利用平面向量的坐标运算求解；【方法三】利用余弦定理求，进而根据数量积的定义运算求解. 【详解】【方法一】以为基底向量，可知， 所以； 【方法二】如图，以为坐标原点建立平面直角坐标系， 则，可得，； 【方法三】由题意可得：， 在中，由余弦定理可得， 所以. 故选：B.    4．B 【难度】0.65 【知识点】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算 【详解】试题分析：由题意知，样本容量为，其中高中生人数为， 高中生的近视人数为，故选B. 【考点定位】本题考查分层抽样与统计图，属于中等题. 5．A 【难度】0.85 【知识点】向量坐标的线性运算解决几何问题、坐标计算向量的模、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】结合题目条件和图写出视风风速对应的向量和船行风速对应的向量，求出真风风速对应的向量，得出真风风速的大小，即可由图得出结论. 【详解】由题意及图得， 视风风速对应的向量为：， 视风风速对应的向量，是真风风速对应的向量与船行风速对应的向量之和， 船速方向和船行风速的向量方向相反， 设真风风速对应的向量为，船行风速对应的向量为， ∴，船行风速：， ∴， ，∴由表得，真风风速为轻风，故选：A. 6．D 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、独立事件的判断 【详解】由，结合公式，可得，即事件互斥。 事件相互独立的定义为. 充分性：若相互独立，无法推出，即无法推出. 必要性：若，即互斥，无法推出相互独立. 综上，“事件相互独立”是“”的既不充分也不必要条件. 7．A 【难度】0.85 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、用和、差角的余弦公式化简、求值 【分析】根据两角和的余弦可求的关系，结合的值可求前者，故可求的值. 【详解】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故，故选：A. 8．B 【难度】0.4 【知识点】多面体与球体内切外接问题、球的表面积的有关计算 【分析】作出辅助线，先求出正四面体的内切球半径，再利用三个球的半径之间的关系得到另外两个球的半径，得到答案. 【详解】如图，取的中点，连接，，则，， 过点作⊥底面，垂足在上，且， 所以，故， 点为最大球的球心，连接并延长，交于点，则⊥， 设最大球的半径为，则， 因为∽，所以，即，解得， 即，则，故 设最小球的球心为，中间球的球心为，则两球均与直线相切，设切点分别为， 连接，则分别为最小球和中间球的半径，长度分别设为， 则，则， 又，所以，解得， 又，故，解得，所以， 模型中九个球的表面积和为. 【点睛】解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 评分标准：(不选，错选均不得分）（选对一个选项得3分，选对两个选项得6分） 9．AC 【难度】0.65 【知识点】互斥事件与对立事件关系的辨析、计算几个数据的极差、方差、标准差、独立事件的乘法公式、各数据同时乘除同一数对方差的影响 【分析】利用极差与众数定义可判断A；由对立事件概念可判断B；根据独立事件概率乘法公式计算可判断C；由方差的概念代入计算可判断D. 【详解】对于A，数据的极差为，众数为，它们的和为，故A正确； 对于B，事件包括“个红球1个白球”和“3个红球”两个基本事件，与事件“都是白球”不能同时发生，可知事件与事件是互斥事件；但还有可能出现“1个红球2个白球”的情况，所以事件与事件是互斥但不对立事件，故B错误； 对于C，由相互独立事件的乘法公式可得甲乙各投篮一次同时投中的概率为，故C正确； 对于D，设数据的平均数为， 则其方差为， 所以数据的平均数为； 所以方差为 ，故D错误.故选：AC 10．BD 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、函数新定义、函数奇偶性的定义与判断 【分析】根据题意，只需判断所给函数的奇偶性即可得答案. 【详解】解：对于A选项，圆O，其“太极函数”不止1个，故错误； 对于B选项，由于函数，当时，，当时，，故为奇函数，故根据对称性可知函数为圆O的一个“太极函数”，故正确； 对于C选项，函数定义域为，，也是奇函数，故为圆O的一个“太极函数”，故错误； 对于D选项， 函数定义域为，，故为奇函数，故函数是圆O的一个“太极函数”，故正确.故选：BD 11．BD 【难度】0.65 【知识点】二倍角的余弦公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】对于A求单调减区间即可判断，对于B，代入即可判断，对于C即可求出的最大值，对于D即可判断. 【详解】由已知有，， 对于A：， 令， 当时，，所以函数在为减函数，故在上单调递减，在上单调递增，故A错误； 对于B：，则，故B正确； 对于C：， 则的最大值为4，故C错误； 对于D：，故D正确.故选：BD. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．1 【难度】0.65 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题 【详解】设圆锥底面圆的半径为，高为，则母线长为， 由题知，解得． 13． 【难度】0.85 【知识点】坐标计算向量的模、向量垂直的坐标表示、平面向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量坐标化运算得，再利用向量垂直的坐标表示得到方程，解出即可. 【详解】，因为，则， 则，解得. 则，则.故答案为：. 14． 【难度】0.15 【知识点】基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】由得,化简之后结合基本不等式求最值即可. 【详解】因为，所以. 因为为正实数，所以， 所以. 所以 当且仅当即时等号成立. 四、解答题（本大题共5小题，共77分）（其中15题13分，16、17题15分，18、19题17分） 15．(1) (2)， 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、总体百分位数的估计、计算几个数的平均数 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得，..............................................................................................................................3分 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分.................................................................................7分 （2）由题意可知，成绩落在的频率为，.............................................8分 成绩落在的频率为，...............................................................................9分 所以，，..........................................................................11分 .................................................................13分 16．(1) (2)3 (3)， 【难度】0.65 【知识点】余弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、正弦定理解三角形、求含sinx(型)函数的值域和最值 【分析】（1）根据已知条件，结合正弦定理角化边和余弦定理即可求出及； （2）根据，，利用正弦定理，解出； （3）根据和，利用正弦定理表示出，，再用面积公式表示出的面积.最后利用三角函数有界性和角的取值范围，求出的面积的范围. 【详解】（1），.........................................................................................1分 由正弦定理得，即，即， 即，.....................................................................................................................3分 由余弦定理得，......................................................................................4分 ，；..............................................................................................................5分 （2）， 其中，，，， ，.........................................................................................8分 由正弦定理，，..............................................................................................9分 ，则，即；....................................................................................10分 （3）且，为等边三角形， 设，，，， 由正弦定理得，，.............................................11分 由正弦定理，，..................................12分 ，.........................................................................................................13分 ，，当，...........................................................14分 ..............................................................................................15分 17．(1)证明见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】证明线面平行、锥体体积的有关计算、证明线面垂直、求点面距离 【分析】（1）根据给定条件，利用线面平行的判定推理即得. （2）由已知结合锥体的体积公式求出，再利用线面垂直的判定性质确定点到平面的垂线段并求出其长度. 【详解】（1）设与交于点，由底面为矩形，得为中点，................2分 又为中点，则，又平面，平面， 所以平面...................................................................................................................5分 （2）由底面，底面为矩形， 得，解得，............................................7分 过点作，垂足为，底面，则，.....................................9分 而，平面，于是平面，...........................11分 又平面，则，而平面， 因此平面，即为点到平面的距离，...................................................13分 在中，，所以................................15分 18．(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3). 【难度】0.4 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、求函数值、根据函数的单调性解不等式、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】（1）利用赋值思想来求，利用定义法来证明函数单调性； （2）利用奇函数恒等式来证明奇函数； （3）利用恒等式变形，把原不等式化为两个函数值的大小比较，再结合单调性转化为自变量的大小比较，从而求解不等式. 【详解】（1）因为对任意实数x，y都成立， 所以当，时， 上式可化为：，可得，........................................................3分 任取则上式又可化为：， 当假设则根据当时，，有， 即，所以有， 则可以证明函数为上的增函数；..................................................................................6分 （2）要证明函数为奇函数，只需要证明， 即证明，由于，假设， 则有，又因为，所，.......................11分 （3）由可得：， 即，........................................13分 再由，，可得： ， ， ， 所以不等式可变为，.....................................15分 再由函数为上的增函数，所以，解得：...................17分 19．(1)详见解析 (2)或； (3) 【难度】0.4 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求异面直线所成的角、棱锥中截面的有关计算 【分析】（1）不同的直角三角形中，分别表示所求角的余弦值，即可证明； （2）首先将异面直线所成角转化为相交直线所成的角，再分和两种情况求余弦值； （3）首先作辅助线，构造的高，再设，利用相似关系，勾股定理表示，并表示的面积，求面积的最小值. 【详解】（1）如图，因为底面，平面,所以，...................1分 又，且，所以平面，.........................................................3分 平面，所以，...........................................................................................4分 所以，，,所以；............................5分 （2）如图，以为临边作平行四边形，连结，则异面直线和所成的角为或其补角，...........................................................................................................6分 当时，，并且由（1）可知，,，, 中，，所以异面直线和所成的角的余弦值为；............................................................................................................................................8分 当时，，，, 中，， 所以异面直线和所成的角的余弦值为；............................................................10分 综上可知，异面直线和所成的角的余弦值为或；........................................11分 （3）如图，作于点，作于点，连结， 中，都垂直于，所以， 所以平面，且平面，所以， 又因为，， 所以平面，平面，所以，.............................................13分 设，，由， 得，， 中，，得， 当且仅当时，等号成立，..............................................................................................16分 所以，所以面积的最小值是.....................17分 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江省湖州市2025-2026学年第二学期高一数学期末阶段练习 考试范围：人教A版必修第一册，必修第二册 考生须知： 1.本卷考试分值为150分，考试时间为120分钟， 2.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息， 3.请将答案正确填写在答题卡上。 第I卷（选择题）（共58分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）（    ） A． B． C． D． 2．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若集合，则 A． B． C． D． 3．（2023·全国乙卷·高考真题）正方形的边长是2，是的中点，则（    ） A． B．3 C． D．5 4．（2014·广东·高考真题）已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A．， B．， C．， D．， 5．（2025·全国一卷·高考真题）帆船比赛中，运动员可借助风力计测定风速的大小与方向，测出的结果在航海学中称为视风风速.视风风速对应的向量是真风风速对应的向量与船行风风速对应的向量之和，其中船行风风速对应的向量与船速对应的向量大小相等、方向相反.图1给出了部分风力等级、名称与风速大小的对应关系.已知某帆船运动员在某时刻测得的视风风速对应的向量与船速对应的向量如图2所示（线段长度代表速度大小，单位：m/s），则该时刻的真风为（   ） 级数 名称 风速大小（单位：m/s) 2 轻风 1.6~3.3 3 微风 3.4~5.4 4 和风 5.5~7.9 5 劲风 8.0~10.7 A．轻风 B．微风 C．和风 D．劲风 6．（2026·河南许昌·三模）“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2023·浙江温州·二模）如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程，高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊､平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的表面积和为（    ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分） 9．（23-24高一下·浙江宁波·期末）给出下列说法，其中正确的是（    ） A．数据的极差与众数之和为 B．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件 C．甲乙两人投篮训练，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，甲乙两人投篮互不影响，则甲乙各投篮一次同时投中的概率为 D．一组不完全相同数据的方差为，则数据的方差为 10．（21-22高一上·山东日照·期末）中国传统文化中很多内容体现了数学的“对称美”，如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美，定义：圆O的圆心在原点，若函数的图像将圆O的周长和面积同时等分成两部分，则这个函数称为圆O的一个“太极函数”，则（    ） A．对于圆O，其“太极函数”有1个 B．函数是圆O的一个“太极函数” C．函数不是圆O的“太极函数” D．函数是圆O的一个“太极函数” 11．（24-25高三下·甘肃白银·阶段检测）在数学史上，曾经定义过下列两种三角函数：为角的正矢，记作；为角的余矢，记作，则（    ） A．函数在上单调递减 B．若，则 C．若函数，则的最大值为 D． 第II卷（非选择题）（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12．（25-26高一下·河北·期中）某圆锥的高为，其侧面展开图的圆心角为，则该圆锥底面圆的半径为______． 13．（2025·全国二卷·高考真题）已知平面向量若，则___________ 14．（2026高一·全国·专题练习）已知正实数满足.若，则的最小值为________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15．（25-26高二下·重庆·期中）某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. (1)若规定成绩排名前的同学可入围决赛，估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 【注】设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 16．（24-25高一下·浙江·期末）在中，设角，，的对边长分别为，，，已知. (1)求角的值； (2)若，，求； (3)若，点，在线段上，且，问当取何值时，的面积最小，并求出面积的最小值. 17．（23-24高一下·浙江丽水·期末）如图，四棱锥中，底面为矩形，底面，为的中点． (1)证明：平面； (2)设，，三棱锥的体积为，求到平面的距离. 18．（24-25高一上·江苏宿迁·期中）已知函数的定义域为，对任意实数x，y都有，当时，. (1)求的值，并证明函数为上的增函数； (2)求证：函数为奇函数； (3)若，解不等式. 19．（22-23高二上·上海浦东新·期中）《九章算术·商功》：“斜解立方，得两堑堵.斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑.阳马居二，鳖臑居一，不易之率也.合两鳖臑三而一，验之以棊，其形露矣.”刘徽注：“此术臑者，背节也，或曰半阳马，其形有似鳖肘，故以名云.中破阳马，得两鳖臑，鳖臑之起数，数同而实据半，故云六而一即得.” 如图，在鳖臑ABCD中，侧棱底面BCD； (1)若，，，，求证：； (2)若，，，试求异面直线AC与BD所成角的余弦. (3)若，，点P在棱AC上运动.试求面积的最小值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $