精品解析：山西省祁县中学校2023-2024学年高二下学期阶段测试数学试卷

祁县中学2023-2024学年高二第二学期阶段测试 数学试卷 本试卷共150分钟，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在四面体 中，，，．点在上，且 ，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 6. 已知为正项数列的前 项和．若，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 7. 随机变量 的分布列如下所示 则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆T与双曲线S构成，现有一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点 发出，经T两次反射后又回到了点，历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 （ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知 ，若根据列联表得到的值为 ，依据的独立性检验，则认为两个分类变量无关 B. 若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数 C. 若随机变量 服从 ， ，则 D. 已知关于的经验回归方程为 ，则样本点 的残差为 10. 已知椭圆 的两个焦点分别为 是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 11. 在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 ，则下列结论错误的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一批产品共有 件，其中件为不合格品．收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第件产品合格，则再抽件，如果抽检的第件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品．则这批产品被拒绝的概率为____． 13. 已知函数在处有极大值，则 ______. 14. 设为实数 中最大的数．若， ，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当 时，求在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 16. 设为数列的前 项和，已知，且为等差数列． （1）求证：数列为等差数列； （2）若数列满足，且，设为数列的前 项和，集合，求（用列举法表示）． 17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求 的值； （2）以频率估计概率，完成下列问题. (i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为 ，求 的分布列及数学期望； (ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，. （1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值. 19. 已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. （1）求的方程： （2）若直线 与交于， 两点，且，求的取值范围： （3）已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线 ， 时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 祁县中学2023-2024学年高二第二学期阶段测试 数学试卷 本试卷共150分钟，考试时间120分钟. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设集合，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据交集为空集，即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：A 2. 如图，在四面体 中，，，．点在上，且 ，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】借助空间向量线性运算法则计算即可得. 【详解】如图，连接 ， ∵N是的中点， ， ， ， ． 3. 已知椭圆，则“”是“椭圆的离心率为”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆离心率定义，对参数 的取值进行分类讨论即可判断出结论. 【详解】由可得椭圆，此时离心率为， 此时充分性成立； 若椭圆的离心率为，当时，可得离心率为，解得， 即必要性不成立； 综上可知，“”是“椭圆的离心率为”的充分不必要条件. 故选：B. 4. 一对夫妻带着3个小孩和一个老人，手拉着手围成一圈跳舞，3个小孩均不相邻的站法种数是（ ） A. 6 B. 12 C. 18 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】根据插空法即可求解. 【详解】将老人位置固定，夫妻两人在老人左右，此时有种站法， 将三个孩子插入两两大人之间的空隙中，有种站法， 故总的站法有. 故选：B 5. 在的展开式中，含的项的系数是（ ） A. 74 B. 121 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，利用通项公式得到含的项为：，进而得到其系数， 【详解】因为在， 所以含的项为：， 所以含的项的系数是的系数是， ， 故选：D 【点睛】本题主要考查二项展开式及通项公式和项的系数，还考查了运算求解的能力，属于基础题， 6. 已知为正项数列的前 项和．若，且，则（ ） A. 7 B. 15 C. 8 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】本题可通过题中的一般项与前 项和的关系式，利用公式来推导和 的关系，再通过构造法构造新数列并结合来得到的通项公式，算出结果. 【详解】因为， 所以，即． 因为，所以，所以， 所以数列是公比为2的等比数列， 所以，则， 所以，解得， 所以 ，则． 故选：B． 7. 随机变量 的分布列如下所示 则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由分布列的性质可得 的关系，再由期望公式求，由方差公式求，利用导数求的最大值. 【详解】由题可知，，， 所以，， ， ， 则， 令， 则， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以的最大值为． 故选：D． 8. 从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点；从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点.如图①，一个光学装置由有公共焦点，的椭圆T与双曲线S构成，现有一光线从左焦点发出，依次经S与T反射，又回到了点，历时秒；若将装置中的S去掉，如图②，此光线从点 发出，经T两次反射后又回到了点，历时秒.已知，则T的离心率与S的离心率之比 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用椭圆定义与双曲线定义可得的周长与的周长，再利用计算可得，即可得离心率之比. 【详解】设椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为， 在题图①中，由椭圆的定义得， 由双曲线的定义得， 两式相减得， 所以的周长为， 在题图②中，的周长为，因为光速相同， 所以，又因为， 所以，所以T与S的离心率之比. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 已知 ，若根据列联表得到的值为 ，依据的独立性检验，则认为两个分类变量无关 B. 若散点图的散点均落在一条斜率非0的直线上，则决定系数 C. 若随机变量 服从 ， ，则 D. 已知关于 的经验回归方程为 ，则样本点 的残差为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A， ，若根据列联表得到的观测值为 ， 则有 的把握认为两个分类变量有关，故A错误； 对于B，若散点图的散点均落在一条斜率非的直线上，则两变量之间满足函数关系， 故决定系数 ，故B正确； 对于C，因为变量 服从 且 ， 所以 ，故C正确； 对于D，由 ，得样本点 的残差为 ，故D正确. 10. 已知椭圆 的两个焦点分别为 是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】由椭圆 ，可得 ， 所以 ，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为 ，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知 ，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是 ，故D正确. 11. 在同一平面直角坐标系内，函数 及其导函数 的图象如图所示，已知两图象有且仅有一个公共点，其坐标为 ，则下列结论错误的是（ ） A. 函数的最大值为1 B. 函数的最小值为1 C. 函数的最大值为1 D. 函数的最小值为1 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据图象分辨 和的图象，然后对各选项中函数求导，利用图象判断函数单调性即可得解. 【详解】由题意知， ，即曲线 在 处的切线的斜率为1， 所以题图中实线为函数 的图象，虚线为导函数的图象，且在上 与均不小于0， 若 ，则 在上恒成立， 即 在上单调递增，且当时， ，当 时， ， 所以函数 既无最大值也无最小值，所以A，B选项说法错误； 若，则，由题图知，当 时， ，即 恒成立；当 时， ， 即 恒成立，所以函数在 上单调递增，在上单调递减， 所以 ，C选项说法正确，D选项说法错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 一批产品共有 件，其中件为不合格品．收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判断是否接受这批产品：如果抽检的第件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第件产品合格，则再抽件，如果抽检的第件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品．则这批产品被拒绝的概率为____． 【答案】 【解析】 【详解】抽检第件产品不合格的概率为， 抽检的第件产品合格，第件产品不合格的概率为， 所以这批产品被拒绝的概率为． 13. 已知函数在 处有极大值，则 ______. 【答案】 【解析】 【分析】求出导函数，由求得 值，然后对所得结果加以检验即可． 【详解】由已知， 可得， 令，解得或 ， 由可得，， 当时， ，函数在上单调递增， 当时， ，函数 在上单调递减， 当时， ，函数 在上单调递增， 不是极大值点，舍去； 由 可得，， 当时， ，函数 在上单调递增， 当 时， ，函数 在上单调递减， 当 时， ，函数 在上单调递增， 所以 是函数 的极大值点． 综上 ． 故答案为： ． 14. 设为实数 中最大的数．若， ，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，分，分类讨论代数式间的大小关系，利用基本不等式求得的最小值，即可求解． 【详解】设， 则，，， 因为 ，当时，只需考虑，， 又因为，， 两式相乘得，可得，当且仅当时取等号， 当时，，只需考虑，， 两式相乘得， 则，当且仅当时取等号， 因为，故，综上所述，的最小值为． 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是对 分和讨论，当时利用基本不等式得到，，再对两不等式相乘得，同理当时，利用该方法亦可得. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数 （1）当 时，求在点处的切线方程； （2）若在区间上单调递增，求实数a的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由 得到，再利用导数的几何意义求解； （2）求导，根据在区间上单调递增，由 恒成立求解. 【小问1详解】 解：当 时，， ， 则，， 所以当 时，在点处的切线方程为 【小问2详解】 ， 因为在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 所以在区间上恒成立， 因为当时，， 所以，即a的取值范围是 16. 设为数列的前 项和，已知，且为等差数列． （1）求证：数列为等差数列； （2）若数列满足，且，设为数列的前 项和，集合，求（用列举法表示）． 【答案】（1） 设等差数列的公差为d，则，即，① 因为，所以由，得．② 由①、②解得，所以，即， 当时，， 当时，，上式也成立，所以， 所以数列是等差数列． （2） 【解析】 【分析】（1）设等差数列的公差为d，由题意可得、，解得，结合求得，即可证明； （2）由（1）可得，根据累乘法可得，结合裂项相消求和法计算即可求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 由（1）可知， 当时，， 因为满足上式，所以． ， 因为当时，，所以． 17. 某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度(单位：cm)介于之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示. （1）求 的值； （2）以频率估计概率，完成下列问题. (i)若从所有花卉中随机抽株，记高度在内的株数为 ，求 的分布列及数学期望； (ii)若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在的条件下，至多 1株高度低于的概率. 【答案】（1） （2）(i) 的分布列为： ； (ii) 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为得到方程，解得即可； （2）(i)依题意可得，根据二项分布的概率公式求出分布列与数学期望；(ii)利用条件概率的概率公式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得，解得； 【小问2详解】 (i)由（1）可得高度在的频率为， 所以， 所以，， ，， ， 所以 的分布列为： 所以； (ii)在欧阳花卉中随机抽取株，记至少有株高度在为事件， 至多株高度低于为事件， 则， ， 所以. 18. 如图，在四棱锥中，底面，底面是矩形，. （1）证明：平面 平面 ； （2）求平面 与平面 的夹角的余弦值. 【答案】（1） 证明：因为底面 底面， 所以 . 因为底面是矩形，所以 . 又 ，且平面 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以平面 平面 . （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的判断定理，转化为证明 平面 ，即可证明； （2）以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面 与平面 的法向量，代入二面角的向量公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，所在直线为 轴､轴､ 轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则. 所以. 设平面 的法向量为， 则，则， 取，得. 设平面 的法向量为， 则，则， 取，得. 设平面 与平面 的夹角为 ，则 ， 所以平面 与平面 的夹角的余弦值为. 19. 已知为坐标原点，双曲线的焦距为，且经过点. （1）求的方程： （2）若直线 与交于，两点，且，求的取值范围： （3）已知点是上的动点，是否存在定圆，使得当过点能作圆的两条切线 ， 时（其中，分别是两切线与的另一交点），总满足？若存在，求出圆的半径：若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据焦距以及经过的点即可联立求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，进而根据向量的数量积的坐标运算化简得，根据弦长公式，结合不等式即可求解， （3）根据圆心到直线的距离可得，进而根据数量积运算可判断，结合对称性即可求解；或者利用切线关系得,根据斜率相乘关系，代入韦达定理化简可得半径. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 故双曲线方程为 【小问2详解】 当直线 斜率不存在时，设, 将其代入双曲线方程， 又，解得， 此时， 当直线 斜率存在时，设其方程为 ，设, 联立， 故， 则 ， 化简得，此时， 所以 ， 当时，此时， 当时，此时， ，故， 因此， 综上可得. 【小问3详解】 解法一：当直线与相切时， 圆心到直线的距离， 设设, 类似（2）中的计算可得 ， 所以， 由双曲线的对称性，延长交双曲线于另一点, 则，且， 根据轴对称性可得,且直线与也相切，即即为, 符合题意， 当 或 斜率不存在时，此时，，显然满足题意， 故存在这样的圆，半径为 解法二： 设，， 由于为圆的切线， 平分，且 ,所以, 设过点与圆相切的直线方程为（直线斜率存在时） ， ，将两根记为， ， 同理可得 故 ， 故存在这样的圆，半径为 当 或 斜率不存在时，此时，，显然满足题意， 故存在这样的圆，半径为 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值，如本题需先将用k表示出来，然后再利用基本不等式长最值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $