浙江省杭州第二中学2024-2025学年高一下学期统考热身考试数学试题

杭州二中2024级高一第二学期数学统考热身卷 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 3．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．已知平面向量，，若，求（   ） A． B． C． D． 5．已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A．B．C． D． 8．在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B．与方向相反的单位向量是 C．与的夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量为 10．在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（   ） A．正三棱台形容器的体积为 B．正三棱台形容器的侧面积为 C．等边三角形DEF的边长为3 D．水的体积为 11．已知，函数，则下列结论一定正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．在上的最小值为 三、填空题 12．已知，则 . 13．已知函数的图象关于点对称，则 ． 14．已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为 . 杭州二中2024级高一第二学期数学统考热身卷 班级__________姓名__________学号__________得分__________ 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 二、多选题 题号 9 10 11 选项 三、填空题 12．_______________ 13．_______________ 14．_______________ 四、解答题 15．某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； (2)已知落在区间的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间的样本平均成绩为66，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 16．设的内角所对边分别为，若． (1)求的值; (2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积． 17．已知函数，. (1)解关于的不等式； (2)，，求实数的取值范围. 18．已知在正四棱柱中，，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 19．若存在，，使得恰为函数的全部零点所构成的集合，则称为“分圆函数”． (1)分别判断下列函数是否为“分圆函数”；（结论不要求证明） ①； ②． (2)求证：对任意a∈R，均为“分圆函数”； (3)若为“分圆函数”，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 杭州二中2024级高一第二学期数学统考热身卷参考答案 一、单选题 1．已知集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定集合，再结合交集运算即可求解. 【详解】， 则， 故选：B． 2．命题“，”的否定是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题判断即可. 【详解】命题“，”为全称量词命题， 其否定为：，. 故选：C 3．已知函数在区间上恰好有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正弦二倍角公式进行化简，的出函数取零点的两种情况，分类讨论，根据结果写出的不等式，计算结果. 【详解】因为， 令，得或， 所以或或． 可知满足的非负根依次为，因为在区间上恰好有3个零点，所以,解得． 故选:A． 4．已知平面向量，，若，求（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用两向量垂直，它们的数量积为0的运算，结合已知条件，即可求得向量夹角余弦值. 【详解】因为，所以，即，即， 因为，所以， 又因为，所以有，即． 故选：D. 5．已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化为函数与的图象有3个交点，结合的图象可得答案. 【详解】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 6．已知函数的值域为．若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知即有解，且无最大值，分为，，三种情况讨论求解. 【详解】由，可知有解，且无最大值， 即有解，且无最大值， 当时，有解，无最大值，符合题意； 当时，，则有解， 当时，有最大值，则有最大值，不符合题意； 当时，有解需满足，解得， 此时无最大值，无最大值，满足题意． 综上，实数的取值范围是． 故选：A． 7．已知函数在上单调递增，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分和两类讨论，结合换底公式及对数函数的单调性、对数的运算性质可得关于的不等式即可求解. 【详解】当时，根据对数函数的性质可知：函数在上单调递增，符合题意； 当时，由换底公式可得， 因为函数在上单调递增，且函数在上单调递增，所以. 又，所以，，所以，所以，即，解得. 综上，a的取值范围为. 故选：A. 8．在中，分别为内角所对的边，已知.设为边BC上一点，若，且，则面积的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件恒等式，求得，然后设，则，利用面积关系可以得到，从而求得；再利用面积关系可以得到，再利用基本不等式求出的取值范围，再根据面积公式计算可得. 【详解】由正弦定理可得, 又 所以， 由两角和正弦公式可得，， 又，所以，所以， 即， 又，所以，所以即， 设，则， ∵，， ∴， 即，化简得，即， 又，解得或（舍去）， 所以， 又， 所以， 即，即， 所以，当且仅当时取等号， 所以，即面积的最小值为. 故选：A 二、多选题 9．已知平面向量，，则下列说法正确的是（   ） A． B．与方向相反的单位向量是 C．与的夹角的余弦值为 D．在方向上的投影向量为 【答案】AC 【分析】对于选项A，由向量的坐标运算结合模长公式可直接判断；对于选项B，由相反的单位向量为可直接得答案；对于选项C，可求出，，，根据数量积的公式即可判断出选项C项的正误；对于选项D，根据投影向量的计算公式即可判断出选项D的正误. 【详解】选项A，因为，所以，所以选项A正确； 选项B，与相反的单位向量为，故B错误； 选项C，因，所以，所以选项C正确； 选项D，由投影向量的定义知，在方向上的投影向量为，所以选项D错误. 故选：AC. 10．在如图所示的透明的正三棱台形容器内注入一些水（容器厚度忽略不计），水平放置时水平面DEF与底面平行，且水平面DEF与下底面ABC的距离为，，，正三棱台形容器的高为2，下列结论正确的有（   ） A．正三棱台形容器的体积为 B．正三棱台形容器的侧面积为 C．等边三角形DEF的边长为3 D．水的体积为 【答案】AC 【分析】根据棱台体积公式求解判断A，求出侧面梯形的高即可求解侧面积判断B，根据三角形相似求解等边三角形DEF的边长判断C，根据棱台体积公式求解判断D. 【详解】由题意等边三角形的面积为， 等边三角形的面积为，又正三棱台形容器的高为2，所以正三棱台形容器的体积为， 故A正确； 设的中点为，的中点为，三角形的中心为O， 三角形的中心为，则为侧面梯形的高，如图： 在截面中，，又，， 所以， 所以正三棱台形容器的侧面积为，故B错误； 设等边三角形DEF的边长为，由∽，所以，解得， 即，故C正确； 等边三角形DEF的面积为，正三棱台的高为， 所以水的体积为，故D错误. 故选：AC 11．已知，函数，则下列结论一定正确的是（    ） A．的图象关于轴对称 B．的最小正周期为 C．的最大值为 D．在上的最小值为 【答案】AC 【分析】由可得A正确；根据函数的周期举反例可判断B的正误，举反例可得D错误；由辅助角公式可得C正确. 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，当时，, 此时,函数的最小正周期是，故B错误； 对于C，，由正弦函数的值域可得最大值为，故C正确； 对于D，当时，， 所以， 当时，，当时，，由于不确定的大小，所以最小值为不正确，故D错误； 故选：AC 三、填空题 12．已知，则 . 【答案】5 【分析】由复数的加减运算及模长公式即可求解. 【详解】由， 可得：， 所以， 所以， 故答案为：5 13．已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】由已知可得为奇函数，结合奇函数性质列方程求，由此可得结论. 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 14．已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为 . 【答案】/ 【分析】求出当，时，、的值，列举出满足的数组，结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可得，，，，，， ，，，， 因为，， 满足的数组有：、、、， 故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题 15．某地举办了“防电信诈骗”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值及样本成绩的第80百分位数； (2)已知落在区间的样本平均成绩是57，方差是7，落在区间的样本平均成绩为66，方差是4，求两组样本成绩合并后的平均数和方差. 参考公式：若总体划分为2层，通过分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，，；，，记总的样本平均数为，样本方差为，则. 【答案】(1)，第80百分位数为86 (2)，总方差. 【分析】（1）根据百分位数定义利用频率分布直方图计算可得结果； （2）代入由样本方差计算总体方差的公式计算可得结果. 【详解】（1）由题意知，解得； 成绩在的频率为0.65，成绩在的频率为0.9， 故第80百分位数在之间，则， 解得， 故第80百分位数为86； （2）由频率分布直方图知，这100份答卷分数在的份数为， 分数在的份数为， 所以， 总方差. 16．设的内角所对边分别为，若． (1)求的值; (2)若且三个内角中最大角是最小角的两倍，当周长取最小值时，求的面积． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）变形得到，由正弦定理得到，得到答案； （2）由题意得到，由正弦定理和余弦定理得到，求出，由，求出当时，周长最小，进而由三角形面积求出答案. 【详解】（1）因为，所以，因为， 所以， 所以，由正弦定理，得，即． （2）由可得：，故，于是， 由正弦定理及余弦定理可得： ， 解得：(舍)或者，故， 因为，所以当时，周长最小，此时， 所以，所以的面积为． 17．已知函数，. (1)解关于的不等式； (2)，，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据题意列出不等式，分类讨论的取值范围，求出不等式的解集. （2）先将参数分离，要对不含参数部分构造二次函数，最后根据二次函数单调性求的取值范围. 【详解】（1）由，得，即. 当，即时，恒成立，解集为； 当，即时，由，得，两边同取以为底的对数，得. 综上，当时，的解集为，当时，的解集为. （2）由，得， 即， 两边同除以，得. 设， 令，，则. 当时，是增函数， 所以的值域为， 因为，，所以， 故实数的取值范围为. 18．已知在正四棱柱中，，，点是的中点.    (1)求证：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）作出辅助线，由中位线得到，进而得到线面平行； （2）为异面直线与所成角或其补角，求出三边长，利用余弦定理得到异面直线的夹角余弦值； （3）证明出线面垂直，等体积法求出三棱锥的体积. 【详解】（1）连接，交于点，则为的中点，    又因为为的中点，连接，则， 平面，平面， 平面； （2）由（1）知，， 所以为异面直线与所成角或其补角， 正四棱柱中，， 由勾股定理得，， 在中，，，， 由余弦定理，得， 故异面直线与所成角的余弦值为； （3）因为正方形，所以，， 又在正四棱柱中，平面， 因为平面，所以， 因为，，平面，所以平面， 所以. 或 19．若存在，，使得恰为函数的全部零点所构成的集合，则称为“分圆函数”． (1)分别判断下列函数是否为“分圆函数”；（结论不要求证明） ①； ②． (2)求证：对任意a∈R，均为“分圆函数”； (3)若为“分圆函数”，求的值． 【答案】(1)①是；②不是 (2)证明见解析 (3)或； 【分析】（1）根据“分圆函数”定义，解出两函数零点即可作出判断； （2）利用换元法并结合韦达定理可知的全部零点为，，可得结论； （3）法1：利用换元法并结合韦达定理，利用周期性得出其在对应区间内的零点，分类讨论得出符合题意的的取值即可； 法2：将表达式变形可得，结合余弦函数周期性并对函数在不同周期内的零点进行分析，讨论的取值是否符合题意即可得到结果. 【详解】（1）①是； 令，解得； 即可得，所以的零点的解集为； 所以存在使得为“分圆函数”． ②不是； 令，即， 解得或； 显然这两部分解无法用同一个表达式来表示，所以不是“分圆函数”． （2）令， ，故其必有两个不等实根， 由韦达定理：，令，则 因此的全部零点为，； 故对任意a∈R，均为“分圆函数” （3）法1： 令， 易知，故其必有两个不等实根， 由韦达定理可得 因为在上至多有两个解，在上至多有两个解； 所以在上至多有4个解，则 当时：由于，则且，不合题 当时：必有或 （i）若，则， 此时，的全部零点为，故合题意； （ii）若，则， 此时，的全部零点为，故合题意； 当时：若，则 则，均为的根 而，故 因此 此时，的全部零点为，故合题意； 综上或； 法2： 易知为定义在上的以2π为周期的函数，先在上分析其性质； 记，其在，上均单调递增 故在上的增区间为，，减区间为，，且，； 若，则，在恰有两个零点记为，在上恒正，无零点， 由周期性可知在上恰有两个零点，记为，，因此，，，依次为的四个相邻零点； 而，不合题意，故， 同理，因此， 当时，的全部零点为，合题意； 当时，的全部零点为，合题意； 当时，在，，，各一个零点，分别记作，，，， 若为“分圆函数”，则有； 故，， 因此，故，， 注意到为偶函数，则，解得，； 故， 当时，的全部零点为：，合题意； 综上，或 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$