8.5.2　直线与平面平行课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

该高中数学课件聚焦“直线与平面平行”，系统呈现判定定理、性质定理及应用，课前通过门扇转动等生活实例和问题链导入，结合思维导图梳理知识逻辑，搭建从直观感知到定理归纳的学习支架。 其亮点在于以直观想象和逻辑推理为核心，通过四棱锥证明等典例分析、类题通法总结步骤、定向训练分层巩固，助力学生构建平行关系转化思维。教师可直接应用于教学，提升课堂效率，学生能在探究中发展空间观念与推理能力。

课前自主学习 课堂合作探究 课堂学业达标 8.5.2　直线与平面平行 素养目标 思维导图 1.从定义和基本事实出发,通过直观感知, 了解空间中直线与平面平行的关系,归纳 出判定定理和性质定理,并加以证明.(直 观想象、逻辑推理) 2.能用已获得的结论证明空间基本图形 位置关系的简单命题.(逻辑推理) ‹#› 课前自主学习 问题1.如图,门扇的两边是平行的.当门扇绕着一边转动时,另一边与墙面有公共点吗?此时门扇转动的一边与墙面平行吗? 提示:可以发现,无论门扇转动到什么位置,因为转动的一边与固定的一边总是平行的,所以转动的一边与墙面是平行的,没有公共点. ‹#› 问题2.如图,平面α外的直线a平行于平面α内的直线b,这两条直线共面吗?直线a与平面α相交吗? 提示:直线a,b共面,直线a与平面α不相交. ‹#› 问题3.如果直线a与平面α平行 (1)直线a与平面α内的直线的位置关系是怎样的? 提示:平行或者异面. (2)在平面α内与直线a平行的直线有多少条?这些直线的位置关系如何? 提示:在平面α内与直线a平行的直线有无数条,这些直线互相平行. (3)经过直线a的平面β与平面α相交于直线b,那么这样的平面β有多少个?直线a,b的 位置关系如何?为什么? 提示:如图,有无数个.直线a,b的位置关系为平行. 因为直线a∥平面α,所以直线a与平面α内的任何 直线无公共点,又因为a,b共面,所以a∥b. ‹#› 【核心概念】 1.直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果_______一条直线与此平面内的一条直线_____,那么该 直线与此平面平行 图形语言 符号语言 a___α,b___α,且a∥b⇒a∥α 作用 证明直线与平面_____ 平面外 平行 ⊄ ⊂ 平行 ‹#› 2.直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行,如果过该直线的_____与此平面 _____,那么该直线与交线_____ 图形语言 符号语言 a∥α,_____,_______⇒a∥b 作用 证明两条直线_____ 平面 相交 平行 a⊂β α∩β=b 平行 ‹#› 课堂合作探究 探究点一　直线与平面平行的判定定理 【典例1】(1)已知直线a,b和平面α,且b⊂α,则“直线a∥直线b”是“直线a∥平面α”的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【思维导引】根据线面平行性质分别画出不同情况下的直线和平面的位置关系可 得结论. √ ‹#› 【解析】选D.根据题意可得,如图所示: 若“直线a∥直线b”,则直线a可以在平面α内,即充分性不成立;若“直线a∥平面α”,如 图所示: 直线a和直线b可以异面,即必要性不成立,所以可知“直线a∥直线b”是 “直线a∥平面α”的既不充分也不必要条件. ‹#› (2)在四棱锥P-ABCD中,四边形ABCD为矩形,点E,F分别在线段CB,AP上, 且CE=EB,AF=FP.求证:EF∥平面PCD. 【思维导引】取PD的中点G,先证明四边形EFGC为平行四边形,得出线线平行, 再应用线面平行判定定理证明即可. ‹#› 【证明】如图,取PD的中点G,连接GF,GC. 在△PAD中,点G,F分别为PD,AP的中点,所以GF∥AD且GF=AD. 在矩形ABCD中,点E为BC的中点, 所以CE∥AD且CE=AD,所以GF∥EC且GF=EC. 所以四边形GFEC是平行四边形,所以GC∥EF. 又因为GC⊂平面PCD,EF⊄平面PCD,所以EF∥平面PCD. ‹#› 【类题通法】 直线与平面平行的判定 (1)定线线平行:把握几何体的结构特征,合理利用几何体中的三角形的中位线,平行四边形对边平行等平面图形的特点是找线线平行关系的常用法. (2)用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤: ‹#› 【定向训练】 1.如图,在下列四个正方体中,A、B为正方体的两个顶点,M、N、Q为所在棱的中点, 则在这四个正方体中,直线AB不平行于平面MNQ的是(　　) √ ‹#› 【解析】选D.对于A,如图,连接A1B1,则AB∥A1B1, 因为N,Q分别为棱的中点,所以由三角形中位线定理可得NQ∥A1B1, 所以NQ∥AB,因为AB⊄平面MNQ,NQ⊂平面MNQ, 所以AB∥平面MNQ; 对于B,如图,连接A1B1, 因为M,Q分别为A1C1,B1C1的中点,所以MQ∥A1B1,因为AB∥A1B1, 所以MQ∥AB,因为AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ, 所以AB∥平面MNQ; ‹#› 对于C,如图,连接A1B1,则AB∥A1B1, 因为M,Q分别为棱的中点,所以由三角形中位线定理可得MQ∥A1B1, 所以MQ∥AB,因为AB⊄平面MNQ,MQ⊂平面MNQ, 所以AB∥平面MNQ; 对于D,如图,取底面中心O,连接OQ, 由于Q为棱的中点,所以由三角形中位线定理可得OQ∥AB, 因为OQ与平面MNQ相交,所以AB与平面MNQ相交. ‹#› 2.如图,四棱锥P-ABCD中,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一 点,AM=2MD,N为PC的中点. 证明:MN∥平面PAB. 【证明】由已知得AM=AD=2,取BP的中点T, 连接AT,TN(图),由N为PC中点知TN∥BC,TN=BC=2. 又AD∥BC,故TN∥AM,TN=AM,所以四边形AMNT为平行四边形,所以MN∥AT. 因为AT⊂平面PAB,MN⊄平面PAB,所以MN∥平面PAB. ‹#› 探究点二　直线与平面平行的性质定理 【典例2】如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,E为棱PB上一点(不与P,B重 合),平面ADE交棱PC于点F.求证:AD∥EF. 【思维导引】证明出AD∥平面PBC,利用线面平行的性质可证得结论成立. 【证明】因为四边形ABCD为矩形,所以AD∥BC, 因为AD⊄平面PBC,BC⊂平面PBC,所以AD∥平面PBC,因为AD⊂平面ADE, 平面ADE∩平面PBC=EF,所以AD∥EF. ‹#› 【类题通法】 线面平行的性质定理的解题步骤与思路 (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤 (2)定线面平行:运用线面平行的性质定理时,应先确定线面平行,再寻找过已知直线的平面与这个平面相交的交线,然后确定线线平行. ‹#› 【定向训练】 1.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,E为AD的中点,点F在CD上, 若EF∥平面AB1C,则EF=　　　　.  【解析】根据题意,因为EF∥平面AB1C,EF⊂平面ABCD, 且平面ABCD∩平面AB1C=AC,所以EF∥AC.又因为E是AD 的中点,所以F是CD的中点.因为在Rt△DEF中,DE=DF=1, 故EF=. 答案: ‹#› 2.如图,四边形ABCD是平行四边形,点P是平面ABCD外一点. (1)求证:BC∥平面PAD; (2)M是PC的中点,在DM上取一点G,过G和AP作平面交平面BDM于HG, 求证:AP∥HG. ‹#› 【证明】(1)因为四边形ABCD是平行四边形,所以BC∥AD,又BC⊄平面PAD, AD⊂平面PAD,所以BC∥平面PAD. (2)连接AC,交BD于O,连接MO. 因为四边形ABCD是平行四边形,所以O是AC的中点, 又因为M是PC的中点,所以MO∥PA. 又因为MO⊂平面BDM,PA⊄平面BDM, 所以PA∥平面BDM. 又因为PA⊂平面PAHG,平面PAHG∩平面BDM=GH,所以AP∥GH. ‹#› 探究点三　线面平行的综合应用 【典例3】(规范解答) (15分)如图,在四棱锥P-ABCD中,BC∥平面PAD,BC=AD,点N是AD的中点.求证: (1)BC∥AD; (2)CN∥平面PAB. 【思维导引】(1)利用线面平行的性质可证线线平行; (2)先证明四边形ABCN是平行四边形得到CN∥AB,利用线面平行的判定定理可证 结论. ‹#› 【证明】(1)因为BC∥平面PAD,BC⊂平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD, …5分 所以BC∥AD. ……………… 7分 (2)由(1)知,BC∥AN, 又N是AD的中点,BC=AD,所以BC=AN, 所以四边形ABCN是平行四边形,所以CN∥AB. ……………… 12分 又CN⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, 所以CN∥平面PAB. ……………… 15分 ‹#› 【类题通法】 平行间的相互转化 判定定理与性质定理常常交替使用,即先通过线线平行推出线面平行,再通过线面平行推出线线平行,复杂的题目还可以继续推下去,我们可称它为平行链. ‹#› 【定向训练】 如图所示,四面体ABCD被一平面所截,截面EFGH是一个平行四边形. (1)求证:CD∥平面EFGH; (2)若AB⊥CD且AB=8,CD=6,E,F,G,H为其所在棱的中点,求四边形EFGH面积. ‹#› 【解析】(1)因为截面EFGH是平行四边形,所以EH∥GF, 又因为GF⊂平面BCD,EH⊄平面BCD,所以EH∥平面BCD, 因为EH⊂平面ACD,且平面ACD∩平面BCD=CD,所以CD∥EH, 又因为CD⊄平面EFGH,EH在平面EFGH内,所以CD∥平面EFGH. (2)因为E,F,G,H分别为AD,BD,BC,AC的中点,且AB=8,CD=6, 可得EF∥AB∥GH且EF=GH=AB=4,EH∥CD∥GF且EH=GF=CD=3, 因为AB⊥CD,可得EF⊥GF,所以平行四边形EFGH为矩形, 所以四边形EFGH的面积为S=EF·GF=4×3=12. ‹#› 课堂学业达标 1.若直线a不平行于平面α,则下列结论成立的是 (　　) A.平面α内不存在与a平行的直线 B.平面α内所有直线与a相交 C.平面α内所有直线与a异面 D.直线a与平面α至少存在一个公共点 【解析】选D.由于直线a不平行于平面α,所以直线a与平面α相交或直线a在平面α内,直线a在平面α内时,平面α内存在与a平行的直线,故A错误;直线a与平面α相交时,平面α内存在直线与a异面,故B错误;直线a在平面α内时,平面α内存在直线与a平行或相交,故C错误;直线a与平面α相交或直线a在平面α内,直线a与平面α至少存在一个公共点,故D正确. √ ‹#› 2.已知b是平面α外的一条直线,下列条件中,可得出b∥α的是 (　　) A.b与α内的一条直线不相交 B.b与α内的两条直线不相交 C.b与α内的无数条直线不相交 D.b与α内的所有直线不相交 【解析】选D.若b与α内的所有直线不相交,即b与α无公共点,故b∥α. √ ‹#› 3.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1中,过A1B1的平面(不与平面ABB1A1重合)与 平面ABC交于直线DE,则DE与AB的位置关系是 (　　) A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 【解析】选B.因为A1B1∥AB,AB⊂平面ABC, A1B1⊄平面ABC,所以A1B1∥平面ABC. 又A1B1⊂平面A1B1ED,平面A1B1ED∩平面ABC=DE, 所以DE∥A1B1.又AB∥A1B1,所以DE∥AB. √ ‹#› 4.(多选)如图,在透明塑料制成的长方体ABCD-A1B1C1D1容器内灌进一些水,将容器 底面一边BC固定于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,下列四个说法中正确 的是 (　　) A.有水的部分始终呈棱柱状 B.水面四边形EFGH的面积不改变 C.棱A1D1始终与水面EFGH平行 D.当E∈AA1时,AE+BF是定值 √ √ √ ‹#› 【解析】选ACD.由于BC固定,所以倾斜的过中,始终有AD∥EH∥FG∥BC,且平面AEFB∥平面DHGC,故水的部分始终呈现棱柱状(三棱柱、四棱柱、五棱柱);当水是四棱柱或者五棱柱时,水面面积与上下底面面积相等,当水是三棱柱时,则水面四边形EFGH的面积可能变大,也可能变小,水面的面积改变;BC为棱柱的一条侧棱,随着倾斜度的不同,水的部分始终呈棱柱状,且棱B1C1∥平面EFGH,棱B1C1∥A1D1,所以A1D1∥平面EFGH;因为水的体积是定值,高BC为定值,则底面积EABF为定值,即EA+BF为定值,综上ACD正确. ‹#› 5.(1)如图四棱锥S-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,E为SA上的点,当E满足条件 　　　　　时,SC∥平面EBD;  (2)如图,在棱长为1的正方体ABCD-A'B'C'D'中,AP=BQ=x(0<x<1),截面PQEF∥A'D,截面PQGH∥AD',则截面PQEF和截面PQGH面积之和为　　　　　.  ‹#› 【解析】(1)因为SC∥平面EBD,SC⊂平面SAC,平面SAC∩平面EBD=OE, 所以SC∥OE,又因为底面ABCD为平行四边形,O为对角线AC与BD的交点, 故O为AC的中点,所以E为SA的中点,故当E满足条件:SE=AE时,SC∥平面EBD. 答案:SE=AE (2)因为平面PQEF∥A'D,平面PQEF∩平面A'ADD'=PF, 所以A'D∥PF,同理可得PH∥AD', 因为AP=BQ=x,AP∥BQ,所以四边形APQB是平行四边形,所以PQ∥AB, 因为在正方体中,AD'⊥A'D,AD'⊥AB, 所以PH⊥PF,PH⊥PQ,截面PQEF和截面PQGH都是矩形, 且PQ=1,PF=AP,PH=PA',所以截面PQEF和截面PQGH面积之和是(AP+PA')×PQ=. 答案: ‹#› $