1.2 常用逻辑用语（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习精讲精练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦常用逻辑用语核心考点，涵盖充分必要条件判断、全称与存在量词及其否定等高考高频内容，以知识复习（概念梳理+结论总结）与典型例题（分判断、求参、真假判断等五题型）为架构。通过考点梳理、方法提炼、真题演练的教学流程，帮助学生构建逻辑知识网络，突破条件判断与量词命题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料亮点在于分层典例设计与核心素养融合，如通过集合关系分析充分必要条件培养数学思维，总结“改量词，否结论”规律强化数学语言表达。设置基础到综合的阶梯式例题，配合模拟题与阶段检测题，确保高效突破考点。为教师提供清晰的复习路径，助力学生提升逻辑推理能力与应考技巧，实现有限时间内复习效果最大化。

1.2 常用逻辑用语（精讲） 第一部分：知识复习 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q/⇒p p是q的必要不充分条件 p/⇒q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p/⇒q且q/⇒p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 【注意】含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变． [常用结论] 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B. (1)p是q的充分不必要条件⇔； (2)p是q的必要不充分条件⇔； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 第二部分：典型例题 典例一：充分条件与必要条件的判断 1．（26-27高三·全国·暑假作业）“”是“”的_______________条件． 【答案】必要不充分 【详解】“”，可以推出“”，满足必要性； “”，不能推出“”，不满足充分性； 故“”是“”的一个必要不充分条件． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，解得，即不等式的解集为， 选项A：因为与解集完全相等，所以是不等式成立的充要条件； 选项B：因为，所以是不等式成立的必要不充分条件； 选项C：因为，所以是不等式成立的充分不必要条件； 选项D：因为与为交叉关系，所以是既不充分也不必要条件. 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，且，可得； 反之，由不一定得到，且，比如，时，， 所以“”是“，且”的必要不充分条件． 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 5．（25-26高三上·陕西·期中）已知，是两个不同的平面，直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】C 【详解】已知直线，直线，，则可以平行，相交或者垂直，不一定有两个平面垂直. 已知直线，直线，，只能说明两个平面的二面角为直角，平面内任意两条直线不一定垂直. 故“”是“”的既不充分也不必要条件. 6．（25-26高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知直线l和两个不同的平面，，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】若，设，则平面中垂直于的直线垂直于平面. 若，则可能平行于，此时，不垂直于. 所以“”推不出“”； 若，设，，则. 若，则//. 因为，所以// . 所以“”能推出“”. 综上所述，若，，则“”是“”的必要不充分条件. 典例二：充分条件与必要条件求参 7．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】根据充分不必要条件列出不等式组，求解即得的取值范围. 【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则⫋， 当时，即，则， 当时，，得， 综上，的取值范围为． 8．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设实数满足 ，实数满足 ，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】先明确的关系，再根据集合的包含关系求的取值范围. 【详解】因为是的必要不充分条件， 所以是的充分不必要条件， 由，因为，所以； 由. 因为是的充分不必要条件，所以⫋. 所以. 即实数的取值范围是. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 【答案】 / 【详解】（1）由已知可得， 当时，，与矛盾， 当，，与矛盾， 当时，， 结合可得，解得； （2）因为是的充分不必要条件，所以是的真子集， 所以，，得， 故的取值范围是. 10．（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 若，则，所以，解得， 当时，，此时， 所以是的充要条件， 故“”的一个必要不充分条件是. 11．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 【答案】(1)，或． (2) (3) 【详解】（1）当时，， 因为，所以，或． （2）因为p是q的必要不充分条件，所以， 则，解得， 则m的取值范围为． （3）因为，所以或， 所以或， 解得或，即， 所以m的取值范围为． 12．（25-26高三·全国·一轮复习）设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 【答案】 【分析】先解不等式，分别得到；；根据是的必要不充分条件，得到是的充分不必要条件，得出是的真子集，列出不等式求解，得出的范围，即可求出结果． 【详解】对于：等价于，解得：， 对于：由，得：， 又，所以； 因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件， 所以是的真子集，则，解得． 典例三：量词命题的真假判断 13．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若，，，，则（   ） A．p，q均为真命题 B．，均为假命题 C．，均为真命题 D．p，q均为假命题 【答案】C 【详解】若，则命题不成立，则为假命题，故为真命题； 若，则，则命题为真命题. 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】对于命题，当时，，所以为假命题； 对于命题，解不等式，得，所以为真命题． 15．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知命题，；命题，.则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】因为当时，，所以命题为假命题，所以是真命题， 因为当时，，所以q是真命题，所以是假命题. 16．（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【详解】令，则显然成立，是真命题，是假命题， 当时，，故命题是假命题，是真命题． 17．（2026·广西崇左·二模）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】B 【详解】由，得，即，解得. 方法二：由，得或. 解得. 所以是假命题，是真命题. 当时，显然成立，所以是真命题，是假命题. 18．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 【答案】C 【分析】利用作差法可判断命题，解方程可判断命题，即可得出合适的选项. 【详解】对于命题，，，则，故命题为真命题； 对于命题，由可得，解得，命题为假命题，故命题为真命题. 典例四：含有一个量词的否定 19．（25-26高三上·安徽合肥·期中）命题：“”的否定是______. 【答案】 【分析】存在量词命题的否定是全称量词命题，存在改为任意并否定原结论即可. 【详解】“”的否定是“”. 20．（25-26高三上·广东东莞·期中）已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为存在量词命题的否定为， 所以命题的否定为，． 21．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】全称量词命题的否定为将量词更改，命题否定， 因此命题“，”的否定为命题“，”. 22．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知命题p：，，则（    ） A．：，，且为真命题 B．：，，且为真命题 C．：，，且为假命题 D．：，，且为假命题 【答案】D 【分析】先根据全称命题的否定规则写出，再通过配方法判断原命题的真假，进而得到的真假，结合选项得出答案. 【详解】全称命题的否定为特称命题， 故命题的否定为. 对二次函数，配方得，对任意，， 因此恒成立，即命题为真命题. 根据命题与否定的真假性相反，为假命题. 综上，，且为假命题. 23．（25-26高二下·北京怀柔·期末）已知命题：，，则为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】命题：， 则为：，． 24．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知命题，，则（     ） A．，， B．， C．p是真命题 D．p是假命题 【答案】C 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题可知：若命题，， 则，，故选项AB错误； 当时，，所以命题，，是真命题. 典例五：根据全称（特称）命题的真假求参数 25．（25-26高三上·广东惠州·期中）命题，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】转化问题为在上有解，求出的取值范围，进而结合充分不必要条件的定义判断即可求解. 【详解】依题意，：，真命题， 所以在上有解， 当时，原不等式，解得，满足题意； 当时，一元二次函数开口向下，此时原不等式在上一定有解，故满足题意； 当时，若在上有解，则，解得， 综上所述，， 所以命题p：，为假命题的一个充分不必要条件可以是. 故选：A. 26．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 【答案】 【详解】因为命题“，使得”为真命题，所以， 解得或，即实数的取值范围为. 27．（25-26高三上·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】问题化为，都有为真命题，结合一元二次不等式恒成立求参数范围. 【详解】由，使得为假命题， 则，都有为真命题， 当，则，满足， 当，则，满足， 综上，. 28．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由命题“”为真命题，利用判别式，即可确定实数的取值范围． 【详解】由命题“”为真命题， ， 解得：， 29．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 【答案】 【分析】对，不等式恒成立，令，则，求出，解不等式即可得出答案.若q为真命题，则存在，使得成立，所以，即可求出q为真命题时m的取值范围，再讨论q和p一真一假的情况，即可得出答案. 【详解】对，不等式恒成立， 令，则， 当时，即，解得. 因此，当p为真命题时，m的取值范围是. 若q为真命题，则存在，使得成立，所以； 故当命题q为真时，. 又∵p，q中一个是真命题，一个是假命题. 当p真q假时，由，得； 当p假q真时，由或，且，得. 综上所述，m的取值范围为. 30．（25-26高三上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程无实数根，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意得关于的方程有实数根，进而求解即可； （2）先求出，，结合题设可得或}，进而根据包含关系求解即可. 【详解】（1）为真命题，为假命题， 即关于的方程有实数根， 则，解得， 故实数的取值范围是. （2）由（1）可知，若为真命题，则， ，或， 是的充分不必要条件，或}， ，，则实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2 常用逻辑用语（精讲） 第一部分：知识复习 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q/⇒p p是q的必要不充分条件 p/⇒q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p/⇒q且q/⇒p 2.全称量词与存在量词 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示． (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示． 3．全称量词命题和存在量词命题 名称 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 【注意】含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”，即两变一不变，量词与结论变，条件不变． [常用结论] 设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B. (1)p是q的充分不必要条件⇔； (2)p是q的必要不充分条件⇔； (3)p是q的充要条件⇔A＝B； (4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系． 第二部分：典型例题 典例一：充分条件与必要条件的判断 1．（26-27高三·全国·暑假作业）“”是“”的_______________条件． 2．（2026·湖南长沙·模拟预测）不等式成立的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 3．（2026·辽宁·模拟预测）已知，，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（25-26高三上·陕西·期中）已知，是两个不同的平面，直线，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 6．（25-26高二下·内蒙古乌兰察布·期中）已知直线l和两个不同的平面，，若，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 典例二：充分条件与必要条件求参 7．（26-27高三·全国·暑假作业）已知集合，集合，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围． 8．（25-26高二下·宁夏石嘴山·阶段检测）设实数满足 ，实数满足 ，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是_________. 9．（25-26高三·全国·一轮复习）若集合，，其中为实数． （1）若是的充要条件，则________； （2）若是的充分不必要条件，则的取值范围是：________. 10．（2026·江苏南通·三模）设集合，集合，则“”的一个必要不充分条件是（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，. (1)当时，求，； (2)设p：，q：，若p是q的必要不充分条件，求m的取值范围； (3)若，求m的取值范围. 12．（25-26高三·全国·一轮复习）设命题实数满足：命题实数满足，其中.若是的必要不充分条件，求实数的取值范围__________. 典例三：量词命题的真假判断 13．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若，，，，则（   ） A．p，q均为真命题 B．，均为假命题 C．，均为真命题 D．p，q均为假命题 14．（2026·陕西西安·模拟预测）已知命题，则，命题，，则（   ） A．和都是假命题 B．是真命题，是假命题 C．是假命题，是真命题 D．和都是真命题 15．（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知命题，；命题，.则（    ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 16．（2026·云南昆明·模拟预测）已知命题p：，，命题q：，，则（  ） A．p和q都是真命题 B．和q都是真命题 C．p和都是真命题 D．和都是真命题 17．（2026·广西崇左·二模）已知命题：，，命题：，，则（   ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 18．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知命题，；命题，.则（    ） A．和都是真命题 B．和都是真命题 C．和都是真命题 D．和都是真命题 典例四：含有一个量词的否定 19．（25-26高三上·安徽合肥·期中）命题：“”的否定是______. 20．（25-26高三上·广东东莞·期中）已知命题：，则为（   ） A． B． C． D． 21．（2026·湖南长沙·三模）命题“，”的否定为（    ） A．， B．， C．， D．， 22．（25-26高二下·北京·阶段检测）已知命题p：，，则（    ） A．：，，且为真命题 B．：，，且为真命题 C．：，，且为假命题 D．：，，且为假命题 23．（25-26高二下·北京怀柔·期末）已知命题：，，则为（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 24．（25-26高三下·湖南衡阳·阶段检测）已知命题，，则（     ） A．，， B．， C．p是真命题 D．p是假命题 典例五：根据全称（特称）命题的真假求参数 25．（25-26高三上·广东惠州·期中）命题，为假命题的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·河北沧州·阶段检测）已知命题“，使得”为真命题，则实数的取值范围为____. 27．（25-26高三上·四川眉山·期中）若命题“，使得”是假命题，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D． 28．（2026·陕西西安·模拟预测）若命题“,”为真命题，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 29．（25-26高三·全国·一轮复习）已知，命题p：，不等式恒成立；命题q：，使得成立，若p为真命题，则实数m的取值范围为____________；若q和p一真一假，则实数m的取值范围为____________. 30．（25-26高三上·江西九江·阶段检测）已知关于的方程无实数根，. (1)若为真命题，求实数的取值范围； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围. 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $